Diseño de una Losa Nervada
en dos direcciones
José Luis VelásquezI. U. P. Santiago Mariño
Cátedra: Concreto I
Calcular la relación entre el largo y elancho de las placas (λ), para constatar quese deben armar en dos direcciones.
Losa 1:
Losa 2:
Losa 3:
Losa 4:
Losa 5:
Losa 6:
λ = 6 7
λ = 6 6
λ = 7 8
λ = 7 7
λ = 7 6
λ = 68
λ = 0,75
λ = 0,85
λ = 1
λ = 0,87
λ = 1
λ = 1,16
Una vez hallados los valoresde (λ), verificamos según laNorma COVENIN 1753:2006que las losas deben serarmadas en dos direcciones.Ya que esta Norma estableceque:
0,5 > λ > 2
1 Dirección 1 Dirección2 Direcciones
Aplicando el Método de Henry Marcus
Debemos hallar la altura de la losa.
• Ln= Luz mayor del paño. Ln= 800cm
β = 1,14
βs= 8 + 7__ = 0,52x8 + 2x7
h = 800cm (800 + 0,07x4000) < = Ln (800 + 0,07x4000)36000+5000x1,14 (1+0,5) 36000
• Βs= Relación de la sumade los lados conectados yel perímetro.
• β= Relación de la luz libre.
h = 19,39 < 24 h = 20cm
Ingresamos los valores:
Tomamos un recubrimiento de 3cm ya que laNorma hace referencia que el recubrimientomínimo para losas al abrigo de la intemperieusando acero de refuerzo Nº 5 o menor debeser de un espesor de mínimo 2cm.
h = 20cmd = 17cm
R = 3cm
Cargas Permanentes
Losa = _h_ x 2500kg/m³ = 0,2m x 2500kg/m³100
= 500 kg/m²
Mortero = _5_ x 1900kg/m³ = 0,05m x 1900kg/m³100
= 95 kg/m²
Friso = _2_ x 1900kg/m³ = 0,02m x 1900kg/m³100
= 38 kg/m²
Cerámica = _2_ x 1900kg/m³ = 0,02m x 1900kg/m³100
= 66 kg/m²
Carga Permanente = 699 kg/m²
Las cargas variables dependen del uso de la losa, en este casocomo diseñamos las losas para el aula de una escuela, la Normaestablece que el peso de la carga distribuida es de 300
300 kg/m²Carga Variable =
Las cargas tanto las permanentes como las variables se multiplicanpor un factor de mayoración, que sería de 1,4 y 1,7 respectivamente.
Cp x 1,4 699 x 1,4 = Gu= 978,6 kg/m²
Cv x 1,7 300 x 1,7 = Pu= 510 kg/m²
• Gu= Carga permanente mayorada.
• Pu= Carga variable mayorada.
Cargas Variables
Qu= 978,6 + 510 1488,6 kg/m²
Q’u= 978,6 510 1233,6 kg/m²
Q’’u= 510 255 kg/m²
Carga distribuida de la Losa
Buscamos el caso (λ) para cada placa.
Se calcula (α), (β) y (µ) según el valor de (λ) y siempreutilizando el primer caso.
λ = 68
λ = 0,75
Con este valor verificamos en latabla de coeficientes para elmétodo de Marcus e identificamosesta placa como un Caso 4, como elque se muestra a continuación:
6
8Así qué para un λ = 0,75 caso 4
α = 0,01352
β = 0,04272
µ = 0,2402
α = 0,01941
β = 0,06111
Momentos Flectores (+)
Mux = (0,0135 x 1233,6 kg/m² + 0,0194 x 255 kg/m²) 8²
Mux = 1382,44 kg/m
(+)
(+)
Muy = (0,0427 x 1233,6 kg/m² + 0,0611 x 255 kg/m²) 6²(+)
Muy = 2457,19 kg/m(+)
Qux y Quy
Qux= µ . Qu
Quy= (1-µ) . Qu
Qux=0,240 x 1488,6 kg/m² Qux= 357,26 kg/m
Quy= (1-0,240) . 1488,6 kg/m² Quy= 1131,34 kg/m
Para los momentos negativos,Se calculan los valores de:
Reacciones y Momentos Negativos (-)
RR L RR
Para Placa 1 en x Caso III
RR1 2
= _5_ 357,26 kg/m² x 88
R = 1786,3 kg/m1
= _3_ 357,26 kg/m² x 88
R = 1071,78 kg/m2
Para Placa 1 en y Caso III
= _5_ 1131,34 kg/m² x 88
R = 5656,7 kg/m
= _3_ 1131,34 kg/m² x 88
R = 3394,02 kg/m
1
2
V8
V6
_357,26 kg/m x 8² =8
Mux = 2858,08 kg/m(-)
_1131,34 kg/m x 6² =8
Muy = 5091,03 kg/m(-)
Momento negativo sobre la viga 6
Momento negativo sobre la viga 8
Reacciones y Momentos Negativos (-)
λ = 67
λ = 0,85
para un λ = 0,85 caso 5
α = 0,01752
β = 0,02802
µ = 0,5232
α = 0,02561
β = 0,04861
Tabla de coeficientes para elmétodo de Marcus, Caso 5:
6
7
Momentos Flectores (+)
Mux = 1377,38 kg/m(+)
Muy = 1689,62 kg/m(+)
Se sustituyen los valores en la formulay se obtienen Mux y Muy :(+) (+)
Valores de Para Momentos negativos:Qux y Quy
Qux= µ . Qu
Quy= (1-µ) . Qu
Qux=0,523 x 1488,6 kg/m² Qux= 778,54 kg/m
Quy= (1-0,523) . 1488,6 kg/m² Quy= 710,06 kg/m
Reacciones Para Placa 2 en x Caso II
= _778,54 kg/m² x 72
R = 2724,89 kg/m1
R = 2724,89 kg/m2
Para este caso como se trata de unaPlaca identificada como un caso IISegún la Tabla de coeficientes parael Método de Marcus, Los valores deR1 Y R2 serán iguales.
_778,54 kg/m x 7² =12
Mux = 3179,04 kg/m(-)
Momento negativo sobre las vigas 6 y 5
Para Placa 2 en y Caso II
= _5_ 1131,34 kg/m² x 68
R = 4242,53 kg/m
= _3_ 1131,34 kg/m² x 68
R = 2545,52 kg/m
1
2
V9
_1131,34 kg/m x 6² =8
Muy = 5091,03 kg/m(-)
Momento negativo sobre la viga 9
V6=V5
λ = 66
λ = 1
para un λ = 1 caso 4
α = 0,02692
β = 0,02692
µ = 0,5002
α = 0,03651
β = 0,03651
Tabla de coeficientes para elmétodo de Marcus, Caso 4:
Momentos Flectores (+)
Mux = 1529,69 kg/m(+)
Muy = 1529,69 kg/m(+)
Se sustituyen los valores en la formulay se obtienen Mux y Muy :(+) (+)
6
6
Valores de Para Momentos negativos :Qux y Quy
Qux= µ . Qu
Quy= (1-µ) . Qu
Qux=0,500 x 1488,6 kg/m² Qux= 744,3 kg/m
Quy= (1-0,500) . 1488,6 kg/m² Quy= 744,3 kg/m
Reacciones Para Placa 3 en x Caso III
= _5_ 744,3 kg/m² x 68
R = 2791,13 kg/m1
= _3_ 744,3 kg/m² x 68
R = 1674,68 kg/m2
Momento negativo sobre las vigas 6 y 5
Para Placa 3 en y Caso III
= _5_ 744,3 kg/m² x 68
R = 2791,12 kg/m
= _3_ 744,3 kg/m² x 68
R = 1674,68 kg/m
1
2
V10
_744,3 kg/m x 6² =8
Muy = 3349,35 kg/m(-)
Momento negativo sobre la viga 10
_744,3 kg/m x 6² =8
Mux = 3349,35 kg/m(-)
V5
λ = 78
λ = 0,87
para un λ = 0,87 caso 4
α = 0,02042
β = 0,03402
µ = 0,3752
α = 0,02801
β = 0,04661
Tabla de coeficientes para elmétodo de Marcus, Caso 4:
Momentos Flectores (+)
Mux = 2067,54 kg/m(+)
Muy = 2419,84 kg/m(+)
Se sustituyen los valores en la formulay se obtienen Mux y Muy :(+) (+)
7
8
Valores de Para Momentos negativos:Qux y Quy
Qux= µ . Qu
Quy= (1-µ) . Qu
Qux=0,375 x 1488,6 kg/m² Qux= 558,22 kg/m
Quy= (1-0,375) . 1488,6 kg/m² Quy= 930,38 kg/m
Reacciones Para Placa 4 en x Caso III
= _5_ 558,22 kg/m² x 88
R = 2791,1 kg/m1
= _3_ 558,22 kg/m² x 88
R = 1674,66 kg/m2
Para Placa 3 en y Caso III
= _5_ 558,22 kg/m² x 78
R = 2442,21 kg/m
= _3_ 558,22 kg/m² x 78
R = 1465,33 kg/m
1
2
V8
_930,38 kg/m x 7² =8
Muy = 5698,58 kg/m(-)
Momento negativo sobre la viga 10
_558,22 kg/m x 8² =8
Mux = 4465,76 kg/m(-)
V12
λ = 77
λ = 1
para un λ = 0,85 caso 5
α = 0,02262
β = 0,01982
µ = 0,6672
α = 0,03651
β = 0,03651
Tabla de coeficientes para elmétodo de Marcus, Caso 5:
Momentos Flectores (+)
Mux = 1822,16 kg/m(+)
Muy = 1598,5 kg/m(+)
Se sustituyen los valores en la formulay se obtienen Mux y Muy :(+) (+)
7
7
Valores de Para Momentos negativos:Qux y Quy
Qux= µ . Qu
Quy= (1-µ) . Qu
Qux=0,667 x 1488,6 kg/m² Qux= 992,9 kg/m
Quy= (1-0,667) . 1488,6 kg/m² Quy= 495,7 kg/m
Reacciones Para Placa 2 en x Caso II
= _992,9 kg/m² x 72
R = 3475,15 kg/m1
R = 3475,15 kg/m2
Para este caso como se trata de unaPlaca identificada como un caso IISegún la Tabla de coeficientes parael Método de Marcus, Los valores deR1 Y R2 serán iguales.
_992,9 kg/m x 7² =12
Mux = 4054,34 kg/m(-)
Para Placa 5 en y Caso II
= _5_ 495,7 kg/m² x 78
R = 2168,69 kg/m
= _3_ 495,7 kg/m² x 78
R = 1301,21 kg/m
1
2
V9
_495,7 kg/m x 7² =8
Muy = 3036,16 kg/m(-)
Momento negativo sobre la viga 9
V12=V13
Momento negativo sobre las vigas 12 y 13
λ = 76
λ = 1,16
para un λ = 1,16 caso 4
α = 0,03512
β = 0,01942
µ = 0,6442
α = 0,04841
β = 0,02671
Tabla de coeficientes para elmétodo de Marcus, Caso 4:
Momentos Flectores (+)
Mux = 2003,08 kg/m(+)
Muy = 1106,65 kg/m(+)
Se sustituyen los valores en la formulay se obtienen Mux y Muy :(+) (+)
7
6
Valores de Para Momentos negativos:Qux y Quy
Qux= µ . Qu
Quy= (1-µ) . Qu
Qux=0,644 x 1488,6 kg/m² Qux= 958,66 kg/m
Quy= (1-0,644) . 1488,6 kg/m² Quy= 529,94 kg/m
Reacciones Para Placa 6 en x Caso III
= _5_ 958,66 kg/m² x 88
R = 3594,98 kg/m
= _3_ 958,66 kg/m² x 88
R = 2156,98 kg/m
1
2
Para Placa 6 en y Caso III
= _5_ 529,94 kg/m² x 78
R = 2318,49 kg/m
= _3_ 529,94 kg/m² x 78
R = 1391,09 kg/m
1
2
V10
_529,94 kg/m x 7² =8
Muy = 3245,88 kg/m(-)
Momento negativo sobre la viga 10
_958,66 kg/m x 6² =8
Mux = 4313,97 kg/m(-)
V13 Momento negativo sobre la viga 13
Se Promedian los Momentos en vigas continuas.
_2858,08 kg/m x 3179,04 kg/m =2
MV6= 3018,56 kg/m
_5091,03 kg/m x 5698,58 kg/m =2
MV8= 5394,8 kg/m
_3179,04 kg/m x 3349,35 kg/m =2
MV5= 3264,2 kg/m
_5091,03 kg/m x 3036,16 kg/m =2
MV9= 4063,6 kg/m
_4465,76 kg/m x 4054,34 kg/m =2
MV12= 4260,05 kg/m
_3349,35 kg/m x 3245,88 kg/m =2
_4054,34 kg/m x 4313,97 kg/m =2
MV12= 3297,61 kg/m
MV12= 4184,15 kg/m
Se identifica MuMáx (Momento máximo), paracalcular el momento específico y luego mediantela Tabla de diseño de secciones rectangulares a
rotura hallar el valor de u, w y Ju.
MV8= 5394,8 kg/m MuMax= 5394,8 kg/m=
u= 5394,8 kg/m x 100270kg/cm² x 100 x 17cm²
Con el valor de u se obtiene w y Ju.
u = 0,0691w = 0,08
Ju = 0,952
Diseño de acero. Se calcula el área de acero paraCada placa (tanto en x como en y), tomando encuenta el acero mínimo dictado por la Norma.
As= 14 x 100cm x 17cm4000 kg/cm²
As= 5.95 cm²/m
Para calcular el acero de refuerzo tanto positivo (+) como negativo(-) en cada una de las placas y vigas, se utiliza su formulacorrespondiente:
Para sección en Y de las placasPara sección en X y vigas
Cálculo del Acero (+)
Asx= 2,37 cm²/m El Valor esta por debajo del acero mínimo por lo tanto se toma As = 5,95.
Asx = 1382,44 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
Asx = 5.95 = 4,681,27
100cm = 20cm5
5
Se usarán Cabillas de ½" cada 20cm para
esta sección.
/ ½ c/20cm"
Asy = 2457,19 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 (17cm-1)
Asy= 4,48 cm²/m Tomamos = 5,95Y Por lo tanto se usará:
/ ½ c/20cm"
Cálculo del Acero (+)
Asx= 2,36 cm²/m El Valor esta por debajo del acero mínimo por lo tanto se toma As = 5,95.
Asx = 1377,68 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
Asy = 1689,62 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
Asy= 2,90 cm²/m Tomamos = 5,95Y Por lo tanto se usará:
/ ½ c/20cm"
Tomando = 5,95Se usará:
/ ½ c/20cm"Así que:
Cálculo del Acero (+)
Asx= 2,62 cm²/m El Valor esta por debajo del acero mínimo por lo tanto se toma As = 5,95.
Asx = 1529,69 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
Asy = 1529,69 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
Asy= 2,62 cm²/m Tomamos = 5,95Y Por lo tanto se usará:
/ ½ c/20cm"
Tomando = 5,95Se usará:
/ ½ c/20cm"Así que:
Cálculo del Acero (+)
Asx= 3,54 cm²/m El Valor esta por debajo del acero mínimo por lo tanto se toma As = 5,95.
Asx = 2067,54 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
Asy = 2419,84 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
Asy= 4,15 cm²/m Tomamos = 5,95Y Por lo tanto se usará:
/ ½ c/20cm"
Tomando = 5,95Se usará:
/ ½ c/20cm"Así que:
Cálculo del Acero (+)
Asx= 3,12 cm²/m El Valor esta por debajo del acero mínimo por lo tanto se toma As = 5,95.
Asx = 1822,16 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
Asy = 1598,5 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
Asy= 2,74 cm²/m Tomamos = 5,95Y Por lo tanto se usará:
/ ½ c/20cm"
Tomando = 5,95Se usará:
/ ½ c/20cm"Así que:
Cálculo del Acero (+)
Asx= 3,43 cm²/m El Valor esta por debajo del acero mínimo por lo tanto se toma As = 5,95.
Asx = 2003,08 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
Asy = 1106,65 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
Asy= 1,89 cm²/m Tomamos = 5,95Y Por lo tanto se usará:
/ ½ c/20cm"
Tomando = 5,95Se usará:
/ ½ c/20cm"Así que:
Cálculo del Acero (-)
Asx = 3018,56 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
-
Asx= 5,18 cm²/m Tomamos = 5,95Por lo tanto se usará: / ½ c/20cm"
Asx = 5394,8 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
-
Asx= 9,25 cm²/m = 9,25 = 4,671,98
100cm = 20cm5
5
/ / c/20cm"Para es viga (V8) se usará: 5 8
Asx = 3264,2 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
-
Asx= 5,60 cm²/m Tomamos = 5,95Por lo tanto se usará:
/ ½ c/20cm"
Asx = 4063,6 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
-
Asx= 6,97 cm²/m = 9,25 = 3,521,27
100cm = 25cm4
4
Cálculo del Acero (-)
/ / c/25cmPara es viga (V8) se usará: 5 8
Asx = 3297,61 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
-
Asx= 5,65 cm²/m Tomamos = 5,95Por lo tanto se usará: / ½ c/20cm"
Cálculo del Acero (-)
Asx = 4260,05 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
-
Asx= 7,31 cm²/m
Asx = 4184,15 x 100 ,
0,9 x 4000 kg/cm² x 0,952 x 17cm
-
Asx= 7,18 cm²/m
= 7,31 = 3,691,98
100cm = 25cm4
4
/ / c/25cm5 8
= 7,31 = 3,621,98
100cm = 25cm4
4/ / c/25cm5 8
8/ ½ c/20cm"
/ / c/25cm5 "/ / c/25cm8 "5
/ / c/25cm5 "8 / / c/25cm5 "
8
/ / c/25
cm5
"8
/ ½ c/2
0cm
/ ½ c/2
0cm
/ /
c
/25
cm5
"8
/ ½
c/2
0cm
/ ½
c/2
0cm
/ ½ c/20cm
24
57
,19
16
89
,62
15
29
,69
24
19
,84
15
98
,5
11
06
,65
1382,44 1377,68 1529,69
2067,54 1822,16 2003,08
-3036,16
-5091,03
-3245,88
-3349,35
-5698,58
-5091,03
-28
58
,08
-31
79
,04
-44
65
,76
-40
54
,34
-43
13
,97
-40
54
4,3
4-3
17
9,0
4
-33
49
,35
-30
18
,56
-32
64
,2-4
18
4,1
5
-42
60
,05
-5394,8 -4063,6 -3297,61