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1. Si se observa que:
1 = 1322
2 = 2432 +
3 = 3542 4 = 4652 +
Halla: 15
A) 2 B) 3 C) 4D) 1 E) 5
Analizando las expresiones de lugar impar
1 = 1322 = 1
3 = 3542 = 1
5 = 5762 = 1
15 = 1
2. Si se observa que:
1 = 2
2 = 2
2
3
3 =
34
23
2
4 = 2
4
5
3
4
2
3
Halla: 50 + 60
A) 111 B) 112 C) 113D) 110 E) 114
Simplificando se observa
1 = 2 1 = 2
2 = 2
23 2 = 3
3 =
34
23
2 3 = 4
50 + 60 = 51 + 61 = 112
3. Si :
112 =
121112 =
321121112 =
343211211112 =
1+
1+ 1+
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En general, si se tiene (k 9)
Halla 21111111 , luego dar como respuesta lasuma de las cifras del resultado.
A) 49 B) 36 C) 81
D) 25 E) 64
Analizando las potencias, tenemos
112 = 1 = 21
121112 = 4 = 22
321121112 = 9 = 23
Para el problema
Suma de cifras = 8192 =
4. Completar el siguiente arreglo numricohasta la fila 10. Halla: A+B
B............A
...............
7778
574
32
1
10Fila
4Fila
3Fila
2Fila
1Fila
A) 529 B) 519 C) 512D) 541 E) 531
Analizando
los primeros trminos de cada fila
3
2
10
4
3
2
1
2
2
22
8
4
21
F
F
FF
Luego, para la fila 10 5122A 9 ==
los ltimos trminos de cada fila
1)4(2
1)3(2
1)2(2
1)1(2
7
5
3
1
F
F
F
F
4
3
2
1
Luego, para la fila 10 191)10(2B ==
531BA =+
5. De cuntas maneras se podr leer lapalabra DIOS?
A) 4
B) 6C) 8D) 16E) 32
Como DIOS tiene 4 letras, entonces
cifra1
cifras2
cifras3
Suma de cifras
22
cifrask
kcifrasdeSuma)111....111( =
SSSS
OOOII
D
DI I
O O OS S S S
1
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Para este tipo de distribucin triangular
N de maneras de leer DIOS = 82 14 =
6. Calcula la suma de las cifras del siguientearreglo.
2cifras20
)334....333(
A) 212 B) 122 C) 200D) 121 E) 180
Por induccin
1642 = 7 = 6(1)+1
156134 2 = 13 = 6(2)+1
5561113342 = 19 = 6(3)+1
Para el problema Suma de cifras = 6(20)+1 = 121
7. Dar como respuesta la suma de las cifras de:
cifras100cifras100
888...888999...999
A) 800 B) 900 C) 1 000D) 700 E) 1 200
Analizando por induccin
7289 = 9 = 9(1)
71288899 = 18 = 9(2)
112887888999 = 27 = 9(3)
Para el problema
Suma de cifras = 9(100) = 900
8. Sabiendo que:
501001F1 +=
49992F2 +=48983F3 +=
Calcula la suma de cifras de 20F .
A) 12 B) 13 C) 14D) 11 E) 15
Se observa 501001F1 +=49992F2 +=
48983F3 +=
Entonces 6511318120F20 =+=
Suma de cifras 131561 =+++=
cifra1
cifras2
cifras3
Suma de cifras
cifras2
cifras3
Suma de cifras
cifra1
1n2"olga"leerdemanerasdeN =
Suman 101
Suman 51
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9. Cuntas esferas habr en la figura 20?
A) 40 B) 41 C) 42D) 39 E) 43
Por induccin
1)1(23 +=
1)2(25 +=
1)3(27 +=
Luego, para laf igura 20 411)20(2esferasdeN =+=
10. Cuntos cuadrados hay en la figura 8?
A) 204B) 206
C) 208D) 202E) 210
Por induccin
6
)3)(2(11 =
6
)5)(3(25 =
6
)7)(4(314=
Luego, para lafigura 8
2046
)17)(9(8cuadradosdeN ==
11. Cuntos palitos de fsforos se necesitan
para formar la figura 20?
A) 444B) 448C) 452D) 440E) 456
Por induccin
123 2 =
138 2 =
1415 2 =
Fig. 2 Fig. 3Fig. 1
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4
N decuadrados
N depalitos
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 1
1;2
1+
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 1
N deesferas
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Luego, para laf igura 20 440121palitosdeN 2 ==
12. Cuntas esferas hay en la figura 15?
A) 133 B) 134 C) 135D) 132 E) 136
Por induccin
2
323
=
2436 =
2
5410
=
Luego, para laf igura 15
13621716esferasdeN ==
13. Cuntos tringulos hay en la siguientefigura?
A) 42
B) 24C) 34D) 21E) 43
Por induccin
2 = 21
6 = 32
12 = 43
Entonces, para 6 cuadraditos por lado
4276tringulosdeN ==
14. Si:ba
1n;
ba1
m+
=
=
Calcula el valor de A si:
+
+= 2222
22
baab
nmnmA
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4D) 2 E) 1/5
Reemplazando
+
+
++ =2222
22
ba
ab
ba1
ba1
ba 1ba 1A
+
+
++=
2222
22
ba
ab
)ba()ba(
)ba()ba(A
+
+=
22
22
ba
abab4
)ba(2A
Simplificando21
A=
Fig. 2 Fig. 3Fig. 1
N deesferas
N detringulos
1 por lado
2 por lado
1Fig
2Fig
3Fig
3 por lado
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15. Calcula el total de intersecciones entrecircunferencia y recta que presentar la figura 20.
A) 760 B) 800 C) 840D) 420 E) 400
Por induccin
=
2
2144
=
2
32412
=
243424
Luego, para laf igura 20
8402
21204cionessecerintdeN =
=
16. Al unir los centros de las circunferencias seforman sectores circulares. Cuntos de stos secontarn en total?
A) 2 500 B) 2 750 C) 6 500D) 6 600 E) 7 500
Se observa por cada tringulo hay 3 sectores
Por induccin
2133 =
22312 =
23327 =
Para el problema
5007503toressecdeN 2 ==
17. Halla el nmero total de cuadradossombreados.
A) 441 B) 440 C) 320D) 896 E) 625
Fig (2) Fig (3)Fig (1)
N desectores
1
1 2
1 2 3 4
1 2 3
N de
intersec.
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 1
49 50 511 2 3
....
Sector circular
3 41 2 78797677
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Analizando casos particulares
123 2 =
138 2 =
1415 2 =
Para el problema
440114
179 2
sombreados
scuadraditodeN=
+
+=
18. Halla la suma de cifras del resultado de A.
cifras10cifras10
9...9997...777A =
A) 18 B) 27 C) 99D) 90 E) 60
Por induccin
6397 = 9 = 9(1)
62379977 = 18 = 9(2)
223776999777 = 27 = 9(3)
Luego, para10 cifras Suma de cifras = 9(10) = 90
19. Simplifica:
9191
9999
273273
192192
919191
191919K ++=
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
Por principio de numeral por bloques
9191
9999
273273
192192
919191
191919K ++=
91
99
273
192
91
19K ++=
91
99
91
64
91
19K ++=
91
182K= 2K=
20. Halla el valor de M)20011)(20002)....(31999)(22000)(12001(M =
A) 2001 B) 2002 C) 0D) 2102 E) 22000
Se observa que M tiene un nmero impar de
factores, siendo el factor central )10011001(
cuyo resultado es cero; y el producto de unnmero por cero siempre es cero
0M=
cifra1
cifras2
cifras3
Suma de cifras
N de cuadradossombreados
1;2 +
1110954321 876
54321 76
321
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En general, si se tiene
21. Calcula la siguiente suma
++
+
2009
2008h.....
2009
2h
2009
1h2 ,
siendo Rt,2555)t(h t +=
A) 2001 B) 2007 C) 2008D) 2102 E) 22000
Por datot255
5)t(h
+= (1)
Se observa que los trminos equidistantes son
simtricos, es decir son de la forma )t1(hy)t(h
Entonces
t1255
5)t1(h
+=
25)25(5
)25(5)t1(h
t
t
+=
525
25)t1(h
t
t
+= (2)
Sumando (1) y (2)
t
t
t 255
25
255
5)t1(h)t(h
++
+=+
1)t1(h)t(h =+
Evaluando, se tiene
+
++
+
=
2009
11h
2009
21h.....
2009
2h
2009
1h2E
2008)1004(2E ==
22. Si:2
cifras30)666....666(A = ;
2
cifras20)333....333(R =
Calcula la diferencia entre la suma de cifras del
resultado de A y la suma de cifras del resultado de R.
A) 90 B) 60 C) 100D) 120 E) 140
Identificando cada expresin
2
cifras30 )666....666(A = 270)30(9cifrasdeSuma
==
2
cifras20)333....333(R = 180)20(9cifras
deSuma==
Por lo tanto, la diferencia pedida es 90.
23. Si: 25anam =++
Calcula: aaanamman ++
A) 1 475B) 1 575C) 1 357D) 1 423E) 1 565
k9cifrasdeSuma
)999....999(
)666....666(
)333....333(
2cifrask
2
cifrask
2
cifrask
=
1
11
1004 veces 1
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Elevando al cuadrado y evaluando, se tiene
25a)nam( 2 =++
Se deduce que a = 2 15nam =++
Piden aaanamman ++
5751aaa
man
nam +
24. Cuntos palitos se encuentran en total en lasiguiente figura?
A) 435
B) 1 395C) 465D) 1 365E) 1 305
Por induccin
=
22133
=
2
3239
=
2
43318
Para el problema
30512
30293palitosdeN =
=
25. Si se cumple que:f(x+1) = f(x)+2x+1 y f(1) = 1
Halla: f(50)
A) 525 B) 2 500 C) 1875D) 1 600 E) 1 500
Por definicin f(x+1) = f(x)+2x+1
Adems 211)1(f ==
1x=
1)1(2)1(f)2(f
1
++= 224)2(f ==
2x=
1)2(2)2(f)3(f
4
++= 239)3(f ==
500250)50(f 2 ==
26. Si se cumple que:M(1) = 2 + 1 1M(2) = 4 4 + 3
M(3) = 6 9 5M(4) = 8 + 16 + 7
Halla: M(19)
A) 442 B) 289 C) 526D) 362 E) 456
Se observa que )1k2(kk2)k(M 2 =
31 2 29 3028
Si k es impar ser ()
Cada 3 filas, los signos se repiten
N depalitos
1
1
15 225 ()25 625 ()
31 2 4
1 2
31 2
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En general, si se tiene
Entonces para M(19), los signos sern (+) y ()
debido a que 1319 +=
, es decir
]1)19(2[19)19(2)19(M 2 += 362)19(M =
27. Efecta:2048 1024168 1)12)....(12)(12(17532K ++++=
A) 4 B) 16 C) 1024
D) 2 E) 256
Expresando cada factor, en uno equivalente
2048 10248422 1)12)....(12)(12)(12)(12(2K +++++=
2048 1024844 1)12)....(12)(12)(12(2K ++++=
2048 102488 1)12)....(12)(12(2K +++=
As sucesivamente hasta obtener
2048 2048 1122K +=
Simplificando
)2(2K= 4K=
28. Halla el nmero total de palabrasSABIDURA.
AAAAAAAAA
IIIIIIII
RRRRRRR
UUUUUU
DDDDD
IIII
BBB
AA
S
A) 512 B) 128 C) 256D) 64 E) 258
Como SABIDURIA tiene 9 letras, entonces
N de maneras = 2562 19 =
29. La figura muestra un tringulo, formado porcircunferencias iguales, contndose 570 puntos decontacto. Halla el nmero total de filas delsiguiente arreglo.
A) 17B) 18C) 20D) 21
E) 25
)12( 4
)12( 8
)12( 16
12)12)(12( n2nn =+
....
SA A
B B BI I I I
D D D D DU U U U U U
R R R R R R RI I I I I I I I
A A A A A A A A A
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Por induccin
= 2
1233
=
2
2339
=2
34318
Luego, para n filas570
2
)1n(n3 =
380)1n(n =
)19(20)1n(n = 20n=
30. Cuntos tringulos pequeos hay en total?
A) 996B) 840C) 1905D) 3125E) 1225
Por induccin
211 =
224 =
239 =
Para el problema
225135pequeostringulosdeN 2 ==
31. Determina la suma de todos los valoresenteros n, tales que:
n4
625
2
25n
4
625
2
25 ++ sea entero.
A) 144 B) 1447 C) 1008
D) 30 E) 1232
Restringiendo valores para n
0n4
625 25,156n
Luego, efectuando la expresin
2
2 n4625
225n
4625
225E
++=
n4
625
2
252n
4
625
2
25n
4
625
2
25E
222 +
+++=
Reduciendo trminos
n250E += + Z
Suma de valores de n = 144
Hunuco de enero de 2014
2
3
35
1
N ptos decontacto
144n24
0n0
==
N de tringulospequeos
3
21
1
2
1
3 filas
4 filas
2 filas
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