UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de CienciasEscuela Profesional de Matematica Ciclo 2015-I

Segunda Practica Dirigida de Teora de Superficies

1) Considere un plano P en R3 dado por la ecuacion ax+by+cz = d entonces el vector(a, b, c) es normal al plano.

2) Sean : I R3 una curva diferenciable, [a, b] I. Para toda particion a = t0 0, existe > 0 tal que |P | < entonces b

a

|(t)|dt l(, P ) < Geometricamente l(, P ) es la longitud de un polgono inscrito en ([a, b]) es encierto sentido el lmite de la longitud del polgono inscrito.

3) Las rectas tangentes a la curva parametrica regular (t) = (3t, 3t2, 2t3) hacen unangulo constante con la recta y = 0, z = x.

4) Dada una curva parametrizada regular : I Rn no parametrizada por la longitudde arco. Es posble obtener una curva B : J Rn parametrizada por la longitudde arco tal que tengan el mismo trazo B(J) = (I).

5) Obtenga una reparametrizacion por la longitud de arco de la curva

(t) = (et cos(t), et sin(t), et)

6) La longitud de arco de la ciclode correspondiente a una rotacion completa del discoes 8r.

7) Sea : I R3 una curva regular de curvatura no nula. es curva plana (contenidaen un plano) = 0.

8) Sea la curva parametrizada

(s) = (a cos(s

c), a sin(

s

c,bs

c)) con c2 = a2 + b2

(a)Calcular la longitud de arco.

(b)Calcular la curvatura.

(c)Calcular la torcion de la curva.

(d)Determine el plano osculador de .

1

9) Sea : I R3 curva parametrizada regular, con curvatura constante k(s) = 1a, a > 0

y (s) = 0. Con esas condiciones (I) esta contenido en el crculo de radio a.

10) Considere la curva parametrizada regular (t) = (a cos(t), a sin(t), f(t)). Determinef(t), con las siguientes condiciones:

(i) Los vectores normales de son ortogonales a OZ.

(ii) es plana.

11) Vale la siguiente identidad para la torcion

(s) = (s) (s), (s)

k2(s)

12) Sea : I R3 una curva parametrizada regular no necesariamente parametrizadapor la longitud de arco s, b : J R3 reparametrizacion de por s, y t la inversade s. Definiendo (t(s)) = , (t(s)) = demostrar que:

(a) k(t) =| |||3

(b) = , | |2

13) Sea f una transformacion ortogonal y u, v Rn vectores arbitrarios, entonces:(a) |u| = |f(u)|(b) El angulo entre u y v es preservado por la aplicacion de f .

(c) Si f preserva la orientacion entonces f(u v) = f(u) f(v)14) Si todas las rectas normales de pasan por un punto fijo p, entonces el trazo de la

curva esta contenido en un crculo.

15) Se uma curva parametrizada regular tiene la propiedad de que todas las rectastangentes pasan por un punto fijo p, entonces el trazo de es el segmento de umarecta.

16) Si f : UR2 R3 es una funcion diferenciable en un abierto U , entonces el grafico

de f{(x, y, f(x, y))|(x, y) U}

es una superficie regular.

17) Un plano, por ejemplo de la forma z = ax+ by es una superficie?

Mg. Manuel Toribio.

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