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33Temas de Ciencia y Tecnologa vol. 13 nmero 38 mayo - agosto 2009 pp 33 - 37
ResumenLas pruebas aceleradas, consisten en una variedad
de mtodos para acortar la vida de un producto opara alargar su degradacin. El principal objetivo
de tales pruebas es obtener datos rpidamente, los
cuales modelados adecuadamente y analizados,
proporcionan informacin deseada sobre la vida
de un producto bajo condiciones normales de uso.
En este artculo, se estudiaran las pruebas de vida
acelerada, se mencionaran los principales objetivos
para los cuales se acelera la vida de un producto, los
modelos de pruebas de vida acelerada ms usuales y
finalmente se aplicar uno de stos a un conjunto dedatos obtenidos en una prueba en la cual se acelera
la temperatura.
Palabras clave: Distribuciones de probabilidad, estima-
cin, mtodos de aceleracin, pruebas de hiptesis.
1. IntroduccinAc tu al men te muc ho s fab ric ant es si ent en un
fuerte presin por desarrollar nuevos y mejores
productos, que registren una alta duracin,
confiabilidad entre ellos y por supuesto una alta
calidad. Esto ha motivado a desarrollar mtodos
en ingeniera y ampliar el uso de diseos de
experimentos para productos y mejorar su proceso.
Estos requerimientos para una alta confiabilidad
han incrementado y necesitan por adelantado
pruebas de materiales, componentes y sistemas.
Pruebas de vida acelerada en confiabilidad
Las pruebas aceleradas son muy usadas en la
industria manufacturera, particularmente para
obtener informacin de la confiabilidad de suscomponentes y materiales. Existe una gran variedad
de mtodos estadsticos en la aceleracin de
la vida de un producto complicado que puede
fallar de diferentes maneras. Generalmente, la
informacin de las pruebas a altos niveles de una
o ms variables de aceleracin o esfuerzo (como
pueden ser temperatura, voltaje o presin) se utiliza
para estimar la distribucin de vida del producto.
El trmino aceleracin tiene varios significados
en el campo de la confiabilidad, pero el trminogeneralmente implica ir ms rpido, de tal forma
que la informacin de la confiabilidad pueda
obtenerse ms rpidamente. Existen diferentes
tipos de pruebas de confiabilidad en las fases
del proceso de produccin del producto, las ms
comunes son pruebas de vida acelerada y pruebas
de degradacin acelerada.
2. Pruebas de vida aceleradaUna prueba de vida es aquel la en la cual un artculo
o producto de inters, se somete a un esfuerzo
en condiciones ambientales mayores a las que
tpicamente estar operando. Los principales
objetivos de acelerar la vida de un producto son:
estimar la distribucin de vida de dicho producto,
identificar fallas en el diseo, medir y demostrar la
confiabilidad.
Notas
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Temas de Ciencia y Tecnologa | mayo - agosto 200934 Notas
Los modelos de pruebas de vida acelerada tiene
las siguientes dos componentes: Una distribucin
de vida que representa la dispersin de la vida del
producto y la relacin vida esfuerzo.
Las distribuciones ms usuales para pruebas de vida
son: exponencial, normal, lognormal, Weibull y de
valores extremos (Gumbel).
3. Relacin vida esfuerzoLa relacin existente entre la vida y el esfuerzo no
siempre es el mismo, ste puede ser constante o
no, en este trabajo slo se estudiarn pruebas con
esfuerzo constante, ya que es ms comn que las
unidades trabajen con el mismo esfuerzo durante
el tiempo de la prueba. Normalmente los datos de
la prueba de vida se grafican como se muestra en
la siguiente figura.
FIGURA 1. RELACIN VIDA ESFUERZO.
Observe que a niveles altos de esfuerzo la vida
disminuye y viceversa.
Cuando el tiempo de la prueba se especifica
y al gu na s un ida de s no ha n fal la do ha st a es emomento, se dice que stas estn censuradas o
que se tienen datos censurados por la derecha.
En muchas aplicaciones industriales, las variables
de aceleracin ms comunes son la temperatura,
volta je y pres in, dep endiendo de stas se aplica
una relacin vida esfuerzo especfica, por ejemplo
si el esfuerzo es temperatura, la relacin usual
es la de Arrhenius, aunque cabe aclarar que sta
no siempre se aplica en situaciones en donde la
variable de aceleracin es temperatura ya que
en algunos casos no se tiene un buen ajuste del
modelo. Algunas aplicaciones de esta relacin son:
aislantes elctricos y dielctricos, estados slidos
y semiconductores, celdas de batera, lubricantes,
plsticos, lmparas incandescentes, etc.
Si el esfuerzo aplicado en la prueba es voltaje, la
relacin ms comn es la de potencia inversa.
En cualquier caso se necesita el uso de una
distribucin de prueba de vida, dependiendo de
la distribucin utilizada, se tiene los modelos para
pruebas de vida acelerada, por ejemplo si la relacin
es potencia inversa y se usa la distribucin Weibull,
se tiene el modelo potencia inversa Weibull. En el
ejemplo que se mostrara en este trabajo, el esfuerzo
utilizado es la temperatura y la distribucin de vida
que se supone es la lognormal, por lo que se usar
el modelo Arrhenius lognormal, a continuacin se
describe dicho modelo.
4. Modelo de Arrhenius lognormalLa vida de algunos productos y materiales en una
prueba con temperatura acelerada se describe
adecuadamente con una distribucin lognormal. De
acuerdo con la ley de Arrhenius, la razn de una simple
reaccin qumica (R) depende de la temperatura
como sigue
=
Tk
EATR
B
aexp)(
,
donde aE es la energa a la cual se activa la reaccin,
usualmente en volts (eV),KB= 8.6171 x 10-5= 1/11605
es la constante de Boltzmanns en electrn volts por
C, T = TempC+ 273.15 es la temperatura absoluta
en la escala de Kelvin,A es una caracterstica de falla
del producto en condiciones de prueba. Tanto aE
como A son parmetros del modelo que necesitan
estimarse. El modelo hace los siguientes supuestos:
la vida del producto tiene un distribucin lognormal
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3 Temas de Ciencia y Tecnologa | mayo - agosto 2009Pruebas de vida acelerada en confiabilidad.
o equivalentemente el logaritmo de sta tiene una
distribucin normal, la desviacin estndar, , del
logaritmo de la vida es constante independiente de la
temperatura y el logaritmo de la vida media )(5.0 T
es una funcin lineal del inverso de la temperatura
absoluta, esto es,
[ ] ( ),/)(log 215.0 TT +=
la cual se llama la relacin de Arrhenius. Los
parmetros ,1 2 y son caractersticas delproducto y del mtodo de prueba, los cuales son
estimados de los datos. Equivalentemente la media
)(x del logaritmo de la vida es una funcin lineal
de x=1000/T, es decir,
,)( 21 xx += (1)
aqu 1000 se usa como una escala de la temperatura.
Con lo anterior, a una temperatura absoluta T, la
funcin de distribucin acumulada al tiempotes
=
)()log()(
xttF
, (2)
donde [ ] es la funcin de distribucin acumuladade una normal estndar.
5. Anlisis de datosPara analizar los datos de una prueba de vida
acelerada, el mtodo de mxima verosimilitud (MV)
es el ms usado, ya que es muy verstil y es aplicable a
diferentes modelos, tipos de datos y tipos de esfuerzo,
adems ste se puede ocupar cuando se tienen datos
censurados o sin censura.
Supngase que la muestra i tiene a la variable
dependiente iy censurada por la derecha, entonces
la funcin de verosimilitud es
),,...,,;(1),...,,( 2121 pipi yFL =
dondeFes la funcin de distribucin acumulada de
iy , en nuestro caso sta es la dada en (2).
Ahora su pngase que se ti ene n n mue st ras
independientes, entonces la verosimilitud muestral
es el producto de stas, esto es,
=
=
n
i
pip LL1
2121 ),...,,(),...,,(
.
Tomando el logaritmo natural de sta, se tiene la log-
verosimilitud muestral, dada por,
1n=
=
n
i
pl1
21 ),...,,(
,
la cual solo es funcin de los parmetros .,...,, 21 p
Los est imadores de mxima veros imil i tud
p ,...,, 21 de p ,...,, 21 son los valores
que maximizan la log-verosimilitud muestral y se
encuentran por los mtodos tradicionales de clculo,
igualando a cero laspderivadas de ),...,,( 21 pl
con respecto a los parmetros y resolviendo las
siguientes ecuaciones de verosimilitud para
p ,...,, 21 :
,0),...,,( 21=
i
pl
para
pi ,...,2,1=.
Usualmente estas son ecuaciones no lineales en los
parmetros y no se pueden resolver algebraicamente
por lo que hay que ocupar algn mtodo numrico.
Despus de obtener la estimacin de los parmetros,
hay que estimar la matriz de varianzas y covarianza
de ellos, dada por,
==
)(),(
),()(
1
11
1
pp
p
VarCov
CovVar
FV
L
MOM
L
piL 21 ),...,,(
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Temas de Ciencia y Tecnologa | mayo - agosto 200936 Notas
la cual es una matriz simtrica de pp , aqu, F esla matriz de informacin de Fisher formada por las
segundas derivadas parciales negativas de la funcin
de log-verosimilitud evaluada en p ,...,, 21 . Para
encontrar intervalos de confianza de los parmetros
estimados, se ocupa la aproximacin normal por las
propiedades asintticas que se cumplen. Mientrasque si lo que se desea es realizar algunas pruebas
de hiptesis, se ocupa el estadstico
( )llllT j ...2 21 +++= , (3)
donde jklk ,,1, K= , y l es la log-verosimilitud
muestral estimada del j-simo nivel de esfuerzo y
total, respectivamente. Si la relacin entre los datos
es lineal, la distribucin de Tes aproximadamente2 con 1j grados de libertad, si la relacin no
es linealT tiende a tomar valores grandes, de esta
manera si ( )1,12
jT los datos son consistentescon una relacin lineal, de lo contrario los datos
difieren significativamente de la relacin lineal.
6. Ajuste del modeloLa Tabla 2 muestra datos censurados de una prueba
de aceleracin de temperatura, de una clase-B de capa
aislante para motores elctricos. Diez motores fueron
probados cada uno a cuatro temperaturas, 150C, 17C,
190C, y 220C. El objetivo de la prueba es estimar
la distribucin de vida de un diseo de motores a
temperatura de 130C. Al tiempo del anlisis, siete motores
a 170C tuvieron falla, cinco a 190C y 220C tuvieron falla,
mientras que ninguno de los motores fallaron a 150C.
150o
C 170o
C 190o
C 220o
C
8064+ 1764 408 408
8064+ 2772 408 408
8064+ 3444 1344 5048064+ 3542 1344 504
8064+ 3780 1440 504
8064+ 4860 1680+ 528+
8064+ 5196 1680+ 528+
8064+ 5448+ 1680+ 528+
8064+ 5448+ 1680+ 528+
8064+ 5448+ 1680+ 528+
TABLA 2. TIEMPOS DE FALLA DE 40 MOTORES SOMETIDOS A UNA
PRUEBA DE VIDA ACELERADA.
El signo + en la Tabla 2 indica aquellos motores que no
fallaron antes de que terminara el estudio. Los motores
fueron peridicamente analizados por fallas y el tiempo
de falla que se muestra en la tabla es el punto final del
periodo en el cual la falla ocurri.
En la Figura 3 se muestra la dispersin de los datos
de la prueba de vida acelerada dados en la Tabla 2.
FIGURA 3. RELACIN ENTRE LA TEMPERATURA Y LOS TIEMPOS DE FALLA.
En esta figura, se puede observar la relacin que existe
entre la temperatura y los tiempos de falla, a la cual se
le puede aplicar la relacin de Arrhenius, suponiendo
una distribucin de vida lognormal, el modelo ajustado
a los datos es el Arrhenius lognormal descrito en la
seccin 4. En este caso el parmetro de localizacin
es funcin de la temperatura, siguiendo la relacin
dada en (1). Cabe mencionar que en el anlisis de
los datos, los tiempos de falla registrados a 150C, no
proporcionan informacin relevante ya que slo se
tiene un punto, como lo muestra la Figura 3, por lo
que se omiten en dicho anlisis.
Los resultados son los siguientes:
ParmetroEstimacin porMV
Intervalo del 95%de confianza
1 3.47 (3.35,3.58)
2 4.30 (3.45,5.16)
0.2591 (0.1811,0.3707)
TABLA 4. ESTIMACIN DE LOS PARMETROS CON INTERVALOS DEL
95% DE CONFIANZA.
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3 Temas de Ciencia y Tecnologa | mayo - agosto 2009Pruebas de vida acelerada en confiabilidad.
La matriz de varianzas y covarianzas estimada es,
=
0022.00043.00014.0
0043.01903.00070.0
0014.00070.00033.0
V
.
La ecuacin ajustada es
( )x = 3.47 + 4.30
que es equivalente con (1).
Como el objetivo es estimar la distribucin de vida
de un diseo a temperatura de 130C, en la siguiente
tabla se muestran los cuantiles estimados de dicha
distribucin.
Cuantil Duracin estimada0.1 7470.50
0.5 10120.601 11744.995 17639.5010 21912.1320 28495.9750 47081.6180 77789.1790 101162.1095 125665.6099 188733.80
Por ejemplo, si lo que se desea es estimar la vida
media a una temperatura de 130C, la duracin es de
47081 horas aproximadamente. En situaciones reales
lo que se quiere es estimar un cuantil que proporcione
garanta a los consumidores, por ejemplo el 90, 95 o
99, en este caso para el cuantil 90 la duracin sera
101162 horas aproximadamente, lo que quiere decir,
que existe una probabilidad de 0.9 de que la falla se
presente despus de esas horas de estar trabajando
el motor.
Una prueba de inters es verificar la igualdad del
parmetro de escala ( ) en todos los niveles deesfuerzo. En este caso se tiene 3=j pruebas de
temperatura las log-verosimilitudes estimadas en cadanivel de esfuerzo son:
1 =l -64.27 2 =l -43.78, 3 =l -32.30
y la log-verosimilitud total es:
198.145 =l , por lo tanto usando el estadsticodado en (3),
=T 9.69 > 9.21 = (0.99,2).
As, las s difieren significativamente a un nivel del
99% de confianza, si las s de las poblaciones fueran
iguales, se podran observar valores grandes de T.
Otra prueba de inters es verificar la linealidad de
los datos. Si suponemos que el parmetro de escala
es constante, ajustando el modelo con varianzas
constantes para los tres niveles de temperatura, se
obtiene que la log-verosimilitud total estimada es
==ctel -148.19 y usando el estadstico dado en (3) ,
=T 1.34 > 2.35 (0.95,2)
Por lo que no hay suficiente evidencia de no linealidad
en los datos a un nivel de confianza del 95%.
7. ConclusionesEl modelo para prueba de vida acelerada estudiado
aqu ajusta adecuadamente a los datos del ejemplo,
permitiendo dar una buena estimacin de la
distribucin de vida, como lo muestran las pruebas
realizadas para tal ajuste al nivel de confianza
mostrado, aunque en general, estas pueden cambiar
dependiendo el nivel que se requiera, pero no loharan radicalmente. La estimacin de los parmetros
por mxima verosimilitud, mostrados en la Tabla 3,
presentan poca variabilidad y poca correlacin entre
ellos, como se puede verificar en la matriz de varianzas
y covarianzas. Con la estimacin de la distribucin de
vida, se pueden tomar decisiones acerca de la garanta
del producto ya que muestra su confiabilidad.
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( ),xx
2=
2
T
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Jimnez Hernndez J. del C.*
Alamilla Lpez N. E. *
Lpez Cerino M.**
*Universidad Tecnolgica de la Mixteca**
Benemrita Universidad Autnoma de Puebla
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