Profesor: Javier Trigoso T. Razonamiento Matemático
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Porcentaje El porcentaje es una de las expresiones matemáticas que
más usamos en la vida cotidiana. Por otra parte, la
información que aparece en los medios de comunicación está
repleta de datos expresados en porcentajes. Por ejemplo,
¿quién no ha oído decir alguna vez?: "Rebajas del 10% en
todos los artículos del hogar" o "La inflación aumentó el
último trimestre un 0,5%". Un porcentaje es la proporción
de una cantidad respecto a otra y representa el número de
partes que nos interesan de un total de 100.
Porcentaje o tanto por ciento Cuando una familia invierte el 88% de sus ahorros en comprar una vivienda, se está
gastando en ella 88 soles de cada 100 que ha ahorrado.
Se puede definir el tanto por ciento como una fracción que tiene
denominador 100. En este caso, el 88% es la fracción decimal.
8888%
100
Como el porcentaje es una fracción decimal, se puede expresar también en número
decimal. Así, 88
88% 0,88100
(se ha dividido 88 entre 100).
Cualquier porcentaje se puede expresar en forma de fracción o número decimal y, a su
vez, cualquier número decimal o fracción se puede expresar en porcentaje:
Cálculo de porcentajes
Existen dos formas para hallar un porcentaje o tanto por ciento
1. Para calcular el porcentaje de una
cantidad, multiplicamos la cantidad por el
número que indica el porcentaje y
dividimos el resultado entre 100.
Ejemplo:
El 20% de los estudiantes de un colegio,
que tiene 240 alumnos, practica deporte.
¿Cuántos estudiantes practican deporte?
Para hallar la respuesta multiplicamos 240
por 20 y dividimos el resultado entre 100:
4800240 20 4800 48
100
El símbolo % es una forma
estilizada de los dos ceros.
Evolucionó a partir de un
símbolo similar sólo que
presentaba una línea
horizontal en lugar de
diagonal (1650), que a su
vez proviene de un símbolo
que representaba
"P cento" (1425).
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Por lo tanto, el 20% de 240 alumnos es 48
alumnos.
2. Para calcular el porcentaje de una
cantidad, multiplicamos la cantidad por la
expresión decimal de dicho porcentaje.
Ejemplo:
Observa esta igualdad:
2020% 0,2
100
Para calcular el 20% de 240, basta con
multiplicar 240 por 0,2:
240 0,2 48
Variaciones: incrementos y descuentos
Incrementos
Un incremento se produce cuando a una
cantidad se le suma un porcentaje de la
misma para obtener una cantidad mayor.
Ejemplo:
Si una camiseta, sin el 19% de IGV, cuesta
120 soles para saber cuánto cuesta con
IGV hay que:
Calcular el incremento que sufre el
precio de la camiseta. Para ello,
hallamos el porcentaje de la cantidad
(19% de 120): 120 x 0,19 = 22,8 (0,19
es la expresión decimal del porcentaje
19%)
Sumar la cantidad (120) y su
incremento (22,8) para obtener el
precio final: 120 + 22,8 = 142,8
El precio de la camiseta tiene un
incremento debido al IGV y, por tanto, es
necesario disponer de un total de 142,8
soles para comprarla.
Descuentos
Un descuento se produce cuando a una
cantidad se le resta un porcentaje de la
misma para obtener otra cantidad menor.
Ejemplo:
Vamos a calcular el precio de un libro que
antes costaba 42 soles y ahora tiene el
5% de descuento:
Calculamos el descuento que sufre el
precio del libro. Para ello, hallamos el
porcentaje de la cantidad
(5% de 42): 42 x 0,05 = 2,10 (0,05 es
la expresión decimal del porcentaje
5%)
Restamos la cantidad (42) menos su
descuento (2,10) para obtener el
precio final: 42 - 2,10 = 39,90
El precio del libro tiene un recuento y, por
tanto, habría que disponer de 39,90 soles
para comprarlo.
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… PARA LA CLASE
01. Un artículo aumenta de precio de
$ 600 a $ 750 ¿Cuál es el porcentaje de
aumento?
A. 15% B. 20%
C. 25% D. 30%
02. ¿En qué porcentaje es más, el
producto de 25 x 18 que el producto de
20 x 18?
A. 5% B. 25%
C. 18% D. 20%
03. En un salón de 30 alumnos el 55%
tiene buenas notas, el 35% tiene notas
regulares y el resto notas deficientes.
Entonces, los alumnos con notas
deficientes son:
A. 10 B. 3
C. 7 D. 13
04. Si x aumenta en su 40% e y en su
30%, ¿en qué porcentaje aumenta x.y?
A. 60% B. 62%
C. 72% D. 82%
05. El lado de un rectángulo de lados a y
b es a · b. Si el lado b del rectángulo
aumenta en 25%. ¿Cómo debe variar el
lado a para conservar el área del
rectángulo original?
A. Disminuir en 20%
B. Aumentar en 20%
C. Disminuir en 25%
D. Aumentar en 25%
06. Rosa gastó S/.0,5 por chocolate, si
del total vende el 80% a S/.1 cada uno,
generando una ganancia de S/.45. Calcula
el número total de chocolates.
A. 15 B. 75
C. 150 D. 300
07. Roberto ahorra mensualmente
S/.75, con sus ahorros desea comprarse
dentro de tres meses una casaca de
S/.300 y que le sobre S/.15. ¿En qué
porcentaje debe incrementar su ahorro
mensual?
A. 20% B. 30%
C. 40% D. 50%
08. En una reunión, el 40% del total de
personas son hombres. Si se retira la
mitad de estos, ¿cuál es el nuevo
porcentaje de hombres?
A. 30% B. 25%
C. 20% D.15%
09. En una reunión el 20% del número
de hombres es igual al 50% del número de
mujeres. ¿Qué porcentaje del total son
hombres?
A. 55,1% B. 65%
C. 71,4% D. 78,1%
10. Un basquetbolista debe lanzar 160
veces al cesto. Si ya ha convertido 40
canastas, ¿cuántas más debe convertir
para tener una eficiencia del 70%?
A. 72 B. 68
C. 64 D. 58
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11. Un grupo de personas asiste a un
concierto de música donde se hace
rebaja de un 10% por cada 5 entradas. Si
una persona junta a 14 personas más y
cada entrada individual sale a $5000,
¿cuál es el valor de cada entrada con la
rebaja?
A. 4 750 B. 4 500
C. 4 400 D. 4 200
12. Se ha importado 10 000 objetos de
tres países diferentes. De Japón, el 20%,
de Corea, el 40% y el resto de Taiwán. El
90% de los artículos de Japón están en
buen estado, el 80% de los de Corea y el
60% de los de Taiwán también lo están.
¿Cuántos artículos en total son
defectuosos?
A. 1 800 B. 2 000
C. 2 200 D. 2 400
… PARA LA CASA
01. Si el número 1 530 aumenta en un 30%
¿Qué número resulta?
A. 459 B. 1 071
C. 1 989 D. 2 448
02. ¿Qué porcentaje de una cantidad
representa 1,5 de la misma?
A. 1,5% B. 15%
C. 125% D. 150%
03. En una mezcla de colores, María
combina 5 litros de pintura roja con 2
litros de pintura azul y dos litros de
pintura amarilla. ¿Qué porcentaje de la
mezcla representa la pintura roja?
A. 40 % B. 44, 4 %
C. 55,6 % D. 50 %
04. Los descuentos sucesivos del 10%,
10% y 20%, equivalen a un único
descuento del:
A. 64,8% B. 45,2%
C. 40% D. 35,2%
05. Los aumentos sucesivos del 10% y
30%, equivalen a un único aumento de:
A. 67% B. 47%
C. 43% D. 40%
06. Si la base de un triángulo, disminuye
en su 20% y su altura disminuye 30%, el
área en qué porcentaje disminuye.
A. 56% B. 54%
C. 46% D. 44%
07. Por equivocación a un empleado se le
descontó el 20% de su sueldo. ¿Qué
porcentaje se le debe aumentar, para
devolverle su sueldo original?
A. 20% B. 24%
C. 25% D. 28%
08. Una tienda ofrece el 20 % de
descuento. Al comprar un artículo con
esta rebaja pagué $ 10.000 ¿Cuál fue el
monto del descuento?
A. $ 2 000 B. $ 2 500
C. $ 4 000 D. $ 1 250
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09. Los expertos estiman que el 25 % del
total de accidentes en moto involucran
heridas en la cabeza, y que un 80 % de
estas heridas son fatales. ¿Qué
porcentaje del total de los accidentes en
moto involucran heridas fatales en la
cabeza?
A. 16% B. 20%
C. 55% D. 105%
10. Este año hay 1 348 alumnos en colegio,
el director indica que la matrícula
aumentó en un 15 % respecto al año
anterior. ¿Aproximadamente en cuántos
alumnos aumentó la matrícula colegio?
A. 140 B. 160
C. 180 D. 200
11. Una piscina tiene una capacidad de
320 m3. Si está hasta la mitad de su
capacidad con agua y se le sacó un 40% de
dicha cantidad ¿Cuánta agua deberemos
agregarle para llenarla completamente?
A.160 m3 B. 192 cm3
C. 224 cm3 D. 256 cm3
12. Si al 10% de los 2/5 de 500 le agrego
el doble de cierto número, obtengo los
3/4 de los 4/7 del 25% de 14/3 de 48.
¿Cuál es dicho número?
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
13. Si José tuviera 24% menos de la edad
que tiene, tendría 38 años. ¿Qué edad
tiene actualmente?
A. 45 años B. 48 años
C. 50 años D. 52 años
14. En un corral hay 8 gallos y 12 gallinas.
¿Cuántas gallinas se deben escapar para
que el porcentaje de gallos aumente en un
40%?
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
15. Con cierta cantidad de materia prima
se fabricará un producto que consta de 4
procesos: en el primero se limpia el
material y se pierde el 20%, en el segundo
se rectifica y se pierde el 25%, en el
tercero se le agrega un material de
refuerzo, aumentando su peso en 20% y
por último se vuelve a rectificar y se
pierde el 10%. Si el producto final pesó
486 g, halla el peso inicial.
A. 640 g B. 700 g
C. 720 g D. 750 g
16. La mano de obra y las indemnizaciones
suman el 40% del valor de una obra. Si las
indemnizaciones representan el 60% del
importe de la mano de obra, ¿qué tanto
por ciento del valor de dicha obra importa
solamente la mano de obra?
A. 20% B. 25%
C. 28% D. 30%
17. En una reunión el 40% son hombres y
el resto mujeres. Después ingresan 70
hombres y salen 20 mujeres y entonces el
número de hombres es el 60% del nuevo
total. ¿Qué porcentaje del nuevo total de
damas son las personas que ingresaron
después?
A. 90 B. 80
C. 70 D. 60
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18. Gasté el 30% de lo que no gasté. Si el
20% de lo que gasté es 72 soles, ¿cuánto
tenía?
A. S/. 1 560 B. S/. 1 423
C. S/. 1 250 D. S/. 1 240
19. Un tirador debe acertar en total el
60% de los disparos que realiza. Le dan
85 balas y ya ha disparado 45
consiguiendo sólo 19 aciertos. ¿Qué
porcentaje de las balas que quedan debe
acertar para cumplir el porcentaje
requerido?
A. 90 B. 80
C. 70 D. 60
20. En una compañía trabajan 250
personas, donde el 20% son mujeres.
¿Cuántas mujeres deben contratarse para
que el 60% del personal sean mujeres?
A. 250 B. 210
C. 200 D. 180
21. Después de una batalla Napoleón
observó que el 5% de sus soldados habían
muerto y el 20% de los que quedaron
vivos estaban heridos, además habían 608
sanos. ¿Cuántos habían muerto?
A. 10 B. 20
C. 30 D. 40
22. Con la finalidad de vender la mayor
cantidad de artículos, un comerciante
reduce el precio en un 20% y observa que
al cabo de un mes el número de artículos
vendidos aumentó en un 30%. ¿En qué
porcentaje aumentó su ingreso bruto
mensual?
A. 4% B. 5%
C. 8% D. 10%
23. Si la base de un triángulo aumenta en
20% y su altura disminuye en 40%, ¿en
qué porcentaje varía su área?
A. Disminuye en 20%
B. Disminuye en 28%
C. Disminuye en 24%
D. Disminuye en 25%
24. Un hombre al morir dispone de que su
fortuna, que asciende a $ 20 000, se
entregue el 35% a su hermano mayor, el
40% del resto a su hermano menor y lo
que queda a un asilo. ¿Cuánto le
correspondió al asilo?
A. $ 7 000 B. $ 7 800
C. $ 8 000 D. $ 9 600
25. Una ciudad está dividida en 2 bandos:
el 45% de la población es del bando A y el
restante del B. Si el 20% de A se pasa a B
y luego el 75% de la población de B se
pasa a A, ¿cuál será el porcentaje de
población que ahora tiene A?
A. 64% B. 75%
C. 84% D. 85%
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