REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGÍA LA VICTORIA
LA VICTORIA- ESTADO ARAGUA COMISIÓN ACADÉMICA DEL PROGRAMA
NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDAD en el marco de la Misión Sucre
FÍSICA I
AUTOR: Prof. Maria Esther Pérez
La Victoria, Enero 2010
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
FÍSICA I
PNF en Electricidad 2
MÓDULO I
CINEMÁTICA
UNIDIMENSIONAL
FÍSICA I
PNF en Electricidad 3
VECTORES
Una Cantidad Escalar: Es aquélla que se especifica por completo mediante un
solo número con una unidad, posee sólo magnitud. Ejemplo: masa, potencia,
temperatura, tiempo, volumen, trabajo, densidad, carga eléctrica entre otro.
Un Vector: Es aquel que quedará definido completamente mediante tres
características, como:
Módulo: es la parte escalar del vector, es la distancia entre los extremos de un
vector, longitud del vector.
Dirección: La dirección de un vector está dada por la recta sobre la cual se
considera que está colocado dicho vector.
Sentido: Es la orientación del vector de acuerdo con su dirección
Ejemplo: B AB A AB: Distancia entre A y B
Dirección: Recta que pasa por A y B (inclinada) Sentido: De A hacia B
FÍSICA I
PNF en Electricidad 4
Un vector se puede representar por una letra negrita A y su magnitud por A ó
se puede representar por una letra con una flecha sobre ella A y su magnitud por
A, sin flecha.
COMPONENTES DE UN VECTOR
La suma y la diferencia de vectores se facilitan en gran medida cuando se
utilizan las componentes de un sistema de coordenadas.
Un vector se representa por un segmento rectilíneo dirigido, la longitud de
este segmento rectilíneo es la magnitud, y el ángulo que forma con respecto a un
eje de referencia es su dirección.
Cualquier vector que se encuentre en el plano xy (sistema de coordenas
cartesiano bidimensional), puede representarse como la suma de un vector
paralelo al eje x y otro paralelo al eje y. Estos vectores se llaman componentes
vectoriales rectangulares
Ejemplo Y Ay A A = Ax + Ay
FÍSICA I
PNF en Electricidad 5
. X Ax
Componente de x = Ax= A Cos
Componente y = Ay= A sen La magnitud de un vector, en función de sus componentes es : A =( Ax) 2+ ( Ay)2
Ax/A = Cos y Ay/A = sen
Tang = Ay/Ax despejando al ángulo
= arc tang (Ay/Ax) VECTOR EN UN ESPACIO TRIDIMENSIONAL En un espacio tridimensional, un vector B puede descomponerse en sus componentes Bx, By, Bz a lo largo de tres ejes en el espacio. Ejemplo:
Componente en X=Bx=Bsen cos
Componente en Y = By=B sen sen
Componente en Z= Bz=Bcos
Donde B= 222 )()()( BzByBx
Los ángulos y fijan la dirección del vector.
By=B sen sen
Bx=B sen cos
Si dividimos By/Bx = tang ( despejando el ángulo)
=arc tang-1 By/Bx
Bz= B cos ( despejando el ángulo)
xB
yB
zB
B
FÍSICA I
PNF en Electricidad 6
=Cos-1 By/B COSENOS DIRECTORES Estos son los cosenos de los ángulos directores, los cuales expresan el ángulo que forma la dirección de un vector con la parte positiva de cada uno de los ejes de coordenadas. Estos ángulos directores son tres:
= ángulo director respecto al eje X
= ángulo director respecto al eje Y
= ángulo director respecto al eje z Donde:
Cos =Bx/B
Cos =By/B
Cos =Bz/B
Donde B= 222 )()()( BzByBx
REPRESENTACIÓN CANÓNICA Es la representación de un vector como combinación lineal de los vectores unitarios fundamentales i,j,k ĩ= (1,0,0) y dirección en el eje X ĵ=(0,1,0) y tiene dirección en el Y K=(0,0,1) y tiene dirección en el eje z Un Vector en un espacio tridimensional se puede expresar como combinación lineal de ellos tres: Ejemplo. B=Bx ĩ +Byĵ+Bzk
ÁLGEBRA VECTORIAL SUMA La suma de dos vectores es comutativa A+B=B+A
X Y
Z
FÍSICA I
PNF en Electricidad 7
A=Ax ĩ +Ayĵ+Azk B=Bx ĩ +By ĵ +Bzk A+B=C C= (Ax+Bx) ĩ +(Ay+By) ĵ +(Az+Bz)k MULTIPLICACIÓN DE VECTORES Hay tres operaciones de multiplicación de vectores Multiplicación de un Vector por un Escalar:
La multiplicación de un vector A por un escalar K , se escribe KA , y se define como un nuevo vector que tiene el mismo sentido que A si K es positivo y sentido opuesto, si K es negativo. Para dividir un vector entre un escalar simplemente se multiplica el vector por el reciproco del escalar. Ejemplo: A= Ax ĩ +Ay ĵ +Azk y un escalar K k.A =kAx ĩ +KAy ĵ +kAzk
Multiplicación de un Vector por un Vector de tal manera que se obtenga un escalar Cuando se multiplique una cantidad vectorial por otra cantidad vectorial se debe distinguir entre el producto escalar( que se representa por un punto) y el producto vectorial ( que se representa con una cruz). Ejemplo: Dados dos vectores A=Ax ĩ +Ay ĵ +Azk y B= Bx ĩ +By ĵ +Bzk El producto escalar se denota A.B cuyo resultado es un numero real Es equivalente a decir la magnitud de A por La magnitud de la proyección B sobre A, ó la proyección de A sobre B por la magnitud de B.
Luego A.B= A.B cos
Donde B
.
Teniendo en cuenta que el producto escalar de ĩ. ĩ = ĵ. ĵ =kk=1 ĩ. ĵ = ĵ k=k ĵ =0 Ejemplo W= Trabajo ( escalar) F= Fuerza (vector) S=Desplazamiento ( vector) El producto punto de dos vectores nos da un escalar
FÍSICA I
PNF en Electricidad 8
W= F.S
Multiplicación de dos vectores de tal manera que se obtenga otro vector
El producto vectorial de dos vectores A y B se escribe A x B y el resultado es otro vector C Ax B = C
Su magnitud C=AB sen siendo el ángulo entre A y B, el sentido se determina por la regla de la mano derecha. ĩ ĵ k Ax Ay Az AxB= Bx By Bz
Ejemplo:
= Momento de una fuerza (vector) r = Posición (vector) F =Fuerza (vector) Al multiplicar vectorialmente (producto cruz) dos vectores se obtiene un vector
= rx F
MEDICIÓN
Es una técnica que se utiliza para determinar el valor numérico de una
propiedad física comparándola con una cantidad patrón que se ha adoptado
como UNIDAD.
Hay cuatros magnitudes fundamentales independientes. Longitud, tiempo,
masa y carga eléctrica
FÍSICA I
PNF en Electricidad 9
El Metro: ( abreviado m) es la unidad de longitud. Es igual a la distancia
recorrida por la luz en el vació en un tiempo de 3.335640x10-9s
El Kilogramo: (abreviado Kg) es la unidad de masa .Está definido como la
masa del kilogramo prototipo Núm 1( bloque de platino) o kilogramo
internacional, para fines prácticos es igual a la masa de 10-3 m3 de agua
destilada a 4° C.
1uma (unidad de masa atómica) =1,66x10-27 kg
El Segundo: ( abreviado s) es la unidad de tiempo, se define como el lapso
en que transcurren 9992631700 periodos de la radiación correspondiente a
cierta transición del átomo de 133 Cs
El Coulomb : ( abreviado C) es la unidad de carga eléctrica
UNIDADES Y CANTIDADES FÍSICAS COMPLEMENTARIAS DE SI
Cantidad Física Nombre de la Cantidad Símbolo
longitud metro m
Masa Kilogramo Kg
Tiempo Segundo S
Corriente Eléctrica Ampere A
Temperatura termodinámica Kelvin K
Cantidad de Sustancia mol mol
Frecuencia hertz HZ
Energía Joule J
Fuerza Newton N
Presión Pascal Pa
Potencia Watt W
Carga Eléctrica Coulomb C
Potencial Eléctrico Volt V
Resistencia Eléctrica ohm
Capacitancia farad F
Inductancia Henry H
Flujo Magnético Weber Wb
Densidad de Flujo magnético tesla T
FÍSICA I
PNF en Electricidad 10
Algunos Factores de Conversión de longitud 1m=39,37in=3,28ft=1,904 yardas 1mi=5280ft=1609,4m 1al=9,461x1015 m 1in=2,54cm Donde: in= Pulgadas Ft=Pie mi= Millas al=año luz Algunos Factores de Conversión de Masa 1Slung=14,59kg 1 Tonelada(T)=103 kg 1 kilogramo(Kg)=103 g 1kilogramo(Kg)=2,205 lb( libra masa) Algunos Factores de Conversión de Tiempo 1 dia = 24 Horas (h) 1 Hora=60 minutos (min) 1 min =60 segundos (s) 1 Hora =3600 segundos (s)
PREFIJOS PARA POTENCIAS DE 10
Múltiplo Prefijo Abreviatura
1018 EXA E
1015 PETA P
1012 TERA T
109 GIGA G
106 MEGA M
103 KILO K
102 HECTO H
101 DECA Da
100 UNIDAD
10-1 Deci d
10-2 Centi c
10-3 Mili m
10-6 Micro
10-9 Nano n
FÍSICA I
PNF en Electricidad 11
10-12 Pico p
10-15 Femto f
10-18 Ato a
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME, MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMENTE ACELERADO Y LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA
Sistemas de Referencia
Un objeto está en movimiento con respecto a otro cuando su posición,
medida en relación con el segundo cuerpo, está cambiando con el tiempo.
Por otro lado, si esta posición relativa no cambia con el tiempo, el objeto se
encuentra en reposo relativo. Reposo y movimientos son conceptos relativos, es
decir, dependen de las condiciones del objeto con respecto al cuerpo que sirve de
referencia.
Una planta y una fabrica están en reposo con relación a la tierra, pero en
movimiento con respecto al sol.
Cuando pasa un carro por una parada, decimos que está en movimiento
con respecto a la parada, un pasajero que vaya en él podría decir que la parada
se está moviendo en relación con el carro, pero en la dirección opuesta.
Para describir el movimiento, el observador debe definir un sistema de
referencia en relación con el cual se analiza el movimiento.
Un sistema de referencia puede considerarse como un objeto o conjunto de
objetos en reposo con respecto al observador, en física se utilizan sistema de
coordenadas bien sea cartesiano , esférico o cilíndricos.
Conceptos Fundamentales
Consideremos como sistema de referencia el eje de coordenadas
cartesianos x-y. Supongamos que una partícula está en el punto A en el instante t1
(Ver figura 1), su posición en el plano x-y queda determinado por el vector r1,
consideremos que en un instante posterior t2, la partícula está en el punto B, su
vector posición r2 queda determinado por un vector trazado desde el origen del
sistema de coordenadas hasta el punto B como se ve en la figura 1. Ahora el
FÍSICA I
PNF en Electricidad 12
vector desplazamiento que describe el cambio de posición de la partícula
conforme se mueve del punto A al punto B es r, donde r= r2 – r1.
(Figura 1)
Trayectoria de la partícula
y
x
Por lo tanto se puede definir el desplazamiento como la variación del vector
posición r= rf - ro
Desplazamiento = Posición Final – Posición inicial Desplazamiento = Variación del vector posición
Cuando la partícula vario su posición utilizo un tiempo y el tiempo
transcurrido para el movimiento entre esos puntos es t= (tf – to) de allí se
desprende que la velocidad media de la partícula durante ese intervalo de tiempo
queda definitiva por
V = )(
)(
scurridotiempotran
entodesplazami
t
v
Velocidad media
La cantidad V es un vector
V = )(
)(
Escalar
Vector
t
v
r= r2-r1
r1
r2
t1
t2
A
B
FÍSICA I
PNF en Electricidad 13
Vector Porque se obtiene dividiendo el vector desplazamiento entre el escalar tiempo.
Por consiguiente, la velocidad incluye tanto dirección y sentido como
magnitud. Su dirección y sentido son las de r y su magnitud es r/t, la magnitud
se expresa en unidades de distancias divididas entre unidades de tiempo.
La velocidad media no nos dice nada acerca de cómo fue el movimiento
entre A y B, la trayectoria puede haber sido curva o recta, el movimiento pudo
haber sido continuo o variante.
La velocidad media se refiere simplemente al desplazamiento total y al
tiempo total transcurrido.
Nota: Si la velocidad media resulta la misma en magnitud, dirección y sentido
entre dos puntos cualquiera a lo largo de la trayectoria, deduciríamos que la
partícula se había movido con una velocidad constante, esto es, siguiendo una
línea recta (dirección constante) y con una rapidez uniforme (magnitud constante)
Velocidad Instantánea:
Supongamos que una partícula se está moviendo de tal manera que su
velocidad media, medida en un gran número de intervalos de tiempos diferentes,
no resulta constante. Se dice que esta partícula se mueve con velocidad variable.
La velocidad puede variar porque cambia de magnitud o de dirección o de
sentido. Entonces tratar de determinar una velocidad de la partícula en un
instante dado cualquiera es lo que se llama velocidad instantánea.
En la figura 2 se puede observar que conforme B se va acercando al punto
A, encontramos que la relación del desplazamiento con respecto al tiempo
transcurrido, tiende a un valor límite definido, al ir haciendo cada vez más
pequeño el vector desplazamiento tiende a una dirección límite, la de la tangente a
la trayectoria de la partícula en el punto A. Este valor límite de v/t se llama
velocidad instantánea en el punto A.
FÍSICA I
PNF en Electricidad 14
t
rV
t
lim
0
La magnitud V de la velocidad instantánea se llama rapidez y es
simplemente el valor absoluto de V.
V = V = dr/dt
Como la rapidez es la magnitud de un vector, es intrínsecamente positiva.
Figura 2
Aceleración:
A menudo la velocidad de un cuerpo móvil cambia, ya sea en magnitud, en
dirección, o en ambas cosas, al efectuarse el movimiento, entonces se dice que el
cuerpo tiene una aceleración. (La aceleración de una partícula es la rapidez
con que cambia su velocidad al transcurrir el tiempo).
Supongamos que en un instante t1, una partícula se encuentra en el punto
A y se está moviendo en el plano xy con una velocidad instantánea V1, y en un
instante posterior t2 se encuentra en el punto B y moviéndose con una velocidad
instantánea V2.( ver figura 3)
Figura 3 y
x
y
At1
B’’
t2’’ B’
t2’
B
t2
r2’
r2
r’’2 r’’’
A v2
v2
t2
B
r’
r’’ r’’’
r
FÍSICA I
PNF en Electricidad 15
La aceleración media a , durante el movimiento de A a B, se define como el
cambio de velocidad dividido entre el intervalo de tiempo, o sea,
a = t
v
tt
vv
12
12
La cantidad a es un vector, porque se obtiene dividiendo un vector V
entre un escalar t. por consiguiente, la aceleración se caracteriza por magnitud,
dirección y sentido. Su dirección es la dirección de V y su magnitud es V/t
Aceleración Instantánea:
Si una partícula se esta moviendo de tal manera que su aceleración media,
medida en varios intervalos de tiempo diferentes, no resulta constante, se dice que
la partícula tiene una aceleración variable.
La aceleración puede variar en magnitud, en dirección, o en ambas cosas la
aceleración de la partícula en un instante cualquiera se denomina aceleración
instantánea.
La aceleración instantánea se define por la expresión.
a = dt
dv
t
v
t
lim
01
La dirección de la aceleración instantánea a es la dirección límite del
cambio vectorial de la velocidad v. la magnitud a de la aceleración instantánea
es simplemente a=dv/dt. Cuando la aceleración es constante, la aceleración
instantánea es igual a la aceleración media.
t1
X
FÍSICA I
PNF en Electricidad 16
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
La característica fundamental de un Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U)
es que su velocidad (Vector) es constante y por lo tanto su trayectoria es una línea
recta.
Es necesario recordar que la velocidad es un vector, por lo tanto posee
módulo, dirección y sentido.
Ejemplo 1
Consideremos un automóvil que se desplaza a través de una carretera,
como lo indica la figura 4.
Figura 4
Parte del punto A, donde Xo = O m y sigue su trayectoria en línea recta
sucesivamente hasta el punto F, donde Xr = 125m
Si se analiza cada tramo, encontramos que:
En el tramo “AB” Xo = Om
Xf = XB = 25m
to = 0S
Xo
Xo=25m Xc= 50m Xo=75m Xo=100m Xf=125m
A
B C D E F
AV VB VC VD VE VF
XAB=25m
t1=0S
t2=2S t3= 4S t4=6S t5=8S t6=10S
FÍSICA I
PNF en Electricidad 17
tf = tB =2S
Recordando que velocidad = Desplazamiento
Tiempo
Velocidad = tot
XX
f
f
0
VAB = smomm
/5,120525
25
Característica de la velocidad en el tramo AB es:
Módulo = 12,5 m/s
Dirección = Horizontal
Sentido = Hacia la derecha
En el tramo BC
Xo= XB= 25m t
rV
t
x
Xf = Xc = 50m
to = tB= 2S SS
mm
tot
XoXV
f
f
24
2550
tf= tc= 4S = 12,5 m/s
Característica de la velocidad en el tramo Bc
módulo = 12,5 m/s
Dirección = Horizontal
Sentido = Hacia la derecha
TRAMO CD Velocidad tramo CD
Xo = Xc = 50 m
Xf= XD =75m tot
XoXV
f
f
to = tc = 4S
FÍSICA I
PNF en Electricidad 18
tr = tp= 6S smSS
mmV /5,12
46
5075
Característica de la velocidad en el tramo CD
Módulo = 12,5 m/s
Dirección = Horizontal
Sentido = Hacia la derecha.
TRAMO DE Velocidad tramo de DE
Xo= XD= 75m t
rV
tot
xx
f
f
0
X1 = XE = 100m
to = tD= 6S smSS
mmV /5,12
68
75100
tf= tc= 8S = 12,5 m/s
Característica en el tramo de módulo = 12,5m/s
Módulo: 12,5m/s
Dirección = Horizontal
Sentido = hacia la derecha.
Tramo EF
Xo= XE= 100m t
rV
tot
xx
f
f
0
Xf = Xf = 100m
to = tE= 8S smSS
mmV /5,12
810
100125
tf= tf= 10S = 12,5 m/s
Característica de la velocidad en el tramo EF
Módulo = 12,5m/s, Dirección: Horizontal, Sentido: Derecha
FÍSICA I
PNF en Electricidad 19
En resumen comparando cada tramo se concluye que el automóvil,
mantuvo su velocidad constante, ya que su módulo, dirección y sentido no
variaron en ningún tramo, por lo tanto el automóvil posee un Movimiento
Rectilíneo Uniforme.
Si graficamos los valores de las distancia recorrida en cada tramo en función de su
tiempo empleado para cada uno encontramos que:
Distancia (m) Tiempo (s)
0m OS
25m 2S
50m 4S
75m 6S
100m 8S
125m 10S
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Y
T(S)
X (m)
180
Xo
Yo Xf
Yf Gráfica 1
m= Pendiente
FÍSICA I
PNF en Electricidad 20
La recta en la gráfica 1 nos indica que existe una relación directa entre las
distancia recorrida y los tiempos empleados.
Buscando la pendiente en la gráfica encontramos que
m= Pendiente
12
12
XX
yym
m= 125m – 50m = 12,5 m/s
105 - 45
La pendiente representa la velocidad del cuerpo.
De la gráfica podemos concluir que un cuerpo realiza movimiento rectilíneo
uniforme cuando recorre distancia iguales en intervalos de tiempo iguales.
Con los datos de la primera gráfica se puede construir una segunda gráfica, pero
ahora relacionando velocidad en función del tiempo.
Velocidad (m/s) Tiempo (s)
12,5m/s OS
12,5m/s 2S
12,5m/s 4S
12,5m/s 6S
12,5m/s 8S
12,5m/s 10S
Gráfica 2
V(m/s)
y
20 12,5 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t(s)
X
FÍSICA I
PNF en Electricidad 21
La gráfica 2 resultante es una recta paralela al eje de las X, su pendiente vale
cero.
Recordando que
m= pendiente
12
12
XX
yym
4565
/5,12/5,12
smsmm
m=0m/S2
Las unidades nos indica que la pendiente representa la aceleración, de allí
concluimos que en un Movimiento Rectilíneo Uniforme, no existe aceleración,
porque la velocidad se mantiene constante.
En la gráfica N° 2, se puede determinar la distancia total recorrida por el auto para
el ejemplo
Gráfica 2
El área que está debajo de la gráfica es un rectángulo
= base x altura
= 10S x 12,5 m = 125m
S
V(m/s)
y
12,5
15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 t(s)
X
FÍSICA I
PNF en Electricidad 22
Está área (125m) es numéricamente igual a la distancia total recorrida.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Ejemplo 2
Consideremos un vehículo que se desplaza por una carretera en línea recta como
lo indica la figura 5
Figura 5
A continuación analizaremos cada tramo para determinar las características de la
velocidad.
En la gráfica se puede ver que el tiempo en cada punto va variando de 1 segundo,
pero las distancias recorridas no son proporcionales con el tiempo.
Tramo AB Xo = XA=om
Xf = Xb=1,5m
to = tA=oS
tf = tB=1S
Como t
XV
Xo
XB=1,5m Xc= 6m XD=13,5m Xo=100m
A
B C D E
VB VC VD VE
tA=0S
tB=1S tC= 2S tD=3S tE=4S
FÍSICA I
PNF en Electricidad 23
t
xVV fo
2
Si el cuerpo partió de reposo, entonces su velocidad inicial vale cero.
t
xVV BoA
2
VB=
A
or
or Vott
XX
2
VB= smsm
Omm/32
/015
5,1
Característica de la velocidad den el tramo AB Módulo = 3m/s
Dirección: Horizontal
Sentido: Hacia la derecha
Tramo BC Xf= Xc= 6m
Xo= XB= 1,5m
tr= tc= 25
to= tB= 1S
Vo= VB= 3m /S
Como t
XV
or
rfo
tt
XXVV0
2
FÍSICA I
PNF en Electricidad 24
BC
BCCB
tt
XXVV
2
VC= B
BC
Bc Vtt
XX
2
Vc= 9m/s – 3m/s = 6m/s
Característica de la velocidad en el tramo BC Módulo = 6m/s
Dirección= horizontal
Sentido= hacia la derecha
Tramo CD XO= Xc= 6m
X1= Xd= 13,5m
to= tc= 25
tr – tD= 3S
Vo= VC= 6m /S
t
XV
or
ror
tt
XXVV 0
2
CD
CDCD
tt
XXVV
2
VC= C
CD
Bc Vtt
XX
2
FÍSICA I
PNF en Electricidad 25
VB= smSS
mm/62
23
65,13
Vo= 15m/s – 6m/s = 9m/s
Característica de la velocidad en el tramo CD
Módulo = 9m/s
Dirección= horizontal
Sentido= hacia la derecha
Tramo DE XO= XD= 13,5m
Xr= XE= 24m
to= tD= 3S
tr – tE= 4S
Vo= VD= 9m /S
t
XV
or
ror
tt
XXVV 0
2
oE
oEDE
tt
XXVV
2
VE= smSS
mm/92
34
5,1324
Vo= 21m/s – 9m/s = 12m/s
Característica de la velocidad en el tramo DE
Módulo = 12m/s
Dirección: Horizontal
Sentido: Hacia la derecha
FÍSICA I
PNF en Electricidad 26
Cuando se revisa todos los tramos por los cuales paso el vehículo y se compara
las velocidades, se puede observar, que las velocidades se mantuvieron constante
en dirección y sentido pero su módulo vario, por lo tanto el sistema está acelerado,
basta que cambie al menos una característica del vector velocidad para que se
produzca una aceleración.
En la figura 6, se puede observar que la velocidad aumenta cantidades iguales en
intervalos de tiempos iguales
Figura 6
VA=om/s
Ahora se analizará su aceleración en cada tramo
Tramo AB
Vo=VA= om/s or
or
tt
VV
t
Va
Vr=VB=3m/s
to=tA=OS 2/31
//3sm
OSS
somsma
tr=tB=1S
Característica de la velocidad en el tramo AB Módulo: 3m/S2 Dirección: Horizontal Sentido: Derecha
VB=3m/s Vc= 6m/s VD=9m/s VE=12m/s
V V V V
tA=0S
tB=1S tC= 2S tD=3S tE=4S
FÍSICA I
PNF en Electricidad 27
Tramo BC
Vo=VB= 3m/s of
of
tt
VV
t
Va
Vr=VC=6m/s
to=tB=1S 2/312
/3/6sm
SS
smsma
tr=tC=2S
Característica de la aceleración en el tramo BC Modulo: 3m/s2
Dirección : Horizontal
Sentido: Derecha
Tramo CD
Vo=VC= om/s of
of
tt
VV
t
Va
Vr=VD=9m/s
to=tC=2S 2/323
/6/9sm
SS
smsma
tr=tD=3S
Característica de la aceleración en el tramo CD Módulo 3m/S2 Dirección: Horizontal Sentido: Derecha
Tramo DE
Vo=VO= 9m/s or
or
tt
VV
t
Va
Vr=VE=12m/s
to=tD=3S 2/313
/9/12sm
SS
smsma
FÍSICA I
PNF en Electricidad 28
tr=tE=4S
característica de la aceleración en el tramo DE
Modulo: 3m/s2
Dirección : Horizontal
Sentido: Derecha
Comparando las aceleraciones del vehículo en cada tramo, se observa que
la aceleración se mantiene constante tanto en módulo, como en dirección y
sentido.
Si observamos la figura 6, se puede concluir que para que exista un
Movimiento Rectilíneo Uniformemente acelerado o retardado su velocidad
debe aumentar o disminuir cantidades iguales en intervalos de tiempos
iguales y, su trayectoria debe ser una línea recta.
Gráfica de distancia en función del tiempo de la Figura 5
Distancia (m) t (segundo)
0m t1=OS
1,5m t2=1S
6m t3=2S
13,5m t4=3S
24m t5=4S
FÍSICA I
PNF en Electricidad 29
Gráfica 4
Si se eleven al cuadrado los tiempos
Distancia (m) t (segundo2)
0m OS2
1,5m 1S2
6m 4S2
13,5m 9S2
24m 16S2
26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
X(m)
0 1S 2S 3S 4S 5S t(s)
Distancia en función del tiempo
La gráfica representa una semi
parábola
FÍSICA I
PNF en Electricidad 30
Gráfica 5
La gráfica 5 nos indica que existe una proporción directa de la distancia con los
tiempos al cuadrado, determinando la pendiente.
m= pendiente
m= 12
12
XX
yy
m= 2
22/5,1
49
65,13sm
SS
mm
como la X t2
X= kt2 , si m es igual a K
donde K= a2
1
28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
X(m)
0 2S2 4S
2 6S
2 8S
2 10S
2 12S
2 14S
2 16S
2 t(S
2)
Distancia en función del tiempo
al cuadrado
y2
=m
x2
y1
x1
FÍSICA I
PNF en Electricidad 31
Sustituyendo
1,5m/s2= a2
1
2( 1,5m/s2) = a
3m/s2=a
Si graficamos los datos obtenidos en la figura 6
Velocidad (m/s) Tiempo S
0m/s OS
3m/S 1S
6m/S 2S
9m/S 3S
12m/S 4S
Gráfica 6
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
V(m/S)
Velocidad en función
x2
y2
y1
x1
m=pendiente
FÍSICA I
PNF en Electricidad 32
En la gráfica Nº 6 vemos que existe una relación directa de la velocidad en función
del tiempo, además se puede observar que la velocidad aumenta cantidades
iguales en los intervalos de tiempo iguales.
Determinado la pendiente
m= 12
12
xx
yy
m= 2/314
/3/12sm
SS
smsm
Las unidades nos indica que se trata de la aceleración
Se tiene que V t
V = Kt
Como el vehículo partió del reposo Vo= Om/s
Vf= Vo + at
V = at
Donde la pendiente representa la aceleración y se trata de una aceleración
constante.
En la gráfica N° 6, se puede determinar el área.
0 1S 2S 3S 4S 5S T(S)
FÍSICA I
PNF en Electricidad 33
Gráfica 6
El área bajo la gráfica es un triángulo área de un triángulo
Base x altura
Área = 4 x 12 = 24
2
El área de la gráfica de la velocidad contra el tiempo es numéricamente
igual a la distancia total recorrido por el vehículo en el ejemplo 2.
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Y V(m/s)
0 1S 2S 3S 4S 5S 6s t(S)
m=pendiente
FÍSICA I
PNF en Electricidad 34
Deducciones de las ecuaciones para un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado
Cuando la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, el
cuerpo posee una aceleración constante, como consecuencia, la velocidad
aumenta o disminuye con la misma rapidez, en todo el movimiento.
Sabemos que:
of
of
tt
vva
Por conveniencia, sean t1=0 y tf cualquier instante arbitrario. También, sea
Vi = Vo (la velocidad inicial en t=0 ) y Vf=V (la velocidad en cualquier instante
arbitrario t) se puede expresar la aceleración como:
t
VoVa
V = Vo + at (despejando)
Una característica del movimiento unidimensional con aceleración
constante, es el hecho de que dado que la velocidad varía linealmente con el
tiempo (ver gráfica 6), se puede expresar la velocidad media en cualquier intervalo
de tiempo como la media aritmética de la velocidad inicial( Vo) y la Velocidad final
( V)
2
VVoV
(velocidad media para aceleración constante)
(variación de la velocidad) (Variación del tiempo)
FÍSICA I
PNF en Electricidad 35
Esta expresión sólo es válida cuando la aceleración es constante, es decir,
cuando la velocidad varía linealmente con el tiempo.
Como velocidad media se puede expresa de la siguiente manera:
t
xV
tVx (despejando el desplazamiento)
tVVo
x
2 (sustituyendo la velocidad media)
pero V = Vo + at (Esta ecuación representa la velocidad final de la partícula en
función del tiempo)
sustituyendo a la velocidad final en la ecuación del desplazamiento , tenemos:
2
)( tatVoVox
tatVox 22
1
)2(2
1 2atVotx
Xf-Xo=Vot+ 2
2
1at
2
2
1atVotXoXf
FÍSICA I
PNF en Electricidad 36
Esta ecuación representa la posición de la partícula en cualquier instante
Se puede obtener otra expresión útil que no contenga al tiempo
tVVoXoX )(2
1
como V= Vo+at
Despejando a “t”
ta
VoV
Sustituyendo en la primera expresión
a
VoVVVoXoX )(
2
1
VVoVVoVoVa
XoX 22
2
1
)(2
1 22 VoVa
XoX
22)(2 VoVXoXa
xaVoV 222
Esta ecuación representa la velocidad final de la partícula en función del
desplazamiento.
FÍSICA I
PNF en Electricidad 37
RESUMEN DE LAS ECUACIONES Para un Movimiento Rectilíneo Uniforme
Como la velocidad es constante, no existe aceleración en el sistema, la única
expresión matemática es:
dt
dxV o
t
xV
donde
V= Velocidad (m/s)
X= Distancia (m)
t= Tiempo (s)
Para un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado Para este tipo de movimiento, la aceleración se mantiene constante, y la
velocidad puede aumentar o disminuir linealmente en función del tiempo por lo
tanto se puede tener un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado o un
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado.
Si VF Vo se tiene Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
Si Vo Vf se tiene Movimiento Rectilíneo Uniformemente Desacelerado
Las ecuaciones son
VF= Vo a t
Vf2 = Vo
2 2ax
2
VfVoV
t
XV
tVfVo
V
2
FÍSICA I
PNF en Electricidad 38
Xf= Xo+Vot 2
2
1at
Se utiliza el signo más si se trata de un Movimiento Rectilíneo Acelerado y
signos menos si se trata de un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado
leyenda:
Vf= Velocidad final (m/s)
Vo = Velocidad Inicial ((m/s)
a= Aceleración constante (m/s2)
X= Variación del desplazamiento (m)
V = Velocidad Media (m/s)
t= Tiempo empleado
Resolución de Ejercicios
1) El movimiento de una partícula está definido por la
relación ,15
245 235 tttX , donde X está expresado en metro y t en
segundo. Determine a) la posición de la partícula para t1= 0S y t2= 1S b) El
desplazamiento de la partícula entre t2 y t1 c) La velocidad media entre t2 y t1
d) la velocidad instantánea para t1=0s y t2=1S e) la aceleración promedio para
el tiempo t2 y t1 f) La aceleración instantánea para t1=0S y t2=1S
Procedimiento
a) La posición de la partícula en cualquier instante viene dada por la relación,
,15
245 235 tttX si se quiere determinar su posición en cualquier tiempo,
simplemente se sustituye los valores del tiempo dado en la expresión dada.
Para t1=0S
,15
245 235 tttX
FÍSICA I
PNF en Electricidad 39
Posición X1
X1= m
1)0(
5
2)0(4)0(5 235
X1=-1m
Posición X2, para t2 = 1S
X2= m
1)1(
5
2)1(4)1(5 235
X2= m
1
5
245
X2= 0,4m
b) El Desplazamiento entre t2 y t1
Como desplazamiento = Variación del vector posición
X= Xr - Xo
Desplazamiento = posición final – posición inicial
Sustituyendo
X=(0,4m) – (-1,0m)=
X= 0,4m + 1m = 1,4m
c) La velocidad media V entre t2 y t1
V = Variación del vector posición
Variación del tiempo
01 tt
XXV or
SmSS
mmV /,1
01
)1()4,0(
FÍSICA I
PNF en Electricidad 40
d) Velocidad instantánea para t1= 0S y t2=1S
V= dt
dx Derivada de la posición en cualquier instante
En función del tiempo
Velocidad Instantánea
Sustituyendo
V =
dt
tttd 15/245 235
V= (25t4-12t2+4/5t) m/s representa la velocidad en cualquier instante evaluando
para t1=0S, en la ecuación anterior, se sustituye tiempo por OS.
V= 25(0)4-12(0)2+4/5(0)m/s
V= 0 m/s
Para t2=1S
V= 25(1)4-12(1)2+4/5(1)m/s
V= (25-12+4/5) m/s
V= 13,8 m/s
e) La aceleración media entre t2 y t1
a = V Variación de la velocidad
t Variación del tiempo
Sustituyendo
a = Vf-Vo = (13,8m/s) – (0 m/s) = 13,8 m/S2
tf-Vo 1S – 0S
f) La aceleración instantánea para t1=0S y t2= 1S
a= dv derivada de la velocidad en cualquier instante
dt en función del tiempo
FÍSICA I
PNF en Electricidad 41
aceleración instantánea
sustituyendo
a=
dt
tttd 5/41225 24
a= (100t3-24t+4/5) m/s2
está representa la aceleración en cualquier instante para el ejercicio dado
luego la aceleración para t1=0S y t2=1S, se consigue sustituyendo el tiempo para
cada valor.
Para t1= 0S
a= 100(0)3-24(0)+4/5m/s2
a=0,8 m/s2
para t1= 1S
a= 100(1)3-24(1)+4/5m/s2
a= (100-24+4/5) m/s2 = 76,8 m/s2
2) El movimiento de una partícula está definido por la relación
,)8302
5
3
5(
23
ftttt
X donde X está expresada en pies (ft) y t en segundos.
Determine el tiempo, la posición y la velocidad cuando la aceleración es
cero.
Procedimiento
a) ,)8302
5
3
5(
23
ftttt
X representa la posición en cualquier instante.
FÍSICA I
PNF en Electricidad 42
b) Velocidad se obtiene derivando la posición en cualquier instante en función del
tiempo.
V= dt
dx
Sustituyendo
,
8302/53/5 23
dt
tttdV
V= (5t2-5t-30) m/s, está expresión representa la velocidad en cualquier instante
c) La aceleración se obtiene derivando la velocidad en cualquier instante en
función en tiempo.
a= dv
dt
sustituyendo
dt
ttda
3055 2
a = (10t – 5) m/s2, esta expresión representa la aceleración en cualquier instante.
Como el ejercicio dice que determine la posición y la velocidad cuando la
aceleración vale cero, entonces se iguala a aceleración en cualquier instante a
cero y de allí se despeja el tiempo.
a= 10t – 5
0=10t –5, se despeja el valor del tiempo
5 = t, luego t= 0,5S
10
FÍSICA I
PNF en Electricidad 43
cuando el tiempo vale 0,5 S, la aceleración se hace cero.
Una vez obtenido el tiempo, se evalúa la posición y la velocidad para t= 0,5S
a= Posición en cualquier instante
X= ftttt
830
2
5
3
5 23
Para t= 0,5S
X= ft
8)5,0(30)5,0(
2
5)5,0(
3
5 23
X= (0,21-0,61-15+8) ft
X= (8,21-15,01) ft = -7,4 ft
b) La velocidad en cualquier instante
V= (5t2 –5t-30) m/s
Para t= 0,5S
V= [5(0,5)2-5(0,5)-30] m/s
V= (1,25 – 2,5 –30) m/s
V= -31,25m/s
3) Un adolescente tiene un auto que acelera a 3,20 m/s2 y desacelera a-
4,5m/s2. en un viaje a la tienda, acelera desde el reposo hasta 12 m/s, maneja
a velocidad constante durante 5,0S y luego se detiene momentáneamente en
una esquina. Acelera después hasta 18m/s, maneja a velocidad constante
durante 20S, desacelera durante 8/3S, continua durante 4,0S a está velocidad
y después se detiene. a) Cuanto dura el recorrido? b) ¿Qué distancia
recorre? c) ¿Cuál es la velocidad promedio del viaje? d) ¿Cuánto tardaría se
caminará a la tienda y regresa a ese mismo modo a,15m/s?
FÍSICA I
PNF en Electricidad 44
Procedimiento
Lo primero que se debe hacer, es realizar un esquema de lo expuesto
anteriormente
Lo que se debe hacer es analizar cada tramo, y buscar el tiempo y la distancia en
cada uno de ellos.
Tramo AB
Allí se trata de un Mov. Re. Unif. Acelerado (M.R.V.A.), donde VoVf, se tiene que:
Vo= 0m/s
Vf= Vb= 12m/s
a= 3,20m/s2 (dado en el ejercicio, cuando acelera)
Recordando que
a) Vf= Vo + at (Signo más, si es acelerado)
despejando t
t= Vf – Vo
a
Tab= 12m/s – 0m/s = 3,75s
3,20m/s2
b) Vf2= Vo2 + 2xa (Despejando la distancia)
X = Vf2-Vo
2
2a
Vo=om/s VB=12m/s Vc=12m/s Vo=0m/s VE=18m/s VF=18m/s VG=? VH=VG VF=0m/s
Punto de
Partida Tienda
punto
de
llegada
Acelera V=ctte desacelera acelera V=ctte desacelera v=ctte desacelera
FÍSICA I
PNF en Electricidad 45
Xab= (12m/s)2 – (0m/s)2
2(3,20m/s2)
Xab= 22,5m
Otra ecuación que se puede utilizar
Xab= Xo + Vot + 1 a t2ab
2
Tramo BC La particular se desplaza con velocidad constante desde el punto B hasta el punto
C, por lo tanto posee un M.R.U.
V = X X= Vt
t
Xbc= 12m/s 5s =60m
tbc= 5,0S (lo da el ejercicio)
Tramo CD El vehículo desacelera hasta que se detiene por lo tanto posee un Mov. Rect. Unif.
desacelerado.
Vo= Vc= 12m/s
Vf= VD= 0m/s
a= 4,5 m/s2 ( lo da el ejercicio, cuanto desacelera)
a) como Vf= Vo – at (el signo menos se utiliza cuando el cuerpo desacelera)
Despejando el tiempo (t)
t= Vo – Vf
a
FÍSICA I
PNF en Electricidad 46
tCD= 12m/s – 0m/s = 2,67s
4,5 m/s2
b) Vf2= Vo2 – 2xa (el signo menos, porque el mov. es desacelerado)
Despejando a “x “
X= Vo2 – Vf2
2a
sustituyendo
XCD= (12m/s)2 – (om/s)2 = 16m
2(4,5m/s2)
TRAMO DE
El vehículo parte del reposo y acelera hasta adquirir una velocidad de 18m/s. en
este tramo se tiene un Mov. Rect. Unif. Ace. (MRUA)
Donde
Vo=0m/s
Vf= VE= 18m/s
a= 3,20m/s2 (cuando el vehículo acelera, dado en el ejercicio)
Vf= Vo + at despejando t
t= Vf –Vo
a
sustituyendo
tDE= (18m/s) – (0m/s) = 5,63S
3,20m/s2
b) Vf2= Vo2 + 2xa despejando x
X= Vf2 – Vo2
2a
FÍSICA I
PNF en Electricidad 47
Sustituyendo
XDE= (18m/s)2 – (0m/s)2 = 50,63m
2(3,20m/s2)
Tramo EF
El vehículo mantiene su velocidad, durante 20S, por lo tanto en este tramo se
tiene un Movimiento Rectilíneo Uniforme.
V= X X= Vt
t
XEF= 18m/s 20S = 360m
TEf=20S (dado en el ejercicio)
Tramo FG
El vehículo desacelera hasta una velocidad desconocida y el tiempo que emplea
en adquirir esta velocidad es 8/3s. en este tramo se tiene un Mov. Rect. Unif.
desacelerado
Donde
Vo= Vf= 18m/s
Vr= Vo= ?
TFG= 8/3 s
a= 4,5 m/s2 (cuando el cuerpo desacelera dado en el ejercicio)
a) Vf= Vo – at (el signo menos, es porque el Mov. es desacelerado)
VB= Vf – atFG
Sustituyendo
VG= (18m/s) – (4,5ms2) (8/3s)
VG= 18m/s – 12m/s= 6m/s
FÍSICA I
PNF en Electricidad 48
b) luego
Vf2= Vo2 – 2xa despejando a “x”
XFG= (Vf)2 – (VG)2
2a
Sustituyendo
XFG= (18m/s)2 – (6m/s)2 = 32m
2(4,5m/s2)
TRAMO GH
El cuerpo mantiene la velocidad final que adquirió en el tramo anterior por 4
segundos el vehículo en este tramo posee movimiento rectilíneo uniforme.
V=x/t despejando a “x”
X=v.t
XGH= 6m/s.4s =24m
TRAMO HI
El vehículo desacelera hasta que se detiene, en este tramo el vehículo posee Mov
Rect. Unif: desacelerado
Vo=VH=VG=6m/s
Vf=VI=0m/s
a=4,5m/s2 (dado en el ejercicio cuando desacelera)
como:
Vf=Vo-at (Despejando el tiempo)
T=Vo-Vf
a
Sustituyendo:
t= Ssm
smsm34,1
/5,4
/0/62
FÍSICA I
PNF en Electricidad 49
Vf2= Vo2 –2xa
X= a
VVo f
2
22
X=
)/5,4(2
)/0()/6(2
22
sm
smsm 4 m
a)¿Cuanto dura el recorrido?
El tiempo total será igual a la suma de los tiempos en cada tramo
Tt=TAB+TBC+TCD+TDE+TEF+TFG+TGH+THI
Sustituyendo:
Tt=3,75S+5,0S+2,67S+5,63S+20S+8/3S+4S+1,34S=45,06S
b) ¿ Qué distancia recorre?
Xt=XAB+XBC+XCD+XDE+XEF+XFG+XGH+XHI
Sustituyendo
XT=22,5m+60m+16m+50,63m+360m+32m+24m+4m=569,13m
c) Cuál es la velocidad promedio del viaje?
sms
m
t
XV /63,12
06,45
13,569
d) ¿Cuánto tardaría si caminaría a la tienda y regresa a ese mismo modo a 1,5
m/s?
Supongamos que la persona camina a un ritmo moderado, de ser así
tendría, un Movimiento Rectilíneo Uniforme al llegar a la tienda y un Movimiento
Rectilíneo Uniforme al regresarse de la tienda.
Como V= X
t
FÍSICA I
PNF en Electricidad 50
y la distancia desde donde comienza el vehículo a la tienda la tenemos que es
569,13m, despegamos el tiempo
t= X= (569,13m) = 379,42s
V (1,5m/s)
Se tardaría en ir y en venir el doble
tT= 2(379,425) = 759s
4) Un automóvil que está parado en un semáforo acelera a 2,80 m/s2 al
encenderse la luz verde, 3,10 segundos después, un camión que se mueva a
una velocidad constante de 80,0 km/h se rebasa el automóvil.
El automóvil mantiene una aceleración constante hasta llegar a la velocidad
de 104 km/h y continua entonces a esa velocidad ¿Cuánto tiempo pasará
desde que se prendió la luz verde hasta que el automóvil se rebase al
camión? ¿estará el automóvil acelerado todavía o ya se moverá a velocidad
constante?
Se hace un esquema
y
X
Inicialmente el automóvil está en reposo, y a los 3,10 segundos de haber
acelerado, un camión que viaja a velocidad constante pasa al auto.
Se tiene que para el automóvil
Vo= 0m/s
a=2,80 m/s2
t= 3,10s
Durante ese tiempo el auto avanzo una distancia Xo1
Vo=om/s
FÍSICA I
PNF en Electricidad 51
Como Vf2= Vo2 + 2xa (signo + porque es el Mov. es acelerado)
Despegando a “x”
Xo1= Vf12-Vo
2
2a
Pero Vf1= ?
Vf= Vo + at
Vf1= 0m/s+(2,80m/s2) (3,10s)
Vf1= 8,68 m/s
Sustituyendo en X01
X01= (8,68m/s)2 – (0m/s)2
2(2,80m/s2)
X01= 13,5 m
Ubicando ambos en un esquema para el tiempo 3,10s
somVo / smV /68,81
smVc /22,22
El automóvil mantiene su aceleración hasta alcanzar una velocidad de 104km/h y
a partir de allí conserva esa velocidad.
Ahora el automóvil utilizo un tiempo para adquirir esta velocidad.
Utilizando la expresión
Vf= Vo + at
Vf= V1 + at despejando t
t= Vf – V1 sustituyendo
a
(MRUA)
(MRU)
13,5m
(0,0
)
FÍSICA I
PNF en Electricidad 52
t= (28,88m/s – 8,68 m/s)
2,80m/s2
t= 7,21S
y durante este tiempo el auto avanzo otra distancia.
Vf2= Vo2 + 2xa despejando a “x”
X= Vf2 – VA2
2a
X= (28,88m/s2) – (8,68 m/s)2
2(2,80m/s2 )
Xauto= 135, 48m
Xauto = 135,5m
XT= X01 + 135,5m = 13,5m + 135,5m = 149m
Otra forma de calcular la distancia total, desde el origen hasta que adquirió su
velocidad de 28,88m/s
X= Xo + Vot + 1 at2
2
X= 13,5m+ (8,68m/s) (7,21s) + 1 (2,80m/s2) (7,21S)2
2
X= 13,5 m + 62,58m + 72,77m
X= 148,85m
X= 149m
Para el camión que posee Movimiento Rectilíneo Uniforme
V= X/T despejando X= Vt
X= 22,22m/s . 7,21S
Xc= 160,20m
FÍSICA I
PNF en Electricidad 53
XTC= 13,5m + 160,20m = 173,7m
Y haciendo nuevamente el esquema.
Ahora ambos, se mueven a velocidad constante. Tomando como punto de
referencia el origen se tiene que la distancia que recorre el auto desde el origen al
punto de encuentro es exactamente igual a la distancia del origen del camión al
punto de encuentro.
Xta = XTC
Distancia total = Distancia total
del auto del camión
la distancia faltante se puede reemplazar utilizando la ecuación V= X
t
despejarlo X
X= Vt (Solamente para MRU)
149 + Vat = 173,m + Vct
ambos deben utilizar el mismo tiempo para llegar al punto de encuentro;
sustituyendo las velocidades de cada uno
149+28,28t= 173,7 + 22,22t
agrupando términos
smV /28,28
(MRU)
149m
Vo=0m/s
173,7m smV /22,22
X’’
Punto de
encuentro
(M.R.U.)
X
FÍSICA I
PNF en Electricidad 54
149-173,7 = 22,22 t – 28,28t
-24,7= (22,22 – 28,28) t
-24,7 = -(6,06) t
Despejando al tiempo
-24,7 t
-6,06
t= 4,07s
es el tiempo que tarda ambos en llegar al punto de encuentro, a partir del
momento en que ambos poseen velocidad constante o Movimiento Rectilíneo
Uniforme.
Como ya se encontró el tiempo, se puede determinar las distancias total de ambos
Xtauto= 149m + 28,28m 4,07 s
s
Xtanto= 264,1m
Xtcamión= 173,7m + 22,22m 4,07 s
s
Xtcamión= 264,1m
Comprobando que Xtc= Xta
El tiempo total, que transcurrió desde el origen del sistema de coordenada hasta el
punto de encuentro es:
tT= 3,10S + 7,21S + 4,07S
tT=14,38S
FÍSICA I
PNF en Electricidad 55
5) Desde un punto A se desplaza un vehículo a 80km/h y desde un punto B
se desplaza en sentidos contrario otro vehículo a 60km/h, la separación
entre A y B es de 560km calcular a) El tiempo que tarda en encontrarse b) La
distancia de A al punto de encuentro
Esquema
A smV OA /22,22 oAV VoB= 16,66m/s B
XA 560.000 - XA
560.000m
ambos vehículos poseen Movimiento Rectilíneo Uniforme, ya que sus velocidades
se mantienen constante en módulo, en dirección y en sentido.
El tiempo que emplea el auto A en llegar al punto de encuentro, debe ser el mismo
tiempo que emplea el auto B en llegar a ese mismo punto
Tap= TBp= t
Para el cuerpo A para el cuerpo B
V= X V= X
t t
X= Vt XB= VBt
XA= Vat 560.000m - XA= VBt
Sustituyendo XA en la ecuación del cuerpo B
560.000m – XA = VBt
560.000m – VAt = VBt
agrupando términos
560.000m= VBt + Vat (Sacando factor común t)
Punto de encuentro
Vo
FÍSICA I
PNF en Electricidad 56
560.000m= (VB + VA) t
Sustituyendo valores
560.000m= (16,66m/s + 22,22m/s) t
560.000m= (38,88m/s) t
despejando al tiempo
t= 560.000m = 14,40x103s
38,88m/s
este el tiempo que tardan ambos en cruzarse
luego XA= VAt
XA= 22,22 m/s 14,40m x 103s
XA= 320 X103m
XB= VBt
XB= 16,66m/s 14,40 x 103s
XB= 239,90 x 103m = 240 x 103m
Luego XT= XA + XB
XT= 320 x 103m + 240 x 103m
XT= 560 x 103m
FÍSICA I
PNF en Electricidad 57
6) Una particular se mueve con aceleración constante y recorre el espacio
que separa dos puntos distantes de 54m en 6S su velocidad cuando pasa
por el segundo punto es de 13,5m/s ¿Cuál es su aceleración y velocidad en
el primer punto?
Esquema
Partiendo de la velocidad media V
t
XV
Como la aceleración es constante, la velocidad media, se pudo expresar como
media aritmética de la velocidad inicial y final.
2
VfVoV
desde el punto 1 hasta el punto 2 para el ejercicio la Vo = V1 (en el punto 1) y la
Vf= V2 (en el punto 2)
sustituyendo
t
XV
t
XVfVo
2
t
XXVV
1221
2
Despejando la velocidad en el punto 1
212
1 2 Vt
XXV
Punto Punto
1 2
V2= 13,5 m/s
t12= 6S
(0,0) X12=54m
?1 V
FÍSICA I
PNF en Electricidad 58
Sustituyendo,
smss
mmV /5,13
06
20541
V1= 4,5m/s
Como la aceleración es constante, va a tener el mismo valor en cualquier punto.
Por lo tanto desde el punto 1 hasta el punto 2.
Vf= Vo + at (V2 > V1)
V2= V1 + at12 despejando la a
12
12
t
VVa
sustituyendo los valores
2/5,16
/5,4/5,13sm
s
smsma
si la partícula partió del reposo, ¿cuál es su distancia total desde ese punto
(origen) hasta el punto 2 ?
Viendo el esquema, desde el punto 0 hasta el punto 1
Vo= 0m/s
Vf = V1= 4,5 m/s
a= ctte = 1,5 m/s2
como Vf = Vo + at despejando t
a
VoVt
1
01
sustituyendo
ssm
smsmt 3
/5,1
/0/5,4201
luego Xf = Xo + Vot + 1 at2
FÍSICA I
PNF en Electricidad 59
2
X01= 0m + 0m/st + 1/2 (1,5m/s2) (3s)2
X01= 6,75m
Desde el punto 1 al punto 2
Vf22= V1
2 + 2X12 a despejando X12
a
VVfX
2
2
1
2
212
sustituyendo
)/5,1(2
)/5,4()/5,13(2
22
12sm
smsmX
X12= 54m
Entonces
XT= X01 + X12
XT= 6,75 m + 54m
XT= 60,75m
Otra manera de determinar XT
XT= Xo + Vot + 1 a tT2
2
donde tT= t01 + t12
tT = 3s + 6s = 9s
sustituyendo el valor de t
XT= 0m + om/st + 1 (1,5m/s2) (9s)2
2
XT= 60,75m
FÍSICA I
PNF en Electricidad 60
7) El tiempo de reacción de un conductor medio de un automóvil es
aproximadamente 0,75 (el tiempo de reacción es el intervalo que transcurre
entre la percepción de una señal para detenerse y la aplicación de los
frenos). Si un automóvil puede experimentar una desaceleración de 4,8m/s2.
Calcule la distancia total antes de detenerse una vez percibida la señal,
cuando la velocidad es de 30km/h.
Esquema
Analizando el ejercicio por segmento, se tiene que:
Del segmento A hasta el segmento B
Se tiene a una persona que va en un vehículo con una velocidad de 8,33m/s; ve
una señal, y tarda 0,7S en colocar los pies en el freno, pero durante 0,7s se
desplazo una distancia dada y mantuvo la velocidad
Por lo tanto desde el segmento A hasta el segmento B, posee un Movimiento
Rectilíneo Uniforme
Como V= X = X= Vt
t
XAB= VtAB
XAB= 8,33 m 0,7s = 5,83m
s
Del Segmento B hasta el Segmento C En el punto B la persona aplica los frenos y el vehículo pierde velocidad
hasta que se detiene, pero en el momento de aplicar los frenos, el vehículo tiene
una velocidad de 8,33 m/s.
Vo= 8,33m/s
VB= 8,33m/s
Vc= 0m/s
X (0,0)
A B C
Percibe la señal Aplica los frenos Se detiene
FÍSICA I
PNF en Electricidad 61
Como Vf < Vo y el cuerpo además se desplaza en línea recta, se tiene un
Movimiento Rectilíneo Uniformemente desacelerado.
Recordando que: Vf2= Vo2 – 2xa (Desacelerado)
Despejando a “X “
a
VVoX
2
2
1
2
BC
CBBC
a
VVX
2
22
Sustituyendo
)/8,4(2
)/()/33,8(
2
22
sm
somsmX BC
XBC= 7,23m
Luego XT= XAB + XBC
XT= 5,83 m + 7,23m = 13,06m
8. Una particular material se desplaza en línea recta con una velocidad V= (3t
+ 5) m/s, para t= 0s la partícula se encuentra en el punto Po= (2,0). Calcular:
a) La posición de la partícula en cualquier instante, b) El desplazamiento de
la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre t1 = 2s y t2= 5s.
Es necesario recordar que se parte de la posición de una partícula y se
deriva, se determina la velocidad de esa partícula, pero si derivamos la
velocidad obtendremos su aceleración, por supuesto todo en función del
tiempo.
X’ V’ a
Pero podemos utilizar las herramientas matemáticas para ir en un proceso
contrario, es decir, hacia atrás.
FÍSICA I
PNF en Electricidad 62
Si se integra la aceleración, obtendremos la velocidad y si integramos la
velocidad obtendremos la posición
X V a
Integrando
Integrando
En el ejercicio nos dan la velocidad en cualquier instante y nos piden la posición
X V
Por lo tanto debemos integrar la velocidad en cualquier instante partiendo de:
V = dx
dt
V dt = dx se integra en ambos lados
xf
Xo
dxVdt
luego se sustituye la V por la velocidad en cualquier instante
xf
Xo
dxdtt )53(
xf
Xo
dxdtctte
dtctte
t 53
xf
Xo
dxdttdt 53
3t2 + 5t = Xf – Xo despejando Xf
2
Xf = Xo + 3t2 + 5t representa la posición en cualquier instante
FÍSICA I
PNF en Electricidad 63
2
pero inicialmente se tiene que Po = posición inicial
Xo=2m e Yo=0m
P = (2, 0) , sustituyendo a Xo en la ecuación XF
Xf = (2 + 3t2 + 5t) m
2
Evaluando la posición para cada tiempo
a) Posición para t1 = 2s
Xf = (2 + 3t2 + 5t) m
2
se sustituye a t por 2 s
Xf = (2 + 3(2)2 + 5(2)) m
2
Xf = 18m
b) Posición para t2 = 5 s
Xf = (2 + 3t2+5t) m
2
Se sustituye a t por 5 s
Xf = (2 + 3(5)2 + 5(5)) m
2
Xr = 64,5 m
El desplazamiento ( X) entre t1 y t2
X= Variación del vector posición
X= Xf – Xo
X= (64,5m)- (18m) = 46,5m
9) Un punto se mueve con la velocidad Vx = (5t) m/si e Vy= (t2-2) m/sj, Si para
t= 0s el móvil se encuentra en Po = (2,5) m. Calcule a) la posición, b) la
velocidad, c) la aceleración para todos a los 4S.
FÍSICA I
PNF en Electricidad 64
Se puede trabajar primero para un eje y luego para el otro eje.
Para el eje de las X
Se tiene Vx= (5t) m/s i
Debemos recordar que
X’ V’ a
Pero si integra desde la aceleración, se obtiene que
X V a La integral de la aceleración nos da la velocidad
La integral de la
Velocidad nos da la posición
a) Si se tiene la velocidad y se quiere buscar la aceleración, simplemente
derivamos la velocidad
V’ a’
a= dv derivamos la velocidad en cualquier instante
dt en función del tiempo
a= d (5t)
dt
a= (5m/s2) i
b) Si se tiene la velocidad y se quiere buscar la posición, se debe integrar la
velocidad
V = dx
dt
V dt = dx (se integra a ambos lados)
dxVdt
xf
Xo
dxctte
tdt5
FÍSICA I
PNF en Electricidad 65
xf
Xo
dxtdt5
5t2/2= Xf – Xo despejando a Xf
Xf = (Xo + 5t2/2) m posición en cualquier instante
Pero Xo = 2 m
Xf = (2+5t2/2) m
Evaluando para t = 4s
Xf = 2 + 5(4)2 tm
2
Xf = 42m
c) La velocidad a los 4s
V = (5t) m/s , se sustituye a t por 4s
V= 5(4) m/s = 20 m/s
Para el eje de las y, se tiene que
Vy = (t2 –2) m/s j
a) Para determinar la velocidad a los 4s, solamente sustituimos a t por 4s
Vy = (4)2 - 2 m/s = 14 m/s
b) Para determinar su aceleración, derivamos la velocidad en función del tiempo.
a= dv Velocidad en cualquier instante
dt en función del tiempo
22
/22
stmdt
tda
luego la evaluamos para t= 4s
a = 2(4) m/s2 = 8 m/s2
c) Para determinar su posición, integramos la velocidad
V = dx
dt
FÍSICA I
PNF en Electricidad 66
Vdt = dx integramos a ambos lados
xf
Xo
dxVdt sustituimos a V por la velocidad en cualquier instante
xf
Xo
dxdtt )2( 2
xf
Xo
dxdtctte
dtt22
xf
Xo
dxdtdtt 22
or XXtt
23
3
despejando a Xf
Xf = (Xo + t3 – 2t) m
3
pero Xo = Yo = 5m y Xf = Yf
Yf = (5 + t3 – 2t) m posición en el cualquier instante
3
evaluando para t= 4s
mYr
)4(2
3
)4(5
3
Yf= 18,33m j
10) Una partícula se mueve con una aceleración a= (2ĩ - 1ĵ) m/s2, para t=0s la
partícula se encuentra en el punto (0,0) con una velocidad Vo = (1ĩ + 2 ĵ) m/s,
calcular a) La velocidad de la partícula en el instante t=5s b) La posición de
la partícula para t= 0s; c) ¿Con que velocidad media se ha desplazado la
partícula en el intervalo t= 0s a t= 5s?
FÍSICA I
PNF en Electricidad 67
Datos
a= (2 ĩ - 1 ĵ) m/s2
t= 0s
Xo Yo
Po = ( 0 ĩ, 0 ĵ) m
Vo = (1 ĩ + 2 ĵ) m/s
a) Vr = ? t= 5s
La información de la aceleración y de la velocidad inicial, está expresado
vectorialmente
Recordamos que
Vr = Vo + at
Sustituimos los valores de Vo y a
Vr= (1 ĩ + 2 ĵ ) m/s + (2 ĩ - 1 ĵ ) m/s2 t
Está ecuación nos representa la velocidad final en cualquier instante.
Para Vr=? En el instante t= 5s, lo que se hace es sustituir a t por 5s
Vr= (1 ĩ + 2 ĵ) m/s + (2 ĩ - 1 ĵ)m 5s
s2
Vf= (1 ĩ + 2 ĵ) m/s + (10 ĩ - 5 ĵ ) m/s
Se suman los vectores
Vf = (11ĩ - 3 ĵ ) m/s
Vx Vy
Su modulo Vf
22 )()( VyVxVf
smsmsmVf /40,11)/3()/11( 22
b) La posición para t= 0s
la posición se puede expresar como
Xf= Xo + Vot + 1 at2
2
FÍSICA I
PNF en Electricidad 68
sustituyendo los valores
Xf= Xo + (1 ĩ + 2 ĵ ) mt + 1 (2 ĩ - 1 ĵ ) m t2
S 2 S2
Está ecuación nos representa la posición en cualquier instante.
Luego para t=0S, donde este t se sustituye para 0S
Xr= Xo + (1 ĩ + 2 ĵ) m (0)s + 1 (2 ĩ - 1 ĵ) m (0S)2
S 2 S2
Información que da el ejercicio se puede verificar este resultado.
Para t= 0S, la partícula se encuentra en X=0 m o y=Om
c) Para t= 5S
Xr= Xo + (1 ĩ + 2 ĵ) m 5s + 1 (2 ĩ - 1 ĵ ) m (5S)2
S 2 S2
Xr= Xo + (5 ĩ + 10 ĵ ) m + (25 ĩ - 12,5 ĵ ) m
Se suman los vectores
Xr= (30 ĩ – 2,5 ĵ)m, esta ecuación representa la posición a los 5 S.
d) Velocidad media V
totr
XoXr
t
XV
SS
msmjV
05
)0(/)5,2 i30(
smji
V /5
5,2
5
30
, sm
Vy
j
Vx
iV /
5,06
FÍSICA I
PNF en Electricidad 69
Movimiento Vertical Libre
Se ha comprobado experimentalmente que, cuando un cuerpo cae bajo la
acción de la gravedad una distancia relativamente corta de unos cuantos metros,
el movimiento es uniformemente acelerado. Esta aceleración es la misma para
todos los cuerpos, se denota con la letra g y se conoce como aceleración de
gravedad. Por supuesto, si el movimiento es hacia arriba la aceleración es la
misma (es decir, hacia abajo) pero el movimiento es desacelerado. Estas
afirmaciones son correctas siempre y cuando podamos despreciar los efectos
debidos a la resistencia del aire, y por lo tanto se puede aplicar a cuerpos
compactos cuando se mueven verticalmente a distancias no mayores de unos
cientos de metros.
El valor de g varía de un lugar a otro, pero siempre está cercano a 9,8m/s2.
El vector g está dirigido hacia abajo, hacia el centro de la tierra. Cuando se
emplea la expresión caída libre, no solamente se refiere a un objeto que se deja
caer a partir del reposo.
Un objeto en caída libre es uno cualquiera que se mueve libremente bajo la
influencia de la gravedad, sin importar su movimiento inicial.
Todos aquellos objetos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, y los que
se dejan caer a partir del reposo caen libremente una vez que se dejan en
libertad.,es importante reconocer que cualquier objeto en caída libre experimenta
una aceleración dirigida hacia abajo sin importar el movimiento inicial del objeto.
Un objeto lanzado hacia arriba o hacia abajo experimentará la misma
aceleración que uno liberado desde el reposo. Una vez que se encuentren en
caída libre, todos los objetos tendrán una aceleración hacia abajo igual a la
aceleración debida a la gravedad.
FÍSICA I
PNF en Electricidad 70
Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración
gravitacional no varía con la altitud, entonces el movimiento de un objeto en caída
libre equivale al movimiento en una dimensión, con aceleración constante. Se
denotará la dirección vertical como el eje de la y, y se considerará y positiva la que
va dirigida hacia arriba, las coordenadas se pueden reemplazar x por y en las
ecuaciones de cinemática.
Puesto que y es positiva hacia arriba la aceleración es negativa (hacia
abajo) y queda que a= -g, el signo negativo indica que la aceleración es hacia
abajo.
EJEMPLO:
Consideremos un cuerpo que es lanzado desde el suelo, con una velocidad
inicial diferente de cero
Esquema
Figura 7
A medida que el cuerpo se aleja del punto “A” su velocidad va
disminuyendo hasta llegar al punto “B”, donde su velocidad se hace cero, luego
comienza a descender y va adquiriendo velocidad hasta llegar al punto C, con la
misma velocidad con que fue lanzado, pero en sentido contrario.
Cuando el cuerpo va desde el punto A hasta el punto B, posee un
Movimiento Desacelerado (va en contra de la aceleración de gravedad) y cuando
y
+
Vo0
A C
Ymax
tc=tv
x
+
B VBF=m/s
tB= tmax
g
FÍSICA I
PNF en Electricidad 71
va desde el punto B hasta el punto C posee un Movimiento Acelerado (Va a favor
de la aceleración de gravedad).
Como la aceleración de gravedad tiene un valor constante y el movimiento
se realiza en el eje de las Y, lo que se debe hacer es utilizar las mismas
ecuaciones ya deducidas para M.R.U.A. pero con la salvedad de cambiar a por g y
x por y.
Ecuaciones
a) Xf= Xo + Vot 1at2
2
Yf= Yo + Vot 1 g t2
2 (Ecuación de la posición en cualquier instante)
b) Vf= Vo at
Vf= Vo gt (Ecuación de la velocidad en función del tiempo)
c) Vf2= Vo2 2Xa
Vf2= Vo
2 2yg (ecuación de la velocidad en función de la posición)
Cuando el cuerpo este subiendo se utiliza el signo menos (-) y cuando el cuerpo este
bajando se utiliza el signo (+).
En la figura 7, se observa que cuando el cuerpo llega al punto más alto, su
velocidad se hace cero, este tiempo que emplea el cuerpo desde que se lanza
hasta llegar al punto más alto se denomina tiempo máximo.
Como
Vf = Vo – gt (el cuerpo sube)
Desde el punto A hasta el punto B
FÍSICA I
PNF en Electricidad 72
VB= VA – gt, pero VB= 0m/s
Despejando a t
t= VA
g
t= tiempo máximo = tmax
tmax = Vo Velocidad inicial
g Aceleración de gravedad
Tiempo máximo
Pero el tiempo que tarda el cuerpo en subir es el mismo tiempo que tarda el
cuerpo en bajar y a este tiempo que tarda el cuerpo desde que se lanza hasta
llegar al mismo nivel donde es lanzado, se conoce como tiempo de vuelo.
Sustituyendo
tv= 2tmax
tv= 2
g
Vo
La distancia vertical que adquiere la partícula desde que se lanza hasta
llegar al punto más elevado, donde VB= 0m/s, se llama altura máxima.
Partiendo desde A hasta B
Vf2= Vo
2 – 2yg (El cuerpo sube)
En el punto más elevado Vr=VB= om/s
0= VA2 – 2YAB g (despejando YAB)
YAB= VA2 , donde VA=Vo
2g YAB= Ymax
Ymax= (Vo)2
2g
Altura máxima
FÍSICA I
PNF en Electricidad 73
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 1) Desde que altura se soltó un cuerpo si se sabe que en el último segundo
recorrido 35m
Procedimiento Como el cuerpo se solto, su velocidad inicial vale cero Se hace un esquema La posición para un cuerpo en cualquier instante
Y= Yo + Vot 1 gt2
2
el tiempo total = lt sería el tiempo que tarda el cuerpo en llegar al punto B más el
tiempo que tarda desde el punto B hasta el punto C
tt=tAB+tAB
la altura total que descendió el cuerpo es Yt= Y1 + Y2 ; donde Y2= 35m
sustituyendo a YT y Y1,por sus ecuaciones respectivas
o o
YT= Yo + Vot + 1gt2T
2
o o
Y1= Yo + Vot + 1 gt2AB
2
A
B
C
VoA=om/s
y1=?
y2= 35m
tBC=1S
FÍSICA I
PNF en Electricidad 74
nos queda
YT= Y1 + 3S
1 g t2T= 1 gt2AB + 3S
2 2
tT= tAB + tBC
luego
4,9 (tAB + tBC)2 = 4,9 tAB2 + 35
Desarrollando el producto notable
(AB)2= A2 2AB + B2
(tAB + tBC)2= (tBC)2 + 2 (tBC) (tBC) + (tBC)2
A B
Donde tBC= 1s
(tBC)2 + 2 tBC + 1
Luego
4,9 (tAB)2 + 2tAB + 1 = 4,9 (tAB)2 + 35
4,9 (tAB)2 + 9,8 tAB + 4,9 = 4,9 (tAB)2 + 35
Despejando al tAB
tAB = 35 - 4,9 = 3,07S
9,8
tt= tAB + tBC
luego la altura a la cual se solto es la altura total
YT = 1 g t2T
2
YT = 1 9,8 m/s2 (4,07S) 2 = 81,17 m
2
YT = 81,18m
FÍSICA I
PNF en Electricidad 75
2) Se deja caer una piedra en un pozo profundo y se observa que el sonido del choque con la superficie interior se escucha a los 8 segundos, después de haber soltado la piedra ¿Cuál es la profundidad del pozo? La velocidad del sonido en aire seco es 331m/s Esquema
- Como la piedra se deja caer su velocidad inicial vale cero
- Los 8 segundos representa el tiempo que la piedra tarda en tocar lo
profundo del pozo más el tiempo que tarda el sonido que hace la piedra en
llegar nuevamente al punto A.
Por lo tanto
tT= tAB bajada + tBasubida sonido
La distancia del pozo (profundo del pozo) es la misma distancia que recorre la
piedra desde el punto A hasta el punto B
Ypozo = YpiedraAB
Para la piedra
o
Y= Vot + 1 gt2ABbajada
2
Y = 1 g tab2
Vo= om/s
“tin” el sonido
A
B
yT
(0,0) X
Y
FÍSICA I
PNF en Electricidad 76
2
Pero la distancia que recorre el sonido desde el punto B hasta el punto A en subir,
es la misma distancia que recorre la piedra desde el punto A al punto B en bajar y
ambas representan la profundidad del pozo.
Como el sonido viaja a velocidad constante, realiza un Movimiento Rectilíneo
Uniforme.
Para el sonido
V= X
t
Sustituyendo
Vs= BAS
BA
t
Y (tiempo que tarda en subir)
Despejando YBA
YBAS = Vs ts
YBAS= 340 m ts
s
Como YS sonido = YAB piedra = YTpozo
Ys= Yp
Vsts= 1 g tab2
2
pero tT= tAb + ts Despejando ts
ts= tT - tAb
Vs (tT - tAb) = 1 g tab2
2
Dando valores
FÍSICA I
PNF en Electricidad 77
340 (8 – tAb) = 4,9 tAb2
2720 – 340tAb = 4,9 tAb2
igualando la ecuación a cero
4,9 tab2 + 340tab – 2720 = 0
A B C
Se tiene una ecuación de 2do. grado
tAb= a
acbb
2
42
sustituyendo
tAb= )9,4(2
)2720)(9,4(4)340(340 2
tAb= -340 + 411
9,8
tAb= -340 + 411 = 7,24S
9,8
luego verificamos
Ypiedra = 1 g (tab)2
2
Ypiedra = 1 9,8m/s2 (7,24S)2
2
Ypiedra = 257m
Para el sonido
ts= tT – tab
ts= 8S – 7,24S = 0,756S
Ys= Vs ts
Ys= 340m 0,756 S = 257m
S
La profundidad del pozo es 257m
FÍSICA I
PNF en Electricidad 78
3) Se lanza una piedra hacia abajo verticalmente desde una altura de 80m con una velocidad inicial de 5m/s y 2 segundos después se lanza en el mismo sentido y desde el mismo punto otra piedra de tal manera que ambas llegan juntas al suelo. ¿Cuál es la velocidad inicial de la piedra? Esquema
Si ambas llegan juntas al suelo, se tiene que la distancia y1 = y2= 80m.
Además, la piedra uno se lanzo primero y 2 segundos después lanzaron a la
piedra dos, esto nos indica que la piedra uno utilizo un tiempo “t” y la piedra utilizó
un tiempo “t” menos 2 segundos
t1= t
t2= (t-2) s para la piedra 1 para la piedra 2
como yr= yo + Vot 1 g t2
2
para la piedra uno
y1= Vo1t + 1 g t2
2
80 = 5t 9+ 4,9 t2
igualando a cero
4,9t2 + 5t – 80 = 0
yT
1 Vo1= 5m/s
y1 y2
1 Vo2= ?
Suelo
FÍSICA I
PNF en Electricidad 79
Se tiene una ecuación de 2do grado donde
A= 4,9
B= 5 t= a
acbb
2
42
C = -80
Sustityendo los valores en la ecuación de 2do. grado
t= )9,4(2
)30)(9,4(4)5(5 2
t= -5 40
9,8
t = -5 + 40 = 3,56S
9,8
luego t2= (t-2)s
t2= 3,56S – 2 S = 1,56S
y ese es el tiempo que tarda la piedra dos en llegar al suelo
para la piedra, tenemos que
Y = Yo + Vot 1 gt2
2
80 = Vo2 (1,56) + 1 (9,8) (1,56)2
2
80= Vo2 (1,56) + 11,92
despejando a Vo2
Vo2 = 80 – 11,92 = 43, 63m/s
1,56
comprobando que:
Y2 = Y1
Vo2 t2 + 1 g t22 = Vo1t + 1 g t2
FÍSICA I
PNF en Electricidad 80
2
(43,63m/s) (1,56s) + 49m/s2 (1,56s)2 = 5m/s 3,56s +4,9m/s2 (3,5gs)2
79,98m = 79,90m
80m= 80m
4) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba desde la azotea de un
edificio con una velocidad de 75m/s si el proyectil llega al suelo después de
19s de iniciado el mov. Determine a) la altura máxima que alcanza el
proyectil b) La última del edificio c) La velocidad con que llega al suelo.
Esquema
a) Altura máxima (Ymax)
la distancia vertical que alcanzo el proyectil desde donde se lanzo hasta llegar al
punto más elevado, donde su Vr = om/s representa su altura máxima
Ymax = YAB
Ymax = g
Vo
2
)( 2
Sustituyendo
Ymax = msm
sm287
)/8,9(2
)/75(2
2
VoA = 75m/s
YT Ye
C
Ymav
B
FÍSICA I
PNF en Electricidad 81
b) Altura del edificio (ye)
YT= YBC
YT= Vot + 1 g t2
2
YT=VoB + 1 g t2BC pero en el punto B VB= 0m/s
2
YT= 1 g t2BC
2
Donde tBC = es el tiempo que tardo el proyectil en recorrer el punto B hasta C.
Como los 19 segundos representan el tiempo que tarda el proyectil en ir desde el
punto A hasta el punto B y desde el punto B hasta punto C.
tT= tAB + tBC
Tiempo total = tiempo en subir + tiempo en bajar,
Pero el tiempo que tarda la partícula desde que se lanza hasta llegar al punto más elevado se conoce como tiempo máximo tAB= tmax
tAB= (Vo)
g
sustituyendo
tAB= 75m/s = 7,65s
9,8m/s2
además
tT= tAB + tBC despejando tBC
tBC= tT - tAB
tBC= 19s - 7,65S = 11,35S
se puede conocer YT
YT = 1 g (tBC)2
FÍSICA I
PNF en Electricidad 82
2
YT = 1 (9,8m/s2)(11,35S)2 = 631,23m
2
viendo el esquema
YT= Ymax + Ye
Despejando la altura del edificio (ye)
ye= YT - Ymax
ye= 631,23m – 287m = 344,23m
c) La velocidad con que llega al suelo desde el punto B hasta el punto C
Vo = VB = 0m/s
Vr= Vo + s t (proyectil va a favor de la aceleración de gravedad) Vr = om/s + 9,8m/s2 (11,35s)
Vr = 111,23m
5) Un cohete es disparado verticalmente siendo su aceleración constante por
espacio de 3 minutos, cuyo valor es 17m/s2 al cabo de los cuales se le agota
el combustible y sigue subiendo como partícula libre. Determine la altura a la
cual llegar?, b) el tiempo que estuvo en el aire?
Esquema
B
A D
C
YT
Con
combustible
sin
combustible
FÍSICA I
PNF en Electricidad 83
Desde el punto A hasta el punto B (subiendo) Desde el punto A hasta el punto el B, el cohete posee una aceleración de 17m/s2
que le imprime sus motores, como el cohete partió del reposo esta acelerado
Vr= Vo + at
VB = VoA + a tAB
Y el tiempo que dura su aceleración es de 3 min, a partir de allí, no posee combustible y luego se comporta como una partícula libre sometida a la aceleración de gravedad VB = om/s + 17m 180s = 3060 m/s
S2
Luego desde el punto B hasta C, pierde velocidad, hasta que su velocidad en el punto C, se hace cero Vr = Vo – gt
Vc = VB – gtBC
tBC= VB = 3060 m/s = 312,24s
g 9,8 m/s2
la distancia desde el punto B hasta el punto C
Vf2= Vo2 – 2yg (subiendo)
Vc2= VB2 – 2gyBC
YBC = VB2
2g
YBC= (3060m/s)2 = 477,73x103m
2(9,8m/s2)
la distancia desde el punto A al punto B
Vf2 = Vo2 + 2ya
VB2 = VoA + 2YAB a
YAB= (VB)2
2a
YAB= (3060 m/s)2 = 275,4x103m
2(17 m/s2)
FÍSICA I
PNF en Electricidad 84
La distancia total YT= Yab + Yab
YT= 477,73x103m + 275,4x103m
YT= 753,13 x 103m
Cuando el cohete llega al punto C, su velocidad se hace cero y comienza a
descender la distancia que desciende es 753,13 x 103m
Si YT= Vot + 1 g t2
2
YT= Voct + 1 g t2CD
tCD= g
yT2
tCD= 2
3
/8,9
)1013,753(2
sm
mx
El tiempo que estuvo el cohete en el aire será:
tT=tAB + tBC + tBC + tCD
tT= 180s+312,24S + 392,05S = 884,29S
FÍSICA I
PNF en Electricidad 85
MÓDULO II
MOVIMIENTO
BIDIMENSIONAL
FÍSICA I
PNF en Electricidad 86
Movimiento Parabólico o Movimiento de un Proyectil Se trata de un movimiento en dos dimensiones de una partícula disparada
oblicuamente en el aire como por ejemplo el movimiento de una pelota que es
pateada en un campo de fútbol o el movimiento de una pelota en una cancha de
voleibol o la trayectoria a que sigue una pelota cuando es golpeada por un bate en
un campo de béisbol.
En todo momento se supone que la aceleración de gravedad es constante
en la cercanía de la tierra, además se desprecia el efecto de la resistencia del aire
y la rotación que efectúa la tierra no afecta este tipo de movimiento. Nos
encontraremos que el recorrido que sigue el proyectil o los cuerpos en estas
condiciones en una parábola.
Si se elige un sistema de referencia de modo que la dirección “z” sea
vertical y positiva hacia arriba, además supongamos que en un instante inicial “t”
o s el proyectil deja el origen Xo=zo=0, con una velocidad inicial Vo y que el vector
Vo forma un ángulo con la horizontal como se indica en la figura 8.
Figura 8
z
v
V
v
g
x
Voz Vo
o
Vox X
h
Vz
X
2
tv
Vz=0
tmax
FÍSICA I
PNF en Electricidad 87
En el movimiento de proyectil, sobre el objeto actúa la fuerza del peso
debido a la aceleración constante de gravedad. El objeto tiene una componente
horizontal de velocidad oxV , perpendicular a la dirección de la aceleración
gravitacional.
Debido a que hay una componente horizontal inicial de la velocidad Vox=
VoCos , el movimiento del proyectil no es una línea recta, sino que sigue una
trayectoria curva en el plano Xz.
La fuerza de gravedad origina una aceleración constante g dirigida
verticalmente hacia abajo, por lo que el vector g tiene las componentes gx= 0, gy=
0 y gz= g.
Entonces las ecuaciones de movimiento según las componentes X y Z serán:
0dt
dvxax
gdt
dvzaz
Es evidente que Vx debe ser constante y su valor inicial al tiempo t=0 en Vox debe
tener
VoCosVoxVx
Ecuación de la velocidad en el eje de las X, en cualquier instante
FÍSICA I
PNF en Electricidad 88
De la condición dada de que cuando t=0 Voz=Voz=VoSen Velocidad inicial
en el eje de las y.
Se puede escribir, integrando desde el tiempo t=0 (cuando Vz=Voz) hasta
un tiempo posterior t, cuando la componente vertical de la velocidad tiene un valor
Vz.
gdt
dVz Se coloca lineal y se integra a ambos lados
t
o
Vz
Voz
gdtdVz
como g es constante sale fuera del factor integración, tenemos que
Vz-Voz=-gt (despejando la velocidad final en cualquier instante)
Vz=Voz-gt (sustituyendo el valor de la velocidad inicial en el eje z)
Vz = VoSen -gt
Esta ecuación representa la velocidad final en el eje z, en función del tiempo.
Ahora
dt
dxVx (la velocidad se puede expresar como la derivada de la posición en
función del tiempo)
Vx.dt=dx (colocando la ecuación lineal e integrando)
Integrando cuando t=0 (cuando x=0) hasta el tiempo t, que corresponde a un
desplazamiento horizontal x.
FÍSICA I
PNF en Electricidad 89
t
o
x
o
dtVoxdx . donde Vox es constante y sale del signo de integración
X = Vox(t) (sustituyendo a Vox por Vocos
X = Vocos t (esta ecuación representa la posición en cualquier instante en el eje
de las x)
Se sigue el mismo procedimiento para determinar la posición eje z
Vzdt
dz
t
o
z
o
Vzdtdz
donde
Vz= VoSen-gt
t
o
zf
zo
dtgtVoSendz )(
Z= VoSent- 1 gt2
2
Ecuación que representa la posición de la partícula en el eje de la z, en el eje
donde está presente la aceleración de gravedad.
Esta ecuación z=VoSent-1 gt2 y X=VoCost definen la trayectoria del
2
proyectil dando las coordenadas X y Z en cada instante y constituyen un sistema
de ecuaciones paramétricas para la Trayectoria del objeto y, están relacionadas
con el parámetro el tiempo “t”.
FÍSICA I
PNF en Electricidad 90
Despejando t de la ecuación de alcance
X= VoCost
Y sustituyendo en la ecuación Z, se puede obtener una sola ecuación para la
trayectoria X= Vocost
Vox
xt (t despejada de la ecuación de alcance)
luego, sustituyendo a “t” en la ecuación z, obtenemos
2
2
2
1.
Vox
Xg
Vox
xVoSenz ; pero Vox = Vocos
22
2
2
1
CosVo
Xg
VoCos
XVoSenZ
22
2
2
1
CosVo
gXTangZ Ecuación Paramétrica
Esta ecuación es la de una parábola y nos es más que la ecuación
paramétrica, con ella se puede determinar la posición de la partícula en el eje z,
sin necesidad de conocer el tiempo, también se puede utilizar para determinar el
ángulo de lanzamiento, la velocidad inicial, y la posición en el eje x.
Para determinar la máxima altura h que alcanza la partícula se deriva dz/dx
o dz/dx y se iguala el resultado a cero.
22
2
2
1tan
CosVo
gxg
dx
dz
022
CosVo
gxTang
despejando a X
X= TangVo2Cos2
g
X= g
CosVo
Cos
Sen
22
.
FÍSICA I
PNF en Electricidad 91
X= g
VoCosVoSen
X= g
VoCosSenVo 2
esta ecuación representa la mitad del alcance máximo
La altura máxima h se obtiene cuando X adquiere este valor. Sustituyendo este
valor en la ecuación para métrica
22
2
2tan
CosVo
gxgXZ
Z=
222
222
2
)(
CosVog
CosSenVog
Cos
Sen
g
CosSenVo
Z= g
SenVo
g
SenVo
2
2222
Z=
2
11
22
g
SenVo
Z=Vo2Sen2
2g Esta ecuación representa la altura máxima que adquiere la partícula
Z=h
h= g
OSenVo
2
22
Esta ecuación representa la altura máxima de la partícula
Cuando el proyectil llega a tierra a una distancia S del origen a lo largo del eje de
las X, las coordenadas Z de la trayectoria en este punto vale cero, por lo que la
distancia X puede encontrarse haciendo Z igual a cero.
O=XTang - 2
1
22
2
CosVo
gx
Sacando m.c.m. = 2Vo2Cos2
FÍSICA I
PNF en Electricidad 92
22
22
2
2.
CosVo
gxCosVoXSenO
XSen.2Vo2Cos-gx2=0
Sacando factor común
X(Sen.2Vo2Cos-gx) = 0
Despejando a X, hay dos soluciones una de las cuales X=0, corresponde al punto
de partida.
La segunda corresponde al punto del impacto final en X no y tiene la forma
g
CosSenVoX
22
Por trigonometría Sen2= 2SenCos
X= Vo2Sen2 Esta ecuación representa la distancia horizontal desde que se
g lanza de partícula hasta que llega al mismo nivel donde es lanzado.
Esta ecuación representa al alcance total de la partícula en el eje x.
En el punto más elevado la velocidad en el eje z es igual a cero Vz=0 por lo tanto
el instante t1 en el que alcanza la altura máxima está dado por:
Vz=VoSen - gt1
O=VoSen-gt1 (igualando su velocidad final a cero)
Despejando t1
t1= g
VoSen Esta ecuación representa el tiempo máximo
FÍSICA I
PNF en Electricidad 93
El tiempo que tarda la partícula es subir es el mismo tiempo que tarda la partícula
en bajar. Por lo tanto el tiempo de vuelo.
tv= 2tmax
tv= 2 VoSen Ecuación de tiempo de vuelo
g
RESUMEN DE ECUACIONES PARA LANZAMIENTO DE PROYECTIL
Para el eje donde esta presente la aceleración de gravedad, bien sea z o y
Voz= Vo sen (Velocidad inicial de la partícula en ese eje)
Vfz= Vo sen - gt (Velocidad final en función del tiempo)
Vfz2= (Vo sen)2 – 2gz (Velocidad final en función de la posición)
Z= Zo + Vo sent – 1 gt2 (posición de la partícula en ese eje)
2
Ymax= (VoSen)2 (altura máxima)
2g
tmax= Vo Sen (tiempo máximo)
g
tv= 2tmax = 2 (VoSen) (tiempo de vuelo)
g
z= tang X – 22
2
2
1
CosVo
gX (Ecuación Paramétrica)
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Vox= Vocos (la velocidad en cualquier punto en el eje de las X)
X= Vo2Sen2 (alcance total)
g
X= VoCost (posición en cualquier instante)
R= 22 ZX (módulo de la posición)
FÍSICA I
PNF en Electricidad 94
22 )()( VyVxV (Módulo de la velocidad)
La duración se puede determinar por
a) Tang= Vz
= arc tangVZ/Vx
b) =Vo2sen2 /g
Donde Vy es la velocidad en cualquier instante en el eje de las Y, nótese que
depende del tiempo y Vx es la velocidad en el eje de las X.
Las coordenadas del proyectil en un tiempo t son
X = Vot (representa la posición en cualquier instante en el eje de las x)
Y = 2
2
1gt (representa la posición de la partícula en cualquier instante en el eje de
las Y)
La distancia del proyectil, desde el origen en ese instante t es:
R = 22 YX
La magnitud de la velocidad resultante es:
22 VyVxV
el ángulo
= ArcTangVx
Vy
FÍSICA I
PNF en Electricidad 95
Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)
El movimiento Circular es un movimiento curvilíneo cuya trayectoria es un círculo.
Es por ejemplo, el movimiento de cualquier punto de un disco o de una rueda en rotación,
así como el de los puntos de las manecillas de un reloj como primera aproximación, es el
movimiento de la luna alrededor de la tierra y del electrón alrededor del protón en un
átomo de hidrógeno. Debido a la rotación diaria de la tierra, todos los cuerpos que están
en su superficie tienen en su superficie un movimiento circular en relación con el eje de
rotación terrestre.
El Movimiento Circular Uniforme se describe el movimiento de una partícula
que recorre una circunferencia de radio R, con una rapidez constante V.
Aunque la partícula se muere con rapidez constante, la dirección del vector
velocidad V , cambia con el tiempo, por lo tanto la partícula se acelera. Un error
es concluir que la aceleración de la partícula es cero, porque su rapidez es
constante, dado que la dirección de v cambia, a 0.
La dirección de V siempre es tangente a la trayectoria, pero como la
rapidez, V, es constante no existe componente de la aceleración tangente a la
trayectoria. El vector aceleración es perpendicular a la trayectoria y siempre
apunta hacia el centro del círculo.
Ejemplo: figura A
Consideremos una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio R
con centro O. los vectores Vi y Vf indican las velocidades en los puntos P y O.
El tiempo que tarda la partícula en moverse desde P hasta Q es t, entonces el
desplazamiento de la partícula en ese tiempo es r Vt
FÍSICA I
PNF en Electricidad 96
Figura A
El cambio de velocidad a medida que la partícula se mueve desde P hasta Q, se obtiene
de V = Vf-Vi
Por definición la aceleración media en el intervalo de tiempo t es v/t
Si trazan los vectores Vi y Vf, de modo que se originen en un punto común
Figura B
Si t un pequeño (correspondiente a un valor pequeño O), entonces el
cambio de velocidad está dirigido aproximadamente hacia el centro del círculo.
Los triángulos OPQ y opq son semejantes, ya que ambos son isósceles y
los ángulos asignados por son iguales ( ver figura B). Por lo tanto
R
S
Vi
V
ó Vi
R
Sv
SR
ViV
R
vi
p
Vf Q
Rf
Ri
O
Vf
Vi
v
p o
q
FÍSICA I
PNF en Electricidad 97
La magnitud de la aceleración normal media 1a durante t es v/t, según la
ecuación anterior, esto es igual a
t
va
1 , sustituyendo en esta ecuación a V
t
S
R
Via
1
la aceleración instantánea a1 en el punto P es el valor límite de esta expresión
cuando el punto Q se toma cada vez más próximo al punto P y cuando t -> 0
t
s
R
Vi
t
s
R
Via
tt
limlim
001 .
pero el valor límite de s/t es la rapidez Vi en el punto P y puesto que P puede
ser cualquier punto en la trayectoria, es posible eliminar el subíndice de V i y hacer
que V representa la rapidez en un punto cualquiera.
Entonces:
R
Va
2
1 Expresión que representa la aceleración centrípeta
La magnitud de la aceleración normal instantánea es, por consiguiente, igual al
cuadrado de la rapidez dividida por el radio. La dirección es perpendicular a V y
hacia adentro a lo largo del radio R, hacia el centro del círculo.
Por eso se denomina aceleración central, centrípeta o normal.
Nota: Centrípeta: dirigida hacia el centro
FÍSICA I
PNF en Electricidad 98
En el movimiento circular, la velocidad V, que es tangencial al círculo, es
perpendicular al radio R = C.A. cuando medimos distancias a lo largo de la
circunferencias del círculo desde el centro O, tenemos que S = R, donde el
Ángulo se mide en Radianes
S = R.
Tomando R como constante, la magnitud de la velocidad está dada por:
dt
dsV (La velocidad se puede definir como la variación del desplazamiento en
función del tiempo)
donde S=R
dt
RdV
)(
wdt
d
Ecuación de la velocidad angular
Donde W es la velocidad angular y es igual al ángulo barrido por unidad de
tiempo, la velocidad angular se expresa en radianes por segundo, rad s-1, aún que
debe tenerse en cuenta que el radián es una unidad sin dimensiones. Por lo tanto
la velocidad angular se expresa simplemente como S-1.
C
V
R S
0
FÍSICA I
PNF en Electricidad 99
Entonces:
dt
RdV
)(
Ecuación de la velocidad tangencial
V = R.W
La velocidad angular se puede representar como una cantidad vectorial
cuya dirección es perpendicular al plano de movimiento en el sentido dado por la
regla de la mano derecha.
En el Movimiento Circular Uniforme, es decir con velocidad angular
constante W, el movimiento es periódico y la partícula pasa por cada punto del
círculo a intervalos regulares de tiempo.
El período P de un cuerpo circular uniforme es el tiempo empleado en
efectuar una vuelta completa o revolución, y la frecuencia f es el número de
revoluciones por unidad de tiempo.
Nota: n
tP ,
t
nf , P.F = 1
A
R
V
W
Z
FÍSICA I
PNF en Electricidad 100
Como el período se expresa en segundos, la frecuencia debe expresarse
en s-1 a esta unidad se le llama Hertz (y se abrevia en Hz)
Si W es constante, se tiene que w= d
dt
d= wdt (integrado a ambos lados)
t
to
O
Oo
Wdtd
=o+.w(t-to) Ecuación de la posición angular de la partícula
Esta relación, sólo es válida para el movimiento circular uniforme, para o y to
iguales a cero
= Wt ó
W = t
Para una revolución completa el tiempo es igual al período ecuación de la
velocidad angular t=p y = 2., lo que da como resultado
W = fP
22
Además
V= Rw (sustituyendo el valor de velocidad angular)
V= 2R o 2RF
P
1rps = 2 Rad/s
360º = 2rad
1rev = 2Rad
Nota: En un movimiento circular uniforme
no existe aceleración tangencial, debido a
que la magnitud de la velocidad tangencial
no varía, tampoco existe aceleración
angular ya que la velocidad angular
permanece constante la única aceleración
presente, es la aceleración centrífuga.
FÍSICA I
PNF en Electricidad 101
Movimiento Circular Uniformente Acelerado (M.C.U.A.)
Cuando la velocidad angular de una partícula en movimiento cambia con el
tiempo, la aceleración angular se define como:
= 2
2
dt
d
dt
dw
La aceleración angular se expresa en rad/s2 o simplemente en s-2. Cuando la
aceleración angular es constante (es decir, cuando el movimiento circular es
uniformemente acelerado)
= dt
dw representa la aceleración angular.
integrando
w
wo
t
to
dwdt
(t-to)= w-wo
W = wo + (t-to) Ecuación que representa la velocidad angular en cualquier
instante
Donde w o es el valor de w en el tiempo to.
Integrando de nuevo y teniendo en mente que
W = dt
d
Wdt=d
FÍSICA I
PNF en Electricidad 102
O
Oo
t
to
dwdt
dttotwod
t
to
O
Oo
)(
t
to
t
to
O
Oo
dttotwodtd
202
1tottotWof
202
1tottotwf Esto da la posición angular en cualquier instante.
Cuando to=O y o = O. Tenemos que
= Wt+ 222
1t (esta ecuación representa la posición angular en cualquier instante)
para to=0s y o=0
la velocidad tangencial varía de magnitud, se produce una aceleración tangencial
( Ta )
aT = dv , como V = Rw
sustituyendo
aT = d (Rw), además R (radio) es constante
dt
aT = ,dt
dwR pero
dt
dw
aT = R
FÍSICA I
PNF en Electricidad 103
Se tiene que la aceleración tangencial o lineal en un punto de un cuerpo
rígido giratorio es igual a la distancia a la que se encuentra ese punto respeto al
eje de rotación, multiplicada por la aceleración angular.
En el esquema se representa la aceleración tangencial y la aceleración
centripeta.
22 )()( acaa T
pero aT = R (Aceleración tangencial)
ac= R
VT
2
(aceleración centripela)
ac= 2222 )(
RwR
wR
R
Rw
4222 wRRa Sacando factor común R2
)( 422 wRa
42 wRa (magnitud de la aceleración)
ta
ca
a p
FÍSICA I
PNF en Electricidad 104
Resumen de las ecuaciones (M.R.U.)
VT= RW (m/s) W= )/(2
sRadR
VT= )/(2
smP
R W= 2f (Rad/s)
VT= 2RF (m/s) F P = 1
ac= 2
2
)/( smR
VT F= 1/P (1/s) ó (H2)
P= 1/F (s)
Donde
VT= Velocidad tangencial (m/s)
W = Velocidad angular (Rad/s)
ac= Aceleración centripeta (m/s2)
R = Radio (m)
F = Frecuencia (HZ)
P = Período (s)
Nota.
1rpm 1rps
%60
Equivalencia
1rps 2 sRad /
FÍSICA I
PNF en Electricidad 105
RESUMEN DE LAS ECUACIONES (MCUA)
Wf = Wo + t (Rad/s)
f= i + Wot + 1 t2 (Rad)
2
aT= R (m/s2)
ac= R w2 (m/s2)
= dt
dw ó =
t
w
(Rad/s2)
donde
= Aceleración angular (Rad/s2)
aT= Aceleración tangencial (m/s2)
ac= Aceleración centripeta (m/s2)
W= Velocidad angular (Rad/s)
R= Radio (m)
t= Tiempo (s)
42 wRa ó 22acaT
FÍSICA I
PNF en Electricidad 106
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS
1. La órbita de la luna alrededor de la tierra es aproximadamente circular con
un radio de medio de 3,84x 108m, se requieren 27,3 días para que la luna
complete una revolución alrededor de la tierra. Encuentre a) La velocidad
orbital media de la luna. b) Su aceleración centrípeta.
Esquema
El período es el tiempo que tarda una partícula en dar una vuelta completa,
la luna tarda en darle una vuelta completa a la tierra en 27,3 días, por lo tanto ese
tiempo representa el período de la luna.
Además la trayectoria de la luna alrededor de la tierra se puede considerar
una circunferencia, donde la magnitud de la velocidad de la luna se considera
constante, solamente cambia su dirección y sentido, por lo tanto, la luna efectúa
un Movimiento Circular Uniforme alrededor de la tierra
La velocidad tangencial TV
TV = T
R2
Rm
TV
TV
TV
TV
TV
FÍSICA I
PNF en Electricidad 107
donde el periodo (T) debe estar expresados en segundos (s) 27,3 x 24 x 3600 = 2,36x106 s Sustituyendo V= 2 (3,14) (3,84x108m) = 1,02x 103m/s 2,36x106s Su aceleración centripeta esta dirigida hacia el centro de la circunferencia
ac= R
VT
2)(
sustituyendo a= (1,02x103m/s)2 = 2,70x10-3m/s2 3,84x108m 2. En el ciclo de centrifugado de una máquina lavadora, el tubo de 0,300m de
radio guía a una tasa constante de 630 rev/min ¿Cuál es la máxima velocidad
lineal con la cual el agua sale de la máquina?
Datos r= 0,300m w= 630rev/min La velocidad angular en el S.I. viene expresadas en Rad/s
Entonces primero de pasa de rev/min a rev/s dividiendo entre 60.
W= 630rev/mi % 60= 10,5 rev/s
Luego se aplica una equivalencia
1revs 2 Rad/s X= srev
sRadsrev
/1
/2/5,10
10,5 rev/s X
w= 65,94 Rad/s
como VT= R W, simplemente se sustituyen los valores
VT= (0,300 m) (65,94 Rad/s)
VT= 3,15 m/s
FÍSICA I
PNF en Electricidad 108
3. Un punto del borde de un disco compacto esta a 6,0m del eje de rotación
determinar la velocidad tangencial, la aceleración tangencial y la aceleración
centripeta de dicho punto, cuando el disco girar a la velocidad angular
constante
Datos
R= 6,0 = 6x10-2 m
W= 300 rev/mi 5rev/s = 31,4 Rad/s
%60
Luego 1 rev/s 2 Rad/s X = 5rev/s 2 Rad/s
5 rv/s X 1 rev/s
X= 31,4 Rad/s
El ejercicio dice que la velocidad angular es constante, por lo tanto si la velocidad
viene expresada por
VT= RW, donde R es el radio y tiene un valor constante, además si W es
constante, la velocidad también es constante
Recordando que
aT=dVT
dt
pero la derivada de una constante siempre da cero. Por lo tanto
aT=dVT = 0 no existe aceleración tangencial
dt
el ejercicio se trata de un Movimiento Rectilíneo Uniforme, donde la magnitud de
VTse mantiene constante y la única aceleración presente es la aceleración
centripeta
VT= RW sustituyendo
VT= (6 x 10-2m) (31,4 Rad/s) = 1,88 m/s
ac= 2
2
22
/15,59106
)/88,1()(sm
mx
sm
R
VT
aT= om/s2
FÍSICA I
PNF en Electricidad 109
4. Una rueda parte del reposo y tiene una aceleración angular de 2,6 rad/s2
determine:
a) La velocidad angular después de 6s?
b) ¿Cuántas revoluciones habrá realizado?
c) ¿Cuál es su velocidad y la aceleración de un punto situado a 0,3m del
eje de rotación?
Datos:
Wo= 0 Rad/s
= 2,6 Rad/s2
a) Velocidad angular (w) a los 6 segundos
Wf= Wo t (está acelerado)
Wf= Wo + t (sustituyendo)
Wf= 0 Rad/s + 2,6 Rad/s2 0 s
Wf= 15,6 Rad/s
b) Cuántas revoluciones habrá realizado
Se determina la posición angular y luego lo relacionamos con las revoluciones
f= o + Wot + 1 t2 (posición angular en cualquier instante)
2
Como o = 0 Rad
Wo= 0 Rad/s
Sustituyendo
f= 1 (2,6 Rad/s2) (6s)2
2
f= 46,8 Rad
Luego
Luego 1 rev/s 2 Rad/s X = 1rev/s 46,8 Rad
X 46,8 Rad 2rad
X= 7,45 rev
d) Velocidad y aceleración en el punto situado a 0,3 del eje de rotación
d. 1) VT = wT R Para t= 6s
FÍSICA I
PNF en Electricidad 110
w= 15,6 Rad/s
Sustituyendo
VT = 15,6 Rad/s 0,3m = 4,68 m/s
d.2) ac= VT2 = (4,68m/s)2
R 0,3m
ac= 73m/s2
5) Un disco de 12 cm de radio alrededor de su eje partiendo del reposo con
aceleración angular constante de 8 rad/s2 . al cabo de t= 5s cual es: a) La
velocidad angular del disco . b) La aceleración tangencial y centripeta de un
punto del borde del disco.
Datos
R= 12cm = 12 x 10-2m
Wo= 0 Rad/s
= 8 Rad/S2 (constante)
a) Velocidad angular para t= 5s
Wf= Wo t (Velocidad angular en función del tiempo)
Sustituyendo
Wf= 0 Rad/s + 8 Rad/s2 5 S = 40 Rad/s
b) Aceleración tangencial
aT= dv d(Rw)
dt dt
aT= R sustituyendo
aT= (12x10-2m) (8Rad/S2) = 0,96m/s2
c) Aceleración centripetal
ac= (VT)2 (WR)2
R R
ac= W2 R sustituyendo
FÍSICA I
PNF en Electricidad 111
ac= (40Rad/s)2 (12x10-2m) = 192 m/s2
d) Módulo de la aceleración
22 )()( Taaca sustituyendo
2222 )/96,0()/192( smsma
2/192 sma
6. Un esquiador sale de una rampa de salto con una velocidad de 10m/s, a
15º arriba de la horizontal como se muestra en la figura la pendiente está
inclinada a 50º, y la resistencia del aire es despreciable. Determine a) La
distancia a la cual el esquiador aterriza, y b) Los componentes de la
velocidad justo antes del aterrizaje.
Esquema
+y
-Y
X
50º
(0,0) 15º
smV /10 +Y
-Y
Yf
(0,0)
FÍSICA I
PNF en Electricidad 112
La distancia a la cual aterriza el esquiador está por debajo del origen del
sistema de coordenadas.
Como no conocemos el parámetro tiempo, utilizamos la ecuación paramétrica.
Yf= Yo + Xtang –1 gx2
2 Vo2cos2
donde es el ángulo con el cual fue lanzado la partícula, sustituyendo valores
Y = 0 + xtang15- 1 (9,8) x2
2 (10)2 (Cos 15)2
-y= x 26,8 x 10-2 – 52,52,x10-3x2
Tenemos una ecuación con dos incógnitas que es la variable “Y” e “X”.
Si nos ubicamos en el triángulo rectángulo, podemos expresar y en función de X, ó
la variable X en función de Y
Como tang 50º = cateto opuesto
Cateto adyacente
Tang 50º = Y despejando a y Y= xtang50
X
Sustituyendo el valor de Y en la expresión anterior
-xtang50º = x26,8x10-2 – 52,52x10-3x2
igualando la expresión a cero
52,52x10-3x2– X(1,19)-(26,8x10-2) X=0
X (ca)
50
Y(co)
FÍSICA I
PNF en Electricidad 113
agrupando términos
52,52x10-3x2 – 1,46X = 0
sacando factor común
X (52,52x10-3X – 1,46) = 0
Se tiene dos soluciones
1) X= 0 cuando el cuerpo sale
2) 52,52x10-3x – 1,46 = 0
X = 1,46 = 27,8m
52,52x10-3
Cuando el cuerpo llega
Como en el eje de las X existe un Mov. Rec. Unif.
Vx= X t= X
t Vx
t= X
Vocos
Sustituyendo
t= 27,8m = 2,88S
10m/scos15
Es el tiempo que emplea el esquiador desde que sale de la rampa que llega
a la pendiente.
Los componentes de las velocidades cuando llega a la pendiente.
a) Vx= Vocos (tiene un valor constante)
Vx= 10m/scos15º = (9,66m/s) ĩ
b) Vy = Vo Sen - gt
FÍSICA I
PNF en Electricidad 114
Vy= 10m/ssen15 – 9,8m/s2 2,88 s
Vy= -(25,64m/s) ĵ
b) La distancia sobre la pendiente
Como cos50º= cateto adyacente
Hipotenusa
Cos50º= X despejando a D
D
D = X
Cos50º
D= 27,8 m = 43,25m
Cos50º
27,8 (ca)
50
co
D=hip
FÍSICA I
PNF en Electricidad 115
LANZAMIENTO HORIZONTAL
Consideremos que tenemos una partícula en el borde de una mesa y la
empujamos horizontalmente de modo que la partícula se mueve y cae
describiendo una trayectoria en forma de parábola.
Cuando la partícula está en el aire se mueve hacia delante y hacia abajo.
La representación de la situación seria
El ángulo de lanzamiento vale cero =0º
En el eje de las X, no está presente la aceleración de gravedad, por lo tanto posee
un movimiento Rectilíneo Uniforme
Como Vx = Vo cos
Vx= Vo Cos0º1
Vx = Vo la velocidad en cualquier momento en el eje de las X, tiene un valor
+y
(0,0)
La altura que
descuente
Vx x
xV
xV
V yV
oV V
Alcance = X
g
FÍSICA I
PNF en Electricidad 116
Constante y siempre va a ser igual a la velocidad inicial
Para MRU
Vx= X X= Vxt
t
Donde X es la distancia horizontal alcanzada por el proyectil
X= Vot
En el eje de las y, esta presente la aceleración de gravedad y esta en la misma
dirección y sentido del eje de la referencia
Voy= Vo sen , pero =0º
Voy= VoSen0º 0 = 0 no existe velocidad inicial en el eje de las y.
Las ecuaciones para el eje de las “Y” ya se trabajaron en el lanzamiento de
proyectil
a) Y= Yo + Vosen 0 – (1 gt2) como = 0º
2
y= 1 gt2 posición en el eje de las Y
2
b) V = Vosen 0 (-gt)
Vf = gt Velocidad en cualquier instante en el eje de las y
c) tang= Vy Dirección de la partícula
Vx
d) 22 )()( VyVxV Magnitud de la velocidad resultante
e) 22 yxr Magnitud de la posición
FÍSICA I
PNF en Electricidad 117
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS
1) En un bar local, un cliente hace deslizar un tarro vacío de cerveza sobre la
barra para que vuelvan a llenarlo, el cantinero esta momentáneamente
distraído y no ve el tarro el cual cae de la barra y golpea el piso a 1,40m de la
base de la misma. Si la altura de la barra es 0,860m a) Con qué velocidad
abandono el tarro la barra b) Cual fue la dirección del tarro justo antes de
chocar con el piso.
El tarro se desliza horizontalmente y sale de la barra formando un ángulo de 0º .
Como la aceleración está presente solamente con el eje de las y, en el eje de las
X se tiene un movimiento Rectilíneo Uniforme
Vx = Constante
Vx= Vo Cos , pero = 0º
Vx= Vo Cos0º 1, pero = 0º
Vx= Vo
Además Vx = X , donde X es el alcance y t es el tiempo que duro el tarro
t en descender la altura de 0,860m
y
(0,0)
-y
Barra
1,40m
0,860m
Vx
Vx
yV
yV
FÍSICA I
PNF en Electricidad 118
Se tiene que
X= 1,40m
t= ?
pero y= 1 gt2 posición en el eje de las y, despejando al tiempo.
2
t= ssm
m42,0
/8,9
)860,0(22
entonces Vo = Vx
Vx= x
t
Vx= 1,40m = 3,33m/s
0,42s
b) Vf = gt
Vf= (9,8m/s2) (0,42s) = 4,12m/s
tang = Vy
Vx
= arctang Vy
Vx
= arc tang 4,12 m/s
3,33m/s
= 51,02º
FÍSICA I
PNF en Electricidad 119
2) Un jugador de fútbol soccer patea una roca horizontalmente desde el
borde de una plataforma de 40,0m de altura en dirección a una fosa de agua.
Si el jugador escucha el sonido del contacto con el agua 3,0s después de
patear la roca ¿Cuál fue la velocidad inicial? Suponga que velocidad del
sonido en el aire es de 343m/s
Cuando la roca a descendido los 40m, toca el agua (llega al pozo) esto nos indica
que el tiempo que tarda en descender es el mismo tiempo que llega al pozo.
La ecuación de posición en el eje de las y.
Y= 1 gt2 (despejando el tiempo)
2
t= g
y2 sustituyendo
40m
Alcance (x)
V
xV
xV
xV yV
yV
VR
VR
FÍSICA I
PNF en Electricidad 120
t= ssm
m86,2
/8,9
)40(22
como Vx= Vo Cos, y = 0º
Vx= Vo cos 0º
Vx= Vo
Vx = X
t
Pero X = ?
Viendo nuevamente el esquema
Los 3 segundos representan el tiempo que tardo la roca en descender los
40m más el tiempo que tardo el sonido en viajar hasta el oído.
Tt=3s
Tt= tb + ts, tb= tiempo de bajada
despejando a ts. ts= tiempo del sonido
ts= Tt – tb
ts= 3s – 2,86s = 0,14s
El sonido viaja a velocidad constante, por lo tanto su trayectoria es una
línea recta
Vs= X X = Vs t
t
X=?
50
40m
Trayectoria del sonido ( X”)
FÍSICA I
PNF en Electricidad 121
X” = Distancia que recorre el sonido para un tiempo de 0,14s
X”= 343 m/s 0,14s = 48,02 m
En el triángulo rectángulo, si despeja el alcance
(hipotenusa)2 = (cateto opuesto)2 + (cateto adyacente)2
hip2 = co2 + ca2 Despejando a Ca
ca= 22 cohip
ca= mmm 57,26)40()02,48( 22
volviendo a la ecuación de
Vx = X y sustituyendo
t
Vx= 26,57m = 9,3m/s (represente la velocidad inicial de la roca)
2,86s
alcance
Altura
40m
48,02m
Distancia del
sonido
co
ca
FÍSICA I
PNF en Electricidad 122
4) Después de entregar sus juguetes de manera usual, Santa Claus decide
divertirse un poco y se desliza por un techo congelado y como se ve en la
figura parte del reposo en la parte superior del techo, que mide 8,0m de
longitud, y acelera a razón de 5,0m/s la orilla del techo está a 6,00m arriba de
un banco de nieves blanda, en la cual aterriza Santa encuentre a) Los
componentes de la velocidad de Santa cuando llega al banco de nieve, b) El
tiempo total que permanece en movimiento c) La distancia d entre la casa y
el punto donde el aterriza en la nieve.
(0,0)
8m
37º
37
X
Yf C d
FÍSICA I
PNF en Electricidad 123
Desde el punto A hasta el punto B,
El cuerpo está acelerado y su aceleración vale 5m/s2
Vf2= Vo2+2Xa
VfB2= VoA
o + 2Xaba
VfB= smsmm /94,8)/5)(8(2 2
Además
Vf= Vo + at
VfB= VoA o +a tab despejando tab
tab= VfB = (8,94m/s) = 1,79s
a 5m/s2
otra manera
Xab= VoAt o + 1 a tab2 despejando tab
2
tab= a
xab2 sustituyendo
tab= Ssm
m79,1
/5
)8(22
Desde el punto B hasta el punto C
Santa abandona el techo y queda sometido a la aceleración de gravedad
Se tiene una velocidad inicial en B tanto para el eje X como para el eje de las X
Para el eje de las X (tiene un MRU)
Vx = X X = Vxt
T
X representa el alcance
BXoV
BYoV
VB
B
FÍSICA I
PNF en Electricidad 124
D= Vocos tbc
tbc= ?
para el eje de las y
Voy= Vosen
Voy= 8,94m/s sen 37= 5,39m/s
La posición
Y= Yo + Vosentbc + 1 gtbc2 (sustituyendo)
2
6= 5,38 tbc + 4,9 tbc2
igualando a cero
4,9 tbc2 + 5,38 tbc – 6 = 0
A B C
Utilizando la ecuación de 2do. grado
tbc= a
acbb
2
42
sustituyendo valores
tbc= )9,4(2
)6)(9,4(4)38,5(538 2
tbc= 8,9
10,1238,5
tbc= S68,08,9
10,1238,5
luego el alcance X=D
D = Vo cos tbc
D= (8,94m/s) (cos37) (0,68S)
FÍSICA I
PNF en Electricidad 125
D= 4,89m
D= 4,9m
El tiempo total es tT
tT= tab + tbc
tT= 1,79S + 0,68S = 2,47S
4. Un rifle se dirige horizontalmente al centro de un gran blanco a 200m de
distancia. La velocidad inicial de la bala es 500m/s. a) ¿Dónde incide la bala en el
blanco? b) Para golpear en el centro del blanco, el cañón debe estar a un ángulo
sobre la línea de la visión. Determine el ángulo de elevación del cañón.
Ejemplo
a) El rifle se coloca sin ningún ángulo de inclinación, pero debido a la aceleración de
gravedad, la trayectoria de la bala no es una línea recta, en el mismo momento que la
bala avanza horizontalmente, desciende verticalmente.
La trayectoria real, sería
En el eje de las X, la bala se mueve con movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
Blanco
Vo= 500m/s
200m
Blanco
Vo= 500m/s
200m
Yf
xV
xV
V yV
xV
yV
V
FÍSICA I
PNF en Electricidad 126
Como Vx = X
t
se puede despejar el tiempo que tardo en avanzar horizontalmente 200m
t=X
Vx
t= 200m = 0,4s
500m/s
para ese tiempo la partícula ya tiene una posición en el eje de las Y
Y = 1 gt2 sustituyendo el valor de t
2
y= 1 (9,8m/s2) (0,45)2 = 0,78m
2
cuando la partícula avanzo los 200m descendió 0,78m por debajo de la línea de visión
b) Qué ángulo debería tener
Esquema
Como el alcance máximo
Xmax= Vo2 sen2
g
despejando el ángulo
(0,0)
0,78m
200m
Yr=Yo
Vo= 500m/s
FÍSICA I
PNF en Electricidad 127
= 1 arc sen (xmax g )
2 Vo2
sustituyendo valores
=
2
2
)/500(
/8,9200
2
1
sm
smmarcsen
= 1 arc sen (7,84 x 10-3)
2
= 1 (0,45°)
2
= 0,22°
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS
1) Una partícula que se mueve con velocidad inicial Vo=30m/s ĩ sufre una
aceleración a= (15+3t3) ĩ + (45-1t2) ĩ ¨+ (45-1t2) ĵ ] m/s2. Determine la posición y la
velocidad de la partícula a los 4 segundos, suponiendo que parte del origen.
Procedimiento
La información que se da es una velocidad inicial en el eje de las x y una aceleración
tanto en el eje de las x como el eje de las y, se pide determinar la velocidad y la posición a
partir de la aceleración.
Recordando que el proceso inverso de la derivada nos permite ir hacia atrás, se tiene
X’ V’ a Derivando
Integrando
Si se integra la aceleración se obtiene la velocidad y si se integra la velocidad se obtiene
la aceleración.
Como se trata de un movimiento en dos dimensiones, se recomiendo hacerlo primero
para un eje y luego para el otro eje.
Para el eje de las X
Dato
ax= (15 + 3t3) m/s2 ĩ
Vo= (30m/s) ĩ
FÍSICA I
PNF en Electricidad 128
Partiendo de
a= dv
dt
adt= dv integrando a ambos lados
dvadt sustituyendo a la aceleración por el valor dado
Vf
Vo
dvdtt )315( 3
Vf
Vo
dvctte
dttdt
ctte
3315
Vf
Vo
dvdttdt 3315
VoVft
t 4
315
4
Despejando Vf
4
315
4ttVoVf
smt
tVf /)4
31530(
4
Representa la velocidad en el eje de las X en cualquier
instante.
La velocidad a los 4S ,simplemente se sustituye a “t” por 4S
smVf /))4(4
3)4(1530( 4
Vfx= 282m/s
Para determinar la posición se integra la velocidad en cualquier instante.
Partiendo de
V= dx
dt
Vdt= dx Integrando a ambos lados
dxVdt Sustituyendo el valor de la Velocidad en cualquier instante
Xf
Xo
dxdttt )4
31530( 4
FÍSICA I
PNF en Electricidad 129
Xf
Xo
dxdttcttectte
tdt
ctte
dt 4
4
31530
Xf
Xo
dxdtttdtdt 4
4
31530
xoxftt
t 54
3
21530
52
Despejando Xf
Xf= mt
ttXo
20
3
2
1530
52
representa la posición en cualquier instante
Evaluando la posición para t=4S
Xf= m
52 )4(
20
3)4(
2
15)4(300
Xf= (278,4m) ĩ
De la manera que se hizo para el eje de las X, se resuelve para el eje de las y,
Para el eje de las y
Datos
ay= (45-1t2)m/s2 ĵ
Si se integra la aceleración, se determina su velocidad.
Partiendo de:
a= dv
dt
a dt= dv integrando a ambos lados
dvadt Sustituyendo el valor de la aceleración en cualquier instante.
Vf
Vo
dvdtt )145( 2
Vf
Vo
dvdttctte
dt 245
Vf
Vo
dvdttdt 245
VoVft
t 3
453
despejando a Vf
FÍSICA I
PNF en Electricidad 130
sm
ttVoVf /
345
3
representa la velocidad en cualquier instante
evaluando la velocidad para t=4s
smVf /
3
)4()4(450
3
Vfy= 201,33m/sĵ
Ahora si se integra la velocidad en cualquier instante se determina su posición
V= dx
dt
Vdt=dx se puede cambiar x por y.
Se integra a ambos lados
yf
yo
dyVdt Se sustituye el valor de la velocidad en cualquier instante
Yf
yo
dydtt
t )3
45(3
Vf
Vo
dydtctte
t
ctte
dt
3
45 3
Vf
Vo
dydtttdt 3
3
145
yoyftt
43
1
245
42
Despejando a Yf
yf= mtt
yo
4
2
12
1
2
45 representa la posición en cualquier instante
como partió del origen Yo=0m
Yf= myo
4
2
)4(12
1
2
)4(45
Yf= 338.67m ĵ
FÍSICA I
PNF en Electricidad 131
2) Se dispara un proyectil con una velocidad de 100m/s y un ángulo de 60° con la
horizontal calcule a) El alcance horizontal, b) El tiempo de vuelo, c) La velocidad y
altura después de 10s.
Información
Vo= 100m/s
=60°
Esquema
a) Alcance horizontal
Es la distancia horizontal que alcanza el proyectil desde que se lanza hasta llegar al
mismo nivel donde es lanzado se tiene que:
Xmax= alcance
g
SenVoX
22
sustituyendo
2
2
/8,9
)60(2)/100(
sm
SensmX
msm
SensmX 70,883
/8,9
120)/100(2
2
b) El tiempo de vuelo (tv)
Es el tiempo que tarda la partícula desde que se lanza hasta llegar al mismo nivel donde
es lanzado
y
X
ymax
tmax
oyV oV
oyV
Xmax
tv
FÍSICA I
PNF en Electricidad 132
tv=
g
VoSen2
sustituyendo valores
tv= ssm
sSenm67,17
/8,9
60/1002
2
c) La velocidad y la altura después de los 10S
La velocidad en el eje de las X es constante
Vx= Vocos
Vx=(100m/s) (cos60) = 50m/s
La velocidad en el eje de las y
Vfy=Voseno-gt (sustituyendo valores)
Vfy= 100m/s sen60 – 9,8m/s2 10 s
Vfy= -11,39m/s
22 VyVxVR
smsmsmVR /28,51)/39,11()/50( 22
su posición a los 10s
Y= Yo + Vosen t – 1g t2 (como Yo =0m)
2
Y= (100m/s) (sen60)(10s) – 1 (9,8m/s2) (10s)2
2
Y= 376,02m
3) Se dispara un proyectil con un ángulo de 35°, golpea al suelo a una distancia
horizontal de 4km. Calcule a) La velocidad inicial. b) el tiempo de vuelo. c) La
velocidad en el punto de máximo ahora.
tmax
tv
Vo Voy
Vox
FÍSICA I
PNF en Electricidad 133
La distancia horizontal de una partícula desde que lanza hasta llegar al mismo nivel donde
es lanzado se conoce como alcance máximo.
4 Km
Como:
Xmax= g
senVo 22
del alcance se despeja la Vo
Vo= 2
max
Sen
gX
Sustituyendo
Vo= )35(2
)/8,9)(104( 23
Sen
smmx
Vo= smSen
smx/24,204
70
/102,39 223
b) El tiempo de vuelo (tv)
tv= 2tmax
tv=
g
Vosen2
sustituyendo
tv=
2/8,9
35./24,2042
sm
Sensm
tv=11,95 = 12s
c)La velocidad en el punto más elevado.
En el punto más elevado la Vfy= om/s, la única velocidad que existe en ese punto es la
velocidad en el eje X y es constante
Vx= Vo cos = ctte
Vx= 204,24m/s cos 35
Vx= 167,30m/s
V
FÍSICA I
PNF en Electricidad 134
4) Un cañón que tiene una velocidad de orificio de 1000m/s se usa para destruir un
blanco en la cima de una montaña. El blanco se encuentra a 2.000m del cañón
horizontalmente y a 800m sobre el suelo. ¿A que ángulo, relativo del suelo, debe
dispararse el cañón? Ignore la fricción del aire.
Esquema.
Esquema
Yo
En el esquema la información que nos dan es la velocidad inicial, la distancia que avanza
horizontalmente y las posiciones iniciales y finales en el eje y.
Para este tipo de ejercicio, donde nos falta la variable tiempo, se emplea la ecuación
paramétrica que no involucra el tiempo .
22
2
cos2
1tan
Vo
gxgxzoz
cambiamos z por y
Vo=1000m/s
=? (0,0)
800m
2000m
+Y
X=2000m
800m
Yf
=?
smV /1000
Blanco
FÍSICA I
PNF en Electricidad 135
22
2
cos2
1tan
Vo
gxgxyoyf
sustituyendo
22
2
cos)1000(
)2000)(8,9(
2
1tan20000800 g
2cos
60,19tan2000800 g
tenemos una ecuación en función de tang y del cos, se debe colocar en función de una
sola variable
Recordando
Sec2= 1
Cos2
Sustituyendo
800=2000tang -19,6 sec2
además
Sec2= 1+ tang2
Sustituyendo nuevamente en Sec2
800=2000tang -19,6 (1+tang2)
800=2000.tang -19,6-19,6 tang2
ahora se tiene una sola ecuación en función de la tang, se iguala la ecuación a
cero.
19,6 tang2 - 2000 tang + 800 + 19,6=0
19,6 tang2 - 2000 tang + 819,6
A B C
Se tiene una ecuación de 2do. grado
tang= a
acbb
2
42
tang= )6,19(2
)6,819)(6,19(4)2000()2000( 2
tang= +20001,98x103
FÍSICA I
PNF en Electricidad 136
39,2
1=arctang 2000+1,98x10+3 = 89,44º
39,2
1=arctang 2000 -1,98x10+3 = 27,03º
39,2
son las dos posibles ángulos para que den en el blanco
5) Un balón de fútbol se lanza hacia un receptor con una velocidad inicial de 20m/s a
un ángulo de 30° sobre la horizontal. En ese instante el receptor está a 20,0m del
Mariscal del campo. ¿En qué dirección y con qué velocidad constante debe correr el
receptor para atrapar el balón a la misma altura a la cual fue lanzado?
Lo primero que se debe determinar es donde va a caer la pelota, para saber
en que dirección va a correr el Mariscal, pero la distancia horizontal que alcanza la
pelota desde que se patea del suelo hasta llegar nuevamente al suelo es el
alcance máximo, por lo tanto lo que se va a determinar es el alcance máximo que
adquiere la pelota
Como g
SenVoX
22
max
y
20,0m
30° (0,0) X
smVo /20
FÍSICA I
PNF en Electricidad 137
Se sustituye valores
2
2
max/8,9
)30(2)/20(
sm
SensmX
2
2
max/8,9
)60()/20(
sm
SensmX
= 35,35m
Haciendo nuevamente el esquema
El mariscal debe correr una distancia Xm = 35,35m – 20,0m= 15,35m
Y el tiempo que debe emplear en llegar a la pelota, debe ser igual al tiempo que
utilizo la pelota desde que la patearon hasta llegar al suelo, que no es más que el
tiempo de vuelo de la pelota.
Como tv=2tmax
tv= 2 (Vo Sen)
g
sustituyendo
tv= Ssm
senm04,2
/8,9
30/202
y
20,0m
30° (0,0) X
smVo /20
X
Xmax
FÍSICA I
PNF en Electricidad 138
Como el mariscal debe correr a velocidad constante, nos indica que el posee un
Movimiento Rectilíneo Uniforme, se tiene que
V= X
t
Vm= X = 1,535m = 7,52m/s
tv 2,04S
En resumen el mariscal debe correr en dirección horizontal alejándose del receptor
con una magnitud de 7,52m/s
Vm= +(7,52m/s) ĩ