INSTITUCIÓN EDUCATIVA «JUAN PABLO II»
HUALLIN - ASUNCIÓN
TEMA: PROPORCIONALIDAD
NUMÉRICA
DOCENTE: JOSÉ LUIS MEZA ARCOS
GRADO: 2° DE SECUNDARIA SECCIÓN: ÚNICA
2012
INTRODUCCIÓN
Antes de dar inicio a este fascinante mundo matemático
con el tema PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA vamos a
realizar un repaso de algunos puntos esenciales para su
aprendizaje y dominio.
Multiplicación y División de enteros.
Multiplicación y División por la
unidad seguida de ceros.
Equivalencia de fracciones.
Fracción como expresión decimal.
Fracción como parte de un todo.
MUY INTERESANTE
Ejemplos:
Resolver:
(-98) . (+6) =
(-9) . (-87) =
(+76) . (+54) =
(+78) . (-89) =
(-9).(+7).(-8) =
(-8).(-7).(-6) =
(-96) : (+6) =
(-9) . (-87) =
(+76) . (+54) =
(+78) . (-89) =
(-9).(+7).(-8) =
(-8).(-7).(-6) =
Sobre multiplicación y división
con 10, 100, 1000, 10000
56 x 100 =
5,6 x 100 =
0,56 x 100 =
56,7 x 100 =
0,098 x 1000 =
97,008 x 1000 =
56 : 100 =
5,6 : 100 =
0,56 : 100 =
56,7 : 100 =
0,098 : 1000 =
97,008 : 1000 =
Una pequeña introducción Desde los albores de la humanidad, el hombre buscó siempre algo absoluto, alguna ley o principio de simetría, un ideal que expresase plenamente lo visual de la figura humana. En el antiguo Egipto encontramos las primeras referencias a la proporcionalidad, entre cada parte del cuerpo y su todo; y se usaba como valor de referencia la longitud de sus dedos. En la Grecia Antigua, se utilizaba, al igual que los egipcios, la proporción, para valorar los distintos cánones de belleza. Este pueblo definió los cánones ideales de belleza en función de las proporciones corporales; utilizaron como como unidad de referencia la altura de la cabeza. En el siglo V a.C. Policleto estableció para el cuerpo humano proporcionado, una longitud de siete cabezas, mientras que su compatriota, Praxíteles, en sus tratados aumenta esta relación a ocho cabezas (como observamos, hemos pasado de usar la longitud del dedo a la longitud de la cabeza). Estos cánones permanecieron casi invariables durante la antigüedad grecorromana. Sin embargo, desde fines de la antigüedad fueron progresivamente abandonados, a medida que el interés en la representación de la figura humana fue decayendo. Durante la Edad Media no existió un canon riguroso para las proporciones del cuerpo humano. Las figuras humanas y animales se trazaban a partir de formas geométricas simples, como el triángulo o el cuadrado.
En el renacimiento se adoptaron nuevamente los cánones de la antigüedad grecorromana. La proporción del cuerpo humano fue considerada como la expresión sensible de la armonía, y la teoría de las proporciones humanas despertó gran interés entre los artistas de la época. En este periodo, Leonardo Da Vinci, nos describe las reglas de proporcionalidad del cuerpo humano en movimiento. El dibujo que representa esta figura ha sido usado frecuentemente para simbolizar la alianza entre el deporte y la ciencia y retoma las ideas del arquitecto romano Vitrubio (año 15 a.C).
Entre los siglos XV y XVI, Alberto Durero (1471-1528) filosofó sobre la proporcionalidad corporal. Si avanzamos en el tiempo, Gerard Thibauld analiza las dimensiones ideales de un esgrimista, con una riqueza de detalles difícil de ser encontrada, incluso, en estudios más modernos. Por tanto, podemos afirmar que de una forma genérica, la altura de la cabeza fue el índice más utilizado para la determinación de la proporcionalidad. Por ejemplo, la estatura, según la antropología física, consistía en siete u ocho alturas de cabeza, y partir de esta medida y usando un canon, eran deducidas el resto de las medidas. En el estudio de la proporcionalidad actual, el parámetro que se usa para la determinación del canon ideal es la altura. Entonces, podemos decir que hemos evolucionado de la longitud del dedo de los egipcios y d las cabezas de los griegos, hasta llegar a la altura del cuerpo ideal. El estudio de esta unidad nos ayudará a comprender mejor esta nota histórica con lujo de detalles y aplicarlo en otros contextos.
OBJETIVO: Aplicar las propiedades de los números racionales al concepto de proporcionalidad numérica y al
planteamiento y solución de problemas diversos.
RAZÓN O RELACIÓN
Frecuentemente has oído o has utilizado expresiones como las siguientes: En esta ciudad hay 1 hombre por cada 5 mujeres. En este salón de clase hay 2 carpetas por cada 8 niños. En una granja hay 3 gallos por cada 8 gallinas. Decimos que: La razón del número de hombres al número de mujeres es de 1 a
5 ó bien que, el número de hombres es 1/5 del número de mujeres.
La razón del número de carpetas al número de alumnos es de 2 a 8 ó bien que, el número de carpetas es 2/8 del número de alumnos.
La razón del número de gallos al número de gallinas es de 3 a 8 ó bien que, el número de gallos es 3/8 del número de gallinas.
Definimos entonces: Se llama razón entre dos números a y b (b = 0), al cociente de la división de “a” por “b”.
Definitivamente fácil.
El primer número se llama ANTECEDENTE y el segundo se llama CONSECUENTE de la razón
En símbolos:
a es a b se expresa: a : b ó a
b
antecedente
consecuente
PROPORCIÓN
Decir que en esta ciudad, hay 1 hombre por cada 5 mujeres equivale a decir que hay 2 hombres por cada 10 mujeres. La razón de 1 a 5 es igual a la razón 2 a 10.
Análogamente, decir que en mi salón de
clase hay 2 carpetas por cada 8 alumnos, equivale a decir que hay 6 carpetas por cada 24 alumnos. La razón 2 a 8 es igual a la razón 6 a 24.
Decir que en una granja hay 3 gallos por
cada 8 gallinas, equivale a decir que hay 6 gallos por cada 16 gallinas. La razón 3 a 8 es igual a la razón 6 a 16.
15
= 2
10
28
= 6
24
38
= 6
16
Definimos entonces: La igualdad de dos razones se
llama proporción.
Pensé que era algo más complicado
También yo
En símbolos: Se lee: “a es a b como c es a d”
𝑎𝑏
= 𝑐𝑑
Razón Geométrica Razón Geométrica
PREPÁRENSE PARA
LA ACCIÓN
Escribe 3 razones equivalentes a cada una de las siguientes:
a) 2
5
b) 7
3
c) 0,3 d) -6
Recuérdense que deben multiplicar o dividir el numerador y denominador por el mismo número.
Aplica la propiedad fundamental para verificar si los cuatro números en cada caso forman una proporción. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( )
63
= 74
410
= 6
15 3
4 =
79
627
= 29 14
28 =
24 12
15 =
810
Tú puedes, eres el mejor
Hallar los valores de “x” e “y” en la expresión:
, sabiendo que: x + y = 48 𝑥3
= 𝑦5
Aplicar las propiedades
Hallar los valores de “x” e “y” en la expresión:
, sabiendo que: y - x = 16 𝑥5
= 𝑦9
Razona
Hallar la tercera proporcional entre:
a) 3 y 6 b) 0,2 y 0,8 c) 10 y 1
2
Razona
Hallar los valores de “x” e “y” en la expresión:
, sabiendo que: y - x = 12 12𝑥
= 28𝑦
Dos números están en la relación de 4 a 13. Si su diferencia es 27. Determinar el menor de dichos números.
Aplicar las propiedades
Si la suma de dos números es 60 y su diferencia es 20. Hallar la razón geométrica entre dichos números.
La suma de los cuadrados de dos números es 52; y la razón de dichos números es 2/3. ¿Cuáles son los números?
Adelante campeón
Hallar la razón equivalente a 4/7; de tal manera que la suma de los 4 términos de la proporción formada sea igual a 66.
No te rindas
En un salón de clase, antes del recreo el número de hombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo, hay 8 hombres y 4 mujeres menos, con lo cual la razón de hombres a mujeres es 7/4. Hallar cuántas mujeres habían antes del recreo.
El producto de los 4 términos de una proporción continua es 625, y el segundo consecuente es 25. ¿Cuál es la proporción?
Hallar la tercera proporcional entre:
a) 3 y 6 b) 0,2 y 0,8 c) 10 y 1
2
Razona
Determinar la cuarta proporcional de: a) 9 ; 13 y 18 b) 17 ; 4 y 85
Súper Fácil
Si: 3
𝑥 =
6
𝑦 =
9
𝑧 ; donde: x + y + z = 42
Hallar el valor de “z”
Aplica lo aprendido
Si: 1,2
3,6 =
𝑎
𝑏 =
4
𝑐 ; además: a + b + c = 20
Hallar el valor de “a + b”
La suma de 3 números que guardan entre sí la relación de los números 3 ; 5 y 7 es igual a 120. ¿Cuáles son esos números?
En el rectángulo ABCD, se une el punto medio “M” de BC con “D”. La razón entre “x” e “y” en que queda dividido el rectángulo es:
a) 1/3 b) 1/4 c) 2/3 d) 3/4 e) 1/2
y
x
D C
B A
M
Con esto será más sencillo
Los lados de un rectángulo miden AB = 3b; AD = a. Se divide el lado AB en 3 partes iguales y CD en 2 partes iguales. Entonces la razón entre las áreas de la parte “achurada” (sombreada) y la “no achurada” es:
a) a/b b) 2a/3b c) 3/2 d) 1 e) ab/2 A
D C
B
Este es un gran desafío
La parte achurada (sombreada) representa del total:
a) 1/9 b) 2/9 c) 1/18 d) 1/2 + 1/9 e) 7/9 - 1/2
Debes repasar diariamente
En la figura mostrada. Hallar la relación entre el área de la región sombreada y la no sombreada. (“O” es el centro de la circunferencia mayor).
a) 𝜋/2 b) 5𝜋/2 c) 3𝜋/2 d) 3 e) Faltan
datos
Nunca digas imposible, di más
bien, no lo he hecho todavía
CORTESÍA DE LOS ESTUDIANTES DE LA I.E. “JUAN PABLO II”
HUALLIN – CHACAS - ASUNCIÓN
GRACIAS!!!!!!!
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