Fonaments Matemàtics de l’Enginyeria II
March 28, 2012
1
Primer examen parcial: solucions
2
1. Donada la funció f(x, y, z) = exy cos (z), calculeu ∂3f/∂x∂y∂z.Derivem primer respecte d’x (malgrat sabem que l’odre de derivació no im-
porta)
∂f
∂x= yexy cos (z) + exy·0,
on hem considerat constants les variables y, z i hem aplicat la regla de la derivadadel producte ∂(f(x)·g(x)) = f ′(x)·g(x) + f(x)·g′(x).
Derivem ara respecte d’y :
∂
∂y
∂f
∂x=
∂
∂y(yexy cos (z))
= (exy + yxexy) cos (z) ,
on el cos (z) es considera una constant, i hem tornat a aplicar la regla de laderivada del producte.
Finalment derivem respecte de z :
∂
∂z
∂
∂y
∂f
∂x=
∂
∂z((exy + yxexy) cos (z))
= − (exy + yxexy) sin (z)
= −exy sin (z) (1 + yx) .
Resposta correcte: (a).
2. La derivada de la funció composta ve donada per la regla de la cadena:
D (g ◦ f) = (D (g) ◦ f) ·Df.
Tenim que f : R2 → R3, g : R3 → R2, per tant g ◦f : R2 → R2, g ◦f (x, y) =(2u+ 3v, u+ w2
)= (F1 (u, v) , F2 (u, v)) = (F1 (u (x, y) , v (x, y)) , F2 (u (x, y) , v (x, y)))
i la matriu jacobiana de g ◦ f és 2× 2, amb la forma
D (g ◦ f) =
[∂F1
∂x∂F1
∂y∂F1
∂x∂F2
∂y
].
3
La derivada situada en la primera fila i segona columna serà ∂F1(x,y)∂y . Aplicant
la regla de la cadena a les derivades parcials,
∂
∂yF1 (u (x, y) , v (x, y)) =
∂
∂uF1 ·
∂u
∂y+
∂
∂vF1 ·
∂v
∂y+
∂
∂wF1 ·
∂w
∂y
= 2 · xexy + 3 · (−x sin (xy)) + 0
= 2xexy − 3x sin (xy) .
3. Substituim x per xt, y per yt :
f(xt, yt) = Cx2t2
yt= tC
x2
y= tf(x, y),
per tant és homogènia de grau 1.
4. Calculem el gradient i la Hessiana de la funció en el punt:
∇f =
[∂f∂x∂f∂y
]=
[3x2 − y−x+ 3y2
];
∇2f =
[∂2f∂x2
∂f∂x∂y
∂f∂y∂x
∂2f∂y2
]=
[6x −1−1 6y
].
En el punt(13 ,
13
)la Hessiana val
∇2f
(1
3,1
3
)=
[6/3 −1−1 6/3
]=
[2 −1−1 2
].
Els menors de aquesta matriu son 2 i 4 + 1 = 5, positius, per tant la matriués definida positiva, i el punt crític es un mínim.
5. Integrem primer respecte de la variable x, considerant la variable y comuna constant:
ˆcos (2x) sin (y) dx = sin (y)
ˆcos (2x) dx
= sin (y)1
2(sin (2x)) .
Imposem els límits de la integral respecte a x:
sin (y)1
2[sin (2x)]
π/40 = sin (y)
1
2
[sin
2π
4− sin 0
]= sin (y)
1
2[1− 0]
=1
2sin (y) .
4
Integrem respecte la variable y :
1
2
ˆsin (y) dy =
1
2(− cos (y))
= −1
2cos (y) .
Imposem els límits de la integral respecte a y :
[−1
2cos (y)
]π/20
= −1
2
[cos
π
2− cos 0
]= −1
2[0− 1]
=1
2.
= −√2
4
6. y (x+ 1) + y′ = 0 ⇔ dydx = −y (x+ 1) ⇔dy
y = − (x+ 1) dx que és separa-ble; integrem per les dues bandes:
´dyy = −
´(x+ 1) dx⇒ln y = −
(12x
2 + x)+
C ⇔ y = exp(− 1
2x2 − x+ C
)és la solució general. Amb les condicions de con-
torn obtenim: 1 = exp(− 1
2 (−2)2 − (−2) + C
)=exp (−2 + 2 + C) =exp (C)⇔C =
ln (1) = 0.La solució particular és y = exp
(− 1
2x2 − x
).
7. Per obtenir l’expressió general de la família de corbes:
dy
dx=
y − x3y − x
resolem aquesta equació, que és de la forma dydx = N(x,y)
M(x,y) amb N(tx, ty) =
tN(x, y) , M(tx, ty) = tM(x, y) i per tant és una equació diferencial homogènia,que resolem fent la substitució y = vx, dy = vdx+ xdv:
vdx+ xdv
dx=
vx− x3vx− x
⇔
v + xdv
dx=
v − 1
3v − 1⇔
xdv
dx=
v − 1− 3v2 + v
3v − 1
=−3v2 + 2v − 1
3v − 1.
5
Separem les variables, i integrem:
3v − 1
−3v2 + 2v − 1dv =
1
xdx⇔
ˆ3v − 1
−3v2 + 2v − 1dv =
ˆ1
xdx⇔
−12
ln(−3v2 + 2v − 1
)= ln (x) + C ⇔(
−3v2 + 2v − 1)−1/2
= Cx⇔−3v2 + 2v − 1 = Cx−2.
Desfem el canvi, v = y/x:
−3y2
x2+ 2
y
x− 1 = Cx−2 ⇔
−3y2 + 2xy − x2 = C.
Imposem la condició y(2) = 1 :
−3·1 + 2·2− 4 = −3 = C,
−3y2 + 2xy − x2 = −3.
8.(5x2 − y
)dx + xdy = 0 no és separable ni homogènia ni exacte, però sí
és lineal:
(5x2 − y
)+ x
dy
dx= 0⇔
xy′ − y = −5x2 ⇔
y′ − 1
xy = −5x.
El factor integrant és r(x) = exp´ −1
x dx = 1x , multipliquem l’equació per
r(x):
1
xy′ − 1
x2y = −5⇔
d
dx
(yx
)= −5⇔
y
x=
ˆ−5dx
= −5x+ C.
6
9. Equació lineal, factor integrant r(x) = exp´tan (x) = exp ln sec (x) =
sec (x) . Multipliquem pel factor integrant:
sec (x) · (y′ + y tan (x)) = sec (x) · (sec (x) + cos (x))⇔y′ sec (x) + y sin (x) sec2 (x) = sec2 (x) + sec (x) cos (x)⇔
d
dx(y sec (x)) = sec2 (x) + 1⇔
y sec (x) =
ˆ (sec2 (x) + 1
)dx
= tan (x) + x+ C ⇔y = sin (x) + (x+ C) cos (x) .
Apliquem la condició y(0) = 1: 1 = sin (0) + (0 + C) cos (0) = C. Queda:
y = sin (x) + (x+ 1) cos (x) .
10. És una equació lineal de 2n ordre, homogènia; el polinomi característicr2 + 1 = 0 té solucions complexes conjugades ±i, per tant la solució és y =C1 sin (x) + C2 cos (x) .
7