UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario
Módulo
PRIMER NIVEL
Paralelo: “B”
Autor: Cinthya Cucás.
Ing. Oscar René Lomas Reyes
Marzo 2013 – Agosto 2013
Módulo Algebra Página 1
ALGEBRA
ContenidoINTRODUCCIÓN............................................................................................................................3
OBJETIVOS................................................................................................................................4
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES....................................................................................5
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES................................................................................6
EXPONENTES Y RADICALES.......................................................................................................7
EXPRESIONES ALGEBRAICAS.....................................................................................................9
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?......................................................................................................11
Partes de una ecuación..........................................................................................................11
¡Exponente!............................................................................................................................12
PRODUCTOS NOTABLES.........................................................................................................13
FACTORIZACIÓN.....................................................................................................................15
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO..................................................................................16
ECUACIONES LINEALES...........................................................................................................16
SILABO........................................................................................................................................18
Módulo Algebra Página 2
INTRODUCCIÓN
El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las
propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para
generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos
análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro
de la misma operación; ecuación algebraica.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos
usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el
Teorema de Pitágoras.
El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros
símbolos son usados para representar números desconocidos.
Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5
a ambos lados del signo igual (=), así:
x - 5 = 2
x - 5 + 5 = 2 + 5
x + 0 = 7
x = 7 (la respuesta)
Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos,
negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de
ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.
Módulo Algebra Página 3
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de
algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Elaborar el portafolio estudiantil.
Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para
la evaluación.
Trabajar en forma grupal en la recolección de la información.
Módulo Algebra Página 4
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y
así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o
números naturales.
Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……
forman el conjunto de los enteros.
Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)
El conjunto de los números racionales consiste en números como 12
y 53
, que
pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un
numero racional es aquél que puede escribirse como pq
donde p y q son
enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = 21
. De hecho todo entero
es racional.
Los números que se representan mediante decimales no periódicos que
terminan se conocen como números irracionales. Los números π y√2 son
ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números
irracionales forman el conjunto de los números reales.
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros
se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la
derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas
Módulo Algebra Página 5
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número
son iguales entre sí.
Sia=b y b=c ,entonces a=c
Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.
Para todonúmero realayb , existennumerosreales unicos a+b y ab
Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.
a+b=b+a y ab=ba
Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la
multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.
a+ (b+c )= (a+b )+c y a (bc )=(ab ) c
Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que
para todo número real a.
0+a=a y1a=a
Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número
real denotado poa –a
a+ (−a )=0
Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número
da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y
después sumar todos los productos.
a (a+c )=ab+ac y (b+c )a=ab=ac
Módulo Algebra Página 6
EXPONENTES Y RADICALESExponentes
Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a
multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la
derecha del valor base. Por ejemplo:
b−5 b es el valor base y -5 es el exponente
−27 -2 es el valor base y 7 es el exponente
Leyes de los exponentes
(xn ) (xm )=xn+m
xn
xm=xn−m
x0=1
x−n= 1
xn
xm
xm=1
(xm )n=xmn
( xy )n
= xn
yn
( xy )−n
=( yx )RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima
de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.n√ x= y
n = índice
x = radicando
Módulo Algebra Página 7
y = raíz
√❑ =signo radical
Leyes radicales
x1/2=n√ x
x−1 /2= 1
x1/2= 1
n√ x
n√ xm√ y= n√xy
n√ xn√ y
= n√ xym√ n√x=mn√x
x ,/n=n√ xm
(m√ x )m=x
Módulo Algebra Página 8
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las
operaciones aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo
término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:
Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:
Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:
Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se
llaman Polinomios.
Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.
Módulo Algebra Página 9
Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a
continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos
semejantes.
Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se
separan los productos parciales con sus propios signos.
División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos.
Módulo Algebra Página 10
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:
x + 2 = 6
Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"
Partes de una ecuación
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)
Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y.
Un número solo se llama una constante.
Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente)
Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).
Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos.
Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -)
Módulo Algebra Página 11
Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"
¡Exponente!El exponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación.
Ejemplos:
82 = 8 × 8 = 64
y3 = y × y × y
y2z = y × y × z
Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones
Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz
PRODUCTOS NOTABLESBinomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
Módulo Algebra Página 12
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25
Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =
Módulo Algebra Página 13
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
Módulo Algebra Página 14
FACTORIZACIÓNCon frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el
producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama
factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de
polinomios simples.
Factorización por factor común.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se
dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e
inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes
que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor
común.
a2+2a=a (a+2 )
10b+30ab=10b (1+3a)
Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que:a2−b2= (a+b ) (a−b ); por lo tanto una diferencia de cuadrados, es
igual al producto de dos binomios conjugados.
9 x2−4 y2=(3 x+2 y )(3 x−2 y )
Factorización de un cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado
como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al
primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del
signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado:
9 x2−12 xy+4 y2= (3x−2 y )(3 x−2 y )
Factorización de una suma o diferencia de cubos
Se sabe que: a3+b3=(a+b ) (a2−ab+b2 ) y a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )
Factorización de cubos perfectos de binomios.
Módulo Algebra Página 15
(a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3 yque : (a−b )3=a3−3a2b+3ab2−b3
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.
x2+ax+bx+ab=x ( x+a )+b ( x+a )=( x+a ) ( x+b )
FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA a x2+bx+c
9 x2+6 x−3= (3 x−1 ) (3 x+3 )
4 x2−24 x+11= (3 x−1 ) (3 x+3 )
ECUACIONES LINEALESSabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) Ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
Módulo Algebra Página 16
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
b) Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.).
Ejemplo:
ECUACIONES LITERALES
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
I.
Módulo Algebra Página 17
SILABOI. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN MISIÓN – ESCUELA
Formar profesionales humanistas,
emprendedores y competentes,
poseedores de conocimientos
científicos y tecnológicos;
comprometida con la investigación y la
solución de problemas del entorno
para contribuir con el desarrollo y la
integración fronteriza
La Escuela de Desarrollo Integral
Agropecuario contribuye al desarrollo
Provincial, Regional y Nacional,
entregando profesionales que
participan en la producción,
transformación, investigación y
dinamización del sector agropecuario
y agroindustrial, vinculados con la
comunidad, todo esto con criterios de
eficiencia y calidad
UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA
Ser una Universidad Politécnica
acreditada por su calidad y
posicionamiento regional
Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria.
ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-
UNESCO
SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-
UNESCO
Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:
CÓDIGO NIVEL PRIMERO
DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.
Módulo Algebra Página 18
TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]
CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3
HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS48
PRE-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)CÓDIGOS
1. Nivelación Aprobada
CO-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)CÓDIGOS
1. Física Aplicada 1
EJE DE FORMACIÓN: (En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL
ÁREA DE FORMACIÓN: (En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola
LIBRO(S) BASE DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
LIBRO(S) REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC
para estudio)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid
España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Módulo Algebra Página 19
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO: (Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de
aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas
El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del
entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,
análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera
preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje
académico pedagógico de los educandos.
III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).
Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)
Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)
Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO: (Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)
Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas
Módulo Algebra Página 20
para plantear y resolver problemas del entorno.
NIVELES DE LOGRO PROCESO
COG NITIVO
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías
El estudiante es capaz de:
DIMENSIÓN
(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)
1. TEÓRICO BÁSICO RECORDARMLP
Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.
FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.
2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER
Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.
CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR
Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.
PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR
Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados
PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR
Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.
CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
6. TEÓRICO PRÁCTICOAVANZADO CREAR
Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.
1. FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.
2. CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les
Módulo Algebra Página 21
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
3. PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
4. METACOGNITIVO.- Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.
Trabajo interdisciplinar: (Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.
Módulo Algebra Página 22
IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
El estudiante será capaz de
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS
Estrategias, métodos y técnicas
HORAS CLASE
COGNITIVOS
¿Qué TIENE que saber?
PROCEDIMENTALES
¿Saber cómo TIENE que aplicar el conocimiento?
AFECTIVO MOTIVACIONALES
¿Saber qué y cómo TIENE actuar axiológicamente?
T P
Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.
Sistema de Números
Reales
Recta de números Reales
Operaciones Binarias
Potenciación y
Radicación
Propiedades
fundamentales
Aplicaciones
Utilizar organizadores gráficos para identificar las clases de números reales que existe
Utilizar organizadores gráficos para ubicar los elementos
Relacionar en la uve heurística
Identificar los diferentes propiedades en potenciación y radicación
Hacer síntesis gráfica
Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turístico
Demostrar comprensión sobre los tipos de números reales
Disposición para trabajar en equipo
Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemática básica
Aceptar opiniones diferentes
Potenciar el clima positivo
Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autónoma y eficiente
DEMOSTRAR.
1. Caracterizar los números reales para la demostración
2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales.
CONVERSACIÓN HEURISTICA
1. Determinación del problema.
2. Dialogo mediante preguntas.
3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.
2 4
Módulo Algebra Página 23
Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.
Expresiones algebraicas:
nomenclatura y clasificación.
Polinomios clasificación.
Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división.
Productos notables.
Descomposición Factorial
Aplicar operaciones mentales
Identificar los diferentes tipos polinomios
Aplicar operaciones mentales en la resolución de un sistema de ecuaciones.
Identificar los diferentes tipos de productos notables
Resolver ejercicios
Aceptar opiniones divergentes
Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo
Potenciar la resolución de problemas
Valorar las participaciones de los demás
Demostrar grado por lo que hacemos
INDUCTIVO-DEDUCTIVO
INDUCTIVO
1.Observación
2. Experimentación.
3. Información (oral, escrita, gráfica, etc.)
4. Dramatización.
5. Resolución de problemas.
6. comprobación.
7. Asociación (especial temporal y casual)
8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.
11. Ejercicios de fijación.
CONVERSACIÓN HEURISTICA
1. Determinación del problema.
2. Dialogo mediante preguntas.
3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución,
2 4
Módulo Algebra Página 24
socializar la solución.
Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.
Máximo común divisor de polinomios.
Mínimo común múltiplos de polinomios.
Operaciones con
fracciones.
Aplicaciones
Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos
Aplicar procesos de resolución adecuados para resolver problemas.
Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los máximos y los mínimos
Distinguir los componentes de las expresiones racionales
Utilizar una actitud crítica y reflexiva sobre el tema.
Cooperar en el desarrollo del conocimiento.
Demostrar confianza en el desarrollo del proceso.
Cooperar con el grupo en la resolución de funciones.
RAZONAR
1. Determinar las premisas.
2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio.
3. Elaborar las conclusiones.
RELACIONAR.
1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.
2. Determinar los criterios de relación entre los objetos
3 6
Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados
Ecuaciones lineales, resolución
Sistemas lineales y clasificación.
Resolución de ecuaciones lineales.
Aplicaciones
Plantear ecuaciones lineales.
Identificar los sistemas líneas y su clasificación
Elaborar modelos matemáticos en la solución de problemas de la carrera
Implementar procesos de resolución adecuados en problemas reales.
Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolución de problemas.
Demostrar interés en el trabajo individual y de equipo
Respetar las opiniones del grupo y fuera de él.
Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante.
EXPOSICION PROBLEMICA.
1. Determinar el problema.
2. Realizar el encuadre del problema.
3. Comunicar el conocimiento.
4. Formulación de la hipótesis.
5. Determinar los procedimientos para resolver problemas.
6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones)
3 6
Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.
Definición y clasificación.
Ecuaciones reducibles a cuadráticas
Resolución de ecuaciones cuadráticas por factoreo.
Nombrar la definición de ecuaciones cuadráticas
Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadráticas
Resolver ejercicios sobre
Utilizar creatividad y capacidad de análisis y síntesis respetando los criterios del grupo.
Demostrar razonamiento crítico y reflexivo cooperando en la obtención de resultados
EXPOSICIÓN PROBLEMICA
1. Determinar el problema
2. Realizar el encuadre del problema
3. Comunicar el
3 6
Módulo Algebra Página 25
Resolución por completación de un trinomio cuadrado.
expresiones cuadráticas
Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos.
conocimiento (conferencia ,video )
4. Formulación de la hipótesis ( interacción de las partes)
Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.
Aplicaciones de la ecuación cuadrática.
Aplicar la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas
Distinguir los componentes de las expresiones racionales
Valorar la creatividad de los demás
Respetar el criterio del grupo.
1. Determinar los procedimientos para resolver problemas.
2. Encontrar la solución ( fuentes ,argumentos, búsqueda ,contradicciones)
3 6
Módulo Algebra Página 26
V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE
indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados
DIMENSIÓN
(Elija el grado de complejidad que UD.
EXIGIRÁ para alcanzar el logro)
INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA
descripciónTÉCNICAS e INSTRUMENTOS de
EVALUACIÓN
1° PARCIA
L
2° PARCIA
L
3° PARCIA
L
SUPLETORIO
Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.
FACTUAL. Interpretar información. Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10%
Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.
CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10%
Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.
CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
10%
10%
10%
10%
Módulo Algebra Página 27
Pruebas
Portafolio
Reactivos
Documento
50%
10% 100%
Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados
PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10% 100%
Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.
CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia para el diseño.
Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
5%
5%
5%
5%
25%
5%
Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.
FACTUAL.
CONCEPTUAL.
PROCESAL
METACOGNITIVO
Interpretar información.
Modelar, simular sistemas complejos.
Analizar problemas y sistemas complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
5%
5%
5%
5%
25%
5% 100%
ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable
8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable
Módulo Algebra Página 28
Nivel ponderado de aspiración y alcance
Módulo Algebra Página 29
VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -
COMPETENCIAS)
APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE
HORAS AUTÓNO
MAS
INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO
T P
Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.
Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos.
Prueba
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de la web.
Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números reales.
2 4
Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.
Consulta sobre la definición de un monomio y polinomio.
Grado de un polinomio y su ordenamiento
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de la web.
Identifica los tipos de polinomios 2 4
Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.
Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales
3 6
Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados
Dar solución a ecuaciones de primer grado
Libros.CopiasDocumentos en pdf.Descarga de documentos de la web.
Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6
Módulo Algebra Página 30
Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.
Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas.
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de la web.
Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas
3 6
Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.
3 6
PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )
TOTAL
16 32
CRÉDITOS
1 2
3
Módulo Algebra Página 31
VII. Bibliografía.
BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:
Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
Módulo Algebra Página 32
DOCENTES:
Firma:
Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing.
Módulo Algebra Página 33
Módulo Algebra Página 34
Módulo Algebra Página 35
Módulo Algebra Página 36
Módulo Algebra Página 37
Módulo Algebra Página 38
Módulo Algebra Página 39
Módulo Algebra Página 40
Módulo Algebra Página 41
NN FFDABVDDVV1C 23 1E 1 56992C 03 3V 2 66113C 33 4M1 2277
4C 03 1E 1 1187
5F 13 1E 2 9153
6G 13 7M1 22117G 03 1E 7 33668H 23 1E 8 56779L 03 3V 3 88221M13 8M2 22111P 23 1E 9 6788
1P 03 1E 1 11761R 13 3V 2 7821
1R 03 1E 2 11191S 33 2E 1 45761T 03 1E 8 34771D 13 3V 2 5611
1D 23 1E 1 11871T 13 1M1 11432L 03 M9 3365
Módulo Algebra Página 42
Módulo Algebra Página 43
Módulo Algebra Página 44
Módulo Algebra Página 45
Módulo Algebra Página 46
Módulo Algebra Página 47
Módulo Algebra Página 48
Módulo Algebra Página 49
Módulo Algebra Página 50
Módulo Algebra Página 51
Módulo Algebra Página 52
Módulo Algebra Página 53
Módulo Algebra Página 54
Módulo Algebra Página 55
Módulo Algebra Página 56
Módulo Algebra Página 57
Módulo Algebra Página 58
Módulo Algebra Página 59
Módulo Algebra Página 60
Módulo Algebra Página 61
Módulo Algebra Página 62
Módulo Algebra Página 63
Módulo Algebra Página 64
Módulo Algebra Página 65
Módulo Algebra Página 66
Módulo Algebra Página 67
Módulo Algebra Página 68
Módulo Algebra Página 69
Módulo Algebra Página 70
Módulo Algebra Página 71
Módulo Algebra Página 72
Módulo Algebra Página 73
Módulo Algebra Página 74
“UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI “
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
MÓDULO
“ALGEBRA”
PRIMER NIVEL
PARALELO: “B”
AUTOR: CINTHYA CUCÁS
ING. OSCAR RENÉ LOMAS REYES
MARZO 2013 – AGOSTO 2013
FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
Módulo Algebra Página 75
Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así, a/b es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b (divisor).
Fracción algebraica simpleEs la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples:
.
Fracción propia e impropiaUna fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.
Por ejemplo, son fracciones propias, mientras
que son fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción propia.
Fracción compuestaUna fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:
Significados de una fracciónSignificado 1.- Una fracción indica una división. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 divido por 4 o bien 3¸4. Cuando una fracción significa división, el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.
Significado 2.- Una fracción indica una razón. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 a 4 o bien 3:4. Cuando una fracción significa razón de dos cantidades, éstas deben estar expresadas en las mismas unidades. Por ejemplo la razón de 3 días a 2 semanas es 3:14 o bien 3/14. Se ha hecho la equivalencia de 2 semanas a 14 días eliminándose luego la unidad común.
Significado 3.- Una fracción indica una parte de todo o una parte de un grupo de cosas. Por ejemplo, ¾ puede expresarse tres cuartos de una moneda o bien 3 monedas de 4 monedas. Numerador o Denominador Nulo
Módulo Algebra Página 76
Si el denominador de una fracción es cero, el valor de dicha fracción es nulo siempre que el denominador sea distinto de cero. Por ejemplo 0/3 = 0.
Asimismo, si x/3=0 se deduce que x=0. La fracción para x = 5 vale cero. Sin embargo 0/0 es indeterminado.Como la división por cero carece de sentido, una fracción cuyo denominador sea cero es imposible. Por ejemplo 3¸0 es imposible. O bien 3/0 carece de sentido. Asimismo, six = 0 la fracción 5¸x es imposible o bien 5/x carece de sentido.
Módulo Algebra Página 77
Módulo Algebra Página 78
TAREA EN CLASE 2
DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Existen numerosos modelos económicos que suelen utilizar sistemas de ecuaciones lineales. Este hecho convierte a los sistemas de ecuaciones lineales en uno de los modelos matemáticos centrales de la economía.
Para el estudio de estos sistemas tenemos que distinguir tres partes fundamentales:
FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DISCUSIÓN DEL SISTEMA RESOLUCIÓN DEL SISTEMA.
Estas son las tres fases que suelen plantearse en un sistema de ecuaciones lineales. Pero antes de comentar estas fases vamos a dar algunas generalidades de lo que se entiende por un sistema lineal.
Módulo Algebra Página 79
EJEMPLO. Planteemos los siguientes sistemas de ecuaciones:
¿Son sistemas de ecuaciones lineales en las variables x e y?
Como puede observarse el primero y segundo no son sistemas de ecuaciones lineales en las incógnitas x e y, por el contrario el tercer sistema es lineal en las incógnitas x e y actuando t como parámetro del sistema.
Esta visión de los sistemas de ecuaciones lineales, nos obliga a definir qué se entiende por un sistema de ecuaciones lineales:
DEFINICIÓN (Sistema de ecuaciones lineales)
Diremos que un sistema de ecuaciones es LINEAL en las variables x1, x2, x3,.... si todas las ecuaciones que lo forman son lineales respecto a x1, x2, x3,... es decir son de la formaa1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b
donde a1,a2,...,an,b son números reales o bien son funciones dependientes de otras variables que no son x1,x2,...,xn.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar atendiendo a dos criterios fundamentales:
a. SEGÚN COMO SEA EL TÉRMINO INDEPENDIENTE:
Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en
SISTEMAS HOMOGÉNEOS (si el término independiente es el vector nulo)
SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS (el término independiente es no nulo)
; siendo
Módulo Algebra Página 80
a. SEGÚN LA EXISTENCIA O NO DE SOLUCIONES
Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en:
SISTEMAS COMPATIBLES: si tienen una o infinitas soluciones.SISTEMAS INCOMPTAIBLES: si no tienen soluciones.
Módulo Algebra Página 81
Módulo Algebra Página 82
Módulo Algebra Página 83
Módulo Algebra Página 84
TAREA EN CLASE 3
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.
Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema difícil en uno más fácil, ¿no?).
A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas.
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Módulo Algebra Página 85
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en, entonces la ecuación.
no contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.
Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.
Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.
Módulo Algebra Página 86
Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Método de la matriz inversa
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:
Módulo Algebra Página 87
Si existe, es decir, si es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por , para obtener:
Que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes y matriz de términos independientes .
TAREA
Módulo Algebra Página 88
TAREA EN CLASE 4
Módulo Algebra Página 89
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.
Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Módulo Algebra Página 90
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2 + 5x − 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 − 12 = − 5x
En todos los casos la solución por factorización es la misma:
2) Halle las soluciones de
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:
Módulo Algebra Página 91
Ahora, si
x = 0
o si
x− 4 = 0
x = 4
Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:
Soluciones:
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 + bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo(ax + b)2
Que es lo mismo que
Módulo Algebra Página 92
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2 + 2axb + b2
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.
Ejemplo:
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :
y también
Así es que las soluciones son .
Ecuación de segundo grado completa
Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero.
Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0.
Módulo Algebra Página 93
Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero.
(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)
La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:
ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.
ax2 + bx = 0; si c = 0.
ax2 + c = 0; si b = 0.
Algunos ejemplos, con soluciones
1) Resolver: − 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5; b = 13; c = 6.
Se aplica la fórmula:
Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:
Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −.
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:
Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.
Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.
Probando con , se tiene
Módulo Algebra Página 94
Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y son las raíces de − 5x2 + 13x + 6 = 0
2.- Resolver: 6x − x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:
− x2 + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:
a = −1 ; b = 6 ; c = −9 ; y se aplica la fórmula:
El discriminante (Δ) es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3.
Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como una ecuación de segundo grado.
Para hacerlo, hay que entender la lógica del problema, identificando como x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuación.
Hay que destacar que sólo la experiencia mejora los resultados. Para practicar, los interesados pueden consultar el "Algebra" de Aurelio Baldor, que, para muchos, es la biblia del álgebra.
Problema 1
La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números
Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:
x = Primer número
Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:
Módulo Algebra Página 95
10 − x = Segundo número
Para entenderlo mejor:
Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1.000 − 400 = $ 600. Si su amigo tiene $ x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1.000 − x .
La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces:
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuación a resolver
Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la fórmula conocida.
Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común que los estudiantes escriban: (a − b)2 = a2 − b2, lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a − b)2 = a2 − 2•a•b + b2
Desarrollando la ecuación se tiene: x2 + 102 − 2•10•x + x2 = 58 = x2 + 100 − 20•x + x2 = 58
Ordenando y agrupando: 2x2 − 20•x+ 42 = 0;
Dividiendo entre 2 toda la ecuación:
x2 − 10x + 21 = 0
Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3.
Veamos, si tenemos
a = 1, b = −10 c = 21
Los números buscados son 7 y 3.
Problema 2
Módulo Algebra Página 96
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.
Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.
Supongamos que:
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que:
x + 3 = largo de la sala.
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:
x • (x + 3 ) = área de la sala.
Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) • (x + 5) = nueva área de la sala
Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:
(x + 3 ) • (x + 5) = 2 • x • (x + 3)
Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 − 2x2 − 6x = 0
Se simplifica: − x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver.
Se aplica la fórmula conocida y resulta: x1 = 5 y x2 = −3.
La solución x = −3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros, el área original era 8m • 5m = 40 m2.
Problema 3
Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las
dimensiones están en metros
Módulo Algebra Página 97
Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c2 = a2 + b2). La hipotenusa es el lado mayor (2x − 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:
(x + 3)2 + (x − 4)2 = (2x − 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:
x2 + 2 • 3 • x + 32 + x2 − 2 • 4 • x + 42 = (2x)2 − 2 • (2x) • 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 = 4x2 − 20x + 25
Reagrupando:
x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 − 4x2 + 20x − 25 = 0
Finalmente:
−2x2 + 18x = 0
Es la ecuación a resolver
Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9.
La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería −4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.
El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es
El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
Módulo Algebra Página 98
NIVEL: 1ER Semestre.
NOMBRE: Cinthya Cucás.
PROFESOR: Ing. Oscar Lomas.
FECHA: 30/07/13
Módulo Algebra Página 99
GRÁFICAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
ÁLGEBRA
Módulo Algebra Página 100
Módulo Algebra Página 101
Módulo Algebra Página 102
Módulo Algebra Página 103
Módulo Algebra Página 104
Módulo Algebra Página 105
Módulo Algebra Página 106
Módulo Algebra Página 107
Módulo Algebra Página 108
Top Related