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INTRODUCCION

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o

correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez

en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de lavariable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término

 para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su

uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G.

Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa

un número dentro de un conjunto de ello.

Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X

entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se

dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan

libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos

valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X

constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su

recorrido". 

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PAR ORDENADO

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se

distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer 

elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, {a, b}. Un conjunto

está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de

estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son

idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La

noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos

objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias y las funciones se

definen en términos de pares ordenados.

DEFINICIÓN

La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos

de ellos sean idénticos:

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d ) son idénticos si y sólo si coinciden sus primer y segundo

elemento respectivamente:

Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos  X e Y , la colección de todos los pares ordenados ( x,  y), formados con

un primer elemento en  X y un segundo elemento en Y , se denomina el producto cartesiano

de  X e Y , y se denota  X × Y . El producto cartesiano de conjuntos permite

definir relaciones y funciones. 

Generalizaciones

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Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender 

la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una

terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento.

La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:

(a1, a2, a3) = (b1, b2, b3) si y sólo si a1 = b1 , a2 = b2 , y a3 = b3 

En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de

elementos n, dando lugar así a una n-tupla.

Construcción

La propiedad característica de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad

relevante para su uso en matemáticas.1 Sin embargo

, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: 

números, funciones, etc. En este contexto, se utiliza una definición de par ordenado como

un tipo particular de conjunto.

La definición conjuntista más habitual, debida a Kuratowski, es:

Mediante el axioma de intencionalidad y el axioma del par  puede demostrarse que este

término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado.

CONJUNTO

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un

objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números,

colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o

miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos

 poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un

número primo, el conjunto de los números primos es:

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P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En

 particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden

de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes,

Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja,

Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es

infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho

elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de

manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible

definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse

de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto

fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos

matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere

 pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

RELACION ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto cartesiano

A x B.

Un elemento a, que pertenece al conjunto A, está relacionado con un elemento b,

que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a un subconjunto G (llamado grafo)

del producto cartesiano A x B.

Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x

B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Una relación sería R ={(a,1),(c,2)}.

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A las relaciones también se les llama correspondencias.

Relación de orden

Una relación binaria es una relación de orden que tiene las propiedades:

Reflexiva: a R a

Antisimétrica: Si a R b y b R a entonces a = b.

Transitiva: Si a R b y b R a, entonces a R c.

Si en un conjunto se puede establecer una relación de orden el conjunto se dice ordenado.

Las relaciones de orden se representan con el símbolo menor igual (a <= b)

En un conjunto ordenado, si b <= a para todo b, a se llama elemento máximo. Si el máximo

existe es único.

En un conjunto ordenado, si a <= b para todo b, a se llama elemento mínimo. Si el mínimo

existe es único.

En un conjunto ordenado, si a <= b implica a = b, a y b se llaman elementos maximales.

En un conjunto ordenado, si b <= a implica a = b, a y b se llaman elementos minimales.

FUNCION

Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de

«entrada» en los valores u objetos de «salida»

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor 

de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área  A de

un círculo es función de su radio r : el valor del área es proporcional al cuadrado delradio, A = π ·r 

2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades

separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se

desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera

magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que

depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente. 

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CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR UNA RELACIÓN PARA QUE SEA

FUNCIÓN

En matemática para que una relación entre dos conjunto sea función debe cumplir 

dos condiciones:

1) Existencia: Todo elemento del primer conjunto debe estar relacionado con algún

elemento del segundo conjunto.

2) Unicidad: Cada elemento del primer conjunto está relacionado con uno y solo un

elemento del segundo.

EJEMPLOS DE FUNCIONES

función afín

f(x)= 2x + 3

Función Cuadrática

f(x) = x² + 2x + 1

Función Valor absoluto

f(x) = │x+1│ 

Función Exponencial

f(x) = 2^x

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

Dado los conjuntos X=1,2,3, Y=1,5,8,27. Sea F una función de X en Y definida por 

.Su conjunto solución es S=(1,1),(2,8),(3,27), y su representación, mediante un diagrama

sagital. Teniendo en cuenta el concepto de dominio y rango de una relación, se puede hacer 

lo mismo para una función, luego Dom (f)=1,2,3 y R(f)=1,8,27. Observa que el elemento 5

del conjunto Y no pertenece al rango de la función porque no esta relacionado con ningún

elemento de X. A los elementos del rango de una función también se les suele llamar 

conjunto de imágenes de la función, luego 1 es imagen de 1, mediante la función F, o

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también se puede escribir 1=f(1), 8 es la imagen de 2 mediante la función F, es decir,

8=f(2), 27 es imagen de 3 mediante la función F, es decir,27=f(3).

ALGUNAS FORMAS ESPECIALES DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN.

En los capítulos precedentes hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que

sean, suelen admitir una expresión del tipo y = f(x). Hemos visto también que es

especialmente interesante (pues facilita la obtención de información) que la expresión f(x)

sea de tipo matemático. Hasta ahora hemos trabajado con expresiones simples como por 

ejemplo:

Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las

Ciencias Sociales no admiten una única formulación para todos los valores de la variable

independiente, de manera que es necesario utilizar diferentes fórmulas para la función

según los distintos valores de x. De este tipo de funciones se dice que están definidas a

trozos.

Por otra parte en las funciones del tipo y=f(x), la relación entre ambas variables x e

y está claramente determinada. Por ese motivo la expresión y=f(x) recibe el nombre de

forma explícita de la función. Sin embargo, en algunas ocasiones la relación entre las

variables de la función no viene expresada de una forma tan clara sino a través de una

ecuación que las liga, como por ejemplo:

Aunque más tarde analizaremos con detalle estos cuatro ejemplos, ya podemos decir 

que esta manera de representar una función recibe el nombre de forma implícita de la

función.

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CONCLUSIÓN

Teniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas,

comenzamos a interiorizarnos en el tema buscando la definición de la palabra función.

Luego, nos inclinamos sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como lafunción trigonométrica, cuadrática, logarítmica, exponencial, afín y polinómica.

Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones sobre otras ciencias y

además aprendimos los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver 

cualquier situación que se nos presente en la vida diaria.

Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la monografía, debido a que

incorporamos gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva

manera de enfrentar problemáticas en campos donde creíamos que la matemática era inútil.

Desde el punto de vista personal, creemos que las funciones matemáticas han

facilitado la labor en muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados

 precisos para cada situación.

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INDICE

Portada…………………………………………………………………………………..1 

Índice……………………………………………………………………………………2 

Introducción……………………………………………………………………………..3  

Par Ordenado…………………………………………………………………………….4  

Definición ………………………………………………………………………………..4 

Conjunto…………………………………………………………………………………. 5

Relación Entre Conjuntos ………………………………………………………………..6 

Función …………………………………………………………………………………..7  

Condiciones Que Debe Cumplir Una Relación Para Que Sea Función ………………...8 

Ejemplos De Funciones………………………………………………………………….8  

Dominio Y Rango De Una Función……………………………………………………..8 

Algunas Formas Especiales De Representar Una Función……………………………….9  Conclusión……………………………………………………………………………… .10

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