Propuesta de Clasificación de Paradojas Lógicas
Resumen
En esta oportunidad nos dedicaremos a la tarea de definir a la paradoja lógica de tal manera que abarque tanto a las paradojas auténticas como a las paradojas aparentes. Luego, describo, critico y comparo los criterios de las diversas clasificaciones de paradojas que los estudiosos han propuesto o sugerido. El objetivo que se persigue es el de construir una propia clasificación que le haga justicia a cada paradoja lógica. A continuación, tratamos 6 de las clasificaciones más difundidas:
1) las paradojas de la teoría de conjuntos y las paradojas semánticas de Frank Plumpton Ramsey;
2) las paradojas lógicas, matemáticas y falaces de Bertrand Russell; 3) las paradojas en lenguaje natural y las paradojas en lenguaje formal de Eugene
Northrop; 4) las antinomias, las paradojas verídicas y las paradojas falsídicas de Willard Van
Orman Quine; 5) los sofismas, las paradojas positivas y las “enfermedades inmunizadoras” de
Alfred Tarski; 6) y las oraciones y conjuntos relacionados al concepto de ‘fundación’ o ‘infundación’
de James Thomson.
Después nos dedicaremos a criticar con más especificidad la preponderante clasificación de Ramsey. Finalmente, proponemos nuestro propio criterio de clasificación.
Palabras clave: paradoja lógica, paradoja tipo oración, paradoja tipo argumento, familia de Russell, familia del Mentiroso, seudoparadojas, cuasiparadojas, Ramsey, Russell, Northrop, Quine, Tarski, Thomson, criterio fuerte-débil.
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1. Definición de paradoja lógica
Empecemos por esclarecer los términos. Estrictamente, la paradoja lógica es la
posibilidad increíble capaz de ser expresada, formalizada y estudiada mediante el
lenguaje lógico. Técnicamente, la paradoja lógica se define como aquel
argumento válido cuya conclusión es una contradicción del tipo p&¬p o del tipo
V(p)↔F(p). Pero, si solo hay una premisa, dicha oración también será llamada
paradoja lógica precisamente por ser el origen de la contradicción. Ahora bien,
basándome en las declaraciones de los filósofos, he encontrado que las paradojas
lógicas pueden ser entendidas en dos niveles. Por un lado, está el nivel
argumentativo 1 y por otro lado, el nivel oracional 2. Si reduzco el argumento de la
paradoja a la oración esencial “a” gracias a la cual derivamos que V(a)↔F(a),
puedo decir que una paradoja oracional tiene las propiedades de autorreferencia
infundada (directa o indirecta), circularidad y contradicción 3. Respecto a su
definición técnica, la paradoja lógica entendida como un argumento tiene la forma
lógica: P→(Q&¬Q) o P→(Q↔¬Q). En este tipo de paradojas, la clasificación de
Quine expuesta en The Ways of Paradox (1976) de las paradojas en verídicas y
falsídicas (dejando de lado a las ya mentadas antinomias) tiene una aplicación
1 Russell (1983) habla de las paradojas como falacias. Northrop (1949) habla de paradojas como razonamientos en un cierto lenguaje. Y Hart (2007), asume que todas las paradojas son argumentos. 2 Popper (1945) trata a las paradojas como oraciones. Kripke (1997) habla de oraciones paradójicas. García Zárate (2007) sugiere definir a la paradoja como la proposición cuya verdad implica su falsedad y viceversa. En ésta última definición se acepta que la proposición es lo que expresa una oración.3 Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Madrid. Juegos de Lógica. En esta página Web se caracteriza a la paradoja como autorreferente, circular y contradictoria. Sin embargo, no toda autorreferencia da lugar a paradojas, por ejemplo, “Esta oración tiene cinco palabras” es verdadera de sí misma. Sólo la autorreferencia infundada será la responsable de la aparición de paradojas lógicas.
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interesante. La paradoja verídica se constituye como una reducción al absurdo
(propia o trivial) 4 que, en el caso de la primera forma lógica, culmina en ¬P. Aquí
se presenta lo verdadero mediante un argumento paradójico. La paradoja falsídica
se relaciona con la falacia porque también su ‘prueba’ se construye en base a una
desafortunada relación de consecuencia lógica, pero se diferencia de ésta en que
la matriz lógica de la paradoja falsídica es inválida (de hecho, es contradictoria) y
en ella se concluyen sólo cosas falsas mientras que la matriz lógica de la falacia
es consistente (Ferrater Mora, 1994, p. 2693). Además, la paradoja falsídica (o
débil según nuestro criterio fuerte-débil el cual trataremos más adelante) también
podría ser una oración o un argumento no paradójico, mientras que la falacia es
solo un mal argumento. En este punto intervienen los conceptos de cuasiparadoja
y seudoparadoja.
2. Cuasiparadoja y Seudoparadoja
La paradoja puede presentarse o bien como una oración teoremática
sorprendente, o bien como un argumento desorientador pero resoluble. La primera
dimensión de lo paradójico nos permite definir a la paradoja, como aquella oración
que tiene las propiedades de autorreferencia, círculo vicioso y contradicción. Pero,
aquellas oraciones que sólo tienen 2 de las 3 propiedades antedichas serán
consideradas como cuasiparadojas. El término “cuasiparadoja” aparece en la
página web del Departamento de Matemática aplicada de la Facultad de 4 La reducción al absurdo es propia cuando la premisa adicional en forma de negación que se hace ingresar al cuerpo de premisas participa de modo activo en el desarrollo de la prueba mediante deducciones logradas con su ayuda. La reducción será trivial cuando dicha premisa adicional no participe en ninguna forma en el desarrollo de la prueba.
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Informática de la Universidad Politécnica de Madrid (DM/FI/UPM) intitulada
“Juegos de Lógica” (2007). Si consideramos que la autorreferencia (infundada) es
constante, entonces las cuasiparadojas tendrán o bien la propiedad de la
circularidad o bien la de la contradicción. Tales entes encuentran soporte en la
Teoría de Puntos Fijos de Saúl Kripke según la cual además de las jerarquías
tarskianas existe una regularidad de nivel en la atribución de verdad que una
oración le hace a otra. Esta teoría define dos puntos fijos que nos interesan: el
punto fijo intrínseco y el maximal. Las oraciones con punto fijo intrínseco que
pueden ser sólo verdaderas o sólo falsas se caracterizan por tener las
propiedades de autorreferencia y contradicción. La ausencia de la circularidad se
explica porque si “$” es una oración con punto fijo intrínseco, entonces o bien
V($)→F($) o bien F($)→V($), es decir, V($)↮F($). Las oraciones con punto fijo
máximo que pueden ser tanto verdaderas como falsas se caracterizan por tener
las propiedades de autorreferencia y circularidad. La ausencia de la contradicción
se justifica debido a que si “%” es una oración con punto fijo máximo, entonces
V(%)→V(%) y F(%)→F(%), es decir, V(%) F(%).
La segunda dimensión de lo paradójico nos permite definir a la paradoja,
según el criterio de la validez, como aquél argumento extraordinario, correcto pero
incompleto o inválido pero persuasivo. Este último tipo de argumentos
extraordinarios que sean inválidos y persuasivos serán llamados
seudoparadójicos. La palabra “seudoparadoja” fue introducida en la literatura
hispana sobre lógica por Gerold Stahl (1971, pp. 94-96) en su opúsculo titulado “Al
explorar lo infinito”. Con esta palabra se alude a la calidad de un argumento cuya
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conclusión es falsa e inverosímil. Este conjunto de entes estará constituido por
argumentos incorrectos que tendrán la apariencia de ser válidos, es decir, estará
constituido por falacias, pero no por cualquier tipo de falacias sino solamente por
aquellos malos argumentos considerados por la tradición como problemáticos.
Toda seudoparadoja es una falacia pero no toda falacia es una seudoparadoja,
porque si bien hay un error de razonamiento, este necesita que el argumento sea
reinterpretado (reformulado, corregido y aumentado) de manera un tanto diferente
a la versión original para que ya no desafíe a lo razonable. Además, la
contradicción positiva (que hace “progresar” la ciencia en el sentido de continuar el
debate a lo largo de la historia) que cierra la paradoja sirve para comparar el
pensamiento científico y proto-científico.
3. Familias de paradojas
Existen muchas clases de paradojas lógicas tradicionales. Todas ellas se
construyen como pruebas, es decir, como sucesiones de oraciones de la forma
p →…→ q que representa la tríada: premisas-pasos deductivos-conclusión. Si la
forma de q es “R&¬R”, ello permite que por reducción al absurdo podamos
concluir ¬p. En el caso de la familia argumental de Russell (paradoja del barbero,
de los catálogos, de los alcaldes, de Grelling (1943) y de Berry) y las paradojas
matemáticas (paradoja de Cantor, de Burali-Forti, de Richard y de Russell) dicha
fórmula sirve para terminar la prueba por reducción al absurdo. Pero, también la
forma de q puede ser R↔¬R. En este caso, puede tratarse tanto de una paradoja
oracional como de una argumental. Por ejemplo, las familias oracionales de
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Russell (paradoja de las clases, de las propiedades y de las relaciones) y el
Mentiroso (Versión de Haack (1982) , versiones de Quine (Hofstadter, 1987),
Tarjeta de Jourdain, Libro antinómico de Tarski (2000)) permiten construir un
argumento que concluya que V(a)↔F(a), siendo ‘a’ el nombre de una oración
infundada que puede contener términos circulares y
a = {“Esta oración es falsa”, “La siguiente oración es verdadera: La anterior
oración es falsa”, “El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí
mismos se contiene a sí mismo”, “La propiedad impredicable se aplica a sí
misma”, “La relación que no guarda consigo mismo un término la guarda un
término consigo mismo”, etc.}.
La familia argumental del Mentiroso (paradoja del Quijote (1995) , dilema de los
caníbales, dilema del cocodrilo, paradoja de Protágoras) puede ser susceptible de
reformulación mediante la construcción de dilemas y contradilemas, además, en
esa familia la oración “a” que aparece en V(a)↔F(a) puede verse en una de las
premisas en forma de identidad y
a={m, donde m se lee “El pasante será colgado” en el caso de la paradoja del
Quijote; H(e), donde H(e) se lee “El explorador será hervido” en el caso del dilema
de los caníbales; C(k,h), donde C(k,h) se lee “El cocodrilo se come al niño” en el
caso del dilema del cocodrilo; ¬N(e,p), donde ¬N(e,p) se lee “Evatlo no le paga a
Protágoras” en el caso de la paradoja de Protágoras}.
Como podemos notar la díada oración-argumento ha sido la base para reunir
estas paradojas en grupos de familias argumentas u oracionales. Esto permite
visualizar la gran relación existente entre las paradojas del Mentiroso y las de
Russell: las familias del Mentiroso y de Russell se corresponden puesto que las
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dos están divididas en familias oracionales y familias argumentales, según nuestro
análisis. Las paradojas matemáticas también forman una familia argumental
debido a que tienen la forma de una prueba por reducción al absurdo y además
porque no es posible generalizar sus premisas que son más de una.
4. Anteriores Clasificaciones de Paradojas
Frank Plumpton Ramsey (1931, pp. 1-61) en su ensayo titulado
“Fundamentos de Matemáticas” dividió a las paradojas en dos, a saber, ‘paradojas
lógicas’ o de teoría de conjuntos y ‘paradojas epistemológicas’ o semánticas.
Según Kleene (1974, p. 51) : “Ramsey (…) observó que las antinomias lógicas son
(aparentemente) detenidas por la jerarquía simple de tipos, y en cuanto a las
[paradojas] semánticas, se previene de que surjan dentro del lenguaje simbólico
por la ausencia en éste de medios requeridos para referirse a expresiones del
mismo lenguaje. (…)”. A la cabeza de cada tipo de paradojas se encontraban la
paradoja de Russell, y la paradoja del Mentiroso (las cuales actuaban como
condiciones sin las cuales no se garantizaba la consistencia de teorías formales o
semánticas, respectivamente). El primer grupo de paradojas involucran
esencialmente conceptos de la Teoría de Conjuntos (y también conceptos lógicos)
tales como clase, pertenencia, número ordinal, procedimiento diagonal, conjunto
potencia, etc., y como ejemplos de ellos tenemos: la paradoja de Russell, la de
Cantor y la de Burali-Forti. El segundo grupo de paradojas involucran conceptos
“semánticos”, conceptos “epistemológicos” (como el mismo Ramsey propuso) y
también conceptos “lingüísticos” (como aseguró originalmente Peano refiriéndose
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a la paradoja de Richard) tales como falso, falso de, definible, afirmación,
pensamiento, lenguaje, y en fin, términos empíricos no lógicos. Como ejemplos de
este segundo grupo tenemos la paradoja del Mentiroso y sus variantes, la
paradoja de Grelling (o de Weyl) (Ramsey, 1931, pp. 20-21), la de Richard y la de
Berry.
Bertrand Russell en “Los Principios de la Matemática” al respecto de la
clasificación de paradojas lógicas encuentra tres tipos de paradojas (no solo dos
como Ramsey propone): las paradojas matemáticas, las paradojas lógicas y los
trabalenguas irrelevantes que “aparentan” ser paradójicos. Sin embargo, a pesar
de esta triple división de las paradojas Russell no se olvida de la unidad al
pronunciarse en lo que atañe a la solución de todas las paradojas, las mismas que
nacen como el resultado de un error infiltrado en nuestros razonamientos que es
“diluible” con la Teoría Simple de los Tipos o su principio del círculo vicioso.
También, observemos que dentro de esta clasificación él privilegia su paradoja (la
de las clases) y la designa como lógica. Escribe Russell (1983, p. 16):
“A primera vista, las contradicciones parecen ser de tres tipos: las matemáticas, las lógicas y las que se puede sospechar que pueden deberse a juegos más o menos triviales de palabras. De las contradicciones definidamente matemáticas pueden tomarse como típicas las que se refieren a máximo cardinal [(paradoja de Cantor)] y al máximo ordinal [(paradoja de Burali-Forti)]. ”
Con esta visión russelliana de la división de las paradojas lógicas podemos
percatarnos de la necesidad de ser lo suficientemente amplio como para
considerar dentro de un mismo grupo la reunión de los contrarios
complementarios. Para Russell, las paradojas se dividirán en ‘lo que es una
paradoja de la ciencia formal x’, ‘lo que es una paradoja de la ciencia formal y’ y ‘lo
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que no es una paradoja aunque lo parezca’. Lo que no es una paradoja, aunque lo
parezca, es decir, lo falsídico, será o un argumento falaz o una oración infundada
con punto fijo máximo o intrínseco. Siguiendo la clasificación russelliana diremos
que la paradoja de Cantor y la paradoja de Burali-Forti son paradojas matemáticas
porque utilizan el lenguaje matemático de la Teoría de Conjuntos. También
afirmamos que las paradojas solo serán lógicas aceptando el enfoque logicista de
Russell que coloca a la Matemática como una rama de la Lógica. Rescataremos
en nuestra clasificación el criterio más amplio deslizado por Russell en su
clasificación. Sin embargo, el criterio de la unidad de la clasificación de Bertrand
Russell comparte la misma errónea premisa que el criterio de la clasificación de
Ramsey. Según ellos, lo paradójico es lo que puede resolverse. Estas posturas
apuestan por un optimismo latente que confía en que nuestra mente podrá salir
del estado paradójico mediante algún artificio lógico. Esta unidad, no obstante, no
se consolida gracias al carácter lógico (en sentido coloquial) de las paradojas. Lo
lógico para Russell se relaciona con el lenguaje de la Teoría de Conjuntos no con
el sentido de razonamiento, ni corrección.
Eugene P. Northrop en “Paradojas Matemáticas” afirma que: “El caso del
mentiroso que se contradice a sí mismo, no es más que uno, de toda una
colección de paradojas lógicas de considerable importancia [tales como la de
Protágoras, la de los barberos, la de Berry y la Grelling]. (…) ” (1949, p. 44).
Advirtamos que dentro de esta perspectiva todas las paradojas que estén
formuladas con la ayuda del lenguaje natural serán variantes de la paradoja del
Mentiroso. Notemos, además, que en relación a la paradoja de Grelling, Ramsey y
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Northrop coinciden, pues mientras el primero la considera como una paradoja
semántica, el segundo la considera como una paradoja variante de la del
Mentiroso. Como sugiere la cita, otro término universal usado por el mismo
Northrop para designar a todas las paradojas interesantes es el término ‘lógica’.
Con éste autor (y también con Karl Popper) el significado de ‘lógica’ en ‘paradoja
lógica’ es el mismo significado coloquial que asume en ciertos contextos como ‘lo
razonable’ o ‘el razonamiento’ mismo. En este sentido, afirmaremos que la
paradoja será lógica cuando sea interesante desde el punto de vista de sus
consecuencias, realmente problemática, y engañosa para el novato. Respecto a la
clasificación de Ramsey, Northrop no supone que la paradoja de Richard sea
parte de las paradojas semánticas. Según él: “cuando a principios de de este siglo
[Cantor], Burali-Forti, Russell, y Richard les pusieron un ropaje matemático [a las
paradojas lógicas] y las exhibieron en esta forma, originaron una revolución que
todavía no se ha extinguido.” (1949, p. 280). De acuerdo a la cita diremos que
para Eugene Northrop la paradoja richardiana es compañera de las paradojas de
la Teoría de Conjuntos. Esto es contrario respecto de lo sostenido por Ramsey
acerca de su carácter semántico y no-lógico (en el sentido de usar el lenguaje de
la Teoría de Conjuntos). Respecto de la clasificación de Russell, Northrop intenta
ser unicista sin lograrlo. Él se revela como un dualista que considera que las
paradojas lógicas son o bien variantes de la paradoja del Mentiroso formuladas
con el lenguaje natural o bien paradojas matemáticas disfrazadas con el lenguaje
formal.
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Según W. V. O. Quine (1976, pp. 1-18) en “The Ways of Paradox”, las
paradojas según el criterio más amplio (ya aplicado por Russell) son de tres tipos:
antinomias, paradojas verídicas y paradojas falsídicas. Las antinomias son las
paradojas que envuelven contradicciones insalvables que nos obligan a cambiar
nuestros esquemas conceptuales, principios y axiomas. Ejemplos de antinomias
para Quine son: la paradoja de Berry, la de Grelling, la familia oracional del
Mentiroso y la familia oracional de Russell. Este primer tipo de paradojas son
aquéllas cuya contradicción necesaria no puede ser explicada apelando al sentido
común estándar sino a una teoría forzada a mantener la consistencia. Las
paradojas verídicas son paradojas inofensivas y aparentes que demuestran
verdades en virtud de una prueba indirecta por reducción al absurdo trivial o no
trivial. La reducción al absurdo será trivial cuando la premisa negativa introducida
forme parte del proceso deductivo; será no trivial cuando la premisa negativa
introducida no forme parte del proceso deductivo. Ejemplos de paradojas
verídicas: familia argumental de Russell, paradoja de Galileo y paradojas
matemáticas. Las paradojas falsídicas son aquellas que pretenden demostrar algo
que en realidad es falso pero mediante pruebas tan persuasivas que parecen ser
verdaderos. Por ejemplo, las antinomias de Kant, las paradojas de Zenón, la
paradoja de Epiménides y la demostración de que 2=1 serían paradojas falsídicas.
Esta clasificación influirá decididamente la clasificación que propondremos.
Alfred Tarski en “Verdad y Prueba” (2000, pp. 191-230) sugirió una
clasificación de las paradojas basándose en el criterio de los contrarios
complementarios y el intermedio de tales contrarios. Según él, en la literatura en
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cuanto a las paradojas lógicas se pueden encontrar dos enfoques opuestos. Un
enfoque consiste en pasarlas por alto, para enfrentarlas como sofismas, como
juegos que no son serios, sino maliciosos y que tienen como fin principal mostrar
la inteligencia del hombre que las formula. De acuerdo con el enfoque opuesto, las
paradojas lógicas constituyen un elemento muy importante del pensamiento
humano, deben aparecer una y otra vez en las actividades intelectuales y su
presencia es la fuente básica del progreso real. El par de contrarios sofismas-
antinomias es el criterio clasificador de Tarski. Sin embargo, el propio Tarski
neutralmente pretenderá colocarse al medio de estos dos enfoques. Para él, la
paradoja es un signo de enfermedad que si no pone en riesgo la vida del
“paciente” (el sistema lógico), mejora su calidad de autodefensa (limitando ciertas
implicaciones y equivalencias notables). El tercer enfoque es aquél que acepta
que las paradojas no son sólo aparentes y ni sólo necesarias, sino aparentes y
necesarias a la vez, es decir, enfermedades inmunizadoras. Como hemos podido
apreciar los criterios más amplios de Quine y Tarski con respecto a la clasificación
de las paradojas que dividen a las paradojas en tres partes han mostrado cierto
éxito y no han dejado de conservar la unidad del concepto de paradoja. En nuestra
propuesta no dejaremos que se pierda esta triple partición paradojal que, de modo
general, se basa en el criterio de los opuestos. Este criterio de los opuestos usado
para clasificar paradojas es lo más universal, y lo más aceptable en virtud del
tercio excluso.
James F. Thomson en “On some Paradoxes” pretende hallar semejanzas
entre las paradojas semánticas y lógicas bajo una nueva clasificación que unifique
a las paradojas. Según Ferrater Mora (1994, pp. 2695-2696):
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“(…) Thomson ha estudiado la correspondencia o falta de correspondencia entre distintos tipos (o “familias”) de paradojas. A este efecto ha introducido las nociones de fundamentación (…) y falta de fundamentación (…). Estas nociones corresponden grosso modo a las familias lógica y semántica (o parasemántica), pero lejos de separar de nuevo los dos tipos o familias de paradojas dichas nociones permiten estudiar aspectos estructurales comunes a ellas. (…)”
Para Thomson, dentro de las Teorías de Relaciones la tautología más prominente
que comunica la paradoja “semántica” de Grelling con las paradojas lógicas de
Russell y de Richard es ésta: “Nada puede tener ninguna relación R con justa y
precisamente aquellas cosas que no tienen ellas mismas la relación R”. La
correspondencia o falta de correspondencia entre las distintas familias de
paradojas son estudiadas de acuerdo a los conceptos de fundamentación o falta
de fundamentación. En sentido flexible, fundar y fundamentar serán considerados
sinónimos. Según Kripke (que recoge las ideas de Hans G. Herzberger expuestas
en “Paradoxes of Grounding in Semantics”) el concepto de ‘fundación’ o ‘falta de
fundación’ puede explicarse de la siguiente manera para las paradojas
semánticas. En general, si una oración afirma que las oraciones de cierta clase C
son verdaderas, su valor de verdad puede evaluarse. Si algunas de estas
oraciones contienen a su vez la noción de verdad, su valor de verdad debe
evaluarse considerando otras oraciones y así sucesivamente. Si este proceso
finaliza en último término en oraciones que no contienen el concepto de verdad, de
manera que el valor de verdad del enunciado original puede establecerse,
decimos que la oración original es fundada; de otra manera será infundada. Para
las paradojas conjuntistas, el concepto de infundación estará asociado al de
circularidad: un conjunto estará infundado, si está construido con elementos que
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son circulares porque no pueden ser descritos sin apelar a otro conjunto que no
sea el mismo en el que están contenidos.
5. Crítica de la Clasificación de Ramsey
A pesar de las evidentes ventajas de las clasificaciones de Russell, Northrop,
Quine, Tarski y Thomson la clasificación de Ramsey sigue siendo la
preponderante en cuanto a la literatura vigente que sigue tratando a algunas
paradojas como ‘semánticas’ y a otras como ‘lógicas’. La clasificación de Ramsey
sigue siendo considerada el punto de referencia para elaborar una propia
clasificación. Por ello, en esta parte final criticaremos la clasificación de Ramsey
buscando consolidar los lineamientos principales de una próxima propuesta. En
primer lugar, trataremos la falta de unidad de la clasificación de Ramsey. Y, en
segundo lugar, trataremos la naturaleza no semántica de las paradojas de Grelling
y de Richard que son consideradas semánticas. Comenzaremos indicando la
implícita clasificación del propio Bertrand Russell quien “ (…) no consideró que las
paradojas se distribuyesen en dos grupos distintos, ya que pensaba que todas
ellas surgían como resultado de una falacia, de las violaciones del “principio del
círculo vicioso”.(…)” (Haack, 1982, pp. 161-162). Esta postura unicista se vería
confirmada por la formulación de la paradoja del Mentiroso sin términos
semánticos 5. Según Susan Haack (1982, p. 175), si esta paradoja fuera posible 5 Susan Haack en Filosofías de las Lógicas trata esta versión de la paradoja del Mentiroso considerando solamente el aspecto formal de la misma y dejando de lado el uso de predicados veritativos. La versión que presentamos a continuación está basada en la propuesta de Haack, pero ha sido modificada de tal modo que la premisa sea única puesto que ella prefiere utilizar dos y hasta tres premisas algo a nuestro parecer innecesario. Como ya hemos anotado, la formulación más simple de la paradoja del
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de formular en lenguaje formal, la clasificación de Ramsey sería inadecuada, dado
que
“(…) el hecho de que las paradojas puedan ser generadas sin predicados semánticos podría parecer sugerir que, después de todo, podría haber algo en el presentimiento que Russell tenía de que las paradojas no deberían manejarse en grupos distintos de acuerdo con los predicados semánticos o de teoría de conjuntos que ocurriesen esencialmente en ellas, sino que deberán manejarse todas juntas como resultado de una falacia. ”
Esta tentativa de clasificación es unificadora porque se basa en la idea de
que todas las paradojas tienen algo en común: todas las paradojas se originan por
una falla común de razonamiento, ellas son falacias. Este debe ser el principio de
toda clasificación: la unidad, como la que proclama Karl Popper cuando reduce la
totalidad de las paradojas a una de sus supuestas clases, y las llama a todas
juntas ‘paradojas lógicas’, como indicando que son ‘razonables’. A diferencia de
Northrop quien divide a las paradojas en dos grupos, según Popper (1962, p. 18)
las paradojas que son de un solo tipo, son las “(…) paradojas lógicas- [que tienen]
como [ejemplares a] la del mentiroso (“[E]n este momento no estoy diciendo la
verdad”) y las encontradas por Russell, Richard y otros-”. Este principio unitario se
levanta sobre la tentativa de encontrar algo común a todas las paradojas: lo lógico,
lo racional, lo real. Nuestra próxima clasificación de las paradojas en fuertes y
Mentiroso es la siguiente: “Esta oración es falsa”. En este caso hemos necesitado utilizar una oración más larga y más compleja. El argumento de la paradoja del Mentiroso es éste:1. La oración numerada con 1 es la oración “Toda oración numerada con 1 está negada”. POR LO TANTO, la oración numerada con 1 es verdadera sii es falsa. Hemos utilizado la siguiente abreviatura: el nombre r de “la oración numerada con 1”, además de los predicados veritativos correspondientes a la falsedad y la verdad, es decir, V o F. A nivel de reglas de deducción hemos considerado conveniente hacer uso de la regla que rige las identidades (I), según la cual si S es una fórmula abierta, de S y t 1 = t 2 es posible deducir T, siempre que T resulte de S por reemplazo de una o más indicencias de t1, en S, por t2. Enseguida presentamos el argumento sin desarrollar.
1. = y ( ( = y) y ) //
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débiles también partirá del supuesto de la correspondencia que todas las
paradojas deben guardar entre sí, ya sean paradojas reales o aparentes. Gracias
a esta visión unicista de las paradojas las consideraremos a todas como ‘lógicas’
en un sentido coloquial no riguroso.
La segunda evidente crítica a Ramsey es acerca de la consideración de la
paradoja de Grelling y la de Richard como paradojas semánticas o
epistemológicas: la de Grelling debería ser una paradoja lógica análoga a la de
Russell; y la de Richard debería ser una paradoja matemática. Como hemos visto
Northrop sostiene que la paradoja de Richard consiste en un ropaje matemático de
otra paradoja más simple, quizá la paradoja de Berry. Expone Arthur Pap (1970,
p. 273) en Semántica y Verdad Necesaria las razones que tiene para comparar la
paradoja de Russell con la de Grelling: “(…) la paradoja de Grelling Weyl referente
a la distinción heterológico-autológico, por ejemplo, se puede desarrollar sin
presumir ninguna premisa empírica (…), y a fortiori sin presumir un
acontecimiento-aseveración. En este respecto, es similar a las paradojas
puramente lógicas (como la paradoja de Russell) y diferente de la paradoja del
mentiroso.” Incluso Douglas R. Hofstadter (1987, p. 23) escribe: “Una variante
vistosa de la paradoja de Russell es la llamada paradoja de Grelling, en la cual se
utilizan adjetivos en vez de conjuntos. (…) ” Lo que sugieren las citas es que
Ramsey se equivoca en tipificar a la paradoja de Grelling como una paradoja
semántica, ella forma parte de la familia de Russell y se comporta como una
paradoja conjuntista. Estas y otras dificultades se derivan de la aceptación de la
clasificación de Ramsey de las paradojas en semánticas y de teoría de conjuntos.
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6. Propuesta de Clasificación de Paradojas Lógicas
El objetivo principal de este artículo radica en sentar las bases para una
clasificación de las paradojas. Con este fin, hemos citado y discutido los criterios
clasificatorios de 6 filósofos que se han pronunciado al respecto. Comenzamos
con la tradicional clasificación de Ramsey (1931) de las paradojas en lógicas y
semánticas. Esta resultó defectuosa en vista del criterio poco convincente de la
solucionabilidad. Dicho criterio supone que las paradojas son falacias bien
disfrazadas. Pero, ya hemos dicho que la paradoja no es una apariencia sino una
realidad: ella es la posibilidad increíble reconstruible en términos formales.
Además, dicha clasificación es insuficiente con respecto a las paradojas de
Grelling (1943) y de Richard que son, erróneamente, consideradas ‘semánticas’.
La clasificación de Russell (1983) de las paradojas busca la unidad de todas las
paradojas pero (de nuevo) a través del concepto de solucionabilidad. Asimismo,
esta clasificación resulta más abierta y abarcadora ya que considera que la
paradoja también puede ser una falacia que viola el principio del círculo vicioso.
No puedo aceptar el criterio de la solucionabilidad para hacer una clasificación de
las paradojas más adecuada, porque, de acuerdo a Popper (1962), la paradoja
lógica puede ser mejor entendida en su significado no-riguroso de tal manera que
abarquemos el mayor número de referentes. Y, además, porque según el
dialeteismo de Graham Priest (2008) es posible que existan contradicciones
verdaderas que no hagan triviales a los sistemas. La clasificación de Northrop
(1949), basada en la naturaleza del lenguaje utilizado para formular las paradojas,
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se dividió en: paradojas del lenguaje natural (variantes del Mentiroso) y paradojas
del lenguaje formal (paradojas matemáticas). Esta clasificación tuvo la virtud de
explicar la “matematicidad” de la paradoja de Richard. La clasificación de Quine
(1976) de las paradojas las dividió en: antinomias, paradojas verídicas y paradojas
falsídicas. Las antinomias son contradicciones que sirven para desechar falsos
presupuestos metateóricos, las paradojas verídicas son argumentos que funcionan
por reducción al absurdo y las paradojas falsídicas son falacias con apariencia de
paradoja. Modificaremos esta clasificación tripartita y la utilizaremos como criterio
en nuestra propuesta de clasificación de paradojas. La clasificación de Tarski
(2000) de las paradojas las dividió en tres especies: las paradojas positivas que
condicionan el avance de la ciencia, las paradojas que son falacias o sofismas y
las que tienen ambas características, es decir, las “enfermedades inmunizadoras”.
Este último tipo de paradojas se corresponden con las antinomias quineanas. La
clasificación de Thomson de las paradojas, según el criterio de la correspondencia
o falta de correspondencia, las dividió en fundamentadas y sin fundamentar
resaltando más las semejanzas que las diferencias que existen entre paradoja y
paradoja. Como hemos visto en la segunda parte de éste artículo, Kripke (1997)
en base a estos estudios pudo determinar la infundamentación semántica de
ciertas oraciones. 6
Para construir nuestra propia clasificación no aplicaremos el criterio que se
basa en si son o no solucionables o disolubles. El criterio más adecuado en este
caso es el de “todo lo que sobre, debe ser eliminado”: reunamos a todo en el par
6 Véase p. 3s de este artículo.
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de contrarios ‘es verdaderamente una paradoja’ y ‘no es un paradoja pero lo
parece’. Esta visión nos permitirá hablar en un primer nivel de paradojas fuertes y
paradojas débiles. Y dado que ‘ser la condición sin la cual no se garantiza
consistencia’ caracteriza tanto a la paradoja del Mentiroso dentro de las teorías
semánticas como a la de Russell dentro de las teorías de conjuntos, las dos
paradojas formarán un grupo de paradojas fuertes; las restantes paradojas
aparentes (es decir, las débiles) serán consideradas apenas las sombras de las
paradojas fuertes. Elegimos este par de términos contradictorios para poder
encontrar relaciones entre las paradojas y las malas imitaciones de ellas y,
además, porque nuestro objetivo es el de lograr la mayor abarcabilidad posible a
fin de reunirlo todo en uno, es decir, en la categoría “paradoja lógica” entendida
como paradoja razonada o formalizable con lenguaje lógico. Este será el primer
par de opuestos que abarcará el total de paradojas existentes. En un segundo
nivel, según el criterio de la clasificación de Quine, las paradojas fuertes serán o
bien antinomias o bien paradojas verídicas; y las paradojas débiles serán
paradojas falsídicas. Como podemos apreciar la clasificación de Quine ha dividido
en tres este grupo de dos. Las paradojas fuertes serán o bien antinomias o bien
paradojas verídicas. Las paradojas débiles serán paradojas falsídicas. En un
tercer nivel, siguiendo el criterio de la díada oraciones-argumentos, las antinomias
serán paradojas oracionales; las paradojas verídicas serán paradojas
argumentales; y las paradojas falsídicas que tienen apariencia de paradoja estarán
constituidas tanto por seudoparadojas (v. g. argumentos no paradójicos) como por
cuasiparadojas (v. g. oraciones no paradójicas). En este nivel, la naturaleza
oracional y argumental de la paradoja lógica será el nuevo criterio de las
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antinomias y de las paradojas verídicas, respectivamente. Las antinomias son las
paradojas oracionales que se constituyen sin muchas dificultades y que son
necesarias. Las paradojas verídicas son las paradojas argumentales que son
usadas como pruebas por reducción al absurdo. En cambio, las paradojas
falsídicas o débiles no son ni paradojas oracionales ni paradojas argumentales (es
decir, son cuasi y seudoparadojas) pero intentan ser sin éxito como ellas.
Finalmente, presentamos nuestra propuesta de clasificación gráficamente.
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BIBLIOGRAFÍA
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Paradojas lógicas
Paradojas fuertes Paradojas débiles
Antinomias Paradojas verídicas
Paradojas falsídicas
Familia oracional del Mentiroso
Familia oracional de Russell
Familia argumental del
Mentiroso
Cuasiparadojas SeudoparadojasParadojas matemáticas
Criterio fuerte-débil
Criterio de Quine Criterio de Quine
Criterio oración-argumento
Criterio oración-argumento
Criterio oración-argumento
Paradoja del Mentiroso
Versión de Haack
Versiones de Quine
Tarjeta de Jourdain
Libro antinómico de Tarski
Paradoja de Yablo
Paradoja de las clases
Paradoja de las propiedades
Paradoja de las relaciones
Paradoja de Eubúlides
Paradoja del Quijote
Dilema de los caníbales
Dilema del cocodrilo
Paradoja de Protágoras
Paradoja de Cantor
Paradoja de Russell
Paradoja de Richard
Paradoja de Burali-Forti
Oraciones con punto fijo intrínseco
Oraciones con punto fijo máximo
Tautologías lógicas
Paradoja de Epiménides
Principio de Verificación
El Honesto
Bucles finitos
Bucles infinitos
Paradoja de Aquiles y la
Tortuga
Primera Antinomia de
Kant
Paradoja Epiménides
Paradoja de Galileo
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