Área de una pirámide
Área lateral“El área lateral de una pirámide regular es la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema de la pirámide”
Hipótesis:
S-ABCDE pirámide regular
Demostración:
Aا = área ∆ ASB . N
área ∆ ASB = ½ AB . a
Aا = ½ AB . a n
AB . n = p
Aا = ½ p a
Tesis:
Aا = ½ p a
S
A
B C
D
E
S
a
Área totalEl área total de una pirámide regular es la suma del área lateral y el área de la base
At = Aا + Ab
Aا = ½ p a Ab = ½ p a’
At = ½ p a + ½ p a’
At = ½ p (a + a’)
Volumen de una pirámide
“Si dos pirámides tienen bases equivalentes a la misma altura, entonces tienen el mismo volumen”
Hipótesis:
h altura de las pirámides V-ACD y O-PQRS
B misma área de las bases
Tesis:
Pirámides V-ACD y O-PQRS tienen el mismo volumen
Demostración:
A’C’D’ y P’Q’R’S’ secciones transversales a las dos pirámides
Sección A’C’D’ es equivalente a P’Q’R’S’
Pirámides V-ACD y O-PQRS tienen el mismo volumen
V
A
C
D
A’ D’
C’h
B P
Q
R
S
O
P’
Q’R’
S’
B
h
Volumen de una pirámide triangular“El volumen de una pirámide triangular es un
tercio del producto del área de su base y su altura”
Hipótesis:
S-DEF pirámide triangular
B área de la base
h altura
V volumen
Tesis:
V = ⅓ B . h
A C
S
D
E
F
N
P
M
Demostración:
ASCDEF prisma triangular de base DEF y de altura H
Prisma ASCDEF = S-DEF + S-ADF + S-AFC
∆ADF = ∆AFC y ∆DSE = ∆DSA
Pirámides S-ADF y S-AFC tienen el mismo volumen
Pirámides F-DSE y F-DSA tienen el mismo volumen
Pirámides S-DEF, S-ADF y S-AFC tienen el mismo volumen V
Vp = 3V
Vp = B . h
3V = B . h
V = ⅓ B . h
Desarrollo de una pirámide
Lado del pentágono: 10cm
Altura: 24cm
10cm24cm
a = √ h2+r2
l5 = √ 10-2 √ 5 r
2
r =
2 l5
√ 10-2 √ 5
Radio: 8.5cm
8.5cm
Arista: 25.5cm
25.5c
m
10cm24cm
8.5cm25.5c
m
Lado del pentágono: 10cm
Altura: 24cm
Radio: 8.5cm
Arista: 25.5cm
25.5cm
10cm