PROPORCIONALIDAD
MAGNITUD: Es todo aquello que puede ser medido.
CANTIDAD: Es un estado particular de la magnitud por ejemplo.
Magnitud Cantidad
Longitud 75 cm
Volumen 30 litros
Número de
días25 días
Número de
obreros43 obreros
Cantidad de
obra700 m3
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: (D.P)
Por ejemplo un, vendedor ambulante vende cada una de las botellas con un litro de
gaseosa a S/. 2 analizamos las magnitudes, número de botellas vendidas y el precio.
Se observa que:
12
= 24
= 48
= 510
= 612
= 0 .5
Observamos que la relación entre los valores correspondientes entre las 2
magnitudes es constante, cuando ocurre esto a las magnitudes las llamaremos D.P.
# de botellas 1 2 4 5 6
precio 2 4 8 10 12
Veamos gráficamente.
precio
Por lo tanto:
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)
Por ejemplo, si 24 obreros pueden hacer una zanja en 10 días, analicemos los valores
correspondientes que pueden tomar las magnitudes número de obreros y números de
días.
# de
Obreros
24 1
6
12 8
# de días 10 1
5
20 30
Podemos Observar que:
24 . 10 = 16 .15 = 12 . 20 = 8.30
Cuando dos magnitudes cumplen que el producto de sus valores correspondientes es
constante les llamaremos magnitudes I.P.
(# de obreros) I.P (# de días)
Veamos gráficamente
Dos magnitudes serán D.P. si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, el valor de la otra, aumenta o disminuye en la misma proporción respectivamente.
Por lo tanto:
Ejemplos:
a) Si la magnitud A2 es I.P 3√B , calcule x, si:
A 15 X
B 27 1728
b) La presión es I.P con el volumen, ¿a qué presión está sometido un gas, si al
aumentar la presión en 12 atmósferas, el volumen varía en 1/7?
GRÁFICA DE LAS MAGNITUDES PROPORCIONALES
A) GRÁFICA MAGNITUDES D.P.
Si: A(D.P.)B
AB = k
Dos magnitudes serán I.P. si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores de la otra disminuye o aumentar en la misma proporción respectivamente.
AB = k
recta
a3
a2
a1
b3b2b1
Tg =
a1b1
=a2b2
=. ..anbn
=K
Analicemos las magnitudes D.P como función de proporcionalidad:
Sabemos que cuando A es D.P.B. se cumple.
(Valor de A )(Valor de B ) = k (cte)
Llamemos:
“y” al valor de A
“x” al valor de B
“m” a la cte.
Entonces:
yx
= m
Lo que nos representa la ecuación de una recta que pasa por el origen de
coordenadas por lo que:
y = f(x), entonces:
f(x) = mx
f(x): función de proporcionalidad directa
Aplicación 1:
Si f(x) es una función de proporcionalidad directa, en donde f(4) = 12, Calcule f(3)
+ f(2)
Aplicación 2:
Si f(x) es una función de proporcionalidad, calcule
x =F (3 ) x F (4 ) − (F (5))2
F (17)x
1F (9 )
B) GRÁFICA MAGNITUDES I.P.
Si A(I.P.) B A . B = K
Gráfica: Hipérbola equilátera
Analicemos las magnitudes I.P. como función de proporcionalidad.
Sabemos que cuando A I P B:
(Valor de A) (Valor de B) = cte.
Llamaremos:
“y” al valor de A
“x” al valor de B
“m” a la cte.
Luego reemplazamos: y . x = m
y=mx
Lo que es una ecuación de una hipérbola equilátera por lo que:
y = f(x), entonces:
f ( x )=mx
ó f(x).x = m, f(x): función de proporcionalidad inversa.
PROPIEDADES:
A . B = Ka1
a2
an
bnb2b1
1. A(I.P.)B = A(D.P)1B
2. A(D.P.)B = An (I.P.) Bn
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Si A es D.P. a B, además cuando A = 12 entonces B es igual a 16. Hallar A
cuando B sea igual a 12.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 6
2. Si A es I.P. a B además cuando A es igual a 10, entonces B es igual a 24. Hallar B
cuando A sea igual a 15.
a) 10 b) 8 c) 16
d) 12 e) 4
3. Si A es D.P. a B2, además cuando A es igual a 32 entonces B es igual a 4. Hallar A
cuando B sea igual a 3.
a) 6 b) 9 c) 18
d) 27 e) 36
4. Si A es D.P. a B. IP a C e I.P. a D, además cuando AD=2 entonces B=2C. Hallar A
cuando B=48, C=2 y D=3.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 12 e) 16
5. Si: A es D.P. a B, e I.P. a C, además cuando A es igual a 2, entonces B es igual a
6 y C es igual a 8. Hallar A ciando B sea 15 y C igual 10.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 5
6. Sea “F” una función de proporcionalidad directa tal que: F(3) + F(4) = 20.
Hallar el valor de: F(21/5).F(5).F(7)
a) 1 200 b) 1 176 c) 1 154
d) 1 100 e) 1 086
7. Se tiene dos magnitudes tales que: es I.P. a B. Si cuando A = 8 entonces B =
6, halar A cuando B sea 4.
a) 9 b) 27 c) 4
d) 32 e) 64
8. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es D.P. a e I.P. a C2 cuando A=8
y B=16 entonces C=6. Hallar B cuando A=9 y C=4.
a) 2 b) 4 c)
d) 6 e) 16
9. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es DP a B1/2; A es IP a C2. Cuando
A=8, B=16, C=6. Calcular B si A=9 y C=4.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10. La magnitud A es DP a B2, e IP a C1/3. Si el valor de B se duplica y el de C
disminuye en sus 26/27. ¿Qué sucede con el valor de A?
a) Queda multiplicado por 12
b) Disminuye en 1/11 de su valor
c) Aumenta en 1/11 de su valor
d) Se triplica
e) Se cuadriplica
11. Se sabe que “A “ es I.P. con “B” y que “B” es I.P. con “C”. Si cuando “A” aumenta
15 unidades “C” varia en 20%. ¿Qué pasa con “B” cuando “A”. aumenta en 25
unidades?
a) Aumenta en 10%
b) Aumenta en 20%
c) Disminuye en 15%
d) Disminuye en 25%
e) No varia
12. Sean dos magnitudes A y B tales que: A IP B (B 30); A DP B (B 30). Si A = 6
cuando B = 20. ¿Cuál será el valor de A cuando B = 60?
a) 2 b) 4 c) 8
d) 3 e) 6
13. El peso de un eje varía proporcionalmente a su longitud y a su sección transversal.
Si un metro de hierro forjado de un centímetro de diámetro pesa 0,6 kg. Calcular el
peso de un eje de 5m de largo y 5 cm de diámetro.
a) 60kg b) 75kg c) 90kg
d) 105kg e) 120kg
14. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale 55.000 dólares, si uno de 6 kilates
cuesta 19800 y el precio es proporcional al cuadrado de su peso. (1 kilate = 0.259)
a) 6g b) 6,25g c) 2,5g
d) 25g e) 62,5g
15. Si:
MAGNITUD VALORES ASIGNADOS
A 36 144 324 9 4
B 6 3 2 12 18
Determinar la relación correcta entre A y B
a) AD.P 1/B b) A2 D.P. 1/B c) AI.P.B.2
d) √A D .P 1/B e) √A I . P . B2
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