APUNTES DE CLASE GEOMETRIA
EJERCICIO: T) arco CE =?
DATOS:
Ángulo BOC = 56º A = 30º E = 70º
D = 180° - 30° - 70° = 80°arco BCE = 160° (80 x 2)arco CE = 160° - 56°arco CE = 104°
EJERCICIO
AOP = 180º - 20º - 60º = 100º arco DA = 80°
20° =
BE 40°
D BE/2 = 40/2 = 20°
ING HERNAN ABARCA V.135
APUNTES DE CLASE GEOMETRIA
RELACIONES METRICAS EN EL CIRCULO
TEOREMA: Si dos cuerdas se cortan, el producto de los segmentos determinados en la una, es igual al producto de los segmentos determinados en la otra .
H) AB y CD cuerdas que se cortan en el punto P T) CP * PD = AP * PB D) Trazamos CB y AD
1 = ½ arco BD 3 = ½ ARCO BD 1 = 3
2 = ½ arco AC 4 = ½ arco AC 2 = 4
En los s APD y CBP si:
1 = 3 2 = 4 los s APD y CBP son semejantes (A.A.A.)
CP*PD = AP*PB
TEOREMA: Una tangente es media proporcional entre la secante y su parte externa
H) AP tangente de
Trazamos AB y AC y se forman los triángulos ACP y APB
Si se demuestra que ACP y APB son semejantes podemos realizar las proporciones que nos lleve a demostrar la tesis planteada.
ING HERNAN ABARCA V.136
T) AP2 = BP * CP
APUNTES DE CLASE GEOMETRIA
B = = CAP
P = P común ACP es semejante al BAP
AP2 = CP*BP
TEOREMA: El producto de dos lados de un triángulo inscrito es igual al diámetro del circulo circunscrito por la altura relativa al tercer lado.
T) c*a = BD * hb
H) ABC es inscrito
Trazamos DC y formamos el triángulo rectángulo DCB inscrito en la semicircunferencia DCB.
Se forman dos triángulos rectángulos
AHB y DCB
A = D = ½ arco BC (condición suficiente para que dos triángulos rectángulos sean semejantes) y por lo tanto podemos establecer las siguientes relaciones:
c*a = hb * BD
TEOREMA: Demostrar que el radio del círculo circunscrito de un triángulo es igual a mitad de la razón de la ley de senos.
a * c = D * h (demostrado)
Sen = h / c en ABH c * sen = h
a * c = D * c * sen a = D sen pero D = 2R
a = 2R sen
R =
ING HERNAN ABARCA V.137
APUNTES DE CLASE GEOMETRIA
TEOREMA: La longitud de la tangente trazada desde el vértice de un triángulo al circulo inscrito es igual al semi perímetro menos el lado opuesto donde nace la tangente a considerar
T) AQ = p – a D) Perímetro = 2AQ + 2CR + 2RB = P Semiperimetro = p = ½ P = AQ + CR + RB ½ P = AQ + (CR + RB) p = AQ + a p – a = AQ
TEOREMA: La suma de las longitudes de las tangentes trazadas desde el vértice de un triángulo al circulo ex – inscrito es igual al perímetro del triángulo y por consiguiente cada tangente será igual al semiperímetro.
H) ABC escaleno AT y AQ tangentes trazadas desde A al circulo “o”T) AT+AQ = P y p = AT = AQ
D) P = AB + BC + CA BC = BD+DC BD = BT DC= CQ
P = AB + BD + DC + CA P = AB + BT + CQ + CA AB + BT = AT CQ + CA = AQ P = AT + AQ
EJERCICIO:
H) BDC inscrito en la semicircunferencia AB = tangente A = 90° T) CB2 = DB * CA
Analicemos los triángulos DCB y ABC (rectángulos)
ING HERNAN ABARCA V.138
APUNTES DE CLASE GEOMETRIA
EJERCICIO:
H) PC tg al círculo AM = MB PM = 4 MD = 9 PC = 10 T) BC = ?
D) AM * MB = PM * MD (teorema demostrado)
AM = MB por hipótesis
AM2 = 4 * 9 AM = 6 AB = 12
pero PC2 = AC*BC teorema demostrado
PC2 = (AB + BC) (BC) PC2 = (12 + BC) (BC)
100 = 12BC + BC2 BC2 + 12BC – 100 = 0
BC = 5,6
EJERCICIO: H) AC = 15 CD AB r = 25 ACB inscrito en la semicircunferencia
T) CD =?Rp: 4,5 u
ING HERNAN ABARCA V.139
APUNTES DE CLASE GEOMETRIA
EJERCICIO:
H) PBH = 30° ; BD = diámetro ABC = 50° T) 1 = ?
Rp) 50°
EJERCICIO:
H) BC = 6 DC = 6,3 Radio = 5 T) C = ?
EJERCICIO
ING HERNAN ABARCA V.140
APUNTES DE CLASE GEOMETRIA
I = INCENTRO AB = 7 BC= 6AC= 8
T) BP = ?
PROBLEMA
Rp: =40º ; arco TA = 140º ; arco AB = 80º; ángulo AQB = 70º
PROBLEMA
ING HERNAN ABARCA V.141
APUNTES DE CLASE GEOMETRIA
Rp: ángulo ATE = 52,5º ; ángulo BTD = 37,5º
PROBLEMA:
Rp= 78°
ING HERNAN ABARCA V.142
APUNTES DE CLASE GEOMETRIA
PROBLEMA: encontrar el ángulo P formado por dos secantes que pasan por el centro de dos círculos, tangentes exteriormente, y que se cortan con la tangente común externa en el punto P
Rp: 2.46
ING HERNAN ABARCA V.143
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