UN
IDAD
IU
NID
ADI
Relacionesy funciones
El estudiante:
• Resolverá problemas teóri-cosoprácticossobrerelacio-nesyfunciones,medianteelmanejo de la relación fun-cionalentredosvariables,larealización de operacionesentre funciones, el uso defunciones inversas, funcio-nesespecialesylastransfor-macionesdegráficas,enunambiente escolarque favo-rezcalareflexiónyelrazo-namiento abstracto, lógico,analítico,asícomoeldesa-rrollo de actitudes de res-ponsabilidad, cooperación,iniciativaycolaboraciónha-ciaelentornoenelcualsedesenvuelve.
INTRODUCCIÓN
A lo largodeestaunidaddescubrirás lomaravillosoquees la explicacióndelmundoatravésdelarelaciónentredosvariables.Encontrarásqueunadeéstasafectaa laotra,produciéndolevariacionesyrepercutiendodirectamenteensucomportamiento.Además, identificarás cómo lasmatemáticas en formaorga-nizadaymetódica,establecenreglas,clasificaciones,interpretaciones,represen-tacionesydequéformaobtieneninformacióndeestesabermatemáticoalquedenominamosfunciones.
Competencia genérica a desarrollar:Realiza innovaciones y propone solu-cionesaproblemasapartirdemétodosestablecidos.
Competencias disciplinares a desa-rrollar:• Proponeexplicacionesdelosresul-tados obtenidosmediante procedi-mientosmatemáticosyloscontrastacon modelos establecidos o situa-cionesreales.
• Analiza las relaciones entre dos omásvariablesdeunprocesosocialonaturalparadeterminaroestimarsucomportamiento.
• Interpreta tablas, gráficas, mapas,diagramas y textos con símbolosmatemáticosycientíficos.
11RELACIONES Y FUNCIONES
NOMBREDELALUMNO:
GRUPO: NÚMERODELISTA: ACIERTOS:
INSTRUCCIÓN:Contestabrevementeloquesepide.
1. ¿Quéentiendesporrelacióndedosvariables?
2. ¿Quéesunafunción?
3. Hallaelvalordexenlasiguienteecuación: a) 2x+3=0
4. Localizaenunplanocartesianolossiguientesparescoordenadosyúnelosconunalínea:
x y–3 –10–2 –7–1 –40 –11 22 53 6
5. ¿Cuálcreesqueeslaexpresiónalgebraicaquetepermitecalcularesospuntos?
12 UNIDAD I
1.1 RELACIONES Y FUNCIONES
1.1.1 Noción de relación y noción de función
Unconceptofundamentalenlasmatemáticaseseldefunción.Parasumejorcomprensión,iniciaremosexplicandolaideadeconjunto.
Conjunto:Coleccióndeobjetosconunareglaqueindicasiunobjetodadoperteneceonoalacolección.
a) ElconjuntodealumnosdelaEscueladeBachilleresVespertina“Veracruz”,enXalapa. b) ElconjuntodelibrosdeMatemáticasIVenelestadodeVeracruz. c) Elconjuntodenúmerosnaturales.
Denotamosa losconjuntoscon letrasmayúsculas (porejemplo:A,B)ysuselementosconletrasminúsculas(porejemplo:x,y).AessubconjuntodeB,sitodoelementodeAestambiénelementodeB;porejemplo,elconjuntodeveracruzanosesunsubconjuntodelconjuntodemexicanos.
Enlavidadiariaencontramosconfrecuenciacorrespondenciasoasociaciones,endondeele-mentosdedosconjuntosAyBestánrelacionadosentresí.Esasíquenacelaideaderelación.
SellamarelaciónentredosconjuntosAyBaunsubconjuntodelproductocartesianoA×Bquecumpleunaregla.
a) SeaAelconjuntodehijosyBelconjuntodepadres.CadaelementodeAestárelacio-nadoconunelementodeB;esdecir,cadahijoserelacionaconsupadre.
b) SeaAelconjuntodealumnosdelColegioPreparatoriodeXalapayBelconjuntodepromedios.Acadaalumnolecorrespondeunpromedio.
c) SeaAelconjuntodefamiliasdelacoloniaUnidadVeracruzanayBelconjuntodecasas,entoncesacadafamilialecorrespondeunacasa.
d) SeanlosconjuntosA=1,2,3yB=xx∈ enteros≥2hallarlarelaciónRconlaregla“eslamitadde”.
Solución:R=(1,2),(2,4),(3,6).
Dentrodelasrelacionesexisteunadependenciaalaquesellamafunción;así,todafunciónesunarelación,peronotodarelaciónesunafunción,yaqueestaúltimadebecumplirconciertaspropiedadesqueexpondremosacontinuación.
13RELACIONES Y FUNCIONES
Función:Una funciónf deunconjuntoAaunconjuntoBesuna relaciónqueasociacadaelementox∈Aconunúnicoelementoy∈B.Dichodeotramanera,esunarelacióndondelaasociaciónentredosconjuntossedademaneraqueacadaelementodelprimerconjuntoleco-rrespondaunoysólounelementodelsegundoconjunto.
Notación:f:A→BLéase:“funciónf deAaB”.
Lasfuncionesyrelacionesseindicaránporcualquierletraosímbolo,porejemplof,F,Ω,γ,etc.,comoenF(x)=x2,γ(x)=x+1
Deacuerdoconsudefinición,unafunciónsecomponedevariaspartes.Éstasson:
Dominio:EselconjuntodeelementosdeA.Argumentos:Sonloselementosdeldominio.Codominio o contradominio:EselconjuntodeelementosdeB.Imágenes:Sonloselementosdelcodominioqueestánasociadosconalgúnargumento.Rango:Eselconjuntodelcodominioquecontieneatodaslasimágenesdelafunción.Puedecoincidirconelcodominio.
Cuandoutilizamosfuncioneshablamosdeunarelacióndedependencia,dondelaimagendeunargumentoxbajof,esunavariabledependiente,yaquesuvalorestásujetodelasignadoalargumento.Porejemplo,lafórmulaP=pdparaelperímetrodeuncírculodediámetrod,asignaparacadarealpositivodunúnicovalorP.
Eldiámetrodesunnúmeroarbitrarioeneldominiodelafunción,llamadovariableindepen-diente,mientrasqueP,elperímetro,representaunnúmeroenelcodominiodef yse llamavariabledependiente.Suvalordependeded;sediceentoncesque“Pestáenfunciónded”.
Cuandohablamosderelación,lasvariablesqueindicanlaregladecorrespondenciasonxyy.Estarelaciónsedescribemediantelaigualdady=f(x)
Dominio=0,4,8;loselementos0,4,8sonargu-mentos,codominio=1,2,3,4.Loselementos1,2,3sonimágenesyrango=1,2,3
Lossímbolos fy f(x) (se leef dex)sondiferen-tes;f seutilizapararepresentaralafunciónyf(x)es un elemento del codominio de la función, esaquelelementoquef asignaax.Paraelejemplo3,f(0)=1bajolafunciónf.
14 UNIDAD I
Dominio de una función: Seay=f(x)unafunción;selellamadominiodelafunciónalconjuntodevaloresdexparalosquey = f(x)estádefinida.EnalgunasocasionesselerepresentacomoD.
Dadalafórmuladeunafunción,paraelcálculodeldominiosedebetenerencuentalosi-guiente:
1. Nodividirentrecero 50 0, x
2. Noextraerraícescuadradas,cuartasosextas;esdecir,raícesparesconelradicandonegativo;ejemplos: − −3 94, .Sinembargo,obtenerraícesconelradicandonegativosíesposiblesilaraízesimpar,comoenlasraícescúbicasyquintas.Ejemplos: − = − − = −8 2 5 243 33 , .
3. Noesposiblecalcularlogaritmosdenúmerosnegativos,nidecero.
Seaf(x)=x2+1.Obtenerlasimágenesdelafunciónparalosargumentosdadosyseñalareldominioyrangodelafunciónf(1),f(2),f 3( ).Solución: f(1)=(1)2+1=2 f(2)=(2)2+1=5 f 3 3 1 4
2( ) = ( ) + =
Dominio=1,2, 3,rango=2,5,4
Ahoraparalamismafunción,elcasogeneral.
Seaf(x) = x2+1unafunción.Calculareldominioycontradominiodef.
Solución:eldominiosecomponedetodoslosreales,yaquecualquieraqueseaelvalorrealasig-nadoax,lafunciónestádefinida.Comoelcuadradodecualquiernúmerorealesnonegativo,elcodominiodef eselconjuntodetodoslosnúmerosrealesnonegativos.
15RELACIONES Y FUNCIONES
1.1.2 Diversas formas de representación de una función
Alo largodecursosanterioreshabrásestudiadofuncionessin tener lacertezaoelconoci-mientoprecisodequeloson.Poresoesimportantequeunafunciónsepuedarepresentardediversasmaneras:sagital,gráficayanalítica,tabular.
Sagital: Enéstarepresentación,sehaceusodeconjuntosenloscualessemuestraclaramentelarelaciónentreloselementosdeldominioycodominio.
EldominioeselconjuntoD=3,6,9,12,15,elcodominioeselconjuntoE=1,2,3,4,5,6,elrango=1,2,3,4,5ylaregladecorrespondencia“eltriplede”.
Gráfica: Enella,sehaceusodeparesordenadosdelaforma(x,y)enelplanocartesiano,dondexeselargumentoyyeslaimagenbajolafunción.
Lagráficadeunafunciónf eslagráficadelaecuacióny = f(x)paraxeneldominiodef.
Esimportanteobservarquehayunúnicof(a)paracadaadeldominio,ysólohayunpuntodelagráficaquetieneabscisaa.
Deaquíseconcluyequetodarectaverticalcortaalagráficadeunafunciónenunoysólounpunto.
16 UNIDAD I
Trazarlagráficadelafunciónf dadaporf(x)=2x+3
x f(x)0 31 52 73 94 11
Conlatablaanteriorseconstruyenlasparejasordenadas(0,3),(1,5),(2,7),…Deestamanera,lafunciónserepresentagráfi-camentecomoseilustraenlafigura.
Probar si el siguienteconjuntodepuntosenelplanoxy correspondeagráficasde funcionesorelaciones.
1. 2. 3.
4. 5. 6.René DescartesNació el 31 de marzo de1596enlaHaye,enToura-ine. Fue educado por suabuela, ya que su madremurió al año de su naci-miento; desde muy chicoaprendiólatínygriego.Es-tudió en la universidad dePoitiers derecho y algo demedicina.Murió a la edadde53añosdeneumoníael11 de febrero de 1650 enEstocolmo.Continua.
17RELACIONES Y FUNCIONES
7. SiA=xx∈1,3,5,7,9yB=yy∈2,4,6,8,hallarlarelaciónLtalquex>y
8. Establecerlaregladecorrespondenciaparalasiguientefunción.
9. Señalarcuáleslaregladecorrespondencia,dominioyrangodelasiguienterelación.R=(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)
10. SeanA=2,4,6,8,B=2,6,10,714,18.HallarlarelaciónRconlaregladecorrespondencia“eselduplodisminuidoen2”,eldominio,codominioyrango.
11. Sea f(x) = x3+2x–2.Calcularf(0),f(2),f(-1).
12. Seag(x)= x + 2.Calcularg(1),g(2),g(7).
13. Determinarparalossiguientescasossisetratadeunafunción.
a) Losparesordenados:(-3,1),(-2,3),(-1,5),(0,7),(-2,9). b) Losparesordenados:(2,1),(1,2),(3,2),(4,3).
14. Encontrareldominiodelassiguientesfunciones.
a) y x= −9 2 b) yx
=−1
4
c) f xx
( ) =+1
42 d) f x
xx x
( ) =−
− −2 1
5 3 22
e) f xx
x( ) =
+−
2
3
Una de sus principalesaportacionesalasmatemá-ticas fue la sistematizaciónde la geometría analítica.Fue el primero en utilizarlas primeras letras paraidentificar a las cantidadesconocidas; y las últimasletras del abecedario paraidentificar a las cantidadesdesconocidas,fueelprime-ro en intentar clasificar alascurvasutilizandocomobase la ecuación que lasproduce.Siempre fue muy delicadode salud, así que un díaque estaba postrado enla cama de su dormitorioviendo volar a unamosca,se le ocurrió que podríadeterminar la posición dela mosca en cada instanteconociendo la distanciacon respecto a dos planosperpendiculares;determinóque cualquier punto en elplanoquedabadefinidoporsudistanciaperpendicularados líneas perpendicularesllamadasejes.Conestona-ció la geometría analítica,estableciendo una relaciónentre el algebra y la geo-metría,yaqueesteprocesonosolopermitíaencontrardiversospuntosenelplano,sinorelacionaraunacurvaconunaecuaciónqueper-mitiera encontrar las coor-denadas de cada punto deésta.Basó sus estudios en la fi-losofía, lasmatemáticas, laóptica,lafísica,laastrono-mía,laanatomíaylamedi-cina.
18 UNIDAD I
Analítica: Eslarepresentacióndeunafuncióndondeserelacionaunpardevariablesporme-diodeunaexpresiónalgebraica:
y=4x f xx
( ) = 5 g(t)=5t2
Larelaciónentreloselementosdeldominioyelcontradominioquedaincluidaenelconjuntodenúmerosrealesquesatisfaganlaecuación.
Dominio de la función dada su forma analítica
Eldominioycodominiodeunafunciónensuformaanalíticaserátodonúmeroreal,excluyen-doaquellosquenoindiquenrelacionesconnúmerosreales.Porejemplo:
• Raícesparesconradicandonegativo −( )9 • Raícesdeldenominadordeunafunción,dondeésteescero
30
.
Unodelosproblemasprácticosenelqueseaplicaeltérminodefuncióneselsiguiente:
Unglobodeairecalientesesueltaalas2pmyseelevaverticalmentearazónde 4m/s.Un punto de observaciónestásituadoa100mdelpuntoenelsueloqueseencuentraubicadodirec-tamenteabajodelglobo(verfig.).Seateltiempo(ensegundos)transcurridoapartirdelas2pm,expresarladistanciad del globo al punto de observacióncomounafuncióndet.
Solución:PorelteoremadePitágoras:b=4t d t= +4 625 2
Distancia=velocidadxtiempo
b t
d t
d t
d t
d t
=
= ( ) + ( )= +
= +( )= +
4
100 4
10000 16
16 625
4 625
2 2
2
2
2
19RELACIONES Y FUNCIONES
Esasícomoquedarepresentadaladistanciacomounafuncióndeltiempo.
Determinareldominiodelassiguientesfuncionesyexponerlodemaneragráfica.
1. f xx
( ) =1
2. f x x x( ) = −5
Seaf unafunciónquevadeR→Rcalcularelrangodef.
3. f(x)=3
4. 4x+3
5. Dosbarcoszarpanalmismotiempodeunpuerto.Unoviajahaciaelestea15min/hyelotrohaciaelnortea10min/h.Sea tel tiempo (enhoras)despuésde la salida,expresar ladistanciadentrelasembarcacionescomounafuncióndet.
6. Setratadeconstruirunacajasintapaapartirdeunahojadecartóncuadradadeladoxconunaalturade2cm.Estaalturaselogracortandocuadradosde2cmdeladoencadaesquinade la hoja de cartón y doblando las pestañas hacia arriba.Calcularelvolumendelacajaenfuncióndexysudominio.
1.2 CLASIFICACIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
1.2.1 TIPOS DE FUNCIONES
Parapoderestudiaryentender las funciones, existen trescriteriosdeclasificación: según lapresentacióndesuformaanalítica,segúneltipodeexpresiónqueapareceensuformaanalíticaysegúnlacorrespondenciaentresusconjuntos.
1. Según la presentación de su forma analítica
Segúnestecriterioseclasificanenexplícitaseimplícitas.Lafunciónesexplícitacuandosepre-sentadespejadalavariabledependiente.
Lafunciónesimplícitacuandoenlaecuaciónquelarepresentaaparecenmezcladaslasvaria-blesdependienteeindependiente.
20 UNIDAD I
Expresión Clasificación forma analíticay=9x+8 Funciónexplícita
y=4x3+x2-2 Funciónexplícitax2+2xy+y2=5xy2 Funciónimplícita
4x–y+2=0 Funciónimplícita
Paraalgunoscasosesfácilpasardeunaformaaotra.Porejemplo,ensuformaimplícita,y+2x=5alpasarasuformaexplícitaquedaría:y=5–2x,haciendoy=g(x),g(x)=5–2x.Laformaanalíticaquepresenteunafuncióndependedelanaturalezadelproblema.
2. Según el tipo de expresión que aparece en su forma analítica.
Eltipodeexpresiónqueapareceenlaregladecorrespondenciadeunafunciónesloqueledaelnombre.Deestamanera,seclasificanen:
Algunasdeestasfuncionesseabordaránafondoenlaspróximasunidades.
Funciones algebraicas
Unafunciónalgebraicaesaquéllaquepuedeexpresarseentérminosdesumas,restas,cocientes,productosyraícesdepolinomios.
f x x xx x
x( ) = + +
+( )4 317 5
2
3
21RELACIONES Y FUNCIONES
Función constante
Lafunciónconstanteesdelaformaf(x)=c,cesconstante;sugráficaesunarectaho-rizontalparalelaalejeXseparadaporunadistanciacdeleje.Sudominioestodoelejereal;laimagendetodoslosargumentosxes.Ejemplo:s(x)=5
Función identidad
Tienelaformaf(x)=x.Sugráficaesunarectaquepasaporelorigenformandounángulode45°respectoalejeX.Sepuedeprolongarencualquiersentidodemanerainfinita; el dominio y contradominiode la función esR.Para todo argumento, suimagenessímismo.
Función lineal
Tienelaformaf(x) = mx + b,dondemyb sonconstantes.Esunarectadependientemyordenadaalorigenb.Eldominiodelafunciónsonlosvaloresreales.Ejemplo:f(x)=5x+2
Función cuadrática
Esdelaformaf(x)=ax2+bx+c,a≠0.Esunaparábolaconejedesimetríavertical.Sudominiosonlosvaloresreales.
Función cúbica
Suexpresiónanalíticaesunpolinomiodetercergradodelaformaf(x)=ax3+bx2+cx+d,a≠0.Laformadesugráficadependedelosparámetros a, b, c y d.
22 UNIDAD I
Función polinomialdegradon
Estetipoesparacasosparticularesn=0,1,2…;tienelaforma:f(x) = a0xn + a1x
n–1 + ... + an–1x + an, an ≠ 0,dondea0, a1, ... ansonsusparámetros.Sugráficadependedelosvaloresdeéstos.EldominioparaunafunciónpolinomialesR.Acercadeestafunciónseprofundizarámásenlaunidad2.Ejemplo:h(x) = 9x5 + 5x4 + x3 – 2
Función racional
Estáformadaporelcocientededospolinomios,esdecir:
f xp xq x
( ) = ( )( ) conp(x)yq(x)comopolinomiosyq(x) ≠ 0
EldominioesR,exceptolasraícesocerosdeldenominador,endondeésteseanula.Estafun-ciónseexplicaráconmayordetalleenlaunidad3.
Lasiguienteesunafunciónracionals x x xx x
( ) = − −−( ) +( )
2 3 22 3
2
Eldominiodesseformadetodoslosnúmerosrealesexcepto2y–3,paraloscualesseanulaeldenominador.
Función irracional
Suexpresiónanalíticaposeeexpresionesalgebraicasnoracionales.Lasfuncionesdeestetipogeneralmentetienenradicales.
f x x
f x x x
( )
( )
= +
= + −
1
1 3 2
Funciones trascendentes
Entrelasfuncionestrascendentesseencuentranlastrigonométricas,logarítmicasyexponen-ciales.LasfuncionestrigonométricaslasestudiastecondetalleenMatemáticasII,yahoraseabordarándemanerabreve.LosdosúltimostiposdefunciónseránmotivodeestudioenlaunidadIV.
Funciones trigonométricas
Latrigonometríaesunaramadelasmatemáticasqueestudialasrelacionesentrelosángulosylosladosdelostriángulos.
Lasfuncionestrigonométricasson:seno(sen),coseno(cos), tangente(tan),cosecante(csc),secante(sec)ycotangente(cot).
23RELACIONES Y FUNCIONES
Normalmenteseusandosmétodosparadefinirlasfuncionestrigonométri-cas:medianteunacircunferenciaunitariaypormediodetriángulosrectán-gulos.
Consideremos el círculo unitario de la derecha para definir las funcionestrigonométricas.
AmedidaqueelpuntoPrecorrelacircunferencia,elánguloqueformanelradiodelcírculoyelejexvaría,ysepuedeasociaracadavalordelángulounvalordecadaunodeloscocientessiguientes:
Lasfuncionestrigonométricasparaunángulocualquierason:
sen
α = = = =cateto opuestohipotenusa
yr
yy
1
cos
α = = = =cateto adyacente
hipotenusaxr
xx
1
tan
α = =cateto opuesto
cateto adyacenteyx
cot
α = =cateto adyacentecateto opuesto
xy
sec
α = = =hipotenusa
cateto adyacenterx x
1
csc
α = =hipotenusa
cateto opuestory y
1
Estasfuncionessonperiódicas,conperiodo2p,yaquealrecorrertodalacircunferenciaconelpuntoP,sellegaalpuntoinicial.
Enlafunciónseno,sudominiosonlosnúmerosrealesysurangosontodoslosnúmerosreales,talesque–1≤y≤1
Enlafuncióncoseno,sudominiosontodoslosnúmerosrealesysurangosontodoslosnú-merosreales,talesque–1≤y≤1
Enlafuncióntangente,sudominiodedefiniciónsontodoslosnúmerosrealesdistintosdenp2
conn=±1,±3,±5...,ysurangoestáformadoportodoslosnúmerosreales.
Lafuncióncotangentetienecomodominiodedefiniciónatodoslosnúmerosrealesdistintosde0,±π,±2π,±3π…,ysurangoestáformadoportodoslosnúmerosreales.
24 UNIDAD I
Lafunciónsecantetienecomodominiodedefiniciónatodoslosnúmerosrealesdistintosde± p
2,± 3
2p,± 5
2p...ysurangosontodoslosnúmerosreales,exceptolosdelintervalo(-1,1).
Lafuncióncosecantetienecomodominiodedefiniciónatodoslosnúmerosrealesdistintosde0,±π,±2π,±3π...,ysurangosontodos losnúmerosreales,exceptolosdel intervalo(-1,1).
Funciones trigonométricas inversas
Sedefinenasociandoacadavalordeloscocientesyamencionados,elvalordelángulocorres-pondiente.Éstasson:
Función Dominio Contradominiox = arc sen y* o x = sen–1y [–1,1] −
p p2 2,
x = arc cos y o x = cos–1y [–1,1] [0,p]x = arc tan y o x = tan–1y R
−
p p2 2,
x = arc cot y o x = cot–1y R (0,p)x = arc sec y o x = sec–1y complementode(–1,1) (0,p]x = arc csc y o x = csc–1y complementode(–1,1) −
p p2 2,
* Selee“arcosenode”,ylocorrespondienteparalasotrasfunciones.Nosedebeconfundirelsímbolo-1queindicaunafuncióninversaconelexponente-1.Entonces:
sen x senx− −≠ ( )1 1
Estolopodemosobservarenlasgráficasdecadaunadelasfuncionesinversas.
Identificarlaclasealaquepertenecenlassiguientesfuncionesalgebraicas.
1. f(x) = –1 2. f(x)=5x5+93. f(x)=2x2+x–2 4. f(x)=3x
5. g(x)= x 2 4+ 6. f(x)=2 − x
x7. r(x)=x3+x
25RELACIONES Y FUNCIONES
Graficaryseñalarcuáleseldominioycontradominiodelasfunciones1–7.
Evalúarlassiguientesfuncionesenlospuntosindicados:
8. f(θ)=sen(θ)+2tan (θ), θp
=2
9. f x cosx( ) =13
, x =92p
10. f x tan x( ) = +2 3 ,x =54p
Calcularlosvaloresdelasfuncionestrigonométricasen:
11. a=0
12. αp
=2
13. a=p
Calcularelvalordelánguloparacadaunodelossiguientescasos:
14. senθ=1
15. cosθ =12
16. tana=–117. senθ=.7071
Funciones continuas y discontinuas
Enocasiones,aldibujarlagráficadeunafunciónesnecesario“despegarellápizdelpapel”.Enotrasocasionesestonohacefalta,puestoquesesigueuntrazocontinuo.Estaideatansencillaesdegranimportancia:setratadelacontinuidaddeunafunción.
Unafunciónfescontinuaenelpuntox0si:
a) apertenecealdominiodelafunciónf. b) DadounintervaloIdef(x0),existeunintervaloHdex0talquelaimagendeHestácontenida
enI,esdecir,Htalquef(H)⊂I;delocontrario,fesdiscontinuaenelpuntox0.
26 UNIDAD I
Silafunciónfnoescontinuaenx0,noexisteelintervaloH.
Sifescontinuaentodoslospuntosdesudominio,sellamafuncióncontinua.
Lospolinomiossonfuncionescontinuasentodoslosnúmerosreales,entantoquelasfun-cionesracionalessoncontinuasenlosreales,exceptoparalosvaloresenqueseanuleelde-nominador.
Así,lasfuncionescontinuascumplenconlosiguiente:
1. Enelgráficodecualquierpolinomio,cualquierpardepuntos(a,f(a)),(b,f(b))seunenporunarcocontinuo.
2. Sif(a)yf(b)sondesignosopuestos,entonceselgráficoy =f(x)atraviesaelejexalmenosunavez,ylaecuaciónf(x)=0tieneporlomenosunaraízentreayb.
Sea f x x( ) = −4 2 ,trazarlagráficadefyverificarsifescontinuaenelintervalo[-2,2].
Solución:
y2=4–x2 se trata de lamitad superior deuna circunferenciaconcentroenelorigenyradio2.Paratodaxenelintervalo[-2,2]existeunf(x1)asociadoaéste.Lafunciónfestádefinidaparatodaxenelintervaloynopresentaningúnsalto.Porlotanto,lafunciónescontinua.
27RELACIONES Y FUNCIONES
Existengráficasdefuncionesquenosoncontinuas;entreéstasseencuentranlassiguientes:
Ladiscontinuidaddeunafunciónenunpuntopuededeberseadistintascausas,yesporestoquelaformadelagráficaenlacercaníadelpuntodediscontinuidaddependedeésta.
Hallarlasdiscontinuidadesdelasiguientefunción, f xx
( ) = 3
Solución:Eldenominadoresceroparax = 0,cuandoxtiendea0porlaizquierda,ytiendea–∞ycuandoxtiendea0porladerecha,ytiendea∞.Porlotanto,lafunciónftieneunadis-continuidadinfinitaenx=0,queeselpuntodondeseanulaeldenominador.
Encontrartodoslosnúmerosrealesenlosquelafunciónescontinua.
1. f xx
x x( ) =
++ −
2 34 5 62
2. f x x x( ) = − +4 3
3. f xxx
( ) =−−2
1
4. f xx x
( ) =−5
3
5. f xx
x x x( )
4 62 6 52
−+ + −( )( )
28 UNIDAD I
Trazarlagráficadelassiguientesfuncionesyhallarlasdiscontinuidadesdecadaunadeéstas.
6. f xx
x x x( ) =
−+ + −( )( )
4 62 6 52
7. f xxx
( ) =−−
3
2
279
8. f xxx
( ) =−−
2 164
9. f xx
( ) =1
Funciones crecientes y decrecientes
Dadalafunción f x x( ) = −9 2 ,segúnlagráfica,setomandospuntosx1yx2en[-3,0]talquex1<x2.Observarque f x f x1 2( ) < ( )significaquecuandoxcreceen[-3,0],suimagentambiéncrece.Cuandoestosucede,sedicequelafunciónescreciente.Enelintervalo[0,3],altomarx3yx4talquex3<x4,sucedeque f x f x3 4( ) > ( ),esdecir,cuandoxcreceen[0,3],lagráficade
f decrece;entonces,f esunafuncióndecreciente.Así,existenfuncionesquecrecenodecrecenenciertosintervalos.
Una función es creciente en un intervalo I cuando los va-loresdelasimágenesy quecorrespondenalosvaloresdexseleccionados,aumentanalrecorrersugráficadeizquierdaaderecha.
UnafunciónesdecrecienteenunintervaloIcuandoalrecorrersugráficadeizquierdaaderecha,losvaloresdelasimágenesy,quecorrespondenalosvaloresquetomax,disminuyen.
SeafunafuncióndefinidaenunintervaloI,yx1,x2númerosenI.
a) FescrecienteenIsi f x f x1 2
( ) ( )< ,siemprequex1<x2 b) FesdecrecienteenIsi f x f x
1 2( ) ( )> ,siemprequex1<x2
Gráficamentequedaríarepresentadodeestaforma:
29RELACIONES Y FUNCIONES
Dadalafunciónf(x)=2x,determinarsudominio,codominioyprobarsilafunciónescrecienteodecrecienteenelintervalo[-4,6].
Eldominiodelafunciónsontodoslosnúmerosreales;setratadeunarectaqueseextiendeenambossentidosinfinitamente.Paratodaxrealhabráunaimagenreal,porlocualelcodominiodelafunciónloconformantodos losnúmerosreales.Sean2y4dosnúmerosdelintervalodado,aldarleestosvaloresalafunciónob-tenemos:f(2)=2(2)=4yf(4)=2(4)=8,dondef(2)<f(4).Deaquíseconcluyequelafunciónescrecienteenelintervaloyentodoelejereal,talycomoseobservaenlagráficadeladerecha.
Trazarlasgráficasdelassiguientesfunciones.Determinarsudominioycodominioydescribirlosinter-valosenlosquelafunciónescrecienteodecreciente.
1. f x x( ) = −5 2 2. h x x( ) = + 1
3. g xx
( ) =3 4. F x x( ) = −4 22
5. f x x( ) = +6 2 6. F x x( ) = −3
Verificarsilassiguientesfuncionessoncrecientesodecrecientesenelintervalodado.
7. f x x x( ) = −5 6 22 3,[–3,2]
8. f x x x( ) = − +3 5 22 ,[–1,4]
9. f x x( ) = − −12
3,[–1,5]
Elúltimodeloscriteriosparalaclasificacióndefuncioneses:
3. Según la correspondencia entre sus conjuntos.
Seclasificaneninyectivaounoauno,sobreyectivaybiyectiva.
Funcióninyectivaounoauno,eslafunciónqueasociaacadaargumentounaimagendistinta.
Unafunción f A B: → esinyectivasisólosetienenimágenesigualesparaargumentosiguales;esdecir,si f x f y( ) ( )= implicaquex=y
30 UNIDAD I
LafunciónFesinyectivayaquecadaargumentoserelacionaconunelementodelcodominio;encambio,Gnoesinyectivaporque2y4tienenlamismaimagen.
Gráficamente,esmuysencillodeterminarsiunafunciónesinyectiva:sepruebasicualquierrectahorizontalquecortaalagráficadelafunciónlohaceenunsolopunto.Paraprobardemaneraformalsiunafunciónesinyectivaseretomaladefinición.
Podemosobservarenlagráfica1quelafunciónesinyectiva,porquealtrazarcualquierrectahorizontalúnicamentelacortaenunpunto.Lafuncióndelagráfica2noesinyectiva,porqueexisteporlomenosunarectahorizontalquelacortaencuatropuntos.
Elsiguienteejemplonosmuestralamaneradeverificarsiunafunciónesinyectiva.
Probarsilafunción f x x( ) = +4 3esinyectiva.
Considerandoladefinicióndefuncióninyectiva,paradosimágenesigualestengoargumentosiguales.Tomamosentoncesdosimágenescualesquieraf(x1)yf(x2)ysuponemosquesonigua-les;debemosprobarentoncesquelosargumentosx1yx2tambiénsoniguales.
31RELACIONES Y FUNCIONES
Como f(x1)=f(x2),entonces: f(x1)=4x1+3yf(x2)=4x2+3soniguales,setendríaentoncesque: 4x1+3=4x2+3,restando3enambosmiembros,nosealteralaigualdadysetiene: 4x1=4x2,dividiendoambosmiembrosentre4,seobtieneque: x1=x2,queesloquequeríamosobtener.
Porlotanto,lafunciónf(x)=4x+3esinyectiva.
Yasehanobservadoejemplospara loscualeselrangodelafunciónesunsubconjuntodelcontradominio.Paraelcasoenqueamboscoincidennosencontraremosentoncesanteunafunciónsobreyectiva.
Función sobreyectiva
Unafunción f A B: → essobreyectivasitodoy∈Besimagendealgúnx∈A.
Esdecir,todoelementodelcodominoBestárelacionadoconalgúnelementodeldominioA.
Enlasiguientefigura,lafunciónµesunafunciónsobreyectiva.Encambio,lafunciónRnoes sobreyectiva, pues existe un elementodel codominioqueno está relacionado con algúnargumento.
Demaneraformal,tambiénesposibleverificarsiunafunciónessobreyectiva,paralocualsehaceusodeladefinición.
SeanG D R: → , donde D=0, 1, 2 y R es el conjunto de los números reales, tal queG x x( ) = +3 2.DeterminarsiGessobreyectiva.
Solución:ObteniendolasimágenesdelafunciónparalosargumentosdelconjuntoD,setiene:G
G
G
0 3 0 2 2
1 3 1 2 5
2 3 2 2 8
( ) = ( ) + =
( ) = ( ) + =
( ) = ( ) + =
32 UNIDAD I
Elrango=2,5,8esunsubconjuntodelcodominioR.Porlotanto,lafunciónnoessobre-yectiva.
Existenfuncionesquesatisfacenambascondiciones,esdecir,quesonunoaunoysobreyecti-vas.Aéstasselesllamabiyectivas.
Función biyectiva
Unafunciónesbiyectivacuandoesinyectivaysobreyectiva.
LafunciónHesunafunciónbiyectiva.Esdecir,inyectiva,yaqueacadapardeelementosdeldominiolecorrespondenimágenesdiferentes.TambiénHessobreyectiva,yaquetodoelemen-todelcodominioesimagendeunargumento.
Paraprobarsiunafunciónesbiyectivademaneraformal,sedebeprobarsiesinyectivayso-breyectiva,comosehizoenloscasosanteriores.
Mediantelapruebadelarectahorizontal,determinarsilassiguientesfuncionessoninyectivas.
1. 2.
33RELACIONES Y FUNCIONES
3. 4.
5. 6.
Demostrardemaneraformalsilassiguientesfuncionessononoinyectivas.
7. f x x( ) = 2 8. f x( ) = 39. f x x( ) = 3 10. f x x( ) =
Determinarsilassiguientesfuncionessonsobreyectivas.
11. SeaG D R: → ,dondeD = 0 1 2, , yG x x( ) = +3 2,x∈R12. SeaG R R: → yG x x( ) = 2
13. SeaG R R: → yG x x( ) = −4 114. SeaF R R: → ≥0yF x x( ) = +2 2
Graficarydeterminarsilassiguientesfuncionessonbiyectivas.ConsiderareldominioycodominiodelafuncióncomoR.
15. f(x)=016. f(x)=5–x17. G(x)=2–x2
1.2.2 Funciones inversas
Paradefinir la inversadeuna funciónes fundamentalquedistintosnúmeroseneldominioarrojendiferentesvaloresenelcontradominio.Lafuncióndebeserunoaunoysobreyectiva,esdecir,biyectiva.
Lafuncióninversasedenotaporf –1;elsímbolo(-1)nosignificapotencia,porloque:
f xf x
− ( ) ≠( )
1 1
34 UNIDAD I
Sea f A B: → unafunciónbiyectiva.Unafunción f B A− →1 : sellamafuncióninversadefsi:
f f x x− ( )( ) =1 : paratodoxenA, y f f x x− ( )( ) =1 paratodoxenB.
Unafunciónfquecreceodecreceensudominiotieneunafuncióninversa,lacualesbiyectiva.Existendiversosmétodosalgebraicosparahallarlainversadeunafunción.Aquísóloestudia-remosunodeéstos,elcualsemuestraenelsiguienteejemplo.
Si f x x( ) = −5 2,hallarlafuncióninversadefydemostrarque f f x x− ( )( ) =1
Solución:Primerosesustituyef(x) pory y=5x–2 Sedespejax yseobtiene:
x y= + 25
Sepermutanlasvariablesyobtenemoslainversadef(x):
y x= + 25
Porlotanto,
f x x− ( ) = +1 25
Ahorasustituimos f x− ( )1 porxenf(x):
f f x f x x x x− ( )( ) = +
= +
− = + − =1 25
5 25
2 2 2
Lagráficadelejemploanteriorquedaríadelasiguienteforma:
35RELACIONES Y FUNCIONES
Teorema
Lasgráficasdeunafunciónfydesuinversaf–1sonsimétricasrespectoalarectay=x.
Deestamanera,apartirdelagráficadeunafunciónpodemosconstruirlagráficadesuin-versa.
Elteoremasedemuestradelasiguientemanera:
SeaP(x,y)unpuntodelafunciónf.SeaQ(x,y)unpuntodef–1,elpuntomediodePQes:
P x y y xm = + +
2 2
, ,obien,P x y x ym = + +
2 2
,
Ésteesunpuntodelarectay=x.Esasíquelospuntosequidistandelarectay=x,porquePeraunpuntocualquieradef.Porlotanto,lasgráficasdeunafunciónydesuinversasonsimétricasrespectoalarectay=x
Encontrarlafuncióninversade f x x( ) = 2,con f R R: ≥ ≥→0 0,ydemostrarque f f x x− ( )( ) =1
y f f x x− ( )( ) =1
Solución:Sesustituyef(x)pory: y=x2
Sedespejaxyseobtiene: x y= ± Permutarlasvariablesparaobtenerlainversadef(x): y x= ±
Eldominiodefes[0,∞]yelcontradominio[0,∞].Comoesteúltimodebesernonegativo,sedescarta y x= − .Porlotanto,
f x x− ( ) = +1
36 UNIDAD I
Estaúltimaigualdaddemuestraqueeldominiodef–1es[0,∞]yelcontradominioorango[0,∞].
Verificando: f f x f x x x− −( )( ) = ( ) + =1 1 2 2 x ≥ 0y f f f x f x x x− ( )( ) = +( ) = +( ) =1
2
x ≥ 0
Conloquesedemuestraquelafuncióninversaestádadapor f x x− ( ) =1 ,conx ≥ 0.
Debetenerseespecialcuidadoeneldominio,codominioyrangodedefinicióndeunafunción,paraquealencontrarlainversa,éstasehalledefinidaenesosconjuntos.
Hallarlainversadelassiguientesfuncionesydemostrar f f x x− ( )( ) =1
1. f x x( ) = 3
2. f xx
( ) =+
23 1
3. f x x( ) ( )= + 2 3
4. f xx
( ) =−1
3 2
5. f x x( ) = 3
Encontrarlafuncióninversadelafunciónconeldominioycodominioqueseindican.
6. f x x( ) = 2 f R R: →( )7. F x x( ) = +3 2 F R R: ≥ ≥→( )0 2
8. g x x( ) = − 3 g R R: →( )9. f x x( ) = +2 1 f R R: ≥ ≥→( )0 1
Graficarlafuncióninversadelassiguientesfunciones.
10. f x x( ) = −3 9 x ≥ 3
11. f xx
( ) =1
12. f x x( ) = x ≥ 0
37RELACIONES Y FUNCIONES
1.2.3 Funciones especiales
Función constante
Unafunciónconstanteesaquellaquenodependedeningunavariableyaque,alevaluarlaencualquiervalorreal,laimagenqueseobtendráserásiemprelamisma.
Unafunciónfesunafunciónconstantesiexisteunelementofijocenelcontradominio,talquef(x)=cparatodaxeneldominio.
Siserepresentalafunciónconstantepormediodeundiagramasagitalcomoeldelafigura,todoslosargumentosdeAserelacionanconlamismaimagenenB.
Enformagráfica,lafunciónconstanteconsisteenellugargeométricodelospuntosdelafor-ma(x,c),esdecir,unarectahorizontal.Sudominioseránlosnúmerosrealesyelcontradominioesc,concconstante.
Lagráficadelafunción f(x)=5,serefiereaunarectahorizontal,dondelafunciónnodependedex.
Eldominiodeunafunciónconstanteestodoelejerealysurangoc.
Función idéntica
Lasfuncionesidénticassonaquellasqueasocianacadaelementodeldominioelmismoele-mentoensucontradominio.
38 UNIDAD I
Unafunciónfesunafunciónidénticacuandoeldominiocoincideconsucontradominio;esdecir,paratodaxeneldominio,suimageneséstamisma.
Tienelaformaf(x)=x
Expresadagráficamente, se tratadeuna rectaquepasapor elorigenformandounángulode45°respectoalejeX.Eldominioy contradominio de la función idéntica es todo el eje real, yaquelarectasepuedeprolongarencualquiersentidodemanerainfinita.
Función valor absoluto
Lafunciónvalorabsolutoesaquellaqueasociaacadaelementodeldominioconsuvalorab-soluto.
Recordemosladefinicióndelvalorabsolutodeunnúmero.
Seax∈R,entonces xx
x
x
x=
− <
≥
si
si
0
0
Sugráficaescomosemuestraenlafigura.
Eldominiode la funciónes el conjuntode losnú-merosreales,ysurango,elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresoigualesacero,esdecir,f(x)∈[0,∞).
Graficarlasiguientefunciónvalorabsoluto, f x x( ) = 3
Teniendoencuentaladefinicióndevalorabsoluto:
f(x)=3x six ≥ 0 yf(x)=–3x six<0, entonces
lagráficadelafunciónquedarepresentadaenlafigu-ra.Eldominioeselconjuntodelosnúmerosrealesyelrangosonlosnúmerosrealesmayoresoigualesacero.
39RELACIONES Y FUNCIONES
Funciones escalonadas
Setratadefuncionesqueestándefinidascomounoovariossegmentosderecta.
Unafunciónescalonadabásicaesdelaforma:
f x( )
=0
1
sisi
xx
<≥00
Gráficamente,lafunciónescalonadabásicasepresentaenlafigura.
Eldominiodelafunciónsonlosnúmerosrealesysurangoes0,1.
Funciones compuestas
SeanA, B y Ctresconjuntosdenúmerosreales.SeafunafuncióndeA aB ygunafuncióndeBaC.Estosepuedeexpresarcomo
A B Cf g → →
ParatodaxenA,comoseobservaenlafigurasiguiente,elnúmerof(x)estáenB.Comoeldominiode g esB, puededeterminarse entonces el número g(f(x)) y tal número está enC.Asociandoxag(f(x)),seobtieneunafuncióndeAaCquesellamacomposición deg con f.Enocasionesseusaeloperadorysedenotalacomposicióncomog f.
EstacombinaciónasociaacadaelementodeAunelementodeC,obteniéndoseasíunafuncióncuyodominioesAycontradominioC.Estafunciónsellamacomposición def yg.
SeafunafuncióndeAaBygunadeBaC,la función composicióngfeslafuncióndeAaCdefinidacomo
(gf)(x)=g(f(x))
paratodaxenA.Agfselellamafunción compuesta de g con f.(gfselee“fseguidadeg)”.
Observarquelacomposicióndelasfuncionesseescribeenordeninversog f ,yaqueprimeroseaplicaf ydespuésseaplicag.
40 UNIDAD I
Seanf ygfuncionesdadasporf(x)=x–1yg(x)=4x+x2,encuentra(g f )(x),eldominioycontradominiodeg f.
Solución:Sustituyendoobtenemos: g f x g f x
g x
x xx x x
x x
( )( ) = ( )( )= −( )= −( ) + −( )= − + − += + −
1
4 1 14 4 2 1
2 3
2
2
2
Eldominiodef,asícomoeldominiodelacomposicióng f, sonenamboscasoslosnúmerosreales.Elcontra-dominiodef sonlosreales,mientrasqueparalacompo-sicióng f eselintervalo[4,∞],talcomoseobservaenlafigura.
Considerandoladefinicióndefuncióncompuesta,sieldominio de g es un subconjuntoB´ deB, entonces eldominiodeg f constadetodoslosxtalesquef(x) estáenB’.
Seanf ygdadasporf(x)=x–1y g x x x( ) = +3 ,encuentra(g f)(x)yeldominiodeg f.
Solución: Sustituyendo,obtenemos: g f x g f x
g x
x x
x x
( )( ) = ( )( )= −( )= −( ) + −
= − + −
1
3 1 1
3 3 1
Eldominiodefsonlosnúmerosreales,peroenlaúltimaigualdadseindicaque(g f)(x)esunnúmerorealsólosix≥1.Porlotanto,eldominiodelacomposicióng feselintervalo[1,∞].
Graficarlassiguientesfuncionesyespecificarcuáleseldominioyrangoparacadauna.
1. f(x)=0 2. f(x)=–23. g(x)=23 4. f(x)=x+5
5. r(x)=x+2–1 6. f x x( ) =13
41RELACIONES Y FUNCIONES
7. f(x)=x–x 8. h x( )
=−
3
1
si
si
x
x
<
≥
0
0
9. g xx
x( )
=− <
≥
4 1
1 1
si
si 10. f x
x
x
x
( )
=
− < −
− ≤ <
≤
3 1
0 1 3
3 3
si
si
si
Determinar(g f)(x),asícomoeldominioyrangodeg f.
11. f(x)=x2+3 g(x)=2–5x
12. f xx
( ) =+
12 1
, g xx
( ) =1
2
13. f x x( ) = +2 2 g(x)=3x2+214. f(x)=x3–4 g x x( ) = +3 415. f(x)=x, g(x)=–7
1.2.4 Transformación de gráficas de funciones
Traslaciones horizontales y verticales
Ahoraestudiaremoslamaneradeobtenernuevasfunciones,aplicandooperacionesalgebraicascomolasumaylamultiplicaciónaotrasfunciones.
Consideraremoslafunciónobtenidaalsumarunaconstantecacadaunodesusvalores.Avecesdecimosquedosfuncionesdifierenporunaconstante,estoes:
g(x)=f(x)+c
paratodaxeneldominiodef.
Traslación vertical de la gráfica de una función(c>0)Trazarlagráficade: Trasladarlagráficadey=f(x)
y f x c
y f x c
= −
= +
( )( )
cunidadeshaciaabajo
cunidadeshaciaarriba
Dadaf(x)=x+c,trazarlagráficadefparac=4yc=–4
42 UNIDAD I
Yadibujadaslasdosgráficasenelmismosistemacoordenado,seobservaqueparatrazarlagrá-ficaf(x)=x+4,sólosesumó4alaordenadadecadapunto;estoequivaleatrasladarf(x)=x,4unidadeshaciaarriba.Parac=–4,serestó4alasordenadas,trasladandof(x)=x,4unidadeshaciaabajo.Cadaunadeestasgráficasesunarectasimétricaconrespectoalarectay=x
Existenreglassemejantesparadesplazamientoshorizontales.
Traslación horizontal de la gráfica de una función (c>0)Trazarlagráficade: Trasladarlagráficadey=f(x)
y=f(x–c)
y=f(x+c)
cunidadeshacialaderecha
cunidadeshacialaizquierda
Trazarlagráficadefparaf(x)=(x–3)2yparaf(x)=(x+2)2
Teniendo en cuenta la función y=x2,observamosquealsumar3alaabscisa,esta gráfica se traslada 3 unidades a laderecha,obteniendo f(x)=(x–3)2.Altrasladarla2unidadesa la izquierda,seobtienelagráficadef(x)=(x+2)2
43RELACIONES Y FUNCIONES
Reflexión respecto a los ejes y la recta a 45°
Consideremoslagráficadelaecuacióny2=x
Sidoblamoselplanocoordenadoporelejex,entonceslamitadsuperiorcoincideconlamitadinferior.Sediceentoncesquelagráficaessimétri-ca con respecto al eje x,yaqueparacadapunto(x,y)enlagráfica,(x,-y)tambiénestárepresentado.
Delamismaforma,paralagráficadelafuncióny=x2
Aldoblarelplanocoordenadoporelejey,lamitadizquierdacoincideconlamitadderecha.Entonces,lagráficaessimétrica con respecto al eje y,esdecir,sielpunto(-x,y)estáenlagráfica,también(x,y).
Simetría de la gráfica de una ecuación
• LagráficadeunaecuaciónessimétricarespectoalejeY,sialsustituirxpor–xseobtieneunaecuaciónequivalente.
• LagráficadeunaecuaciónessimétricaconrespectoalejeX,sialsustituirypor–yseobtieneunaecuaciónequivalente.
• Lagráficadeunacurvaessimétricarespectoalarectaa45°,y=x,sisuecuaciónnocambiaalintercambiarxpory.
Cuandoexistesimetríarespectoalosejesyalarectay=x,essuficientecontrazarlagráficaenunamitaddelplanocoordenadoyelrestodeéstasetrazacomoreflexióndelaprimera.
Analizareltipodesimetríaquetienelasiguienteecuación.
y2(1+x)=x2(1–x)
Solución:Alobservarlagraficanotamosclaramentequesetratadeunacurvasimétricares-pectoalejeX.
Aplicandoladefinicióndesimetría,setiene:
Sustituimosypor–y,yobtenemos:(–y)2(1+x)=x2(1–x)
(y)2(1+x)=x2(1–x).Porlotanto,lacurvaessimétricarespectoalejeX.
44 UNIDAD I
Unamaneradeobtenerlagráfica simétrica de una funciónescambiandof(x)porf(–x)opor–f(x),obienintercambiandoxyy.
Reflexión de la gráfica de una función
1. Lagráficadey=–f(x)esunareflexióndelagráficadey=f(x),conrespectoalejeX. 2. Lagráficadey=f(–x)esunareflexióndelagráficadey=f(x),conrespectoalejeY. 3. Cuandoenlagráficadeunafunciónintercambiamosxpory,obtenemossureflexióncon
respectoalarectay=x
Enlaseccióndefuncionesinversasindicamosqueunafunciónysuinversasonsimétricasosereflejanrespectoalarectaay=x
Dada la función y=x3, trazar en elmismosistemacoordenadolagráficay=–x3
yx=y3
Indicareltipodereflexiónquesepresenta.
Lagráficadelafunciónx=y3esunareflexióndey=x3respectoalarectade45°.Lagráficadelafuncióny=–x3esunareflexióndex=y3respectoalejeY.
Trazarlagráficadefparalosvaloresdecenunmismoplanocoordenado,utilizandotraslacionesverti-calesyhorizontales,oreflexiones.
1. f(x)=2x+c c=3 c=–4 2. f(x)=x3+c c=0 c=–23. f x x c( ) = − +9 2 c=4 c=–3 4. f(x)=x–c c=5 c=–25. f(x)=x–c+1 c=5 c=–4 6. f(x)=6(x+c) c=2 c=–67. f(x)=(x+c)3 c=3 c=3 c=0 8. f x x c( ) = − +4 2 c=–5 c=1
Trazarlagráficadelassiguientesfuncionesenelmismoplanocoordenadoyanalizareltipodereflexiónquepresentan.
9. y=x2+1 x=y2+1 10. y x= + 2 x y= + 2x,y≥0
11. y=x2+9x x=y2+9y 12. yx
=+ 32 y
x=
− + 32
13. yx
x=
+ 1 x
yy
=+ 1 14. y x= +23 1 y x= − +23 1
45RELACIONES Y FUNCIONES
NOMBREDELALUMNO: ACIERTOS
I. Colocadentrodelparéntesisdelaizquierdalasletrasquecorrespondanalarespuestacorrecta,tomándoladelacolumnadeladerecha.
1. () Rango2. () Segundacoordenadadeunparordenado A)Variabledependiente3. () EjeX4. () Dominio5. () EjeY B)Variableindependiente6. () Primeracoordenadadeunparordenado7. () Contradominio8. () Laimagenselocalizaen:9. () Esaquellacuyosvaloresnodependendelosdeotra10.() Elargumentoselocalizaen:
II. Dadalasiguientegráfica,hallalasotrascuatroformasderepresentaralafunción(dos
reactivoscadauna),determinalosintervalosenquelafunciónescrecientey/odecre-ciente(dosreactivos);además,hallasuinversa(2reactivos)ydemuéstralo(unreactivo).
III. Dadalasiguienteexpresión,determinasiescontinuaenelintervalode[-3,3].Realizalatablayseñalaunargumentoysuimagen:
y=4x+6
IV. Determinasilasiguientefunciónesinyectiva,sobreyectivaybiyectiva:
f x x( ) = + 32
46 UNIDAD I
V. Graficalasiguientefuncióncompuestaenelejecoordenadodelaparteinferior:
f x
x x R
x R
x x R
( )
,
,
,
=
− ∈ −[ ]
− ∈ [ ]
− ∈ [ ]
2 3 3 0
3 0 3
6 3 5
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