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1/23
RUBN ALVA [email protected]
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2/23
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3/23
TEOREMA DE PITGORAS
A
B C
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
2 2(CATETO) (CATETO) 2(HIPOTENUSA)
3
45 512
1320
21 29
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4/23
RAZONESTRIGONOMTRICAS DE ANGULOSAGUDOS
q
q=
CatetoOpuestoasen Hipotenusa
CatetoAdyacenteacos Hipotenusa
Hipotenusa
secCatetoAdyacentea
Hipotenusa
cscCatetoOpuestoa
CatetoAdyacentea
cot
CatetoOpuestoa
CatetoOpuestoatan
CatetoAdyacentea
CATETO
OPUESTO
A
CATETO ADYACENTE A HIPOTENUSA
SENO COSENO
TANGENTE COTANGENTE
SECANTE COSECANTE
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5/23
12
35
H2 2 2H 12 35
TEOREMA DE PITGORAS
H 1369 37sen cos
tan 1237
35
37
12
35
cot sec csc 35
12
37
3537
12
EJEMPLO :
EJEMPLO :
Sabiendo que es un ngulo agudo tal que sen=2/3.....
23
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RAZONES TRIGONOMTRICAS RECPROCAS
PROPIEDADES DE LAS RAZONESTRIGOMOMTRICAS DE NGULOS AGUDOS
1sen
csc
1cos
sec
1tan
cot
EJEMPLOS
o
1A)
sen36
ocsc 36 o1
B)cos17
osec17
sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1
D)sen2 csc 2 1o oC) tan 49 cot 49 1oE) cos 63 sec 1 o63
F) tan 2 cot 1 2
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PROPIEDADES DE LAS RAZONESTRIGOMOMTRICAS DE NGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOS
A LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS SENO Y COSENOTANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTESE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMTRICAS
PROPIEDAD :LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE TODO NGULO AGUDO
SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONESTRIGONOMTRICAS DE SU NGULO COMPLEMENTARIO
sen coscos
tan sencot
a
b ccot sec csc
tancscsec
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EJEMPLOSoA)sen25 o
B)tan43 oC)sec60
ocos65
ocot 47ocsc30
...............
...............
...............
o o O25 65 90o o O
43 47 90o o O
60 30 90oD)sen cos 20
o O
20 90 o70E) tan 5 cot
o5 90 o15F)sen
5 cos
5 2
2 5
3 rad10
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TRINGULOS NOTABLES
1 2
3
o30 (
O60 1
1
2
o45
o
45
(
3
4
5
o
37
o53
(
osen30 12
otan60 3osec 45 2 ocot 37 4
3otan30 1
3
3x
3
3
3
o
sen45 1
2
2
x 2
2
2
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o30
o37 o454 34
3 3
3 3
CALCULAR : cot
83 3
cot
4
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RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS
HHsen
Hcos
LsecLtan
L
5
o62
o5sen62
o5cos62
8
8tan8sec
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y NGULO AGUDO
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y NGULO AGUDO
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L Lcot
Lcsck
o24
ok csc 24
ok cot 24
EJEMPLO
)m
Calcular L en trminosde m y;
L
CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y NGULO AGUDO
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SOLUCIN
m
mtanLL mtan
m cot L mtan mcot
L mcot mtan L m (cot tan ) NOTA : DESCOMPOSICIN DE UN VECTOR
F
yF
xF X
Y
xF Fcosy
F Fsen
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REA DEL TRINGULO
A B
C
ab
c
abS senC
2
bc
S senA2
acS senB2
EJEMPLO
5m
8m
O60
o(5)(8)
S sen602(5)(8) 3
S ( )2 2
210 3m
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NGULOS VERTICALES
Los ngulos verticales son ngulos agudos contenidos enun plano vertical y formados por dos lneas imaginariasllamadas horizontal y visual
NGULO DE ELEVACINNGULO DE DEPRESIN
HORIZONTAL)
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Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnisvolando a una misma altura con ngulos de elevacin de530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m A qu
altura estn los ovnis?
EJEMPLO :
SOLUCIN
o
37
O
53
70
12k 12k
O
539k
o
37
16k
+
9k +70 = 16k k = 10 H = 120
=H
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NGULOS HORIZONTALES
Los ngulos horizontales son ngulos agudos contenidos enun plano horizontal, se determinan tomando como
referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) yoeste(O).
DIRECCINLa direccin de B respecto de Aes E30N o N60E o
La direccin de C respecto de Aes oS56 O S34O o
o
o
RUMBOEl rumbo de Q respecto de P
o47
El rumbo de M respecto de Po27
al este del sur
al oeste del norte
N
S
EO
O30
O56A
B
C
EO
S
N
P
Qo47
o27
M
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ROSA NUTICA
Grfico que contiene 32 direcciones notables, cada direccinforma entre ellas un ngulo cuya medida es 'o1511
En el grfico adjunto slo se muestran 16 direcciones notables,cada una forma entre ellas un ngulo cuya medida es 'o3022
N
S
EO
NNE
ENE
NNO
ONO
OSO
SSO
ESE
SSE
NENO
SO SE
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19/23
Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices delos 16 ngulos que se muestran en el grfico anterior.
E
NE
NNNE
ENENE41E
E41NE
NE41N
N41NE
NNO
NO41N
N41NO
NOO41NO
ONONO41O
O
Cunto mide el ngulo entre las direccionesNE1/ 4N y NO1/ 4O?
Rpta. o90
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Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la direccinN530O luego recorre 402 km en la direccin SO, finalmenterecorre 60 km hacia el este. A qu distancia se encuentra el
insecto de F ?
EJEMPLO :
SOLUCIN N
S
EO
o53
o45
o45
4040 2
60
x
o
37
24
3216
40 20 12
16
OBSERVA QUE EL
TRINGULO DE COLORROJO ES NOTABLE
X = 20
F
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21/23
RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LA MITAD DE UNNGULO AGUDO (mtodo grfico)
2
2
a
bc
c)2
tan 2
b
c a c a
b
+
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EJEMPLO :
Sabiendo que : tan 8=24/7, calcula tan2SOLUCIN
824
7
25
425
24tan425 7
24
tan4
32
3
tan44
4 23
4
5
5
3tan29
1tan23
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23/23
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