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Variables aleatorias continuas y distribuciones
Análisis de datos y gestión veterinariaAnálisis de datos y gestión veterinaria
Departamento de Producción Animal – Facultad de Veterinaria
Universidad de Córdoba
Córdoba, 8 de Noviembre de 2011
Variables aleatorias continuas
¿Cuál es la probabilidad de que el beneficio de una clínica sea de 25.000 €?
Variable aleatoria continua. Entre dosvalores dados la variable puede tomar infinitosvalores.
¿Cuál es la probabilidad de que el beneficio de una clínica sea de 24.000-25.000 €?
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Variables aleatorias discretas
Función de probabilidad:Px(X) = P(X = x) = 1/6 para x =1, 2, 3, …, 6Px(X)
x0
1/6
1/12
1 2 3 4 5 6
Función de probabilidad acumulada
Función de probabilidad acumulada:Fx(X) = P(X≤x)
km0 1
La probabilidad de avería es la misma en todo elpuente (uniforme desde 0 a 1 km)
0 si x ≤0
Fx(X)= x si o < x < 1
1 si x≥ 1
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Variables aleatorias continuas
km0 1
0 si x ≤0
Fx(X)= x si o < x < 1
1 si x≥ 1
Fx(x)
1
0
¿Cuál es la probabilidad de avería en la primera mitaddel puente?
P(x≤1/2)=Fx(1/2)=1/2
1/2
0,5
Variables aleatorias continuas
km0 1
0 si x ≤0
Fx(X)= x si o < x < 1
1 si x≥ 1
Fx(x)
1
0
¿Cuál es la probabilidad de avería entre ¼ y ¾ delpuente?
P(1/4 < X < 3/4)=Fx(3/4)-Fx(1/4)=1/2
3/4
1/4
0,25 0,75
1/2
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Variables aleatorias continuas
km0 1
0 si x ≤0
Fx(X)= x si o < x < 1
1 si x≥ 1
Fx(x)
1
0
¿Cuál es la probabilidad de avería entre ¼ y ¾ delpuente?
P(1/4 < X < 3/4)=Fx(3/4)-Fx(1/4)=1/2
3/4
1/4
0,25 0,75
Sea X una variable aleatoria continua con función dedistribución acumulada Fx(x), y sean a y b dos posiblesvalores de X que verifican a<b. La probabilidad de que Xesté entre a y b es
P(a < X < b)=Fx(b)-Fx(a)
1/2
Función de densidad
km
x
fx(x)
1
¿Cuál es laprobabilidad deavería en laprimera mitad delpuente?
1/20 1
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Función de densidad
km0
fx(x)
1
¿Cuál es laprobabilidad deavería entre ¼ y¾ del puente?
x11/4 3/4
Función de densidad
km0
fx(x)
1
¿Cuál es laprobabilidad deavería entre ¼ y¾ del puente?
x11/4 3/4
Sea X una variable aleatoria continua con función dedistribución acumulada Fx(X) y función de densidad fx(X).
0
0( ) ( )x
Fx x fx x dx−∞
= ∫
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Función de densidad
Un equipo de reparaciones es responsable de un tramo deoleoducto de 2 km de longitud. Si todos los puntos del oleductotienen la misma probabilidad de sufrir una rotura, calcule lafunción de densidad, la función de distribución acumulada y laprobabilidad de que aparezca una rotura en el tramo de 0,5 a1,5 km.
Función de densidad
0,5 para 0 < x < 2fx(X)=
0 para otros valores de x
fx(X)
0 x2
0,5
Un equipo de reparaciones es responsable de un tramo deoleoducto de 2 km de longitud. Si todos los puntos del oleductotienen la misma probabilidad de sufrir una rotura, calcule lafunción de densidad, la función de distribución acumulada y laprobabilidad de que aparezca una rotura en el tramo de 0,5 a1,5 km.
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Función de densidad
Fx(Xo)= 0,5�Xo para 0 < Xo < 2Fx(X)
0 x2
1
Un equipo de reparaciones es responsable de un tramo deoleoducto de 2 km de longitud. Si todos los puntos del oleductotienen la misma probabilidad de sufrir una rotura, calcule lafunción de densidad, la función de distribución acumulada yla probabilidad de que aparezca una rotura en el tramo de 0,5 a1,5 km.
Función de densidad
Fx(X)
0 x2
1
P(0,5 < X < 1,5) = Fx(1,5) – Fx(0,5) = 0,5�1,5–0,5�0,5 = 0,5
Un equipo de reparaciones es responsable de un tramo deoleoducto de 2 km de longitud. Si todos los puntos del oleductotienen la misma probabilidad de sufrir una rotura, calcule lafunción de densidad, la función de distribución acumulada y laprobabilidad de que aparezca una rotura en el tramo de0,5 a 1,5 km.
1,50,5
0,5
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Función de densidad
fx(X)
2
0,5
P(0,5 < X < 1,5) = 0,5�(1,5-0,5) = 0,5
Un equipo de reparaciones es responsable de un tramo deoleoducto de 2 km de longitud. Si todos los puntos del oleductotienen la misma probabilidad de sufrir una rotura, calcule lafunción de densidad, la función de distribución acumulada y laprobabilidad de que aparezca una rotura en el tramo de0,5 a 1,5 km.
1,50,5
Esperanzas de variables aleatorias continuas
Media de X
Varianza de X
( )22
( ) ( )x
x x
E X xfx x dx
E X
µ
σ µ
∞
−∞= =
= −
∫
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Z = a + bXZ, X, variables aleatoriasa, b, constantes
2 2 2
z x
z x
a b
b
µ µ
σ σ
= +
=
Esperanzas de variables aleatorias continuas
La ley de los promedios
Variable aleatoria: número de caras en n lanzamientos
Número de
lanzamientos
Número de
caras
Diferencia
Número de
lanzamientos
Número de
caras
Diferencia
10 4 -1 600 312 12
20 10 0 700 368 18
30 17 2 800 413 13
40 21 1 900 458 8
50 25 0 1000 502 2
60 29 -1 2000 1013 13
70 32 -3 3000 1510 10
80 35 -5 4000 2029 29
90 40 -5 5000 2533 33
100 44 -6 6000 3009 9
200 98 -2 7000 3516 16
300 146 -4 8000 4034 34
400 199 -1 9000 4538 38
500 255 5 10000 5067 67
Número de
lanzamientos
Número de
caras
Diferencia
10 4 1
20 10 0
30 17 2
40 21 1
50 25 0
60 29 1
70 32 3
80 35 5
90 40 5
100 44 6
200 98 2
300 146 4
400 199 1
500 255 5
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La ley de los promedios
Variable aleatoria: número de caras en n lanzamientos
-20
0
20
40
60
80
0 2000 4000 6000 8000 10000
Número de lanzamientos
Diferencia (número de caras -
valor esperado)
n. de caras = ½ número de lanzamientos + error aleatorio
el error aleatorio es cadavez mayor a medida que seincrementa n
La ley de los promedios
Variable aleatoria: número de caras en n lanzamientos
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
0 2000 4000 6000 8000 10000
Número de lanzamientos
Diferencia (% respecto v.
esperado)
el error aleatorio es cadavez más pequeño en relaciónal número de lanzamientos, amedida que aumenta n
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La distribución normal
Probabilidad del número de caras en 100 lanzamientos
Número de caras
Porcentaje
35 40 45 50 55 60 65
0
0,02
0,04
0,06
0,08
La distribución normal
Probabilidad del número de caras en 400 lanzamientos
Número de caras
Porcentaje
170 180 190 200 210 220 230
0
0,01
0,02
0,03
0,04
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La distribución normal
Probabilidad del número de caras en 900 lanzamientos
Número de caras
Porcentaje
405 420 435 450 465 480 495
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
Número de caras
Frecuencia
32 42 52 62 72
0
4
8
12
16
La distribución normal
Variable aleatoria: número de caras en 100 lanzamientosn = 100 (lo repetimos 100 veces)
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Número de caras
Frecuencia
32 42 52 62 72
0
4
8
12
16
La distribución normal
Variable aleatoria: número de caras en 100 lanzamientosn = 100 (lo repetimos 400 veces)
Número de caras
Frecuencia
35 40 45 50 55 60 65
0
10
20
30
40
Número de caras
Frecuencia
35 40 45 50 55 60 65
0
10
20
30
40
La distribución normal
Variable aleatoria: número de caras en 100 lanzamientosn = 100 (lo repetimos 900 veces)
Número de caras
Frecuencia
35 40 45 50 55 60 65
0
20
40
60
80
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Número de caras
Frecuencia
32 42 52 62 72
0
4
8
12
16
La distribución normal
Variable aleatoria: número de caras en 100 lanzamientosn = 100 (lo repetimos 900 veces)
Número de caras
Frecuencia
35 40 45 50 55 60 65
0
20
40
60
80
Número de caras
Porcentaje
35 40 45 50 55 60 65
0
0,02
0,04
0,06
0,08
La distribución normal
x
f(x)
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
2 2( ) /2
2
1( )
2
xfx x e µ σ
πσ− −=
( )2,X N µ σ�
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La distribución normal
x
Fx(X)
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Fx(Xo) = P(X ≤ Xo)
P(a<X<b) = Fx(b) – Fx(a)
La distribución normal estándar
X = 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10
Media = 6D. T. = 2,98
Z = (2–6)/2,98, (2-6)/2,98, (4-6)/2,98, (4-6)/2,98, (6-6)/2,98, (6-6)/2,98, (8-6)/2,98, (8-6)/2,98, (10-6)/2,98, (10-6)/2,98
Media = 0D. T. = 1
xZ
µσ−
=
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La distribución normal estándar
z
fz(Z)
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
xZ
µσ−
=(0,1)Z N�
La distribución normal estándar
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal estándar es conocida (tabulada en tablas).
En sus tablas aparecen los valores de Fz(Z)=P(Z≤z)
Por ejemplo: Fz(1,25)=
z
fz(Z)
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Nos vamos a la tabla, buscamos
z=1,25 y a su lado aparece
Fz(1,25)=0,8944
0,8944
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La distribución normal estándar
¿Y para valores negativos de z?
La función de densidad es simétrica, luego el área por la izquierda de –Zo es la misma que el área por la derecha de Zo
z
fz(Z)
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Zo-Zo
Fz(-Zo)=1-Fz(Zo)
La distribución normal estándar
z
fz(Z)
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Zo-Zo
Por ejemplo: Fz(-1,25)=
Fz(-1,25)=1-Fz(1,25)=1-0,8944
0,1056
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La distribución normal estándar
z
fz(Z)
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Por ejemplo: P(-0,5<Z<0,75)
Busco en la
tabla z=0,75 y
z=0,5
= Fz(0,75) – Fz(-0,5) =
= Fz(0,75) – [1 – Fz(0,5)] =
= 0,7734 – [1 – 0,6915] = 0,4649
La distribución normal estándar
Como cualquier variable normal puede transformase endistribución normal estándar…
Si , entonces
y
( )2,X N µ σ� ( ) /Z X µ σ= −
(0,1)Z N�
Si a<b, entonces:
Donde Z es la variable aleatoria estándar y Fz(z) es su funciónde distribución acumulada
( ) z z
a b b aP a X b P Z F F
µ µ µ µσ σ σ σ− − − − < < = < < = −
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La distribución normal estándar
Sea X la v. aleatoria “nota del examen”
Las notas obtenidas en un examen de un grupo numeroso deestudiantes se distribuyen según una normal de media 6,0 ydesviación típica 1,5. ¿Qué proporción de estudiantes obtuvieronuna nota entre 8,5 y 9,5?
P(8,5<X<9,5) =
P(1,67<Z<2,33) = Fz(2,33)–Fz(1,67) = 0,9901–0,9525 = 0,0376
El 3,76% de los estudiantes obtuvieron notas entre 8,5 y 9,5
8,5 9,5 8,5 6,0 9,5 6,0
1,5 1,5P Z P Z
µ µσ σ− − − − < < = < <
La distribución normal estándar
Sea X la v. aleatoria “nota del examen”
Las notas obtenidas en un examen de un grupo numeroso deestudiantes se distribuyen según una normal de media 6,0 ydesviación típica 1,5. ¿Qué nota fue superada por el 10%de los estudiantes?
0,1 = P(X>b) =
0,9 =
6,0
1,5
b bP Z P Z
µσ− − > = >
6,0 6,0
1,5 1,5z
b bP Z F
− − < =
Busco en la tabla Fz(z)=0,9,
que corresponde a z=1,28
1,28 = (b-6,0)/1,5b = 7,92
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El teorema central del límite
En la práctica, muchas de las variables aleatorias deinterés van a ser sumas o promedios de un númerogrande de variables aleatorias independientes.
Sean X1, X2, …, Xn, n variables aletorias independientes, con idéntica distribución de media µ y varianza σ2
X = X1 + X2 + … + Xn
La media de una suma es la suma de las medias
La varianza de una suma es la suma de las varianzas
E(X) = nµ Var(X) = nσ2
El teorema central del límite
X = X1 + X2 + … + Xn
E(X) = nµ Var(X) = nσ2
Para cualquier variable aleatoria, si restamos la media y
dividimos por la desviación típica, se obtiene una variable de
media 0 y varianza 1.
2
( )
( )
E X n
Var X n
X XZ
µ
σ
− −= =
Si dividimos numerador y
denominador por n
/
XZ
n
µσ−
=
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El teorema central del límite
Sean X1, X2, … Xn, n variables aleatorias independientes ycon idéntica distribución de media µ y varianza σ2
(suponiendo que sea finita).
/
XZ
n
µσ−
=
Sean X y la suma y el promedio de estas variablesaleatorias.
X
Cuando n se hace grande, la distribución de
tiende a la normal estándar
El teorema central del límite
Importante cuando se resuelven de modo prácticoproblemas que implican sumas o promedios de variablesaleatorias (discretas o continuas).
Importante para hacer inferencia sobre una poblaciónbasando los resultados en una muestra.
Proporciona validez a estas técnicas
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