Proyecto de calculo 3
• Crecimiento - Decrecimiento
Este tipo de modelo matemático se utiliza para predecir el comportamiento de poblaciones o cantidades en el tiempo en fenómenos de crecimiento o decaimiento, debido a que las poblaciones presentes o futuras son directamente proporcionales entre sí. Este tipo de modelo se utiliza en la Biología (Muestra de bacterias) Física y química (Determinación), Economía (Intereses) entre otras, para la elaboración de pronósticos o calculo de tiempo transcurrido según las condiciones iniciales que se preestablezcan.
dxdt
=kx , x (t o )=xo
∫ 1x dx=k∫ dtln|x|=kt+cx (t o)=e
kt∗c
Aplicaciones
Cuando el interés se compone de manera continua, la cantidad de dinero una tasa que es proporcional a la cantidad S presente en el tiempo t, es decir, dS/dt=rS, donde r es la tasa anual de interés.
a) Encuentre la cantidad de dinero acumulado al final de 5 años cuando se depositen $5 000 en una cuenta de ahorros que produzca 5.57% de interés anual compuesto de manera continua. t=5.
dSdt
=rS ,S (t o )=So
S(t o)=5000∗e0.054∗t
S (t o )=6665,45
Grafica
b) ¿En cuantos años se habrá duplicado la suma inicial depositada?
2∗So=So∗e0.054∗t
ln|2|=0.0575∗tt=12.0547
Grafica
6) En un principio, estaban presenten 100 mg de cierta sustancia radioactiva. Después de 6 hora, la masa había disminuido en 3%. Si la tasa de decaimiento es proporcional a la cantidad de
sustancia presente en el tiempo t, encuentre la cantidad restante después de 24 horas
Po= 100mgt=6
P (t o )=100∗ek∗t
97=100∗e6k
ln ¿ 97100
∨¿k∗6
k=−0,005077Entonces
P (24 )=100∗e−0,005077∗24
P=88.5283Grafica