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Matemáticas Financieras
Marco Antonio Rojas Vásquez
MBA©
Ingeniero Civil Industrial
marcosroj@unapcl
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!revio" #nidades Asignatura
Unidad I: Inter$s %imple
Unidad II: Aplicaciones del Inter$s %imple
Unidad III: Inter$s Compuesto
Unidad IV: Anualidades
Unidad V: Amortizaciones
Unidad VI: &epreciaciones
Unidad VII: 'erramientas de (valuaci)n de !ro*ectos
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(valuaciones +ra,ajo en clase -talleres.
/ evaluaciones -0ec1a por &e0inir.
2 +ra,ajo Fin asignatura
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!resentaci)n de Asignatura
3as matemáticas 0inancieras son una de las partes más 4tiles e
interesantes de matemáticas aplicadas5 so,re todo en los tiempos
actuales5 cuando todo mundo aspira a lograr con su dinero5 el
má6imo de los ,ene0icios como comprador * )ptimos
rendimientos como inversionista
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!resentaci)n de Asignatura
(l uso del dinero tiene un costo5 al igual que los tienen otros tipos de ,ienes
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!resentaci)n de Asignatura (l dinero junto al capital5 com,inados permiten que cam,ie de valor a medida que pasa el
tiempo * de esta situaci)n surge la a0irmaci)n del valor del dinero en el tiempo
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!resentaci)n de Asignatura !or tanto es 4til conocer la medida en que el paso del tiempo a0ecta el valor del dinero 7o
es lo mismo 2888 unidades monetaria 1o* que en /8 a9os más
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!resentaci)n de Asignatura
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!resentaci)n de Asignatura
compensación pagada o recibida por el uso del
dinero o cualquier otro activo.
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!resentaci)n de Asignatura El concepto de interés constituye la base
fundamental no sólo de las
matemáticas financieras, sino de toda operaciónfinanciera particular
en la que intervienen valores y tiempos.
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!resentaci)n de Asignatura
Interés : (s el r$dito que se paga por unasuma de dinero tomada en pr$stamo5 la
cual depende de las condiciones
contractuales5 * var:a en raz)n directa con
la cantidad de dinero prestada -capital.5 el
tiempo de
duraci)n del pr$stamo -plazo. * la tasa deinter$s aplicada
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!resentaci)n de Asignatura
Tasa de Interés: (s la tasa que se aplica
en una operaci)n comercial5 la cual
determina el inter$s a pagar5 se e6presa en
tanto por ciento -;. * generalmente la tasa
de inter$s se da por a9o
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!resentaci)n de Asignatura
Tiempo : (s el intervalo durante el cual
tiene lugar la operaci)n 0inanciera en
estudio5 la unidad de tiempo es el a9o.
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!resentaci)n de Asignatura
Periodo : (s el intervalo de tiempo en el
que se liquida la tasa de inter$s -a9o5
semestre5 trimestre5 ,imestre5 mes5
quincena5 semana5 diario5 etc.
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!resentaci)n de Asignatura
Capital : (s el dinero que se presta5
com4nmente se le denomina valor
presente
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!resentaci)n de Asignatura
Monto : (s el capital 0ormado por el
capital actual más los interesesdevengados en el periodo5 com4nmente
se le denomina valor 0uturo
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!resentaci)n de Asignatura
Anualidad : Es el fujo deee!"#o "$u%l &ue se '%$% ose o()% %d% "e)!o 'e)"odo.
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INTERÉS SIMPLE
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(n todas las actividades 0inancieras se acostum,ra a pagar un redito por el uso del dineros
prestado
3a ma*or parte de las ganancias de los ,ancos e instituciones 0inancieras deri,an del pago de estos
intereses por prestamos o por utilidades de inversiones realizadas
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%e llama inter$s al ,ene0icio que produce el dinero prestado (se ,ene0icio es directamente
proporcional a la cantidad prestada * al tiempo que dura el pr$stamo
+oda persona que o,tiene un pr$stamo queda o,ligada a paragar la renta del capital5 los intereses5
por el uso del dinero tomado en pr$stamo
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Inter$s es el alquiler o r$dito que se paga por un dinero tmado en pr$stamo 3as le*es de cada pa:s
rigen los contratos * las relaciones entre los prestatarios * los prestamistas
!or un dinero tomado en pr$stamo esnecesario pagar un precio5 el cual se e6presa mediante una
suma que se de,e pagar por cada unidad de dinero prestada5 en una unidad de tiempo acordada
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3a e6presi)n del precio es la tasa de la operaci)n comercial 3a unidad de tiempo que se utiliza
regularmente es el a9o (sta tasa se e6presa en porcentaje * representa el tipo de inter$s de la
operaci)n
Cuando se trata de dinero invertido5 el inversionista espera recuperar una suma ma*or que la invertida5
de este principio surege el concepto de tasa de retorno
(n los pa:ses a0ectados por una desvalorizaci)n continua5 la tasa de inter$s suele ser alta5 puesto quecom,ina el tipo de inter$s por el precio del dinero con la correcci)n de su valor lo que constitu*e un
pseudo inter$s
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(l inter$s simple es un tipo de inter$s que siempre se calcula so,re el capital inicial sin la capitalizaci)n de los
intereses5 de suerte que los intereses generados no se inclu*en en el cálculo 0uturo de los intereses5
permaneciendo el capital 0ijo
(l inter$s simple5 por no capitalizar intereses resulta siempre menor al inter$s compuesto5 puesto que la ,ase
para su cálculo permanece constante en el tiempo5 a di0erencia del inter$s compuesto
(l inter$s simple es de poco u nulo uso en el sector 0inanciero 0ormal5 pues este opera ,ajo el inter$s compuesto
(l inter$s simple es utilizado por el sistema 0inanciero in0ormal5 por los prestamistas particulares * prender:as
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(s pagado so,re el capital primitivo que permanece invaria,le (n consecuencia5 el inter$s o,tenido
en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo (s decir5 la retri,uci)n econ)mica causada *
pagada no es reinvertida5 por cuanto5 el monto del inter$s es calculado so,re la misma ,ase
(s la ganancia s)lo del Capital -principal5 stoc< inicial de e0ectivo. a la tasa de inter$s por unidad de
tiempo5 durante todo el per:odo de transacci)n comercial
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Al calcularse el inter$s simple so,re el importe inicial5 este es indi0erente a la 0recuencia en la que
$stos son co,rados o pagados (l inter$s simple5 no capitaliza
$100 $10 $10$10
Tiempo 1 !0
"n capital de 100 pesos al 10# en tres periodos
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3a longitud de una escalera es la misma contada de arri,a a,ajo como de a,ajo arri,a (l
valor 0uturo VF puede considerarse como la cima vista desde a,ajo * el valor actual VA
como el 0ondo visto desde arri,a
(l valor actual de una cantidad con vencimiento en el 0uturo5 es el capital que a un tipo de
inter$s dado5 en per:odos tam,i$n dados5 ascenderá a la suma de,ida
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3a 0)rmula de la capitalizaci)n simple permite calcular el equivalente de un
capital en un momento posterior =eneralmente5 el inter$s simple es utilizado en
el corto plazo -per:odos menores de 2 a9o.
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%i conocemos el monto para tiempo * tasa dados5 el pro,lema será entonces 1allar el capital5 en
realidad no es otra cosa que el valor actual del monto &erivamos el VA de la 0)rmula general"
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%i llamamos I a los intereses perci,idos en el per:odo considerado5 convendremos*
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Atenci)n con plazos de los intereses
Base temporal Calculo Tasa
periódica
Año 18/1 18.00%
Semestre 18/2 9.00%
Cuatrimestre 18/3 6.00%
Trimestre 18/4 4.50%
Mes 18/12 1.50%
Día 18/365 0.05%
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INTERÉS COMPUESTO
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(l inter$s compuesto es 0undamental para entender las matemáticas 0inancieras Con la aplicaci)n
del inter$s compuesto o,tenemos intereses so,re intereses5 esto es la capitalizaci)n del dinero en
el tiempo
Calculamos el monto del inter$s so,re la ,ase inicial más todos los intereses acumulados en
per:odos anteriores> es decir5 los intereses reci,idos son reinvertidos * pasan a convertirse en
nuevo capital
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3lamamos monto de capital a inter$s compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial
con sus intereses 3a di0erencia entre el monto compuesto * el capital original es el inter$s
compuesto
(l intervalo al 0inal del cual capitalizamos el inter$s reci,e el nom,re de per:odo de capitalizaci)n 3a
0recuencia de capitalizaci)n es el n4mero de veces por a9o en que el inter$s pasa a convertirse en
capital5 por acumulaci)n
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=eneralizando para n per:odos de composici)n5 tenemos la 0)rmula general del inter$s
compuesto"
nVF VA(1 i)= +
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3a 0)rmula general del inter$s compuesto permite calcular el equivalente de un capital en un
momento posterior
ni
VFVA)(1
+
=
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?tras e6presiones de utilidad"
1 −= n
VA
VFi
)(1
ilog
VA
VFlog
n+
=
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