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XI. MOVIMIENTO CURVILNEO
En el estudio del movimiento rectilneo nos bastaba un nmero para
determinar la posicin, la velocidad o la aceleracin de la partcula en
estudio. Pero para determinar esas propiedades del movimiento de una
partcula que describa una trayectoria curva, necesitaremos conocer tantola magnitud como la direccin. De modo que ser conveniente trabajar, a
partir de ahora, con vectores.Consideremos un automvil
transitando por una carretera curva,
aumentando su rapidez. Si lo obser-
vamos desde un punto O fuera de lacarretera, para situarlo deberemos
conocer la distancia a la que se en-
cuentra y en qu direccin se mideesa distancia. Representaremos el
caso mediante una curva arbitraria y
un punto sobre ella. Al punto O lo
llamaremos origen, y desde ste alpunto trazaremos un vector, el vec-
tor de posicin.
Un tiempo despus, el punto ocupar una nueva posicin. Y la dife-rencia entre estas dos posiciones ser el desplazamiento. Ahora el despla-
zamiento tambin es una cantidad vectorial, tal que + =
Puesto que la velocidad media es la razn del desplazamiento al
tiempo, la representaremos con un nuevo vector, que tendr la mismadireccin del desplazamiento. Observemos que la magnitud del desplaza-
=
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Movimiento curvilneo
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miento, es decir, la magnitud del vector, es menor que la longitud reco-rrida por la partcula entre las dos posiciones consideradas.
|| Si el lapso considerado es infini-
tamente pequeo, la razn del despla-
zamiento al tiempo ser la velocidad dela partcula en ese instante. Ahora bien,
si la segunda posicin se acerca todo lo
posible a la primera, la lnea que las
una, que ser la direccin tanto deldesplazamiento como de la velo-cidad,
ser tangente a la trayectoria. Estapropiedad es de especial impor-tancia
en el estudio de la Cinemtica de la
partcula. Y tiene la velocidad otrapropiedad igualmente importante: la
magnitud del desplazamiento es ahora
del mismo tamao que la lon-gitud
recorrida por la partcula. Es decir
|| =
= ; || = = Para facilitar las explicaciones que daremos en lo futuro, a partir de
ahora entenderemos por rapidezel tamao o magnitud de la velocidad.La aceleracin media, que es la razn del cambio de velocidad al
tiempo, ser un vector cuya direccin dependa tanto del cambio de
direccin de la velocidad como de su cambio de magnitud. Lo mismo sepuede afirmar de la aceleracin, que es la razn del cambio de velocidad
al tiempo, cuando ste es infinitamente pequeo. Estudiaremos esta
cantidad empleando distintos sistemas de referencia.
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Movimiento curvilneo
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a) Dado que = 0 . 1 , y que = , entonces v=0.2t.Para =2, = 0.4 = 0.4. Como se halla en el tramos recto de la va:
b) Puesto que
=
=0.4/2
c) De las expresiones empleadas en el inciso a, pero para t = 5, se obtiene
s = 2.5, v = 1. Ahora el tren se encuentra en un tramo curvo; ha recorrido 1
m de la circunferencia BC. El radio que une su posicin con el centro de lacurva forma un ngulo = s / R de 1 / 0.8 = 1.25 radcon la vertical, es
decir, de 71.6. Para determinar tanto la magnitud como la direccin del
vector de posicin r calculemos las distanciasxyy:
Ejemplo. La figura representa la va deun tren de juguete. El tren parte delpunto A y avanza conforme a la ex-
presins= 0.1 t2, si t se da en s, s es la
distancia en m del tren al punto A, me-dida sobre la va. Tomando dicho punto
A como origen, determine: a) la
posicin y la velocidad del trenecito
cuando t= 2 s; b)Su velocidad mediadurante los dos primeros segundos. c)
Su posicin y su velocidad cuando t =
5s. d) El tiempo que requiere paravolver al punto de partida.
= 0.4 m ; = 0.4 m
= 0 . 2 m
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Movimiento curvilneo
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=1.5+0.8sen71.6=2.26=0.80.8cos71.6=0.548Por tato, = 2.26 +0.548Y tan=0.548/2.26
d) Puesto que = 0 . 1 , y se desea conocer el tiempo en que vuelve apasar por A, ha de calcularse la lon-gitud de toda la va:
= 2 0.8 + 21.5 =8.03Por lo que 8.03=0.1, de donde = 8.03/0.1
Componentes cartesianas. Cinemtica
Consideremos una partcula movin-
dose en una curva arbitraria y elijamos unsistemas de referencia cartesiano, como se
muestra en la figura. La posicin de la
partcula en un instante arbitrario quedaperfectamente determinada mediante un
vector que una el origen con la partcula; si
las coordenadas de sta sonx yy. entonces
el vector de posicin ser
= 2.33 m 13.6 = 1 m 71.6
= 8.96
= x +
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Movimiento curvilneo
271
Si lo derivamos respecto al tiempo, obtendremos primero la velocidad
y luego la aceleracin de la partcula. Como los vectores unitarios i yjtienen magnitud y direccin constantes, las derivadas quedan como sigue.
= +
= +
Procederemos a escribir las ecuaciones del movimiento como lo
hicimos en el caso del movimiento rectilneo. Las componentes de la
velocidad y la aceleracin los obtendremos derivando las de la posicin.
= +
= +
Ejemplo.Las coordenadas de un buque
que se mueve en las proximi-dades de
un puerto sonx= t330t2+280tyy=t2
10t+600, donde tanto x como yresultan en m si tse da en s. Determine
la posicin, velocidad y aceleracin
del buque cuando t=10 s.
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Movimiento curvilneo
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= 30 +280 = 3 60+280 = 6 6 0 = 10+600 = 2 1 0 = 2Para t=10=10003000+2800=800 = 3 0 0 6 0 0 + 2 8 0 = 2 0 = 6 0 6 0 = 0
= 1 0 0 1 0 0 + 6 0 0 = 6 0 0 = 2 0 1 0 = 1 0 = 2Comparando los resultados
=800+600 = 800 +600t a n = 600800
=1000m 36.9
=20+10 = 20 + 10t a n = 1020
=2 = 2 2 . 4 m 26.5
= 2 m
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Movimiento curvilneo
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Componentes cartesianas. Cintica
De la segunda ley de Newton hemos deducido que la resultante delas fuerzas que actan sobre una partcula tiene una magnitud igual al
producto de la masa de dicha partcula por la aceleracin que sufre, y tiene
la direccin de esa aceleracin por tanto, podemos escribir las siguientes
ecuaciones:-9-
En un instante cualquiera del
movimiento, el diagrama de cuerpo
libre de la pelota es el siguiente:
= = =
Ejemplo. Un jugador de golf
golpea una pelota en la direccin mos-
trada en la figura con una rapi-dez de50 m/s, desde una sobreele-vacin de
12 m. Despreciando toda resistencia
del viento, determine: a)el tiempo enque la bola alcanza la altura mxima;
b)la altura mxima que al-canza; c)el
tiempo en que llega al suelo; d) la
velocidad con que llega, e)el alcancehorizontal D de la bola. Y escriba la
ecua-cin cartesiana de la trayectoria.
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Movimiento curvilneo
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O sea, que en cualquier posicinla aceleracin de la pelota es igual ala gravedad.
Elegimos ahora un sistema dereferencia cartesiano y escribimos las
ecuaciones del movimiento:
En xx = 0
= 5 0 (45) = 4 0
= 40 En yy =9.81 = 5 0 (35) 9.81 = 30 9.81 = 12 + 30 9.812
a) La pelota alcanza la altura mxima cuando vy=0
0 = 30 9.81 = .
En ese tiempo;yser la altura mxima
= 1 2 + 3 03.06 9.812 3.06
= 3.06
= 57.9 m
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Movimiento curvilneo
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b) Que llegue al suelo significa quey=00 = 12 + 30 9.812 9.81 60 12 = 0
Las races de sta ecuacin son = 6.31 ; =0.1939 . La ne-gativa no significa nada en este problema.
c) Al llegar al suelo
= 40 =309.816.31 =31.9 = 40 +31.9t a n = 31.940
La ecuacin cartesiana de la tra-
yectoria, que es de la forma y = f(x),
la obtendremos despejando t de laecuacin dexy sustituyendo en la de
y. = 40 = 1 2 + 3 0 40 9.812 40
Que es la de una parbola cuyoeje es paralelo al de las yes.
= 6.31
= 5 1 . 2 38.6
= 12 + 0.75 3.0710
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Movimiento curvilneo
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Sabemos que en cualquier instante el proyectil sufrir la aceleracin
de la gravedad. Elegiremos un sistema de referencia con uno de los ejes en
direccin de la ladera y emplearemoslas ecuaciones del movimiento.
En xx =32.2 sen30=16.1 = 16.1 = 8.05 En yy
=32.232 =16.13
= 16.1 3
= 8.05 3En B, x = 750 ; y = 0 750=8.05 = 9 . 6 50 = 9.65 8.059.653 =8.059.653
Ejemplo. Se desea que un pro-
yectil que se disparar en direccin
normal a la ladera mostrada llegueexactamente al puntoB. Diga con qu
rapidez debe disparase para lograrlo.
=134.6
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Movimiento curvilneo
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Componentes intrnsecas. Cinemtica
Este apartado es, sin lugar a dudas, el ms importante de lacinemtica. Las componentes de la aceleracin que ahora estudiaremos
estn relacionadas ntimamente con las caractersticas esenciales del
movimiento. Por eso, algunos autores las llaman naturales. En efecto, una
de ellas mide el cambio de magnitud de la velocidad, la otra, su cambio dedireccin.
La figura representa una partculamovindose en una curva cualquiera.En direccin de su velocidad, es decir,
tangente a la trayectoria en ese punto,
elegimos un eje de referencia, quellamaremos tangencial. Perpen-dicular
(es decir, normal) a l toma-mos el
otro eje de referencia, que ser el ejenormal, y se dirige hacia el cen-tro de
la curva. Los vectores unitarios en esas
direcciones sern el vector unitario
tangencial, ety el vector uni-tarionormal en.
Expresada en forma polinmica, la velocidad ser
= Derivaremos esta expresin con el fin de obtener la aceleracin de
la partcula. Puesto que tanto vcomo etson variables
=
+
El trmino dv/dtnos resulta familiar, pues es la razn de cambio de larapidez (i. e., de la magnitud de la velocidad) con respecto al tiempo. Pero
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Movimiento curvilneo
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para comprender el trmino det/dtderivaremos primero el vector unitariotangencial respecto a su direccin. Como se puede apreciar en la figura, sidicho vector unitario se desva un ngulo d, su punta describe un arco ds,
cuya longitud es igual al producto del radio por en ngulo: dado que el radio
es la magnitud del vector unitario, o sea, 1, entonces d= ds; ade-ms la
magnitud de det= ds, es decir, d= detpor lo que podemos afir-mas que lamagnitud de la derivada es 1 y, como se aprecia en la figura, el vector
obtenido es perpendicular al vector unitario tangente. Por tanto, det/d=en.
Utilizando la regla de la cadena, podemos llegar a lo siguiente:
= + = +
= + en donde ds/dt = v, y d/ds= 1/, en donde es el radio de curvatura, ya
que el ngulo es igual al arco entre el radio, tal como se muestra acontinuacin:
= Podemos escribir finalmente que
que expresa la aceleracin como la suma vectorial de dos componentes
perpendiculares entre s. La primea la componente tangencial es la raznde cambio de la rapidez respecto al tiempo y tiene la direccin de la
velocidad; y la segunda, que se dirige hacia el centro de la curva, es igual
= +
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Movimiento curvilneo
280
al cuadrado de la rapidez entre el radio de curvatura. La magnitud y ladireccin de la aceleracin se puede obtener mediante las expresiones
= ; =
= +
=
De la expresin de la longitud recorrida obtendremos la rapidez y la
componente tangencial de la aceleracin en cualquier instante.
= 4 = 8 = 8El cuarto de pista, es decir, el arco , mide = = 2 400 =200Entonces 200=4 = 50
Y en el instante=812.53
Ejemplo.Un automvil comienza a
moverse desde el punto A de una tra-
yectoria circular de 400 ft de radioconforme a la expresin s = 4t2, donde
s es la longitud que recorre sobre la
pista en ft, y t el tiempo en s. Calculeel tiempo que el automvil tarda en
recorrer un cuarto de la pista y diga
cules sern su velocidad y su ace-leracin en ese instante.
400
A
Bv
=12.53
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Movimiento curvilneo
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= . =25.1 = 8 = 25.1 + 8t a n = 8
25.1
Como la variacin de la rapidez es constante, de = obtena = 2
Puesto que 90 km/h = 25 m/s y 54km/h =15 m/s
=100.3
= 2 6 . 4 17.7Ejemplo.Un motociclista que
reduce uniformemente su rapidez, pa-sa porAa 90 km/h y llega al fondoB
de la curva vertical B, 50 m adelante
de A, a 54 km/h. Sabiendo que enBel
radio de curvatura de la carretera es de100 m, diga cules son la magnitud y
la direccin de la aceleracin de lamotocicleta en ese punto.
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Movimiento curvilneo
282
= = 4 = = 15
100 =2.25 = 4 +2.25t a n = 2.254
Componentes intrnsecas.Cintica
Nuevamente, de las relaciones entre la resultante del sistema de
fuer-zas y la aceleracin de una partcula que establece la segunda ley deNewton, podemos escribir
=
=
Conviene tener en cuenta que muchos problemas, aun de
movimiento plano, exigen un desarrollo en tres dimensiones. En talesproblemas se puede elegir un tercer eje de referencia, perpendicular al
plano del movi-miento, que cumple con la condicin
= 0Algunos textos llaman binormalal eje que nosotros hemos denomi-
nado de las zetas, por ser perpendicular tanto al eje tangencial como alnormal. Este caso lo ilustraremos con el siguiente ejemplo.
= 4 . 5 9 m 29.4
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Movimiento curvilneo
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-
Tomando el plano que contiene la cuerda y el pndulo, dibujaremos
el diagrama de cuerpo libre y el sistema de referencia, sabiendo que el eje
tangencial (y, por tanto, la velocidad) es perpendicular al plano deldibujo.
= 0 25 5 = 0 = 5 25
= 25 = 532.2 El rayo de la trayectoria r es igual a la longitud de la cuerda por el
seno de 25: Osea 525 25 = 532.2
2 2525= 64.4 25
=64.4 2525
Ejemplo. Pndulo cnico. Unpndulo de 5 lb de peso atado a una
cuerda de 2 ft de largo, que forma un
ngulo de 25 con respecto a la ver-tical, describe un cono. Determine la
tensin de la cuerda y la rapidez del
pndulo.
25
2
5#
= 5.52 lb
= 3.56 ft/s
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Movimiento curvilneo
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Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de un carro de F.C. que cir-cula a la velocidad de diseo. Elegimos un sistema de referencia tal que el
eje normal se dirija al centro de la curva y el tangencial resulte perpendi-
cular al plano del dibujo. = 0 = 0 = cos = =
Como 180 km / h= 50 m / s
= . = 59.81 ; = 2 7 Y mediante trigonometra calculamos la sobreelevacin h
= 1.435 27
Ejemplo.Diga cuntos centme-tros debe sobreelevarse el riel exterior
de una va curva de 500 m de radio, sila velocidad de diseo es de 180 km/h.
La reaccin de la va debe ser
perpendicular al asiento de los dur-mientes.
h
1.435 m
= 0.65 m
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Movimiento curvilneo
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La velocidad es nula cuando el ngulo es de 35; tambin es nula en ese
instante, la componente normal de la aceleracin.
= 0 2 c o s 3 5 = 0
Dibujaremos ahora un diagrama de cuerpo libre del pndulo en una
posicin arbitraria, para determinar su rapidez.
= 2 c o s = 2 cos =
Para relacionar el ngulo con la longitud recorrida, tomaremos un arco
diferencial de la trayectoria.
Ejemplo.Un pndulo simple de 2
lb de pesoy 4 ftde largo, oscila en el
plano vertical. El ngulo mximo que
forma la cuerda con la vertical es de
35. De-termine: a) la tensin de lacuerda cuando la velocidad del pn-
dulo es nula; b) la velocidad mxima
del pndulo y la tensin correspon-diente de la cuerda.
35
4
2 #
35
= 1.64
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Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de la camioneta al pasar por la
cima.
= 2 0 0 0 = Como 30 mi / h = 44 ft / s
2 0 0 0 = 10 44
= 2 0 0 0 443.22 =1399 = = 2000 3 = 600032.2 =186.3La reaccin es = 1399 +186.3
t a n =1399186.3
Ejemplo.Una camioneta de 2000lbque reduce su rapidez a razn de 3
ft/s2 pasa por la cima de una curva
vertical de 200 ft de radio con una ra-pidez de 30 mi/h. Calcule la mag-nitud
y la direccin de la reaccin del
pavimento sobre la camioneta. Cul
es la mxima rapidez con que puedecircular un vehculo por ese punto, sin
despegarse del camino?
= 1411 lb 82.4
2000
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Movimiento curvilneo
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= 0.3 + 0.30.8 Sabiendo que la componente normal de la reaccin del disco es igual
al peso del cuerpo, podemos dibujar un diagrama de cuerpo libre en
planta en donde la en donde la fuerza mxima de friccin esttica es
= = 0 . 5 Sabiendo que la fuerza de friccin y la aceleracin tienen la misma
direccin, escribimos:
= 0.5= 9.81 0.3 + 0.3
0.8
[9.810.5] =0.3 + 0.3
0.8
.. = [9.810.5] 0.09 = 649 {[9.810.5] 0.09}
= 3.61 s
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Movimiento curvilneo
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Como la rapidez del osezno es variable, estudiaremos un instante
cualquiera de su movimiento sobre el igl.
= = = En donde
= 12=12
12 =
12 = 2 + Si = 0; cos = 1, v = 0 1 2 = 12 = 2 122 =121 =241
Por otro lado:
=
+ = 12
Ejemplo.Desde la parte ms altade un igl semiesfrico de 12 ft de
radio, comienza a deslizarse un osez-no. Considerando que tanto la veloci-
dad inicial como la friccin son nulas,
a qu altura h se separar el oseznodel igl?
12 ft h
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Movimiento curvilneo
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30
25 m/s
100 m
= 2
Tal expresin vale siempre que la partcula baje de nivel por la accin de
su peso, por cualquier tipo de trayectoria sobre la que no haya friccin.
Serie de ejercicios de Cinemtica y Dinmica
MOVIMIENTO CURVILNEO
1. Un punto se mueve sobre la trayectoria cuya ecuacin es y =x3, de
acuerdo con la ley x = 2t+1/t, donde tantox comoy estn en in y t en s.Cul es su rapidez cuando t = 4 s?
(Sol. 396 in/s)
2. Una partcula se mueve sobre la curvay = 2x33x conforme con larelacinx = t2t, donde si t est en s, tantox comoy resultan en cm. Calcule
su velocidad y su aceleracin cuando t = 1 s.
(Sol. v = 3.16 cm/s 71.6; a = 6.32 cm/s2 71.6)
3. Un muchacho situado al bordede un precipicio lanza una piedra con
una velocidad de 25 m/s formando un
ngulo de 30 abajo de la horizontal.
Si la profundidad del lugar en que caela piedra, respecto al nivel del que
fue lanzada, es de 100 m, diga: a) qu
tiempo tarda la piedra en caer; b) elalcance hori-zontal de la piedra; c)
con qu ve-locidad llega la piedra al
suelo.(Sol. a) 3.42 s; b) 74.0 m;
c) 50.9 m/s 64.8)
= 2
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Movimiento curvilneo
293
20 m/s
15
45
R
O
C
S
32
4. De una bala que ha sido disparada a 480 ft/s formando un ngulo de25 respecto a la horizontal, se desea saber: a) el tiempo que tarda en llegar
al suelo; b) su alcance; c) la altura mxima a la que llega; d) la ecuacin
cartesiana de su trayectoria. Desprecie la resistencia del aire.(Sol. a) 12.60 s; b) 5480 ft; c) 639 ft; d)y = 0.467x8.51(10)-5x2)
5. Un jugador de futbol es capaz de imprimir a un baln una velocidad
inicial de 90 ft/s. Si desea que el alcance del baln sea de 180 ft, con qungulo respecto a la horizontal debe iniciar el baln su movimiento?
(Sol. 22.8 67.2)
6. Un aficionado patea un baln de
futbol, y le imprime una velocidad
inicial de 20 m/s, formando un ngulode 45 con el campo; pero el campo
tiene una inclinacin de 15 respecto a
la horizontal. Cul es el alcance R delbaln?
(Sol. 53.4 m)
7. La distancia que recorre una
partcula, medida a lo largo de unatrayectoria curvilnea, en ft, es s= t3
16t, donde t est ens. Cuando t = 4 s,la partcula se encuentra en un tramo
cuyo radio de curvatura es de 32 ft.
Calcule la magnitud de la aceleracinlineal de la partcula en dicho
instante.
(Sol. 40 ft/s2)
8. Un avin vuela horizontalmente a 900 km/h a 10000 m de altura,
describiendo un arco de circunferencia de 1250 m de radio. Cul es la
magnitud de su aceleracin lineal?(Sol. 50 m/s2)
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Movimiento curvilneo
294
8 40
36
t (s)
v(km/h)
9. Un ciclista da una vueltacompleta a una pista circular en unlapso de 40 s. Su rapidez se muestra
en la grfica de la figura. Determine:
a) la longitud y el radio de la pista; b)la magnitud de la aceleracin lineal
del ciclista cuando t = 2 y cuando t
= 30 s.
(Sol. a) 360 m y 57.3 m;b) a2= 1.255 m/s
2; a30=
1.745 m/s2)
10. Mientras un automvil recorre una pista circular de un cuarto de
milla de radio, reduce su rapidez lineal uniformemente de 60 a 30 mi/h en
16 s, cules son las magnitudes de la aceleracin lineal del automvil alprincipio y al fin de dicho lapso? Qu distancia recorre en esos 16 s?
(Sol. ao = 6.48 ft/s2; a16= 3.12 ft/s2;s = 1056 ft)
11. Un automovilista ingresa en
una curva vertical con una velocidad
de 72 km/h y aplica los frenos de
modo que, reduciendo su rapidezuniformemente, se detiene 50 m ade-
lante. Sabiendo que el radio de curva-tura es constante en ese tramo y que
la aceleracin del automvil al apli-
car los frenos es de 6 m/s2, de-termi-ne: a) el radio de la curva; b) la mag-
nitud de la aceleracin del auto-
mvil al detenerse.
(Sol. a) 89.4 m; b) 4 m/s)
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Movimiento curvilneo
295
30
80 m
2
6
30
19
DF
12. Un ciclista recorre una pistacircular horizontal con una rapidezconstante de 12 m/s. Si en una
longitud de 80 m el ciclista se desva
un ngulo de 30, diga: a) cul es elradio de la pista; b) cules son las
magnitudes de las componentes nor-
mal y tangencial de su aceleracin; c)
cul es la magnitud de su acele-racin lineal.
(Sol. a) 152.8 m; b) an = 0.942
m/s
2
; at = 0; c) a = 0.942 m/s)
13. La figura representa unas
canastillas de feria. El juego gira al-
rededor de un eje vertical con unavelocidad angular constante de 2
rad/s. Cules son las magnitudes de
la velocidad y de la aceleracin li-neales de cualquiera de las canasti-
llas?
(Sol. v = 10 ft/s; a = 20 ft/s2)
14. Suponiendo que la Tierra
estuviera dotada exclusivamente demovimiento de rotacin, cul sera
la aceleracin de un cuerpo situado
en la ciudad de Mxico? Considereque la latitud de Mxico es 19 nor-
te, que la Tierra da una vuelta en 24
h y que su radio medio mide 6370
km.(Sol. 3.18 cm/s2)
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Movimiento curvilneo
297
50 cm 20 cm
12 cm
AC
B
60 60
1 ft
AO
O
Q
b
c
b
P P
automvil sin perder el con-tacto conla cima del puente.
(Sol. 796 kg ; 79.7 km/h)
18. La flechaAB gira a 300 rpm.
El cuerpo C, que puede consi-derarse
un punto material, pesa 25 kg.Cuando C se encuentra en la posicin
ms baja de su trayectoria, como se
muestra en la figura, cu-les son las
reacciones en los apoyos? Los pesosde las barras son despre-ciables.
(Sol. RA = 93 kg ; RB = 233 kg )
19. El sistema mostrado en la
figura gira alrededor del eje vertical
OO. Entre qu velocidades ang-lares puede girar el sistema sin queA
se deslice? Los coeficientes de fric-
cin esttica y cintica entre A y eldisco son 0.4 y 0.3, respectiva-mente.
(Sol. 5.03 rad/s < < 14.95 rad/s)20. Determine la rapidez ang-lar constante con que debe girar el
gobernador de bolas que se repre-senta para mantener la configuracin
mostrada. Considere los siguientes
datos: = 45,P = 2 kg, Q = 10 kg,b = 0.3 m y c = 0.1 m.
(Sol. 122.6 rpm)
21. La esfera de la figura estsostenida por dos cuerdas y T0 es la
tensin en una de ellas. Diga cul
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Movimiento curvilneo
298
30 30
3 m
45
5 kg
B
0
y
ser la tensin T1 en cualquiera deellas en el instante en que se corte laotra, y cul, la magnitud de la ace-
leracin de la esfera en ese mismo
instante.(Sol. T1 = 0.5T0; a = 0.866g)
22. El cuerpo de la figura tiene
una masa de 5 kg y sube por el planoinclinado. Al pasar por B su rapidez
es de 3 m/s y decrece a razn de 8
m/s
2
. Determine el coeficiente defriccin cintica entre el cuerpo y
la superficie, si el radio de curvatura
de la trayectoria en el puntoB es de 3m.
(Sol. 0.270)
23. Un vehculo de 1400 kg de masa recorre una curva circular
horizontal de 200 m de radio. Re-duce su velocidad uniformemente de 108a 72 km/h en una distancia de 50 m. Calcule la magnitud de la reaccin del
pavimento sobre el vehculo cuando ste alcanza los 72 km/h.
(Sol. 15 670 N)
24. Un carrito de baleros correpor el plano horizontal con una
velocidad v0y comienza a subir por
una trayectoria curvilnea contenidaen un plano vertical. Halle una ex-
presin que defina su rapidez v en
funcin de la altura y que va ascen-
diendo. Cul ser la altura mximaque alcanzar el carrito?
(Sol. v = (v022gy)1/2; v02/2g)
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Movimiento curvilneo
299
5 m/s
9.81 kg
4 m
AB
B
C
m
A
h
200 kg
60 kg
50 m
A
B
25. Un carrito de baleros de 9.81kg de peso llega al punto A con unarapidez de 5 m/s y comienza a
descender por la trayectoria circular
de 4 m de radio. Determine el n-
gulo que define la posicin en queel carrito abandona la superficie y se
convierte en un proyectil.(Sol. 28.5)
26. Una partcula de masa m se
suelta sin velocidad inicial desde elpunto A de la trayectoria lisa conte-
nida en un plano vertical. a) Si h = 3
r, cul es la magnitud de la fuerzanormal que el bucle ejerce sobre la
partcula al pasar por B? b) Si la
partcula ha de recorrer el buclecompleto, cul es la altura mnima h
a la que debe soltarse?(Sol. a) mg; b) 2.5 r)
27. Un carro elctrico experi-mental de 200 kg de peso parte del
reposo del puntoA de la curva circu-lar vertical de 50 m de radio, y
desciende por la accin de su peso y
de la traccin de sus ruedas, que esconstante y de 60 kg. Diga con qu
rapidez llegar al puntoB y cul ser
la magnitud de la reaccin normal de
la curva sobre el carro al llegar a esepunto.
(Sol. 38 m/s; 788 kg)