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PROBABILIDAD

1.- Experimentos aleatorios. Sucesos.

Experimento determinista: experiencia u observacin cuyo resultado es conocido antes de su rea-

lizacin.

Experimento aleatorio: experiencia u observacin que puede dar lugar a varios resultados sin que

sea posible asegurar con certeza cul de ellos va a ocurrir.

Espacio muestral (E): conjunto de los posibles resultados (casos) de un experimento aleatorio.

Puede ser finito o infinito. Si E tiene n elementos (card E=n), habr 2n sucesos.

Suceso (A): subconjunto de E.

Suceso elemental: formado por un solo elemento (caso).

Suceso imposible: . Suceso seguro: E.

Un suceso se verifica u ocurre cuando el resultado del experimento aleatorio es uno de sus ele-

mentos.

A incluido o contenido en B (AB): si cada vez que ocurra A tambin ocurre B. A condicionado a B (A/B): suceso que consiste en que ocurre A, sabiendo que B ha ocurrido.

Operaciones con sucesos:

Unin (AB): se verifica si ocurre alguno, esto es, si al menos uno de los dos ocurre, es decir, si ocurre A, ocurre B o ambos a la vez.

Interseccin (AB): se verifica si ocurren A y B a la vez. Suceso contrario o complementario de A (A

c): A

c se verifica si no ocurre A.

Diferencia (AB): se verifica si ocurre A y no ocurre B; AB=ABc.

Propiedades de las operaciones:

Conmutativas: AB=BA; AB=BA. Asociativas: (AB)C=A (BC); (AB)C=A (BC).

Elementos neutros: A =A; AE=A.

Complementos: AAc=E; AAc= . Distributivas: A (BC)=(AB) (AC); A (BC)=(AB) (AC). Idempotencia: AA=A; AA=A. Elementos absorbentes: AE=E; AE=A. Simplficativas: A (AB)=A; A (AB)=A. Involutiva: (A

c)c=A.

Leyes de Morgan: (AB)c=AcBc; (AB)c=AcBc.

Adems: c=E; Ec= .

Sucesos incompatibles:

A y B son incompatibles o mutuamente excluyentesAB= .

Sistema completo de sucesos:

A 1 , A 2 ,..., A n forman un sistema completo de sucesos, si son no vacos, incompatibles dos a

dos y A 1 A 2 ...A n =E.

2.- La probabilidad y sus enfoques.

La probabilidad de un suceso nos mide la certeza o incertidumbre de su ocurrencia. Fundamen-

talmente hay dos criterios de asignacin de probabilidades:

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Objetivo, clsico o Regla de Laplace: P(A)= CP

CF=

Ecard

Acard si los sucesos elementales son equi-

probables, siendo CF: casos favorables del suceso A y CP: casos posibles. Es una probabilidad a

priori.

Frecuentalista: P(A)=n

lim fA, basado en la ley de los grandes nmeros o ley emprica del azar: la

frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse cuando repetimos el experimento aleatorio un

elevado nmero de veces. Es una probabilidad a posteriori.

Las frecuencias relativas tienen las siguientes propiedades: fA 0; AB= fA B=fA+fB; fE=1.

3.- Definicin axiomtica de probabilidad (Kolmogoroff).

La probabilidad de un suceso es un nmero, cumplindose los siguientes axiomas:

1) P(A) 0. 2) AB=P(AB)=P(A)+P(B). 3) P(E)=1.

Consecuencias de los axiomas:

A 1 , A 2 ,..., A n incompatibles dos a dosP(A 1 A 2 ...A n )=P(A 1 )+P(A 2 )+...+P(A n ).

P(Ac)=1P(A).

P( )=0.

P(AB)=P(A)P(AB).

BA P(AB)=P(A)P(B).

BA P(B)P(A). P(A)1.

P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC).

Equivalencia entre la definicin axiomtica y la regla de Laplace:

Definicin equivalente de probabilidad para E= nxxx ,...,, 21 : 1) pi=P( ix ) 0, con i=1,2,...,n; y,

2)

n

i

ip1

=1, siendo: P(A)= Ax

i

ii

p . Si p npp ...21 , obtenemos la regla de Laplace.

4.- Probabilidad condicionada. La obtencin de informacin adicional con respecto a una determinada experiencia puede hacer

variar la probabilidad asignada a algunos de los sucesos ligados a ella.

Probabilidad de A condicionada a B, con P(B)>0: P(A/B)=)(

)(

BP

BAP . Cumple los axiomas de

Kolmogoroff.

Teorema de la probabilidad compuesta:

P(AB)=

0)(0)()/()()/()(

0)(0)(0

BPyAPsiBAPBPABPAP

BPAPsi

P(AB C )=

0)()/()/()(

0)(0

BAPsiBACPABPAP

BAPsi

Independencia de sucesos:

A independiente de B, con P(B)>0 P(A/B)=P(A) B independiente de A, con P(A)>0 P(B/A)=P(B)

A y B independientes P(AB)=P(A) )(BP

A y B independientesA y Bc independientes.

3

A, B y C independientes Son independientes dos a dos y P(ABC)=P(A) )(BP ).(CP

Teorema de la probabilidad total: A 1 , A 2 ,..., A n sistema completo de sucesos, con P(A i )>0,

para i=1,2,...,nP(B)= .)/()(1

n

i

ii ABPAP

Teorema de Bayes: A 1 , A 2 ,..., A n sistema completo de sucesos, con P(A i )>0, para i=1,2,...,n y

P(B)>0P(A i /B)=

n

i

ii

ii

ABPAP

ABPAP

1

)/()(

)/()(, para i=1,2,...,n.

Los sucesos A i de un sistema completo de sucesos pueden interpretarse como causas que influ-

yen en un suceso cualquiera B, siendo P(A i ), las probabilidades a priori, que pueden ser modifica-

das por la ocurrencia de B, siendo P(A i /B), las probabilidades a posteriori.

P(B/A i ): verosimilitudes, es decir, probabilidades de que habindose producido las causas se

produzca el efecto.

5.- Experimentos compuestos.

Formados por dos o ms experimentos sucesivos.

Experimentos independientes: los resultados obtenidos en cada uno de ellos no influyen en las

probabilidades de los siguientes: P(AB)=P(A) )(BP A y B son independientes.

Experimentos dependientes: P(AB)=P(A) )./( ABP

La frmula de la probabilidad total nos permite hallar las probabilidades de los sucesos del se-

gundo experimento y la de Bayes, las probabilidades de los sucesos del primer experimento, condi-

cionados a los del segundo.

ACTIVIDADES

1.- Numeramos con 1, 2, 3, y 4 las cuatro caras alargadas de una regleta. Dejamos caer la regleta y

anotamos el nmero de la cara superior.

a) Cul es el espacio muestral?

b) Escribe un suceso elemental y tres no elementales.

c) Cuntos sucesos tiene esta experiencia?

SOL: a) E=1, 2, 3, 4; b) 1; , E, 1, 2; c) 16.

2.- Justifica grficamente las siguientes igualdades:

a) A (BC)=(AB) (AC).

b) AB=ABc.

3.- Dados los sucesos: A=1, 2, 3, 4; B=1, 3, 5 y C=2, 4 al lanzar un dado. Obtener:

a) AB, AB, AB y BA. b) (AB)c, (AB)c, AcBc y AcBc, y comprueba las leyes de Morgan. c) AC, AC, BC y BC, y razona los resultados.

SOL: a) AB=1, 2, 3, 4, 5, AB=1, 3, AB=2, 4, BA=5; b) (AB)c=AcBc=6,

(AB)c=AcBc=2, 4, 5, 6; c) Como CA: AC=A y AC=C; BC=1, 2, 3, 4, 5, BC= (B y C son incompatibles).

4.- En una baraja de 40 cartas, hallar: a) Pas; b) Poros. SOL: a) 0,1; b) 0,25.

4

5.- Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la mayor de las puntuaciones sea un 1, un 2,

un 3, un 4, un 5, un 6.

SOL: 1/36, 1/12, 5/36, 7/36, 1/4, 11/36.

6.- Cul es la probabilidad de que al lanzar dos dados correctos:

a) El producto de sus puntuaciones sea 12?

b) La diferencia de sus puntuaciones sea 3?

SOL: a) 1/9; b) 1/6.

7.- Lanzamos un dado chapucero mil veces. Obtenemos n(1)=117, n(2)=302, n(3)=38, n(4)=234, n(5)=196, n(6)=113. Estima las probabilidades de las distintas caras. Cules son las probabilidades

de los sucesos par, menor que 6, 1, 2?

SOL: P(1)=0,117, P(2)=0,302, P(3)=0,038, P(4)=0,234, P(5)=0,196, P(6)=0,113;

Ppar=0,649, Pmenor que 6=0,887, P(1, 2)=0,419.

8.- Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B, sabiendo que: P(A)=1/4,

P(B)=1/2 y P(AUB)=2/3.

SOL: Compatibles.

9.- Dados el espacio muestral E=a, b, c, d, e y las siguientes probabilidades:

P(a, b, c)=0,7; P(b, c, d)=0,8 y P(b, c)=0,5.

Calcular: P(a, b, c, d); P(e); P(a) y P(d). SOL: 1; 0; 0,2 y 0,3.

10.- Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es p, cul es la probabilidad de que al

menos uno de los dos no ocurra? Raznalo.

SOL: .1 p

11.- En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las que quedan se dan las siguientes proba-

bilidades de ser extradas: Prey=0,15; b) Pbastos=0,3; Pni rey ni bastos=0,6. a) Est entre ellas el rey de bastos? En caso afirmativo, da su probabilidad.

b) Cuntas cartas hay?

SOL: a) Si, 0,05; b) 20.

12.- Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad, de manera que: P(A)=0,4, P(B)=0,3 y

P(AB)=0,1.Calcula razonadamente: a) P(AB); b) P(AcBc); c) P(A/B); d) P(AcBc). SOL: a) 0,6; b) 0,9; c) 1/3; d) 0,4.

13.- De los sucesos A y B se sabe que: P(A)=5

2, P(B)=

3

1y P(A

cBc)= .3

1 Hallar P(AUB) y

P(A B). SOL: a) 2/3; b) 1/15.

14.- Sean A y B dos sucesos tales que: P(A B)=P(Ac Bc)=3/4 y P(Bc)=2/3. Calcular P( AB ) y P(B/A).

SOL: a) 1/12; b) 3/8.

15.- En una clase de 2 de Bachillerato, el 65% de los alumnos aprueban Economa y el 50% Ma-

temticas. Se sabe, adems, que la probabilidad de aprobar Economa habiendo aprobado Matem-

ticas es de 0,8. Calcular el porcentaje de alumnos que:

a) Aprueba alguna materia.

5

b) Suspende Matemticas y aprueba Economa.

SOL: a) 75%; b) 25%.

16.- Un estudiante hace dos pruebas en un mismo da. La probabilidad de que pase la primera prue-

ba es 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5. Se pide:

a) Probabilidad de que pase al menos una prueba.

b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba.

c) Son las pruebas sucesos independientes?

d) Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la primera.

SOL: a) 0,9; b) 0,1; c) No; d) 0,75.

17.- En una cierta ciudad, el 40% de la poblacin tiene cabellos castaos, el 25% tiene los ojos cas-

taos y el 15% tiene cabellos y ojos castaos. Se escoge una persona al azar:

a) Si tiene cabellos castaos, cul es la probabilidad de que tambin tenga ojos castaos?

b) Si tiene ojos castaos, cul es la probabilidad de que tenga cabellos castaos?

c) Cul es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaos?

Haz una tabla de contingencia.

SOL: a) 3/8; b) 3/5; c) 1/2.

18.- Una clase se compone de veinte alumnos y diez alumnas. La mitad de las alumnas y la mitad

de los alumnos aprueban las matemticas. Calcula la probabilidad de que, al elegir una persona al

azar, resulte ser:

a) Alumna o que aprueba las matemticas.

b) Alumno que suspenda las matemticas.

c) Sabiendo que es alumno, cul es la probabilidad de que apruebe las matemticas?

d) Son independientes los sucesos alumno y aprueba matemticas?

Haz una tabla de contingencia.

SOL: a) 2/3; b) 1/3; c) 0,5; d) Si.

19.- Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras

sin marcar y 175 bolas negras marcadas.

a) Se extrae una bola. Calcula la probabilidad de que sea blanca.

b) Se extrae una bola y est marcada. Cul es la probabilidad de que sea blanca?

c) Se extrae una bola. Cul es la probabilidad de que sea negra y est marcada?

d) Son independientes los sucesos sacar bola marcada y sacar bola blanca? SOL: a) 1/4; b) 3/10; c) 7/16; d) No.

20.- Calcular la probabilidad de obtener:

a) Tres cuatros al lanzar tres dados. b) Ningn seis al lanzar cuatro dados (cuatro veces no seis).

c) Algn seis al lanzar cuatro dados (algn seis es el suceso contrario de ningn seis).

d) Algn seis al lanzar seis dados.

SOL: a) 1/216; b) 625/1296; c) 671/1296; d) 31031/46656.

21.- Tenemos dos urnas con estas composiciones: Urna I: 2 azules, 4 rojas y 6 verdes; Urna II: 7

azules, 6 rojas y 5 verdes. Extraemos una bola de cada urna. Cul es la probabilidad de que sean

del mismo color? Y la probabilidad de que sean de distinto color?

SOL: 17/54; 37/54.

22.- Una urna contiene 10 bolas blancas, 6 negras y 4 rojas. Si se extraen tres bolas con reemplaza-

miento, cul es la probabilidad de obtener 2 blancas y una roja?

SOL: 0,15.

6

23.- En una baraja de 40 cartas, se toman tres cartas distintas. Calcula la probabilidad de que las tres

sean nmeros distintos.

SOL: 192/247.

24.- Un examen consiste en elegir al azar dos temas de entre los diez del programa y desarrollar uno

de ellos.

a) Un alumno sabe 6 temas. Qu probabilidad tiene de aprobar el examen?

b) Qu probabilidad tiene el mismo alumno de saberse uno de los temas elegidos y el otro no?

SOL: a) 13/15; b) 8/15.

25.- Una urna A tiene 3 bolas blancas y 7 negras. Otra urna B tiene 9 bolas blancas y 1 negra. Esco-

gemos una de las urnas al azar y de ella extraemos una bola. Calcular:

a) P[Blanca/A]; P[Blanca/B]; P[A y Blanca]; P[B y Blanca]; P[Blanca]; P[Negra].

b) Sabiendo que la bola obtenida ha sido blanca, cul es la probabilidad de haber escogido la

urna B?

SOL: a) 0,3; 0,9; 0,15; 0,45; 0,6; 0,4; b) 0,75.

26.- Se dispone de tres urnas: la A que contiene dos bolas blancas y cuatro rojas, la B con tres blan-

cas y tres rojas; y la C con una blanca y cinco rojas.

a) Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella. Cul es la probabilidad de que esta bola

sea blanca?

b) Si la bola extrada resulta ser blanca, cul es la probabilidad de que proceda de la urna B?

SOL: a) 1/3; b) 0,5.

27.- Lanzamos un dado. Si sale 1, 2, 3 4 extraemos una bola de la urna A que contiene 5 bolas

negras, 2 rojas y 3 verdes. Si sale 5 6 extraemos una bola de la urna B que contiene 3 negras, 3

rojas y 4 verdes.

a) Hallar la probabilidad de que la bola sea verde.

b) Sabemos que finalmente, se ha obtenido una bola verde, cul es la probabilidad de que se

haya extrado de la urna A?

SOL: a) 1/3; b) 0,6.

28.- Una urna A contiene 2 bolas negras y 3 rojas, otra urna B tiene 3 negras y 5 rojas. Se saca una

bola de la urna A y se introduce en la B, extrayendo a continuacin, una bola de la urna B. Calcular

la probabilidad de que:

a) La segunda bola extrada sea negra.

b) Haya sido negra la bola trasvasada de urna, si la segunda sacada es negra.

SOL: a) 17/45; b) 8/17.

29.- En cierto pas donde la enfermedad X es endmica, se sabe que un 12% de la poblacin padece

dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para detectar la enfermedad, pero no es totalmente

fiable, ya que da positiva en el 90% de los casos de personas realmente enfermas y tambin da posi-

tiva en el 5% de personas sanas.

Cul es la probabilidad de que est sana una persona a la que la prueba le ha dado positiva?

SOL: 11/38.

30.- En una competicin de tiro con arco, cada tirador dispone, como mximo, de tres intentos para

hacer diana. En el momento en que lo consigue, deja de tirar y supera la prueba y, si no lo consigue

en ninguno de los tres intentos, queda eliminado. Si la probabilidad de hacer blanco con cada fle-

cha, para un determinado tirador, es 0,8:

a) Calcula la probabilidad de no quedar eliminado.

7

b) Si sabemos que super la prueba, cul es la probabilidad de que lo haya conseguido en el

segundo intento?

SOL: a) 0,992; b) 5/31.