ACADEMIA: GEOFISICA, FORMACION BASICA DISCIPLINARIA
Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
PROBLEMARIO DE: ECUACIONES DIFERENCIALES AREA: CLIMATOLOGIA, DINAMICA E INESTABILIDAD DE LA ATMOSFERA En los siguientes problemas determine el orden, grado y tipo de la ecuación diferencial:
txdtdx
dtxd 3cos2943.1 2
2
=++− (Vibraciones mecánicas, circuitos eléctricos, sismología)
022.2 2
2
=+−− ydxdyx
dxyd (Ecuación de Hermite, mecánica cuántica, oscilador armónico)
)31()32(.3yxxx
dxdy
−−
=− (Competencia entre dos especies, ecología)
0.4 2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
−yu
xu (Ecuación de Laplace, teoría de potencial, electricidad, calor, aerodinámica)
ctespkpPkpdtdP y ),(.5 −=− (Curva logística, epidemiología, economía)
)1)(4(.6 xxdtdx
−−=− (Velocidad de reacción química)
cteccdxdyy , ,1.7
2
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+− (Problema de la braquistocrona, calculo de variaciones)
021.8 2
2
=+−−dxdyx
dxydy (Ecuación de Kiddler, flujo de un gas a través de un medio poroso)
0.9 2
2
=++− xydxdy
dxydx (Aerodinámica, análisis de tensión mecánica)
)1(8.10 4
4
xxdxyd
−=− (Deflexión de vigas)
ctekkNrN
rrN
tN ,1.11 2
2
+∂∂
+∂∂
=∂∂
− (Fisión nuclear)
09)1(1.0.12 22
2
=+−−− ydxdyy
dxyd (Ecuación de Van der Pool, válvula triodo)
Averiguar si las siguientes funciones son solución de la ecuación diferencial correspondiente:
1).- xcey = de 0´ =−yy
2).- xxx eyyeey =++= − 2´ de 312 2
3).- 3
64´ de ln8xxycxy =+=
4.- 02''' de e2x21 =−−+= − yyycecy x
5).- 0'2'' de e8 x =+−+= yyyxey x
6).- xyysenxy cos' xde 3x
=+=
7).- 0tan' de 0cosx
1=−=− xyyy
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8).- 23' de 23x
3 yyy =+
−=
9).- xxyyxcy =+−+= ')x-(1 de 11 22
10).- 32 84'y de 12 xxyxxy −=−= 11).- 05'8''4 de
21cos =++= − yyyxey x
12).- xeyyxey xx
21cos''' de
21cos
2 −− =+=
13).- tey
xyytx
=
=−
+= 01
' de cos3
14).- xxxyyxxy sectan' xde
cos2=−=
15).- senty
xytx2
04'y de cos=
=+=
16).- 0lntan' xde 21
=−=−
yyyey xsen
at
at
ebceacPsibPaP
dtdP
1
1
1 ),(.17
+=−=−
xBxAyyyxxyxxyyxyyx
xxy
xyyxyyx
xx
yxxyxyxyyx
xyxyy
xxyxxyxyyxeyxeyyyy
xeyeyyyyeeyeyyeyeyyy
xyxyyyeyyy
xyxy
xx
xx
xxx
xx
x
3sin3cos ;09'' .30)sin(ln),cos(ln ;02''' .29
ln,1 ;04'5'' .28
ln1,ln ;ln''' .27
11 ;02' .26
2cossin,2coscos ;2cos3'' .25sin,cos ;02'2'' .24
, ;04'4'' .23 ,2' .22
, ;9'' .21
2sin ,2cos ;04'' .203 ;02' .19
7 ;3' .18
212
22212
212
22
21
21
22
21
32
31
21
2
32
+==+−
===+−−
===++−
−=−==−+−
+==+−
−=−==+−
===+−−
===++−
−=+=−
===−
===+−
==+−
+==−
−−
−−
−
−
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Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
En cada uno de los problemas del 1: a) resolver la ecuación diferencial respectiva, b) determinar la solución del problema con valor inicial indicado en forma explicita, c) graficar la solución y d) determinar (al menos aproximadamente) el intervalo en el que esta definida la solución.
1)0( ,arcsin)1(.20 3/)2/( ,03cos2sin.191)0( ),43/()('.18 1)0( ),52/()3('.172/1)0( ,4/)1('.16 0)2( ),21/(2'.15
1)0( ,)1('.14 2)0( ),/(2'.132)1( ,//.12 1)0( ,0.11
2)1( ,)21('.10 6/1)0( ,)21('.9
3/1)3( ,1
.8 5)2( ,'.7
2/5)0( ,)1('.6 2)0( ),2)(cos(cos'.50)1( ),23/()13('.4 3)2( ,0sin'.3
1)2( ),1(/'.2 3)0( ,/'.1
2/122
2
32
2/1232
2
2
2
2
2/1222
22
222
==−−==+−
=+−=−=−−=−
−=+=−=+=−
=+=−−=+=−
==−==+−
−=−=−−=−=−
−=+
=−−=+−
=−
=−=−==−
=+−=−==+−
=+=−==−
−
−
−
−
yxdxdyxyyydyxdxyyeeyyyexy
yyxxyyyxy
yxxyyyyxyxyrrddrydyyexdx
yyxyyyxy
yyx
dxdyy
eyexy
yyxyyyxyyyxyyxyy
yxyxyyyxy
xxx
x
y
x
ππ
θθ
2)5( ,16
'2.40 2/)2/( ,tan.39
4/)4( ,cos'2.38 0)0( ,3'.37
1)2( ,32sin'.36 1)0( ,0ln.35
)( ,0'.34 5)2( ,3322'.33
3/2)1( ,5432'.32 0)2( ,'.31
1)2( ,'.30 1)0( ,)1(4.290)0( ,)cos1(sin)1(.28 2/)( ),cos2(cossin'.27
3)0( ,842
33'.26 2/1)0( ,)1()(.25
3/2)1( ,0)(cos2sin.24 5)0( ,0)1()1(.23
4)0( ,1ln.22 1)2( ,1
'.21
2
23/12
2
22
22/12
2
22
232
222
=−
=−==−
==−==−
−=−=−==−−
===−=−+−−−+
=−
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
=−=+=−
−=−=−=+=−
=+=+−=−=−
=−+−−−+
=−=+=−−
==−+−==+++−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=−=
+=−
−
−
−−−
−
−−
yxxyyyye
dxdyx
yyyxyxyex
yxyyyxdyydxy
yytgxyyxyxyxyxyy
yxyyyeeye
yxyyyxydxyxydyydyxxdxeyyyxy
yyxxyyxxyyyy
dxdyyxy
ydyyexxdxeydyeedxee
yxy
dxdyxyy
xyxy
y
y
yxyx
y
yyxxyy
ππ
π
ππ
ππ
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Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
En los problemas 1:30 use el método que se analizó en la solución de ecuaciones homogéneas y reducibles a la forma homogénea para solucionar cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 0)1(4132.30 24
1.29
0122.28 64.27
32412.26
112.25
64.24
32512.23
42.22
72.21
18'.20
86'.19
4723'.18 1'.17
042.16 0132.150241.14 01221.13
sin'.12 5.11
2.10 1'.9
1lnln'.8 3
.7
/sec.6 .5
02.4 0.30.2 03.1
3
2
22
222
2222
221322
=+−−+−++−+
=−
=−+−−−+++
=−
+−+−
=−+−+
=−
−−++
=−+−+−
=−
−+++
=−+−−−
=−
−−+−
=−+++−
=−
++−+
=−−++
=−
=+−+−+−=−+++−−
=+−+−−−=−++−+−
−=−+−=−
++=−−+=−
+−=−
−=−
+=−
++=−
=++−=+−−
=−+−=−+−− −
dyxdxyxyxyx
dxdy
dyydxyxyxyx
dxdy
xyyx
dxdy
yyx
dxdy
yxyx
dxdy
xyyx
dxdy
yxyx
dxdy
xyxy
dxdy
xyxyy
yxyxy
yxyxy
yxyxy
dyyxdxyxdyyxdxyxdyyxdxyxdyyxdxyx
yxyyxdxdy
yxdxdyyxy
xxyyy
xyyx
dxdy
yyddy
txxttx
dtdx
xydydxyxdyxdxxyydyxdxyxydyyxxydxyx
θθθ
θ
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En cada uno de los siguientes ejercicios 1:30 a) Determinar si las ecuaciones diferenciales son exactas, si lo son, entonces: b) Resolver la ecuación, c) con una computadora represente cada una de las soluciones.
[ ]
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ππ
π
ππ
ππ
π
π
π
π
ππ
==−−+−
=−=++−−
=−−
−=−
−==−++−
−==++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
==++−
−==+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−−
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−
==+++−
==+++−
=−=++−
==++−+−
==−−
==−++−
==−++−
=+−=+−
=++
−=−
−==+++−
==++−−
==++−−
==+++−
−==++−−
==−+−+−−
==−−++−−
)4/(,0sin33sin.280)(,0cos2cossin2sin.27
1)0(,3224'.26
2)1(,0')2()32(.25
4)2(,0121
.24
0)2(,0cos12cos2.23
2)0(,011.22
0)0(,0)sincos()cos(.21
3)3(,0211.20
0)0(,021
21.19
5)2(,0)(
1)(
1.18
0)1(,012
1.17
3/)(,0)cos()sin2(.160)0(,0)cos()sin2(.15
)4/(,0)cos()sin(.140)(,0))(cos(1)cos(.13
0)0(,0)sin()cos(.12)0(,0)2cosh()2cosh(.11
0)3/(,0)sin1cos()sin(sin.10
1)0(,)cos3()cos3(.9
0)2/(,)sin9()sin6('.8
2/)(,0)cos1()cos1(.7
4)1(,0)11()1(.6
0)2(,0)1()(.5
1)0(,0)()(.41)2(,0)28()316(.3
3)1(,0)43()3442(.21)0(,0)561()252(.1
22
2
2
2
2/3
2/3222/322
2
2
22
22
3
//2
//
22
223
ydyyexdxyyeydyxyedxxyye
yyxyxy
yyyyx
ydyxdxxx
xy
ydyxy
xydx
xy
xyx
ydyxey
dxyex
ydyyxyxdxxyy
ydyxydx
xy
ydyy
xdxyx
ydyyxydx
yxx
ydyyxdxy
ydyxeyxdxyeyxydyeyxdxyeyx
ydyeyedxyeydyyxdxyx
ydyyedxyeydyyxyxdxxxyy
ydyxy
xyxdx
xy
xyy
ydxxyyxdyxyxy
yxyxyxxyyxyy
ydyxyxdxxyy
ydyex
dxexy
ydyex
xdxexyy
ydyxedxyeydyyxdxxxy
ydyxyxdxxyxyydyxydxyx
xx
xx
xyxy
xyxy
xyxy
yxx
xx
xyxy
xyxy
yx
( ) ( )
4)3(,0)()(
.30
0)0(,032cos22sin22cos.29
2/3222/322 −==+
++
−
==−++−−
yyxydy
yxxdx
ydyxxedxxxexye xyxyxy
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Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1:20 usando un factor de integración (determinar) apropiado:
( )
( )
( ) ( )
( ) ππ ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−−
==−+++−
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++−
==++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
==−+−−
==+++−
−==++++−
==−−++−
==+++−
==+−
)(,02cossin.10
0)3/2(,022ln1.9
3)2/3(,03ln11.8
5/4)3(,0ln112.7
1)2(,0)42()46(.63)2(,0)63()2(.51)2(,0)2()(.4
0)0(,0)2()(.3
4)2(,0)2(.22)0(,0)()sin(.1
2
32
2
33422
324
2
22
2
ydyxyxdxyx
ydyyxdxxxyy
ydyyxdxxy
y
ydyxyx
dxxy
ydyxyyxdxyyxydyxyxdxyxyydyyxdxyyxy
ydyyyexydxye
ydydxxyydyxydxxx
yx
( )
1)2(,4'.205/4)2(,sec5'.19
2)4(,sin3'.186)0(,53'.171)3(,232'.162/)(,coscos'.15
3)2/1(,3'.142/3)1(,'.13
2)2(,0.12
0)0(,0383.11
3
26
4
25
2
22
2
−=−=+−
==−−
=−=−−
=+=−−
=−+=−−
==+−
==+−
−==−−
−==−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
==+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
− yexyxyyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxyxy
yxyxyyeyy
ydydxxyx
ydydxxy
x
x
ππ
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Determine las soluciones de las ecuaciones diferenciales en los problemas 1:30, si se da una condición inicial, determine la correspondiente solución particular, en todos los problemas mencionados las primas significan derivadas.
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) 2)0(,0tansin2cos1.302/)(,01cos)sin(cos.29
0)0(,2sin1'.28
3)0(,121.27
22'1.26)2('.25
1)0(,cos)(tan'.242)0(,2'.23
13'.221)0(,63'1.21
1)0(,3'4.20432'.19
5)0(,32'.18
0)2(,cos3'.170)0(,1'.16
coscos'.15cos2'.14
1)0(,cos'1.132)(,cos1'.12
0)1(,3'.1193'2.10
7)1(,'.93'3.84'.7
5)2(,25'.63)1(,32'.5
2'.4
23'.35)0(,32'.2
0)0(,2'.1
32
22
2
2
23
3
23
32
2
4
2
4
3
2/3
2
3
32
3
2
2
2
2
==−+−−
==−+−
==++−
−=+=+−−
=+++−
=++−
−==+−
=−+=−
=++−
==++−
==++−
=−+−
=+=−
=+=−
=+++=−
=+−
+=−
==++−
=−=−
==+−
=−−
==−−
=+−
=+−
==+−
==+−
=−−
=+−
==−−
==+−
−
−
−
−
−
−
−
ydxxxydyxydxxydyxx
yxeyxxy
yxydxdyx
xeyxyxeyxxyxyxyxyyeexyy
eyxxyyxeyxyx
yxxyyxxyxxyyexxyy
yxxyxyyxyyxyxxyyxxyxyyxyyx
yxyyyxyyxyxyxy
yxyxyeyxyxyxy
yxyxyyxyxxy
exyy
xeyyyexyy
yxyy
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
ππ
π
π
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Resolver (1:30) las siguientes ecuaciones diferenciales de tipo Bernoulli, encontrar solución general y particular de los problemas propuestos.
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )
( ) 3/2)0(,32.30 2)0(),1(3243.29
2)0(,1.28 )cos()sin(.27
3)0(,4')2(.26 0)0(,54
2'.25
3)2(
.24 0)1(,0.23
5/4)0(,2.22 1)3(,.21
2)0(,0.20 0)2(,252
.19
2)3(,2
2.18 0)2(,.17
2)0(,.16 0)1(,2'3.15
2)3(,2'.14 2)0(,4'2.13
1)0(,'.12 5)0(,23
)2(1'.11
7)2(,2.10 2)0(,2.9
0)5(,1213.8 3/1)2(,1.7
3/2)2(,.6 0)1(,11.5
1)0(,32.4 3)0(,.3
1)2(,1.2 2)0(,1.1
2323
7/35
31352
9/532
3
2
22
7/39/7
7/52/332
3273
2/13/52
7/435/65/3
3/7
5/37/62/32/1
323/2
22
4222
32
−==+−−=−=+−
−==+−−=+−
==−+−==+
+−
=−
+−=−=++−
−=+
=−−==+−
==++−=−−=−
+−
=−+
=−=−=−−
==+−=−=−−
=−=−−−==++−
==+−−==+
+−
−=−=−=−=+−
=−=+−=−=+−−
==−−==+−
−==−−==+−
−=−=−==+−
−−
−−
−
−
−
−
−−
−
−
vxvdxdvxvyyyt
dtdyt
yxyyxdxdyxyyx
dxdyx
yyxxyyxyyxyxxy
xxx
dxdyyxy
dxdy
rrrddryyey
dxdy
ttxtx
dtdxyyx
xy
dxdy
yyxxy
dxdyyyey
dxdy
yyxxy
dxdyyyxyxy
yxyxyyyxyxyyx
yxyyxyyyxyx
y
yyx
xy
dxdyyyy
dxdyxy
yyxydxdyxyxyyx
dxdyx
yyeydxdyy
dxdyxyxy
yyxydxdyxyxyy
dxdyx
yxyydxdyy
yy
dxdyx
x
x
x
ψψψ
θθ
θ
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Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
En los siguientes problemas implemente el método de Riccati para encontrar una segunda solución de la ecuación diferencial proporcionada.
( )
1,1.5
2,56.4
,21.3
2,14.2
2,2.1
12
12
132
12
2
12
=+−−=−
=++=−
−=+++=−
=+−−=−
=+−−=−
yxyyxdxdy
yyydxdy
eyyyeedxdy
xyyy
xxdxdy
yyydxdy
xxx
xyxydxdy
yxxyydxdy
xyyxydxdy
xyyyxxdxdy
xyyyx
xdxdy
2,24.10
2,42.9
2,22.8
tan,)(tansec.7
,212.6
122
12
12
122
122
=+−=−
−=−++=−
=+−=−
=+−=−
=−+=−
xxy
xyxyxy
xxyxyxx
y
=+−=−
=−+=−
)(,)('.12
)(,1'.11
123
1523
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Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
En los problemas siguientes se proporciona una ecuación diferencial y una solución )(1 xy . Utilice el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente
xxyxyxyyxexyxyyxyxxxyxyxyxxyx
exyyyyxxyxyxyyxxxyxyxyyx
x
x
=<<−=−++−
=−>=++−+−
=>=+++−−
==+−−
=>=+−−
=>=−+−
)( );11( 02'2'')1(.6
)( );1( 0')2('')1(.5
)( );0( 0)2(')2(''.4
)( ;0'4''4.3
)( );0( 09'5''.2
)( );0( 09'''.1
12
1
12
2/1
31
2
31
2
xexyyyyy ==+−−− )( ;06'5''2'''.7 1
)cos(ln)( ;05'3''.21
)sin(ln)( ;02'''.20
ln)( ;0''4.19
ln)( ;0'''.18)( ;06'2''.17
)( ;016'7''.16
)( ;0'''6.15
)( ;04'12''9.14
)( ;025''.13
cosh)( ;0''.123sin)( ;09''.11
4cos)( ;016''.10)( ;0'2''.9
)( ;04'4''.8
21
21
2
2/11
21
21
2
41
2
3/1
3/21
51
1
1
1
1
21
xxxyyxyyxxxxyyxyyx
xxxyyyxxxyyxy
xxyyxyyxxxyyxyyx
exyyyyexyyyy
exyyyxxyyyxxyyyxxyyy
xexyyyyexyyyy
x
x
x
x
x
==+−−
==+−−
==+−
==+−
==−+−
==+−−
==−+−
==+−−
==−−
==−−
==+−
==+−
==++−
==+−−−
xxxyyxxyyx
xxyyxyyxxyxyyx
xxyyyxyxx
cos)( ;0)41('''.25
)( ;02'2'')1(.24
1)( ;0'2'')1(.23
1)( ;02')1(2'')21(.22
2/11
22
12
12
12
−==−++−
==+−−−
==+−−
+==−++−−−
ACADEMIA: GEOFISICA, FORMACION BASICA DISCIPLINARIA
Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
)( ;0'2''.36
0 )( ;0132
2'132
2''.35
0 )( ;0)21(')2(1''.34
20 )( ;0)2tan2(')2tan2(''.33
0cosx x
1)( ;0)11('1''.32
0 )( ;0)21(')21(''.31
)( ;012
4'12
4''.30
11 )( ;01
2'1
2''.29
0 )( ;01
2'1
2''.28
0 )( ;08'1''.27
0 )( ;04'3''.26
12
122
2
12
12
12
122
122
122
412
212
axexyyaayy
xxxyyxx
yxxxy
xxxyyxx
yxx
y
xxxyyxx
xyx
xy
xxyyx
yx
y
xxxyyxx
yx
y
xxxyyx
yxxy
xxxyyx
yxxy
xxxyyx
yxxy
xxxyyx
yx
y
xxxyyx
yx
y
−==++−
>∀==++
−++
+−
>∀==+++−−
<<∀==++++−
>∀==−++−
>∀==−−−+−
∀==+
++
−−
><−∀==−
−−
+−
>∀==+
++
−−
>∀==+−−
>∀==+−−
π
ACADEMIA: GEOFISICA, FORMACION BASICA DISCIPLINARIA
Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
En los siguientes problemas, primero; verificar que las funciones que se proporcionan son soluciones de la ecuación diferencial, calcular el wronskiano de las soluciones e indicar si es linealmente dependiente o independiente, posteriormente determinar una solución particular de la forma )(...)()()( 2211 xycxycxycxy nnp +++= , que satisfaga las condiciones iniciales proporcionadas.
3)1(',2)1( );sin(ln),cos(ln ;0'''.12
15)2(',10)2( ;, ;06'2''.11
0)0(',2)0( ;2sin,2cos ;013'6''.10
13)0(',3)0( ;, ;025'10''.9
2)0(',4)0( ;,1 ;0'3''.8
8)0(',2)0( ;,1 ;0'''.7
1)0(',7)0( ;, ;0'6'''.6
0)0(',1)0( ;, ;02'3''.5
10)0(',10)0( ;5sin,5cos ;025''.48)0(',3)0( ;2sin,2cos ;04''.3
15)0(',1)0( ;, ;09''.2
5)0(',0)0( ;, ;0''.1
212
32
21
2
32
31
52
51
321
21
32
21
221
21
21
32
31
21
=====++−
=====−+−
=====++−
=====+−−
−=====−−
=−====+−
−=====−+−
=====+−−
−=====+−
=====+−
=−====−−
=====−−
−
−−
−
−
−
−
yyxyxyyxyyxyyxyxyyxyyx
yyxeyxeyyyyyyxeyeyyyy
yyeyyyyyyeyyyy
yyeyeyyyyyyeyeyyyy
yyxyxyyyyyxyxyyy
yyeyeyyyyyeyeyyy
xx
xx
x
x
xx
xx
xx
xx
11)1('',5)1(',1)1( ;ln)(,)(,)( ;04'4''6'''.20
22)1('',14)1(',6)1( ;)(,)(,)( ;06'6''3'''.19
0)0('',0)0(',1)0( ;sin)(,cos)(,)( ;02'4''3'''.18
2)0('',1)0(',3)0( ;3sin)(,3cos)(,1)( ;0'9'''.170)0('',4)0(',1)0( ;)(,)(,)( ;04'8''5'''.16
0)0('',0)0(',2)0( ;)(,)(,)( ;0'3''3'''.15
3)0('',0)0(',0)0( ;)(,)(,)( ;06'11''6'''.14
0)0('',2)0(',1)0( ;)(,)(,)( ;02'''2'''.13
23
221
23
33
221
23321
321
23
221
2321
33
221
2321
−=======−++−
=======−+−−
=======−+−−
=−======+−
=======−+−−
=======−+−−
=======−+−−
=======−−+−
−−
−−
yyyxxxyxxyxxyyxyyxyxyyyxxyxxyxxyyxyyxyx
yyyxexyxexyexyyyyyyyyxxyxxyxyyy
yyyxexyexyexyyyyyyyyexxyxexyexyyyyyyyyexyexyexyyyyyyyyexyexyexyyyyy
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
ACADEMIA: GEOFISICA, FORMACION BASICA DISCIPLINARIA
Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
En los problemas siguientes use el método de coeficientes constantes para determinar una solución general y particular de la ecuación diferencial sujeto a condiciones iniciales
3)0('',1)0(',0)0( ;06'5''2'''.200)0(',1)0( ;03'4''4.19
0)0('''',1)0(''',2)0('',1)0(',0)0( ;05'''10'''''''5'''''.187)0('',3)0(',4)0( ;018''7''''.17
8)0('',3)0(',2)0( ;09''24''''16.163)0('',1)0(',9)0( ;0''2''''.15
9)0('',8)5(',3)0( ;0'''''''''.149)0('',2)0(',5)0( ;08'12''6'''.13
7/9)0('',7/3)0(',3)0( ;01'3''3'''.129/4)0(',8/3)0( ;04'''''.11
7)0(',2/3)0( ;025'10''.103/5)0(',7/3)0( ;02'3''.9
1)0(',6)0( ;036''.85/6)0(',3)0( ;0'2''3.75/9)0(',2/3)0( ;05'4''.6
9/7)0(',7/4)0( ;09''.59)0(',2/5)0( ;02'5''12.45/6)0(',2)0( ;016'8''.3
7)0(',4)0( ;06'''.23/8)0(',5/1)0( ;0'''4.1
−=−===+−+−
===−−−
=−=−=−===++−−+−
−=−=−==−−−
−=−===++−
=−=−==+−−
−=−=−==+−−
−=−=−==−+−−
−=−=−==+++−
−===−−−
−=−==+−−
−=−==+−−
−=−==−−
−=−==++−
===+−−
−===+−
−===−−−
−=−==++−
−===−−−
=−==+−
yyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyyy
xxxxxyyyyy
yyyyyyyyyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyyyy
4)0(',7/3)0( ;04'2''.307)0(',4)0( ;04'4''.29
8)0(',1)0( ;04''.285)0(',0)0( ;03'2''.27
2)4/(',2)4/( ;02'2''.262)0(',3)0( ;025.1'''.254)3/(',2)3/( ;0''.24
2)2/(',0)2/( ;05'2''.230)0(',1)0( ;05'4''2.22
1)0(',0)0( ;04''.21
−=−==++−
−===+−−
−=−==+−
−===−+−
−===++−
===++−
−===+−
===+−−
===++−
===+−
yyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyy
yyyyyyyyy
ππ
ππππ
7/5)0(',7)0( ;04''4.407/9)0(',2/7)0( ;04'''2.39
5/4)0(',7/6)0( ;0'5''6.387/5)0(',3)0( ;04'12''9.379/4)3(',7/3)3( ;09'6''.36
3/2)0(',7/5)0( ;0'''.352)0(',5/2)0( ;05'4''.343/1)0(',9/8)0( ;02'''.33
9/6)0('.6)0( ;03'2''.327)1(',4)1( ;06'''.31
−===+−−
−=−==−+−
−===+−−
=−==+−−
=−==+−−
−=−==++−
−===+−−
−===−−−
−===+−−
===−−−
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
ACADEMIA: GEOFISICA, FORMACION BASICA DISCIPLINARIA
Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
En los problemas siguientes use la técnica del método de Cauchy-Euler para determinar solución general y particular de las ecuaciones diferenciales.
4/7)1(',4/3)1( ;06'''.207/5)2(',4/3)2( ;0'''.19
5)2(',4)2( ;041'7''.183/7)1(',5/4)1( ;0'6''3.177/6)1(',6/1)1( ;06'8''.16
3/7)3(',4)3( ;04'5''.152/5)1(',2/3)1( ;0'4''4.14
12)1(',0)1( ;04'3''.135)1(',4)1( ;03'5''.12
5)2(',7/1)2( ;02'3''.113/5)3(',4)3( ;04'''.10
5)1(',4)1( ;02''.9013'13''2'''.8
04'4''2'''6''''.7;02'2'''''.6
5)1(',4)1( ;05'3''.54)1(',3)1( ;017'9''.4
2/5)1(',7/3)1( ;06'3''.3
5/3)0(',3)0( ;062.2
5)1(',4)1( ;07'7''.1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
23
234
23
2
2
2
2
22
2
===−−
−=−==−+−
−=−==++−
−=−==++−
−=−==++−
−=−==++−
−=−==−+−
===−+−
−=−==++−
−=−==−−−
−=−==++−
−=−==−−
=−+−−
=+−++−
=+−+−
−=−==++−
=−==++−
−=−==+−−
=−==−+−
−=−==−+−
yyyyxyyyxyyxyyyxyyxyyyxyyxyyyxyyx
yyyxyyxyyyxyyx
yyyxyyxyyyxyyxyyyxyyx
yyyxyyxyyyyx
yxyyxyxyxyyxyxyx
yxyyxyxyyyxyyxyyyxyyxyyyxyyx
yyydxdyx
dxydx
yyyxyyx
3/4)2(',9/5)2( ;06'4''.304)1(',7/3)1( ;0''4.29
7/5)1(',9/7)1( ;04'3''.285/6)1(',4/7)1( ;0'''.27
7/5)2(',40)2( ;08'5''.259)1(',5/3)1( ;0'''6''''.24
3)1(',0)1( ;07'5''.234)1(',0)1( ;0'3''.22
020'9''.21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−=−=−=+−−
−=−=−=+−
−=−==+−−
−===++−
−===+−−
−===+−
===+−−
===+−
=−+−
yyyxyyxyyyyx
yyyxyyxyyyxyyxyyyxyyxyyyyxyyyxyyx
yyxyyxyxyyx
ACADEMIA: GEOFISICA, FORMACION BASICA DISCIPLINARIA
Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
En los problemas siguientes use el método de coeficientes indeterminados para determinar solución general y particular de las ecuaciones diferenciales sujeto a condiciones iniciales.
5)0(',2)0( ;16''.100)0('',0)0(',3)0( ;34610163410'3''2'''.9
5)0('',1)0(',4)0( ;24'5''2'''.812)0('',8)0(',2)0( ;22181818'9''2'''.7
2sin26'''4'''.6'3''3'''.5
12'''''.44''3'''.3
sin3'5'''''.26'5''2'''.1
3
222
3
2
3
2
2
−===+−
===++−−=+−−−
−=−==−=+−−
−=−=−=+−−=−−+−
+=−++−
=−+−−
+=−+−
=−+−
+=+−+−
+=+−−−
−−
−
−
−
yyeyyyyyxxexeyyyy
yyyeyyyyyyxxyyyy
xxeyyyyeyyyy
xeyyyeyyy
xeyyyyxeyyyy
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
( )( )
4)0(',5)0( ;3cos6'3''4.307)0(',1)0( ;53'2''3.291)0(';0)0( ;3cos45'2''.28
5)0(',5)0( ;2sin34''.273)0(',1)0( ;33'2''.26
9)0(',6)0( ;4'2''.257)0(',5)0( ;34''.245/3)0(',3)0( ;22'''.232/cosh;2cosh2'''.222/sinh;sinh24'''.21
cos''.20
;cos''.19
5/7)0(',9)0( ;3cos3sin2''.185)0(',2)0( ;3sin3'3''2.17
5)0(',9)0( ;2'2''.161)0(',2)0( ;69''.15
4)0(',3)0( ;3sin43'2''.145/6)0(',5)0( ;33'2''.13
2)0(',3)0( ;4sin35'2''.125)0(',2)0( ;33'2''.11
2
22
2
3
020
20
220
2
52
2
−=−==−+−
−=−=+=+−−
===++−
=−==+−
−==+=−−−
−=−=+=+−−
−=−=+=+−
−===−+−
+==−−−
−==++−
=+−
≠=+−
==+=+−
−==+=++−
−===++−
−=−=+=+−
−=−=+=+−
−==−=−−−
−===++−
−===−−−
−
−
−
−
−
yyttyyyyytyyyyyteyyy
yytyyyyetyyyyyteyyy
yytetyyyytyyy
eettyyyeettyyy
twuwuwwwtuwu
yytttyyyyttyyy
yyeyyyyyetyyyytyyyyteyyyyytyyy
yyeyyy
t
t
t
t
tt
tt
t
t
t
t
ACADEMIA: GEOFISICA, FORMACION BASICA DISCIPLINARIA
Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
En los siguientes problemas use el método de variación de parámetros para hallar una solución general de la forma )()()( xyxyxy hp += de la ecuación diferencial proporcionada sujeto a condiciones iniciales
2/0 ;tansec''''.62/0 ;tan''''.5
'3''3'''.44''3'''.3
'''2'''.24''3'''.1
2
2
πθθθπ<<=+−
<<=+−
=−+−−
=−+−
=+−−
=+−−
yyxxyy
eyyyyezzzxyyyeyyy
x
x
x
3/5)3(',7/2)2( ;643'2''.352/1)0(',5/6)0( ;'3''2.34
)1(2'3''.332sec5'2''.32
3)1(',5/4)2( ;ln'2''.316/5)0(',3)0( ;cscsec''.30
9)5(',4/2)9( ;2'2''.295/7)0(,9/2)0( ;)612(4'4''.28
7/4)0(',5/3)0( ;2'''2.273)0(',1)0( ;''4.26
2sec'4'''.251'4''4.24
sec6'6''3.234''2''2.22
2)2(',3)1( ;ln'2''.219)2(',4)2( ;arctan'2''.20
7)0(',3)0( );sin('2'3''.19
4)2(',2/3)3( ;1
'2''.18
3)1(',3/2)2( ;1
12'3''.17
99''.16
2sinh''.15sec''.14
tansec''.13tan''.12
4''.11
cosh''.10cos''.9
3)0(',1)0( ;sin''.89/7)0(',3)0( ;sec''.7
3
1
22
2
2/
22/
2
3
2
2
2
−===−−−
−=−==++−
+=+−−
=++−
−=−==++−
−===+−
−===+−−
−=−=−=+−−
−==−=−+−
===−−
=+−
−=+−−
=+−−
=++−
−===++−
−=−==+−−
−=−==++−
−=−=+
=+−−
=−=+
=++−
=−−
=−−
=+−
=+−
=+−
=−−
=−−
=+−
=−==+−
−=−==+−
−
−
−−
−
−
−−
−
yyxeyyyyyeyyy
eyyyxeyyy
yyxeyyyyyxxyyyyxyyy
yyexxyyyyyeeyyy
yyxeyyxyy
xeyyy
xeyyyxyyy
yyteyyyyyteyyyyyeyyy
yyxeyyy
yye
yyy
exyy
xyyxyy
yyxyyxeyy
xyyxyy
yyxyyyyxyy
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
t
t
x
x
x
x
x
θθ
ACADEMIA: GEOFISICA, FORMACION BASICA DISCIPLINARIA
Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMATICOS: En los siguientes problemas describir el comportamiento o fenómeno físico y determine su
solución en base a la construcción del modelo.
1.- La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a la cantidad de bacterias presentes en el tiempo t. Después de 5 horas se observó que están presentes 600 bacterias. Después de 25 horas hay 6000 bacterias. ¿Cuál fue el número inicial de bacterias? 2.- El isótopo radiactivo del plomo, Pb-209. Decae a una rapidez proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al inicio está presente un gramo de este isótopo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%? 3.- El sudario de Turín muestra el negativo de la imagen del cuerpo de un hombre que parece que fue crucificado, muchas personas creen que es el sudario del entierro de Jesús de Nazaret. En 1988 el Vaticano concedió permiso para datar con carbono el sudario. Tres laboratorios científicos independientes analizaron el paño y concluyeron que el sudario tenia una antigüedad de 660 años (no real), una antigüedad consistente con su aparición histórica. Usando esta antigüedad determine que porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paño en 1988. 4.- Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo t, determine la cantidad restante después de 24 horas. 5.- Se toma un termómetro de una habitación donde la temperatura es de 75°F y se lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de 15°F después de medio minuto el termómetro marca 65°F ¿Cuál es la lectura del termómetro en t = 1 minuto ? ¿Cuánto tarda el termómetro en alcanzar 35°F. 6.- Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 5° F. Después de un minuto el termómetro marca 55° F y después de 5 minutos la lectura es de 30° F. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación? 7.- Un termómetro que marca 70° se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que después de medio minuto el termómetro marca 110°F y luego de un minuto la lectura es de 145° F ¿Cuál es la temperatura del horno? 8.- Dos grandes tanques A y B del mismo tamaño se llenan con fluidos diferentes. Los fluidos en los tanques A y B se mantienen a 0° C y a 100° C, respectivamente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 100° C, se sumerge dentro del tanque A, después de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90° C, después de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se transfiere al otro tanque. Después de 1 minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10° C ¿cuanto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomara a la barra alcanzar los 99° C? 9.- Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70° F, al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determino de 85° F, una hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 80° F. suponga que el tiempo de la muerte corresponde a 0=t y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6° F. determine ¿Cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? [sugerencia: sea 01 >t denote el tiempo en que se encontró el cadáver.]
ACADEMIA: GEOFISICA, FORMACION BASICA DISCIPLINARIA
Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
10.- Un tanque contiene 200 litros de un liquido en el que se han disuelto 30g de sal, salmuera que contiene 1g de sal por litro entra al tanque con una razón de 4 L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad )(tA de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t . 11.- Un tanque grande se llena parcialmente con 100 galones de fluido en los cuales están disueltas 10 libras de sal. Al tanque se bombea salmuera, conteniendo ½ libra de sal por galón, a velocidad de 6 gal/min. Encuentre la cantidad de libras de sal presentes en el tanque después de 30 minutos. 12.- Un tanque grande se llena a toda su capacidad con 500 galones de agua pura. Hacia el tanque se bombea salmuera conteniendo 2 libras de sal, a velocidad de 5 galones por minuto. Perfectamente mezclada, la solución se bombea hacia fuera a la misma velocidad. Encuentre la cantidad )(tA de libras de sal presentes en el tanque en el tiempo t , ¿Cuál es la concentración )(tc de sal en el tanque en el tiempo t ¿en t=5 minutos? ¿Cual es la concentración de sal en el tanque después de un largo tiempo, es decir cuando ∞→t ? ¿En que tiempo la concentración de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor limite? 13.- Resolver el problema 11 bajo el supuesto de que la solución se bombea hacia fuera a una mayor velocidad de 10 gal/min, ¿Cuándo se vacía el tanque? 14.- En las exposiciones grupales se determino que una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa cayendo sujeto a consideraciones de resistencia del aire, la cual es proporcional a la
velocidad instantánea, es kvmgdtdvm −= , donde 0>k es una constante de proporcionalidad. ¿Qué tan
alto? (Sin resistencia del aire) suponga que una bala de cañón que pesa 16 libras se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de sftv /3000 = . ¿Que tan alto puede llegar la bala? Esta respuesta depende de si se toma en cuenta la resistencia del aire. a) suponga que se ignora la resistencia del aire, si la dirección positiva es ascendente, entonces el modelo para el estado de la bala de cañón estará dado por gdtsd −=22 / y dado que )(/ tvdtds = , esta ultima ecuación diferencial es igual a gdtdv −=/ , de donde tomamos que 2/32 sftg = . Encontrar la velocidad )(tv de la bala de cañón en el tiempo t . b) Utilizar el resultado para determinar la altura )(ts de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo, determinar la altura máxima que alcanzo esta bala. 15.- Repetir el problema 13, pero ahora considerando que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. Es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por la bala de cañón debe ser menor que la de la parte del inciso (b), demostrar esto suponiendo que la constante de proporcionalidad es 0025.0=k . 16.- Un paracaidista pesa 180 libras, y su paracaídas y equipo juntos pesan otras 50 libras. Después de salir del avión a una altitud de 15000 pies, espera 25 segundos y abre su paracaídas, considere que la constante 75.0=k durante la caída libre y 25=k después de abrirse el paracaídas, ¿Cuál es su velocidad y cuan lejos se ha trasladado el paracaidista después de 48 segundos después de abandonar el avión? ¿Cómo se compara su velocidad a 48 segundos con su velocidad terminal? ¿en cuanto tiempo llegara al suelo? [sugerencia: piense en términos de dos problemas de valor inicial distintos].
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Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]
17.- A medida que una gota de lluvia cae se evapora, pero mientras eso sucede conserva su forma esférica. Si suponemos adicionalmente que la velocidad de evaporación de la gota de lluvia es proporcional a su área superficial y la resistencia del aire es insignificante, entonces un modelo de velocidad )(tv de la gota es
gvrtk
kdtdv
=+
+0)/()/(3
ρρ
aquí ρ es la densidad del agua, 0r es el radio de la gota de lluvia cuando 0=t , 0<k es la constante de proporcionalidad y la dirección hacia abajo se toma como positiva.
a) Resolver para )(tv si la gota cae desde el reposo. b) Demostrar que el radio de la gota en el tiempo t es 0)/()( rtktr += ρ c) Si ftr 01.00 = y ftr 007.0= , 10 segundos después que la gota cae de una nube, determinar el
tiempo en que la gota se vaporara por completo. 18.- Cierto modelo matemático de la tasa a la que un medicamento se difunde en el torrente sanguíneo esta dado por kxrdtdx −=/ donde r y k son constantes positivas. La función )(tx describe la concentración del medicamento en el torrente sanguíneo en el tiempo t . a) resolver la ecuación diferencial sujeto a condiciones iniciales de la forma 0)0( =x trazar una grafica de )(tx ¿en que tiempo la concentración es la mitad de este valor limitante? 19.- Considere que un cuerpo moviéndose con velocidad v encuentra una resistencia de la forma
2/3/ kvdtdv −= . Demostrar que ktvvtv0
0
14)(+
= y que ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−+=
2212)(0
00 vktv
kxtx
Observe que bajo una resistencia elevada a la 3/2 el cuerpo se desvía solamente una distancia finita antes de que se detenga. 20.- Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es de 16Lb/pie. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple? 21.- Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un resorte, lo alarga 4 pulgadas. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación del movimiento. 22.- Una masa que pesa 20 libras alarga 6 pulgadas un resorte. La masa se libera al inicio desde el reposo en un punto 6 pulgadas debajo de la posición de equilibrio. a) Encuentre la posición de la masa en los tiempos st 32/9,4/,6/,8/,12/ πππππ= b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando st 16/3π= ? c) ¿en que tiempos la masa pasa por la posición de equilibrio? 23.- Una masa que pesa 16 libras alarga 0.32 pies un resorte. Al inicio la masa se libera desde un punto que esta 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s. a) Encuentre la ecuación de movimiento b) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo del movimiento? c) ¿Cuántos ciclos completos habrá realizado la masa al final de π3 segundos?
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24.- Presuma que la Tierra es una esfera sólida de densidad uniforme, con masa M y radio
)(3960 miR = . Para una partícula de masa m dentro de la tierra a una distancia r desde el centro de la misma, la fuerza gravitacional que atrae a m hacia el centro es 2/ rmGMF rr −= , donde rM es la masa de la parte de la Tierra contenida en una esfera de radio r . a) Muestre que 3/ RGMrmFr −= b) Ahora suponga que se perfora un pequeño agujero directamente hacia el centro de la Tierra para conectar dos puntos opuestos de su superficie. La partícula de masa m se suelta en el tiempo 0=t dentro de este hoyo con velocidad inicial cero, y sea )(tr la distancia desde el centro del planeta
en el tiempo t (ver figura). Concluya, a partir de la segunda ley de Newton y del inciso a), que )()('' 2 trktr −= , donde RgRGMk // 32 == .
c) Considere 2/2.32 sftg = , y concluya del inciso b) que la partícula experimenta un movimiento armonico simple de un lado a otro entre los puntos extremos del agujero, con un periodo de alrededor de 84 min. d) Obtenga (o demuestre) el periodo de un satélite que pasa justo rozando la superficie de la Tierra, comparar con el resultado del inciso c), ¿Cómo explicar la coincidencia? ¿Es realmente una coincidencia?. e) ¿con que velocidad (en mi/h) la partícula pasa a través del centro de la Tierra? f) Obtenga (o demuestre) la velocidad orbital de un satélite que pasa justo rozando la superficie del planeta; compare con el resultado del inciso e) ¿Cómo explica la coincidencia? ¿Es realmente una coincidencia?.
Fig. 1 Masa m cayendo hacia abajo en un hoyo a través del centro de la Tierra 25.- Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito RL en serie en el que la inductancia es de 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms. Calcule la corriente i(t) si i(0)=0 Determine la corriente cuando t→∞ 26.- Se aplica una fuerza electromotriz a un circuito en serie en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 10-4 farad. Encuentre la carga q(t) en el capacitor si q(o)=0
m r RF R
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27.- Una fuerza electromotriz de 200 v se aplica a un circuito RC en serie en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 x 10- 6 farad. Determine la carga q(t) en el capacitor si i(0)= 0 .4 determine la carga y la corriente en t = 0.005 seg. Determine la carga cuando t→∞ 28.- En cierta ciudad, la rapidez de crecimiento da la población aumenta proporcionalmente respecto al tamaño de la población. Si la población era de 100 000 habitantes en 1980 y de 150 000 en 1990, ¿Cuál es la población esperada en el año 2020 suponiendo que siga esta tendencia? 29.- Una batería de 12 voltios se conecta a un circuito simple en serie en donde la inductancia es de 0.5 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente, si la corriente inicial es cero. 30.- Considere un circuito LC ; esto es, un circuito RCL con 0=R y un voltaje de entrada
wtEtE sin)( 0= . Muestre que se presentan oscilaciones no acotadas de corriente para una cierta frecuencia de resonancia; exprese estas frecuencias en términos de L y de C .
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TRANSFORMADAS DE LAPLACE Implemente la definición de transformadas de Laplace para solucionar las siguientes
funciones
( )
tetftetf
ettfttftttftttf
ttfeetf
tetftttf
tttfttf
tttfetf
ettfktetf
tttfettf
tttftetf
ttfettf
ttftetf
ttfttf
ettfetf
tttfttf
tt
t
tt
t
t
tat
t
t
t
t
tt
7cos54)(.30 4sin)(.15
5)(.29 )54sin()(.149164)(.28 2cos2sin)(.13
4sinh)(.27 )()(.12
)(.26 87sin
35cos)(.11
3cos3sin)(.25 )1()(.1037cos
54sin)(.24 1)(.9
)(.23 cosh)(.8
43)(.22 35)(.7
3cos)(.21 8sin)(.6
)1()(.20 )(.5
2cos)(.19 76cos)(.4
5cosh1)(.18 97cos)(.3
2)(.17 )(.2
3)(.16 )(.1
354
92
2
2233
4
3
22
102/3
32/532
3
43
352
223
375
7/3
−−
−
−
−
−−
−
−
−
=−=−
+−=−+=−
++−=−=−
=−−=−
=−+=−
=−+=−
+=−+=−
−=−=−
−=−=−
=−=−
+=−=−
=−=−
+=−=−
−=−=−
+=−=−
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En los problemas siguientes use la definición de transformada de una función continua por
tramos para determinar { })(tfℑ , en cada caso, determine si f es continua, continua por secciones o ninguno de los dos, en el intervalo proporcionado de la forma βα ≤≤ t .
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
<≤−
<
=−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<
<<
≤<
=−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≤<−
≤≤
=−
⎩⎨⎧
<
≤≤=−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≤<
≤≤
=−
⎩⎨⎧
<
≤≤=−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<
≤<−
≤≤
=−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−
≤<
≤≤
=−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<
≤<−
≤≤
=−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−
≤<+
≤≤
=−
−
−
3 ,432 ,1
2 ,0)(.10
32 ,221 ,110 ,0
)(.9
2 ,121 ,3
10 ,)(.8
1 ,10 ,0
)(.7
2 ,021 ,110 ,0
)(.6
1 ,110 ,
)(.5
32 ,121 ,310 ,
)(.4
32 ,321 ,110 ,
)(.3
32 ,121 ,)1(10 ,
)(.2
32 ,621 ,210 ,
)(.1
2
3
1
2
2
ttt
ttf
ttt
tf
ttttt
tf
tet
tf
ttt
tf
ttt
tf
ttttt
tf
ttttt
tf
ttttt
tf
tttttt
tf
t
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Determine la { })(tfℑ de las graficas siguientes; los intervalos son arbitrarios.
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Aplique el teorema de traslación para determinar las transformadas de Laplace de las
funciones en los problemas siguientes.
f(t) t f(t) t f(t) t f(t) t f(t) t
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[ ][ ]
[ ][ ]
( )
4
3
4
3
4
7
2
2
5/4
47
26
4
3
7/57/6
2/
42/3
2
4
)(.20
)2sin()(.19
)(.18
7cosh)(.17
cosh)(.16
)(.15
5sin)(.14)(.13
sinh)(.12)(.11
12)(.10cosh1)(.9
sin1)(.8cos)(.7)2()(.6
)(.5812cos)(.4
)(.33sin)(.2
)(.1
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−
=−
=−
=−
=−
=−
=−
+=−
=−
=−
−+=−
−=−
+−=−
−=−
−=−
=−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=−
=−
=−
=−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
ettf
tetfettf
tetftttf
tetf
tetfettf
tttftetf
ttetftetf
ttetfttetf
tetfettf
tetf
ettftetf
ettf
π
π
π
En los problemas siguientes 1:20 determine la transformada inversa de Laplace
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( )
( )
621)(.20
21)(.10
1042153)(.19 1)(.9
1)(.18 412)(.8
134162)(.17
2)(.7
523)(.16
33)(.6
841)(.15 68)(.5
94)(.14 4)(.4
1021)(.13 1)(.3
42)(.12 )(.2
46)(.11
32)(.1
22
2
2
3
52
22
52
27
2
2
2
2
2
++−
=−+
=−
+−−
=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=−
=−++
=−
+++
=−−
=−
+=−
−−
=−
++=−
−=−
+=−=−
+++
=−=−
+=−=−
−=−
−=−
SSSSF
SSF
SSSSF
SSSF
SSF
SSSF
SSSSF
SSSF
SSF
SSSF
SSSF
SSSF
SSF
SSF
SSSSF
SSF
SSF
SSF
SSF
SSF
π
π
En los siguientes problemas aplicar el teorema de transformadas de integrales de Laplace
para calcular la inversa de las siguientes funciones
( )
)2(1)(.20
)(1)(.10
)114()(.19
)2(1)(.9
)44(42)(.18
)2)(1(1)(.8
)910(3)(.17
)9(1)(.7
)16(2)(.16
)9(12)(.6
)108(4)(.15
)5(3)(.5
)54(1)(.14
)1(1)(.4
1241)(.13
)1(1)(.3
)204(4)(.12
)4(1)(.2
)4(2)(.11
)3(1)(.1
2333
222
2
222
22
22
2223
223
222
23
+=−
+=−
+−=−
−+=−
+−+
=−++
=−
++−
=−−
=−
−++
=−++
=−
+−−
=−+
=−
+−=−
−=−
++=−
+=−
++=−
+=−
+=−
−=−
SSSF
SSSSF
SSSSSF
SSSSF
SSSSSF
SSSSF
SSSSSF
SSSF
SSSSSF
SSSSF
SSSSSF
SSSF
SSSSF
SSSF
SSSSF
SSSF
SSSSF
SSSF
SSSF
SSSF
En cada uno de los problemas sugeridos use la linealidad de la transformada de Laplace, así como el desarrollo en fracciones parciales para determinar la transformada inversa de Laplace
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( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )11)(.30
413432)(.15
353)(.29 22
662)(.14
52230237)(.28
3841134)(.13
26327)(.27
22822)(.12
134184417)(.26
122233)(.11
1353345)(.25
10232)(.10
3111)(.24
5421)(.9
612136)(.23
41248)(.8
136882)(.22
2212)(.7
521583)(.21
432)(.6
22)(.20 52
22)(.5
4414323)(.19
63)(.4
243)(.18
432)(.3
3218)(.17
14)(.2
223)(.16
43)(.1
222
3
34
2
22
23
2
2
2
2
3
23
2
23
2
2
2
2
2
2
2
2
2
23
2
2
2
2
3
2
2
22
22
3
22
2
2
−−=−
+++++
=−
+++
=−++
−−−=−
++−++
=−++−
+−=−
−+−−
=−+−+−
=−
+−−+−
=−++−
+=−
++
++=−
++−
=−
+−+
=−++
−=−
−−+−
=−++−
=−
++++−−
=−+−
+=−
+−++−
=−−−
=−
++=−
+++
=−
++−+−
=−−−
=−
+
+=−
−+=−
−+−
=−−
=−
++
+=−
+=−
SSSSF
SSSSSSF
SSSSSF
SSSSSSSF
SSSSSSF
SSSSSSF
SSSSSSF
SSSSSSF
SSSSSSF
SSSSSF
SSSSSF
SSSSF
SSSSF
SSSSF
SSSSSSF
SSSSSF
SSSSSSSF
SSSSF
SSSSSSF
SSSF
SSSSF
SSSSF
SSSSSF
SSSSF
SSSF
SSSF
SSSSF
SSF
SSSSF
SSF
En los siguientes problemas use la transformada de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones
con coeficientes constantes sujeto a condiciones iniciales
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5)0(',2)0(;3cos72'2''.201)0(',3)0(;4'2''.190;0)0(',1)0(;7cos''.181)0(',2)0(;3sin5'2''.17
1)0(',1)0(;06'''.160)0(',1)0(;7cos5'2''.151)0(',2)0(;4sin34''.14
0)0(',1)0(;43'2''.131)0(',1)0(;42'2''.12
0)0(',4)0(;'5''6.115)0(',0)0(;7/32'3''.10
2)0(',0)0(;sin3'4''.90)0(')0(;49''.8
0)0(';1)0(;3cos2''.70)0(')0(;4cos4''.60)0(',0)0(;2sin''.5
3)0(',2)0(;015'8''.42)0(',0)0(;02'''.3
4)0(',3)0(;09''.20)0(',5)0(;04''.1
3
2
3
2
4
2
2
−===+−−
−===++−
≠===+−
−===++−
−===−−−
===++−
−===+−
==+=−−−
==+=+−−
===++−
−===++−
===++−
===+−
===+−
===+−
===+−
−===++−
===−−−
===+−
===+−
−
−
−
yytyyyyyeyyy
wyytywyyyteyyy
yyyyyyyttyyyyyteyyyytyyyyyetyyy
xxtxxxxxtxxxxxtxxx
xxtxxxxtxxxxtxxxxtxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
t
t
t
t
1)0(,1)0(;63'4
0'2'.350)0()0(;4'2'
0''.340)0()0(;2'2'
''.330)0()0(;4cos2''
0''.320)0()0(;0'2'
'2'.310)0()0(;''
04'.300)0()0(;'
0'2'.290)0()0(;2'
0'4'.280)0()0(;0''
2'3.270)0()0(;1''2
4'.260)0(,2)0(;03''
13'.250)0()0(;0'2'
2cos''.240)0()0(;0'2
1'2'.230)0()0(;'
0''3'2.220)0()0(;0'
1'2'.21
2
=−=−=++
=−+−
===++
=−++−
===+
=++−
===++
=−+−
===+
=−+−
===+
=−−−
===++
=−+−
===+
=−+−
===−+
=−−
===−
=−−−
===++
=−+−
===+
=−+−
===+
=−+−
===+
=+−−
===−+
=−−
−
yxyyxxyx
yxxyxyxyx
yxyxtxyx
yxtyyxxyx
yxyxtyyx
yxtyxyxx
yxtxyxyxx
yxeyxyyx
yxyyxtyx
yxyxtyxx
yxxyxyxx
yxyxtxyxyxyx
yyxyxtyx
yyxyxxyx
yx
t
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