PROPORCIONALIDAD
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Def in ic ión de proporc i ón
Proporc ión es una igua ldad entre dos razones.
Constante de proporc ional idad
Propiedades de las proporc iones
En una proporc ión de l producto de l os med ios es igua l a l
producto de l os extremos.
En una proporc ión o en una ser ie de razones igua les ,
l a suma de l os antecedentes d iv id ida entre la suma de l os
consecuentes es igua l a una cua l qu iera de las razones.
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Si en una proporc ión cambian entre s í l os med ios o extremos la
proporc ión no var ía .
Cuarto proporc ional
Es uno cua l qu iera de los términos de una proporc ión.
Para ca l cu l ar l o se d i v ide por e l opuesto , e l producto de l os otros
dos términos .
Medio proporc ional
Una proporc ión es cont inua s i t iene l os dos med ios igua les .
Para ca l cu l ar e l med io proporc iona l de una proporc ión cont inua se
extrae l a ra í z cuadrada de l producto de l os extremos .
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Tercero proporcional
En una proporc ión cont inua , se denomina tercero
proporc iona l a cada uno de l os términos des igua les .
Un tercero proporc iona l es i gua l a l cuadrado de l os
términos i gua les , d i v id ido por e l término des i gua l .
Dos magn i tudes son d i rectamente proporc iona les c uando , a l
mult ip l i car o d i v id i r una de e l l as por un número cua l qu iera , la otra
queda mu l t ip l i cada o d iv id ida por e l m ismo número .
Se estab lece una re lac ión de proporc iona l idad d i recta entre dos
magn i tudes cuando :
A más c orresponde más .
A menos c orresponde menos .
Son magn i tudes d irectamente proporc iona les , e l peso de un producto y su
prec io .
S i 1 kg de tomates cuesta 1 € , 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50
cént imos .
Es dec i r :
A más k i l ógramos de tomate más euros .
A menos k i l ógramos de tomate menos euros .
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Tamb ién son d irectamente proporc iona les :
E l espac io recorr ido por un móv i l y e l t i empo emp leado .
E l vo l umen de un cuerpo y su peso .
La l ong i tud de l os l ados de un po l í gono y su á rea .
Aplicaciones de la proporcionalidad directa
Reg l a de tres s imp le y d i recta
Repartos d i rectamente proporc iona les
Porcentajes
Cons i s te en que dadas dos cant idades correspond ientes a
magn i tudes d irectamente proporc iona les , c a l cu l ar l a cant idad de una de
estas magn i tudes correspond iente a una cant idad dada de l a otra
magn i tud .
La reg la de tres d i recta l a ap l i caremos cuando entre l a s
magn i tudes se estab lecen l as re l ac iones :
A más más .
A menos menos .
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Ejemp los
Un automóv i l recorre 240 km en 3 horas . ¿Cuántos k i l ómetros hab rá
recorr ido en 2 horas?
Son magn i tudes d irectamente proporc iona les , ya que a menos horas
recorrerá menos k i l ómetros .
240 km 3 h
x km 2 h
Ana compra 5 kg de patatas , s i 2 kg cuestan 0 .80 € ,
¿cuánto pagará Ana?
Son magn i tudes d irectamente proporc iona les , ya que a más
k i l os , más euros .
2 kg 0 .80 €
5 kg x €
Cons i s te en que dadas unas magn i tudes de un mismo t ipo y una
magn i tud tota l , ca lcu lar l a parte correspond iente a cada una de las
magn i tudes dadas.
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Ejemp lo
Un abue lo reparte 450 € entre sus tres n ietos de 8 , 12 y 16 años de
edad ; proporc iona lmente a sus edades . ¿Cuánto corresponde a cada uno?
L l amamos x , y , z a l as cant idades que l e corresponde a cada uno .
1º E l reparto proporc iona l es :
2º Por l a prop iedad de l as razones i gua les :
3º Cada n ieto rec ib i rá :
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Un porcentaje es un t ipo de reg la de tres d i recta en e l que una
de las cant idades es 100.
Ejemp los de porcentajes
Una moto cuyo prec io era de 5 .000 € , cuesta en l a actua l idad 250 €
más . ¿Cuá l es e l p orcentaje de aumento?
5000 € 250 €
100 € x €
E l 5%.
A l adqu i r i r un veh ícu l o cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen
un descuento de l 7 .5% . ¿Cuánto hay que pagar por e l veh ícu l o?
100 € 7 .5 €
8800 € x €
8800 € − 660 € = 8140 €
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Tamb ién se puede ca l cu l ar d i rectamente de l
s i gu iente modo :
100 € 92 .5 €
8800 € x €
E l prec io de un ordenador es de 1200 € s in
IVA. ¿Cuánto hay que pagar por é l s i e l IVA es de l
16%?
100 € 1 16 €
1200 € x €
Dos magn i tudes son inversamente proporc iona les cuando, a l
mu l t ip l i car o d i v id i r una de e l l as por un número cua l qu iera, l a otra
queda d iv id ida o mu l t ip l i cada por e l mismo número.
Se estab lece una re lac ión de proporc iona l i dad inversa entre dos
magn i tudes cuando :
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A más c orresponde menos .
A menos c orresponde más .
Son magn i tudes inversamente proporc iona les , l a ve l oc idad y e l
t iempo :
A más ve l oc idad corresponde menos t i empo .
A menos ve l oc idad cor responde más t i empo .
Un veh ícu l o tarda en rea l i zar un trayecto 6 horas s i s u ve l oc idad e s
de 60 km/h , pero s i dob l amos l a ve l oc idad e l t iempo d i sminu i rá a l a m itad .
Es dec i r , s i l a ve l oc idad es de 120 km/h e l t i empo de l trayecto será de 3
horas .
Apl icac iones de la proporc ional idad inversa
Reg l a de tres s imp le i n versa
Repartos i nversamente proporc iona les
Cons i s te en que dadas dos cant idades correspond ientes a
magn i tudes inversamente proporc iona les , ca l cu lar la cant idad de una
de estas magn i tudes correspond iente a una cant idad dada de la otra
magn i tud.
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La reg la de tres inversa l a ap l i caremos cuando entre l a s
magn i tudes se estab lecen l as re l ac iones :
A más menos .
A menos más .
Ejemp lo
Un gr ifo que mana 18 l de agua por m i nuto tarda 14 horas en l l enar
un depós i to . ¿Cuánto t ardar ía s i s u cauda l fuera de 7 l por m inu to?
Son magn i tudes i nversamente proporc iona les , ya que a menos l i t ros
por m i nuto tardará más en l l enar e l depós i to .
18 l /min 14 h
7 l /min x h
3 obreros construyen un muro en 12 horas , ¿cuánto tardarán
en constru i r l o 6 obreros?
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Son magn i tudes i nversamente proporc iona l es , ya que a más
obreros tardarán menos horas .
3 obreros 12 h
6 obreros x h
Dadas unas magn i tudes de un mismo t ipo y una magn i tud tota l ,
debemos hacer un reparto d i rectamente proporc iona l a l as inversas de
las magn i tudes.
Ejemp lo
Tres hermanos ayudan a l manten imiento fami l i ar entregando
anua lmente 5900 € . S i sus edades son de 20 , 24 y 32 años y l as
aportac iones son i nversamente proporc iona le s a l a edad , ¿cuánto aporta
cada uno?
1º Tomamos l os i nversos :
2º Ponemos a común denominador :
3º Rea l i zamos un reparto d i rectamente proporc iona l a l os
numeradores : 24 , 20 y 15 .
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La reg la de tres compuesta se emp lea cuando se re l ac ionan tres o
más magn i tudes , de modo que a par t i r de l as re l ac iones estab lec idas
entre l as magn i tudes c onoc idas obtenemos l a desconoc ida .
Una reg la de tres compuesta se compone de var ias reg las de tres
s imp les ap l i cadas suces i vamente .
Como entre l as magn i tudes se pueden estab lecer re l ac iones de
proporc iona l idad d irecta o inversa , podemos d i s t ingu i r tres casos de
reg la de tres compuesta :
Regla de tres compuesta d irecta
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Ejemp lo
Nueve gr i fos ab iertos durante 10 horas d ia r i as han consumido una
cant idad de agua por va l or de 20 € . Aver iguar e l prec io de l vert ido de 15
gr i fos ab iertos 12 horas durante l os m ismos d ías .
A más g r i fos , más euros Directa .
A más horas , más euros Directa .
9 gr i fos 10 horas 20 €
15 gr i fos 12 horas x €
Regla de tres compuesta inversa
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Ejemp lo
5 obreros traba jando , trabajando 6 horas d iar i as construyen un
muro en 2 d í as . ¿Cuánto t ardarán 4 obreros t rabajando 7 horas d iar i as?
A menos obreros , más d í as Inversa .
A más horas , menos d ías Inversa .
5 obreros 6 horas 2 d ías
4 obreros 7 horas x d ías
Regla de tres compuesta mixta
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Ejemplo
Si 8 obreros rea l i zan en 9 d ías trabajando a razón de 6 horas por
d ía un muro de 30 m . ¿Cuántos d ías neces i tarán 10 obreros trabajando 8
horas d i ar i as para rea l i zar l os 50 m de muro que fa l tan?
A más obreros , menos d ías Inversa .
A más horas , menos d ías Inversa .
A más metros , más d ías Directa .
8 obreros 9 d ías 6 horas 30 m
10 obreros x d í as 8 horas 50 m
Ejercicios y problemas de proporcionalidad
1Ca l cu l ar e l término desconoc ido de l as s i gu i entes proporc iones :
1
2
3
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4
5
2Dos ruedas están un idas por una correa t ransmisora . La pr imera
t iene un rad i o de 25 cm y l a segunda de 75 c m. Cuando l a pr imera ha dado
300 vue l tas , ¿cuántas vue l tas habrá dado l a segunda?
3Seis personas pueden v i v i r en u n hote l durante 12 d ías por 792 € .
¿Cuánto costará e l hote l de 15 personas durante ocho d í as?
4Con 12 botes conten i endo cada uno ½ kg de p intura se han p intado
90 m de verja de 80 cm de a l tura . Ca l cu l ar cuántos botes de 2 kg de
p intura serán necesar ios para p in tar u na verja s im i l ar de 120 cm de
a l tura y 200 metros de l ong i tud .
5 1 1 obreros l abran un campo rectangu l ar de 220 m de l argo y 48 de
ancho en 6 d ías . ¿Cuántos obreros serán necesar ios para l abrar otro
campo aná l ogo de 300 m de l argo por 56 m de ancho en c inco d ías?
6 Se i s gr i fos , tardan 10 horas en l l enar un depós i to de 400 m³ de
capac idad . ¿Cuántas horas tardarán cuatro gr i fos en l l enar 2 depós i tos
de 500 m³ cada uno?
7De l os 800 a l umnos de un co l eg io , han i do de v i a je 600 . ¿Qué
porcentaje de a l umnos ha ido de v i a je?
8Una moto cuyo prec i o era de 5 .000 € , cuesta en l a actua l idad 25 0
€ más . ¿Cuá l es e l p orcentaje de aumento?
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9Al adqu i r i r un veh ícu l o cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen un
descuento de l 7 .5% . ¿Cuánto hay que pagar por e l veh ícu l o?
10Al comprar un mon i tor que cuesta 450 € nos hacen un descuento
de l 8% . ¿Cuánto tenemos que pag ar?
11 Se vende un art í cu l o con una gananc ia de l 15% sobre e l prec io de
costo . S i se ha comprado en 80 € . Ha l l a e l prec io de venta .
12 Cuá l será e l prec io que hemos de marcar en un art ícu l o cuya
compra ha ascend ido a 180 € para ganar a l vender l o e l 10% .
13 ¿Qué prec io de venta hemos de poner a un art í cu l o comparado a
280 € , para perder e l 12% sobre e l prec io de venta?
14Se vende un ob jeto perd iendo e l 20% sobre e l prec io de compra .
Ha l l ar e l prec io de venta de l c i t ado art ícu l o cuyo va l or de compra fue de
150 € .
Ejercicios y problemas resueltos de proporcionalidad
Ca l cu l ar e l término desconoc ido de l as s i gu ientes proporc iones :
1
2
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3
4
5
2
Dos ruedas están un idas por una correa t ransmisora . La pr imera
t iene un rad i o de 25 cm y l a segunda de 75 c m. Cuando l a pr imera ha dado
300 vue l tas , ¿cuántas vue l tas habrá dado l a segunda?
25 cm 300 vue l tas
75 cm x vue l t as
Se is personas pueden v i v i r en un hote l durante 12 d ías por 792 € .
¿Cuánto costará e l hote l de 15 personas durante ocho d í as?
6 personas 12 d ías 792 €
15 personas 8 d ías x €
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Con 12 botes conten i endo cada uno ½ kg de p intura se han p in tado
90 m de verja de 80 cm de a l tura . Ca l cu l ar cuántos botes de 2 kg de
p intura serán necesar ios para p in tar u na verja s im i l ar de 120 cm de
a l tura y 200 metros de l ong i tud .
½ kg 90 · 0 .8 m² 12 botes
2 kg 200 · 1 .2 m² x botes
1 1 obreros l abran un c ampo rectangu l ar de 2 20 m de l argo y 48 de
ancho en 6 d ías . ¿Cuántos obreros serán necesar ios para l abrar otro
campo aná l ogo de 300 m de l argo por 56 m de ancho en c inco d ías?
220 · 48 m² 6 d ías 1 1 obreros
300 · 56 m² 5 d ías x obreros
Se is gr i fos , tardan 1 0 horas en l l enar un depós i to de 400 m³ de
capac idad . ¿Cuántas horas tardarán cuatro gr i fos en l l enar 2 depós i tos
de 500 m³ cada uno?
6 gr i fos 10 horas 1 depós i to 400 m³
4 gr i fos x horas 2 depós i tos 500 m³
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De l os 800 a l umnos de un co l eg io , han ido de v i a je 600 . ¿Qué
porcentaje de a l umnos ha ido de v i a je?
800 a l umnos 600 a l umnos
100 a l umnos x a l umnos
Al adqu i r i r un veh ícu l o cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen un
descuento de l 7 .5% . ¿Cuánto hay que pagar por e l veh ícu l o?
100 € 7 .5 €
8800 € x €
8800 € − 660 € = 8140 €
Tamb ién se puede ca l cu l ar d i rectamente de l s i gu iente modo :
100 € 92 .5 €
8800 € x €
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E l prec io de un ordenador es de 1200 € s i n IVA. ¿Cuánto hay que
pagar por é l s i e l IV A es de l 16%?
100 € 1 16 €
1200 € x €
A l comprar un mon i tor que cuesta 450 € nos hacen un descuento de l
8% . ¿Cuánto tenemos que pagar?
100 € 92 €
450 € x €
Se vende un art í cu l o con una gananc ia de l 15% sobre e l prec io de
costo . S i se ha comprado en 80 € . Ha l l a e l prec io de venta .
100 € 1 15 €
80 € x €
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- 22 –
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Cuá l será e l prec io que hemos de marcar en un art í cu l o cuya compra
ha ascend ido a 180 € para ganar a l vender l o e l 10% .
venta compra
100 € 90 €
x € 180 €
¿Qué prec io de venta hemos de poner a un a rt í cu l o comparado a 280
€ , para perder e l 12% sobre e l prec io de venta?
venta compra
100 € 1 12 €
x € 280 €
Se vende un ob jeto perd iendo e l 20% sobre e l prec io de compra .
Ha l l ar e l prec io de venta de l c i t ado art ícu l o cuyo va l or de compra fue de
150 € .
100 € 80 €
150 € x €
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- 23 –
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Ejercicios y problemas de proporcionalidad
1Un abue lo reparte 45 0 € entre sus tres n ie tos de 8 , 12 y 16 años
de edad ; proporc iona lmente a sus edades . ¿Cuánto corresponde a cada
uno?
2 Se asoc ian tres i nd i v iduos aportando 500 0 , 7500 y 9000 € . A l
cabo de un año han ganado 6 450 € . ¿Qué cant idad cor responde a cada
uno s i hacen un reparto d i rectamente p roporc iona l a l os cap i ta l es
aportados?
3 Se reparte una cant idad de d inero , entre tres personas ,
d i rectamente proporc i ona l a 3 , 5 y 7 . Sab iendo que a l a segunda l e
corresponde 735 € . Ha l l ar l o que l e corresponde a l a pr imera y tercera .
4Se reparte d inero en proporc ión a 5 , 10 y 13 ; a l menor l e
corresponden 2500 € . ¿Cuánto corresponde a l os otros dos?
5Tres hermanos ayudan a l manten imiento fami l i ar entregando
anua lmente 5900 € . S i sus edades son de 20 , 24 y 32 años y l as
aportac iones son i nversamente proporc iona le s a l a edad , ¿cuánto aporta
cada uno?
6Repart i r 420 € , entre tres n iños en partes i nversamente
proporc iona les a sus edades , que son 3 , 5 y 6 .
Un abue lo reparte 450 € entre sus tres n ietos de 8 , 12 y 16 años de
edad ; proporc iona lmente a sus edades . ¿Cuánto corresponde a cada uno?
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Se asoc ian tres i nd i v i duos aportando 5000 , 7500 y 9000 € . A l cabo
de un año han g anado 6 450 € . ¿Qué cant idad corresponde a cada uno s i
hacen un repar to d i rectamente proporc iona l a l os cap i ta l es aportados?
De l os 800 a l umnos de un co l eg io , han ido de v i a je 600 . ¿Qué
porcentaje de a l umnos ha ido de v i a je?
2Una moto cuyo prec i o era de 5 .000 € , cuesta en l a actua l idad 25 0
€ más . ¿Cuá l es e l p orcentaje de aumento?
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3Al adqu i r i r un veh ícu l o cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen un
descuento de l 7 .5% . ¿Cuánto hay que pagar por e l veh ícu l o?
4Al comprar un mon i tor que cuesta 450 € nos hacen un descuento
de l 8% . ¿Cuánto tenemos que pag ar?
5 Se vende un art í cu l o con una gananc ia de l 15% sobre e l prec io de
costo . S i se ha comprado en 80 € . Ha l l a e l prec io de venta .
6 Cuá l será e l prec io que hemos de marcar en un ar t ícu l o cuya
compra ha ascend ido a 180 € para ganar a l vender l o e l 10% .
7 ¿Qué prec io de venta hemos de poner a u n art í cu l o comparado a
280 € , para perder e l 12% sobre e l prec io de venta?
8Se vende un ob jeto perd iendo e l 20% sobre e l prec io de compra .
Ha l l ar e l prec io de venta de l c i t ado art ícu l o cuyo va l or de compra fue de
150 € .
De l os 800 a l umnos de un co l eg io , han ido de v i a je 600 . ¿Qué
porcentaje de a l umnos ha ido de v i a je?
800 a l umnos 600 a l umnos
100 a l umnos x a l umnos
Al adqu i r i r un veh ícu l o cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen un
descuento de l 7 .5% . ¿Cuánto hay que pagar por e l veh ícu l o?
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100 € 7 .5 €
8800 € x €
8800 € − 660 € = 8140 €
Tamb ién se puede ca l cu l ar d i rectamente de l s i gu iente modo :
100 € 92 .5 €
8800 € x €
E l prec io de un ordenador es de 1200 € s i n IVA. ¿Cuánto hay que
pagar por é l s i e l IV A es de l 16%?
100 € 1 16 €
1200 € x €
A l comprar un mon i tor que cuesta 450 € nos hacen un descuento de l
8% . ¿Cuánto tenemos que pagar?
100 € 92 €
450 € x €
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Se vende un art í cu l o con una gananc ia de l 15% sobre e l prec io de
costo . S i se ha comprado en 80 € . Ha l l a e l prec io de venta .
100 € 1 15 €
80 € x €
Cuá l será e l prec io que hemos de marcar en un art í cu l o cuya compra
ha ascend ido a 180 € para ganar a l vender l o e l 10% .
venta compra
100 € 90 €
x € 180 €
¿Qué prec io de venta hemos de poner a un a rt í cu l o comparado a 280
€ , para perder e l 12% sobre e l prec io de venta?
venta compra
100 € 1 12 €
x € 280 €
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Se vende un ob jeto perd iendo e l 20% sobre e l prec io de compra .
Ha l l ar e l prec io de venta de l c i t ado art ícu l o cuyo va l or de compra fue de
150 € .
100 € 80 €
150 € x €
Ejercicios y problemas de regla de tres
1Dos ruedas están un idas por una correa t ransmisora . La pr imera
t iene un rad i o de 25 cm y l a segunda de 75 c m. Cuando l a pr imera ha dado
300 vue l tas , ¿cuántas vue l tas habrá dado l a segunda?
2Seis personas pueden v i v i r en u n hote l durante 12 d ías por 792 € .
¿Cuánto costará e l hote l de 15 personas durante ocho d í as?
3Con 12 botes conten i endo cada uno ½ kg de p intura se han p intado
90 m de verja de 80 cm de a l tura . Ca l cu l ar cuántos botes de 2 kg de
p intura serán necesar ios para p in tar u na verja s im i l ar de 120 cm de
a l tura y 200 metros de l ong i tud .
4 1 1 obreros l abran un campo rectangu l ar de 220 m de l argo y 48 de
ancho en 6 d ías . ¿Cuántos obreros serán necesar ios para l abrar otro
campo aná l ogo de 300 m de l argo por 56 m de ancho en c inco d ías?
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5 Se i s gr i fos , tardan 10 horas en l l enar un depós i to de 400 m³ de
capac idad . ¿Cuántas horas tardarán cuatro gr i fos en l l enar 2 depós i tos
de 500 m³ cada uno?
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