INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
RELACIÓN DE EJERCICIOS DE INTEGRALES.
1.
2.
3. Sol:
4. Sol:
5. Sol:
6. Sol:
1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
7. Sol:
8. Sol:
9. Sol:
10. Sol:
11. Sol:
12. Sol:
2
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
13. Sol:
o
14. Sol:
15. Sol:
16. Sol:
17. Sol:
3
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
18. Sol:
19. Sol:
20. Sol:
21. Sol:
22. Sol:
23. Sol:
4
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
24. Sol:
25. Sol:
26. Sol:
27. Sol:
28. Sol:
29. Sol:
5
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
30. Sol:
31. Sol:
32. Sol:
33. Sol:
34. Sol:
35. Sol:
36. Sol:
6
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
37. Sol:
38. Sol:
39. Sol:
40. Sol:
41. Sol:
42. Sol:
43. Sol:
44. Sol:
45. Sol:
7
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
46. Sol:
47. Sol:
48. Sol:
49. Sol:
50. Sol:
51. Sol:
8
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
52. Sol:
53. Sol:
54. Sol:
55. Sol:
56. Sol:
57. Sol:
58. Sol:
59. Sol:
60. Sol:
9
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
61. Sol:
62. Sol:
63. Sol:
64. Sol:
65. Sol:
10
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
66. Sol:
67. Sol:
68. Sol:
Por trigonometría sabemos que entonces
69. Sol:
70. Sol:
71. Sol:
11
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
72. Sol:
73. Sol:
74. Sol:
75. Sol:
76. Sol:
12
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
77. Sol:
78. Sol:
79. Sol:
80. Sol:
81. Sol:
13
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
82. Sol:
83. Sol:
84. Sol:
85. Sol:
86. Sol:
14
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio
de variable.
Haciendo el cambio , calculamos dx: y sustituimos en
nuestra integral:
una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,
con lo que nos quedará:
87. Sol:
Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio
de variable.
Haciendo el cambio , calculamos dx: y sustituimos en
nuestra integral:
15
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
una
vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x, con
lo que nos quedará:
88. Sol:
Hacemos la sustitución Calculamos la diferencial de x: y sustituimos en la integral que deseamos calcular. Tendremos:
89. Sol:
Directamente:
Por sustitución:
Hacemos y sustituimos en nuestra integral
90. Sol:
Por sustitución:
Hacemos y sustituimos en nuestra integral
16
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
91. Sol:
Por el método de integración por partes:
92. Sol:
Por el método de integración por partes:
La integral que nos ha quedado es del mismo tipo que la que pretendemos calcular, por lo
que nuevamente aplicaremos el método de integración de partes:
Hacemos y sustituimos:
93. Sol:
Por el método de integración por partes:
94. Sol:
Por el método de integración por partes:
17
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
95. Sol:
Por el método de integración por partes:
96. Sol:
Por el método de integración por partes, hacemos y
Para calcular el valor de v recurrimos a las razones trigonométricas del ángulo mitad y
tendremos que . Por tanto,
En consecuencia:
97. Sol:
Al aplicar el método de partes nos ha quedado una integral del mismo tipo que la que
pretendemos calcular, por lo que volvemos a aplicar el mismo método. En ella hacemos:
18
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
Sustituyendo en la expresión anterior nos queda:
es decir, volvemos a la misma integral que pretendemos calcular. Entonces:
En consecuencia:
98. Sol:
99. Sol:
Por el método de integración por partes:
19
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
100. Sol:
Hacemos el siguiente cambio:
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:
101. Sol:
La integral que nos queda la realizaremos por partes:
Sustituyendo nos queda:
y se nos repite la misma integral. Entonces:
20
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
102. Sol:
Hacemos el siguiente cambio:
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:
Por el ejercicio anterior tenemos que :
En consecuencia:
Por tanto:
Sustituyendo obtenemos:
103. Sol:
21
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
104. Sol:
105. Sol:
Hacemos: y con lo cual
y
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, obtenemos:
106. Sol:
22
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
107. Sol:
Tenemos una integral de tipo racional donde el grado del numerador es menor que el grado del
denominador. Vamos a descomponer el integrando en fracciones simples:
(raíces reales simples)
Entonces:
Vamos a calcular los coeficientes indeterminados. Al ser los denominadores iguales, los
numeradores también lo serán. Por tanto:
Por tanto,
108. Sol:
Tenemos una integral de tipo racional donde el grado del numerador es menor que el grado del
denominador. Vamos a descomponer el integrando en fracciones simples:
(raíces reales simples)
Entonces:
23
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
Para calcular los coeficientes indeterminados, al ser los denominadores iguales, los
numeradores también lo serán. Por tanto:
Por tanto,
109. Sol:
Al ser el grado del numerador mayor que el grado del denominador, antes de aplicar el método
de descomposición en fracciones simples tendremos que dividir. De esta forma obtenemos:
En consecuencia:
A la integral que nos queda le aplicamos el método de descomposición en fracciones simples.
Calculamos las raíces del denominador:
24
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
Entonces:
Como los denominadores son iguales, los numeradores también lo serán; por tanto:
Calculamos los coeficientes indeterminados: le vamos asignando los valores de las raíces
Por tanto, la fracción descompuesta en fracciones simples nos queda:
La integral de la función pedida será:
110. Sol:
25
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, tenemos que dividir,
obteniendo:
Con lo que
y tendremos que integrar la función racional que nos queda, donde el grado del numerador es
menor que el grado del denominador.
Descomponemos en fracciones simples:
Como los denominadores son iguales, también lo serán los numeradores. Entonces:
Calculamos los coeficientes indeterminados:
Entonces:
Y, por tanto:
26
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
111. Sol:
Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador aplicamos la
descomposición en fracciones simples directamente:
Calculamos los coeficientes:
Entonces:
27
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
112. Sol:
Igual que en el anterior, aplicamos la descomposición en fracciones simples:
Calculamos las raíces del denominador:
Entonces:
Calculamos los coeficientes:
Entonces:
113. Sol:
114. Sol:
Descomponemos el integrando en fracciones simples:
28
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
Calculamos los coeficientes:
Resolviendo el sistema resultante, obtenemos:
Entonces:
115. Sol:
116. Sol:
117. Sol:
29
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
118. Sol:
119. Sol:
120. Sol:
121. Sol:
122. Sol:
123. Sol:
124. Sol:
30
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