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PROBABILIDAD Y
ESTADSTICA
DISTRIBUCIONES Y DENSIDADES
DE PROBABILIDADDISCRETA
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1 Distribucin y densidad Binomial
Usando el lenguaje de los juegos de azar, podemos decir queuno de estos ejemplos queremos conocer la probabilidad dex xitos en los N ensayos realizados, o en otras palabras,y Nx fracasos en Nintentos posibles.
Se consideran las siguientes suposiciones:
1. Existen solamente 2 posibles resultados de cada ensayo2. La posibilidad de un xito es la misma en cada ensayo
3. Hay N ensayos, donde n es una constante.
4. Los Nensayos son independientes
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Distribucin y densidad Binomial
x
xitos
N-x
fracasos
N
ensayos
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2 Distribucin y densidad Poisson
Cuando tenemos una Distribucin y densidad Binomial con parmetros N relativamente grande yp relativamente peqprobabilidades de estos experimentos se aproximan con la rde Poisson, donde
= N*p
x es el nmero de ensayos con xito.
N es un nmero muy grande p es la probabilidad muy pequea, que ocurra un ensayo con xi
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Distribucin y densidad Poisson
n es muygrande
p es muypequea
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3 Distribucin y densidad Hper-geomt
Si Kes un subconjunto de M, que tienen cierta caractersticaejemplo equivalente a decir un subconjunto de xitos.
En el problema del muestreo sin reemplazo, losx xitos pescogerse slo del conjunto K, entonces pueden escogerse dformas. Si Nobjetos pueden escogerse del conjunto de M oentonces pueden se elegidos de MCNformas, y si consideraigualmente probables de estas posibilidades se reduce que muestreo sin reemplazo la probabilidad de obtener:
x xitos en N ensayos es la probabilidad conocida comogeomtrica.
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Distribucin y densidad Hper-geomtric
x- xitos en n ensayos
M - ensayos
N - ensayos de M (N> x)
K- xitos de los M ensay
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4 Distribucin y densidad Multinomial
Cuando un producto manufacturado se clasifica como de calidsuperior, promedio o mala; o cuando el aprovechamiento de u
estudiante se evala asignndole calificaciones 10, 20, 30, 40,cuando un experimento; o cuando se evala a un experimentoexitoso, desafortunado, o inconveniente.
Para abordar estos problemas consideramos: n ensayos independientes, donde cada uno de los ensayos admite rkresultados mutuamente excluyentes cuyas probabilidades respe
sonp1, p2, pk, donde su sumatoria de estas probabilidades debe s Antes slo haban 2 resultados (bi-nomial), ahora hay k>2 resultados
nomial)
x vector de xitos, se determinarnxi xitos para cada resultado p vector de probabilidad de un xito para cada resultado r1, r2,
piprobabilidades para cadaxi
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Distribucin y densidad Multinomial
n - ensayos
resultado 1
resultado 2
resultado k
Los resultados:
resultado 1
resultado 2
resultado k
Todos son MUTUAEXCLUYENTES
r1 + r2 + + rk = n
p1 + p2 + + p3 =
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5 Distribucin y densidad Binomial Nega
Consideremos un experimento con las mismas propiedadesexperimento binomial, slo que en este caso las pruebas se
hasta que ocurra un nmero fijo de r=k xitos. En vez de encontrar la probabilidad dex - xitos en n ensa
donde n es fija, ahora nos interesa la probabilidad de que ocr=k xitos en elXsimo ensayo, ahora no se requiere n, p(X>=k) es ahora el nmero de ensayos.
SiX-k=x, entoncesx=0,1,2,(domino en Matlab) peroX=k,k
El ordinalXsimo debe ser mayor que k, pero el ordinalx
Los experimentos de este tipo se llaman experimentos binonegativos.
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Distribucin y densidad Binomial Negativ
La funcin nbinpdfde MATLAB, se obtiene:
Equivalente a
Aqu no hay relacin condicional entrexy r
Con dominio dex=0,1,2,
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( , ) = )( + )( + 1)( 1
( , ) = + 1
= + 1
1
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Distribucin y densidad Binomial Negativ
La funcin de Estadstica Aplicada, se obtiene:
Siendo necesario queX>=k Con dominioX=k,k+1,k+2, siX-k=x, entonces se tienex=0,
es el dominio para la funcin de MATLAB
Para evaluar con MATLAB, se requiere sustituirx=X-k, y r=k
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* 1
( / , ) (1 )1
k X kX
b X k p p pk
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Distribucin y densidad Binomial Negativ
Ejemplo:
En Estadstica Aplicada: X=6; k=4, p=0.55
El resultado es b*(6,4,0.55)=0.1853
En MATLAB: x=Xk=64=2; k=4, p=0.55 El resultado es nbinpdf(2,4,0.55)=0.1853
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* 1
( / , ) (1 )1
k X kX
b X k p p pk
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Distribucin y densidad Binomial Negativ
n ENSAYOS (no se requiere)
X=(x+k) simo ensayo
k XITOS (k
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6 Distribucin y densidad Geomtrica
Si en una sucesin de ensayos se quiere saber el nmero deen el que ocurre el primer xito y que todas las suposicioneDistribucin y densidad Binomial, menos la tercera, se satisfotras palabras n no es constante.
Si elprimer xito ocurre en elX simo ensayo, entonces eprecedido porX 1 fracasos. Tome en cuenta que en este cpuede ser cero, es decir debe existir al menos 1 xito. No s
requiere saber n, porque depende del xito. Sin embargo observe el dominio que presenta la funcin ge
de MATLAB, para esta distribucin.
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Distribucin y densidad Geomtrica
La funcin geopdfde MATLAB, se obtiene:
Con dominiox=0,1,2,
La funcin de Estadstica Aplicada, se obtiene:
Con dominioX=1,2, , siX-1=x, entonces se tienex=0,1,2, quedominio para la funcin de MATLAB
Esto significa que para evaluar en MATLAB, con parmetros de EAplicada, se requiere sustituirx=X1
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( / ) (1 )xgeopdf x p p p
1( / ) (1 )Xg X p p p
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Distribucin y densidad Geomtrica
n ENSAYOS (no se requiere)
X=x+1 simo ensayo
1(PRIMER) XITO
(ORDINALIDAD)
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7 Distribucin y densidad Uniforme Disc
Es una distribucin de probabilidad que asume un nmerde valores con la misma probabilidad.
Si hay N ensayos, la probabilidad Uniforme para cadax ensayo es 1/N.
Cadax simo ensayo tiene la misma probabilidad.
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Distribucin y densidad Uniforme Discre
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ibliografa
Bain, L. J., & Engelhardt, M. (1987). Introduction to probability anmathematical statistics. Brooks/Cole.
Johnson, N. L., Kemp, A. W., & Kotz, S. (2005). Univariate discretedistributions (Vol. 444). John Wiley & Sons.
Jones, B. (1997). Matlab Statistics Toolbox. The MathWorks. Inc.,MA.
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Miller, I., Freund, J. E., & Johnson, R. A. (1965). Probability and stengineers (Vol. 1110). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.
Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (1993). Probabistatistics for engineers and scientists (Vol. 5). New York: Macmill
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