Regulador del depósito de combustible en Antonov An-225 Mriya modificado
Alumnos:
Antonio Gómez Guzmán NºB: 201137I001
Manuel de Jesús Vázquez Morales NºB: 2008301170
Jose Manuel Figueroa Hernández NºB: 2007300354
Eduardo Arcos Nonato NºB: 2008301109
Roosevelt Ballato Robledo NºB: 2006370256
Índice
Introducción…………………………………….Pag 3
Objetivo………………………………….…..…...Pag 4
Datos de los depósitos……………………..Pag 5
Esquema del Proyecto………………….…..Pag 6-7
Modelización del Proyecto………………..Pag 8-9
Estudio Matemático……………………….Pag 10-17
A)Lazo Abierto…………………………..Pag 10-13
B)Lazo Cerrado………………………….Pag 14-15
C)Estudio Transitorios……………….Pag 16-17
Bibliografía………………………………………..Pag 18
Introducción
Este proyecto trata el modelado matemático de sistemas de fluidos.
Los fluidos, ya sean líquidos o gases, son el medio más versátil para transmitir
señales y potencia por lo que tienen un amplio uso en la industria. Las principales
diferencias entre líquidos y gases son la falta de compresibilidad relativa y el hecho de
que un líquido pueda tener su superficie libre, mientras que un gas se expandirá para
llenar su recipiente.
En el campo de la ingeniería, el término neumático describe los sistemas de
fluidos que usan aire o gases. Los sistemas neumáticos se emplean frecuentemente en
la automatización de la maquinaria de producción y en el campo de los controladores
automáticos.
El término hidráulico describe a los sistemas que usan aceite. Son
especialmente utilizados en las maquinarias de las herramientas de sistemas, los
sistemas de control aéreos, etc.
Objetivo
En este proyecto se va a analizar el comportamiento de un sistema de nivel de
líquido con interacción de los depósitos de combustible de un avión Antonov An-225
Mriya. Para ello se partirá del esquema de un sistema con realimentación.
• Se considerará el sistema de lazo abierto (sin realimentación) y se pedirá,
haciendo uso de las ecuaciones de la mecánica de fluidos, obtener las ecuaciones
diferenciales que rigen el comportamiento del sistema. Estas ecuaciones deberán ser
linealizadas, para después obtener las ecuaciones de estado del sistema de lazo
abierto así como su función de transferencia.
• Después se considerará el sistema realimentado, del que se obtendrá el
diagrama de bloques, así como las ecuaciones de estado y la función de transferencia
del sistema
Llegados a este punto se pasará a trabajar con Matlab:
• Se analizará la evolución de los niveles de queroseno, caudales etc. durante
el llenado y vaciado de los depósitos a partir de diferentes condiciones iniciales.
Datos de los depósitos del Avión
MFW (Maximun Fuel Weight): 300 Toneladas
ρQueroseno=0.8gr
cm3 =0.8gr
cm3
1003cm3
m3
T10002 gr
=0.8Tm3
V= mρQueroseno
= 300 T
0.8T
m3
=375 m3
Por lo que, se tendrán 3 depósitos, uno en cada ala (150 m3 en cada una) y otro
en el estabilizador horizontal (75 m3).
Nota: Hay que aclarar que el MTOW (Maximun Take Off Weight) de este avión
es de 600 Toneladas, mientras que su OEW (Operation Empty Weight) es de300
Toneladas.
Como sabemos:
MTOW (Maximun TakeOff Weight )=OEW (Operation Empty Weight )+PL (Pay Load )+FW ( FuelWeight ) .
En este caso suponemos que PL (carga de pago) es nula, y que tenemos un
FW=MFW, es decir, el avión lleva sus depósitos llenos pero no lleva mercancías dentro
(es un caso extremo). Esta situación se da, y de hecho se ha dado, cuando este avión
ucraniano se rentó a los americanos, por lo que el avión se llevó de Ucrania a USA sin
carga pero con el máximo combustible en sus depósitos para poder llegar sin hacer
escalas, pues cuando este avión despega, se debe esperar como mínimo unos 15
minutos hasta que el próximo avión despega por los torbellinos generados por sus 6
motores.
Esquema del Proyecto
Se va a considerar el siguiente sistema formado por dos depósitos, en régimen
estacionario y con flujo turbulento (número de Reynolds grande):
Como vemos, el depósito primero (visto desde arriba) y el último son iguales, ya
que corresponde a las alas, por ello tienen igual área pero la altura puede ser
diferente, dependerá de la forma de llenado. Mientras que el segundo depósito es
diferente, pues corresponde al estabilizador horizontal, y por ello tiene otro área.
Lo mostrado anterior quedaría reflejado en lo siguiente:
Modelización del Proyecto
Como podemos observar, para los cálculos nos será indiferente el primer
depósito, pues el Caudal Qe es independiente de lo lleno que esté el primer depósito;
por estar regulado por la válvula. Mientras que los otros 2 caudales, sí dependerá la
altura del nivel del combustible en el depósito.
La finalidad del esto es que se quiere controlar la altura H1(t) del depósito
inferior, actuando sobre el caudal de entrada Qe(t) del depósito superior. Para ello se
dispone de un sensor de presión colocado en el fondo del depósito inferior, del que se
obtendrá una señal que se comparará con la de referencia (la altura hidrostática en
régimen estacionario vendrá impuesta por una señal de consigna u(t) ). La señal
resultante se lleva al regulador, que en este caso es de tipo integrador.
Datos:
Envergadura = 88.4m
Depósito 1: kg1=d Q0
d H 1
∨¿H 1=H 1=0.1
m2
s¿ ; A1=2m2; H 1=37.5m
Luego: V 1=2m237.5m=75 m3
Depósito 2: kg2=d Q2
d H 2
∨¿H 2=H 2=0.2
m2
s¿ ; A2=5 m2; H 2=30 m
Luego: V 2=5m2 30 m=150 m3
Será el depósito 0 el que no usaremos. Pero se tendrá en cuenta para las
condiciones iniciales en los ejemplos posteriores.
El área A1 y el área A2 corresponden a las áreas del perfil, mientras que las
alturas corresponden a las longitudes del semi-ala y estabilizador horizontal.
Estudio Matemático
A) Para el sistema de lazo abierto (sin tener en cuenta la realimentación):
A.1) Obtención de las ecuaciones diferenciales del sistema.
Dos ecuaciones saldrán de aplicar el principio de conservación de la masa a
cada depósito y las otras dos saldrán de considerar el flujo estacionario turbulento a
través de los tubos de descarga de los depósitos.
Solución:
Por el principio de conservación de la masa, de cada depósito obtendremos:
Qe (t )−Q2 (t )=A2 ·d H2 (t )
dtm3
s (1)
Q2 ( t )−Q0 ( t )=A1·d H 1 (t )
dtm3
s (2)
Considerando turbulento (Número de Reynolds grande) el flujo estacionario
a través de los tubos de descarga de los depósitos, de la mecánica de fluidos
obtenemos que:
Q2 (t )=k2 √H 2(t )m3
s (3)
Q0 ( t )=k1 √H 1(t )m3
s (4)
Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) forman un sistema de ecuaciones no lineales
de las que se podría obtener H1(t) en función de Qe(t).
A.2) Obtención de las ecuaciones linealizadas del sistema.
Llamaremos Q al caudal en régimen estacionario y H 1 , H 2 a las alturas de los
depósitos en dicho régimen. Si en un instante t=0 se produce un pequeño cambio en
el caudal de entrada, las variaciones del resto de caudales y de las alturas estarán
dadas por:
Qe (t )=Q+qe (t) (5)
Q2 ( t )=Q+q2(t ) (6)
Q0 ( t )=Q+q0(t) (7)
H 1 (t )=H 1+h1(t) (8)
H 2 (t )=H 2+h2(t) (9)
Al linealizar las ecuaciones (3) y (4) se obtiene:
Q2 ( t )=Q+d Q2
d H 2
∨¿H 2=H 2¿ ; ( H 2−H 2)=Q+kg2 · h2(t ) q2 ( t )=kg2· h2(t ) (10)
Q0 ( t )=Q+d Q0
d H 1
∨¿H 1=H 1¿ ; ( H 1−H 1)=Q+kg1 · h1(t) q0 ( t )=kg1 ·h1( t) (11)
, donde hemos renombrado las constantes d Q2
d H 2
∨¿H 2=H 2¿ y
d Q0
d H 1
∨¿H 1=H 1¿ como kg2
y kg1 y donde hemos tenido en cuenta las ecuaciones (6), (7), (8) y (9). Si hacemos
las derivadas anteriores resulta:
kg1=k 1
2√ H 1
m2
s kg2=
k 2
2√H 2
m2
s (12) y (13)
Finalmente vamos a sustituir las ecuaciones (5) a la (11) en las ecuaciones (1)
y (2):
qe (t )−q2 (t )=A2
d h2(t)dt
; qe ( t )−kg2h2 (t )=A2
d h2( t)dt
Luego: d h2(t)
dt+
kg2
A2
h2 (t )= 1A2
q2(t ) (14)
q2 (t )−q0 (t )=A1
d h1(t)dt
; kg2h2 ( t )−kg1h1 ( t )=A1
d h1( t)dt
Luego: d h1(t)
dt+
kg1
A1
h1 (t )−kg2
A1
h2 ( t )=0 (14)
A.3) Obtención de las ecuaciones de Estado tomando h1(t ) como variable de
estado x1, h2(t ) como variable de estado x2 y u(t ) como el caudal de entrada qe.
De las ecuaciones (14) y (15), tomando h1(t) como variable de estado para x1,
h2(t) como variable de estado para x2, y u(t) como el caudal de entrada qe, se obtiene:
( x1(t)x2(t))=(
−kg1
A1
kg2
A2
0−kg2
A2
)(x1(t)x2(t))+( 0
1A2
)u(t) (16)
y (t )=(1 0 )(x1( t)x2( t)) (17)
A.4) Obtención de la función de transferencia en lazo abierto.
Se aplicará la ecuación de Laplace a las ecuaciones (14) y (15) teniendo en
cuenta que se parte de régimen estacionario, es decir, condiciones iniciales nulas;
h1(0)=h2(0)=0.
(14) [ A2 s+kg2 ] H 2 (s )=Qe (s)
(15) [ A1 s+kg1 ] H 1 (s )=kg2 H 2(s)
H 1(s)Qe(s)
=kg2
( A1 s+kg1 )(A2 s+kg2)= 0.02
s2+0.09· s+0.002 (18)
B) Para el sistema en lazo cerrado (realimentado):
B.1) Obtención del diagrama de bloques.
En primer lugar se calcula el diagrama de bloques del sistema sin realimentar
a partir de las ecuaciones de estado (14) y (15):
Si a este diagrama le añadimos la realimentación y el regulador, se obtiene:
B.2) Obtención de la función de transferencia de lazo cerrado.
Se puede obtener por dos caminos distintos; operando en el diagrama de
bloques realimentado ó aplicando Laplace a las ecuaciones de estado del sistema
realimentado.
La salida de la función de transferencia en lazo cerrado es Y(s), que
físicamente coincide con la variación del nivel del agua respecto a un nivel medio, en
el depósito inferior. La entrada es simplemente la señal de referencia R(s).
M (s )=Y (s)R (s)
=G(s )
1+G(s)=
kg2
T i s ( A2 s+kg2 ) (A1 s+kg1)
1+kg2
T i s ( A2 s+kg2 )( A1 s+kg1)
Luego:
M (s )=kg2
T i A1 A2 s3+T i ( A2 kg1+A1 kg2 ) s2+T ikg1 kg2 s+kg2
(19)
C) Estudio de transitorios
C.1) Se quiere llenar el tanque inferior hasta una altura de 20 metros.
Suponiendo que inicialmente los tanques están vacíos (el 1 y 2, pero no el tanque 0).
Representamos la evolución del nivel de queroseno en los tanques en función
del tiempo para las constantes de integración Ti=1, 4 y 20 minutos.
Código Matlab
%Funcion de transferencia en lazo abiertokg1=0.1; A1=2; kg2=0.2; A2=5; %Estudio del llenado de tanques cuando inicialmente estan vaciost=0:1:600;r=20*ones(1,601); %Saca un vector fila todo de unosi=0;figure(1)disp('Respuesta a entrada escalon en 20m para Ti=1,4 y 20 minutos')for T3=[60,240,1200] i=i+1; Ac=[-kg1/A1 kg2/A1 0;0 -kg2/A2 1/(A2*T3);-1 0 0]; Bc=[0;0;1]; Cc=[1 0 0]; Dc=0; x0=[0 0 0]; [y,x]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,r,t,x0); subplot(2,2,i) plot(t,x(:,1),t,x(:,2),'r'); pauseend
Resultados:
En la primera gráfica, Ti = 1 minuto, el sistema se hace inestable; para las dos
restantes, los dos niveles se estabilizan: h1 en 20 metros y h2 en 12 metros. La
diferencia entre estos dos casos está en que para Ti = 4 minutos, el tiempo de
respuesta del sistema es más largo, mientras que para el caso Ti = 20 minutos, este
tiempo de respuesta es menor; el régimen estacionario se alcanza antes.
Por lo tanto, para el primer caso tenemos que el fluido se comporta de una forma inestable, por lo tanto el ala vibraría, mientras que para los otros 2 casos se comporta de forma estable.
Bibliografía relacionada
-Ingeniería de Control Moderna. Katsuhico Ogata.
-Ayuda Matlab.
-Matlab for control engineers. Katsuhico Ogata.
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