1. Utiliza dos ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver los siguientes problemas.
a. Un avión pequeño puede cargar 950 libras de equipaje distribuidas en dos compartimientos de
carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con 150 libras más en un compartimiento
que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en cada compartimiento?
Compartimiento 1: 400 libras, compartimiento 2: 550 libras
b. Una parte de $80,000 se invirtió a una tasa de interés del 10%, y el resto al 12%. Si los
ingresos anuales por esas inversiones fueron $9,000 ¿Cuánto se invirtió a cada tasa?
Inversión al 10%: $ 30,000.00, inversión al 12%: $ 50,000.00
c. Un automóvil recorre 50 millas en el mismo tiempo en que un avión viaja 180 millas. La
velocidad del avión es 143 millas por hora mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad del
automóvil.
Velocidad del automóvil: 55mph, velocidad del avión: 198mph
Compartimiento Cantidad Vuelo
Total
Cantidad Inversiones
Distancia Velocidad Tiempo
Automóvil
Avión
d. Un automóvil y un camión salen de La Gloria al mismo tiempo, en direcciones opuestas.
Cuando están a 350 millas de distancia entre ellos, el automóvil ha recorrido 70 millas más que
el camión ¿Qué distancia recorrió el automóvil?
Distancia que recorrió el automóvil: 210 millas, distancia que recorrió el camión: 140 millas
e. Un fabricante de bicicletas produce vehículos de carrera y de montaña, con los costos
unitarios de fabricación que aparecen a continuación:
Modelo Costo de materiales Costo de mano de obra
carreras $55 $60
montaña $70 $90
La empresa ha considerado un presupuesto de $15,900 para gastos de mano de obra y
$13,075 para materiales. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo se pueden fabricar?
Bicicletas de carreras: 85, bicicletas de montaña: 120
Distancia Automóvil Camión
Modelo $ Materiales $ Mano de obra
Cantidad
Carreras
Montaña
f. Un campesino tiene a algunos de sus animales bajo una dieta estricta. Cada animal debe
recibir 15 gramos de proteínas y 7.5 gramos de carbohidratos. El campesino emplea dos
mezclas alimenticias que contienen los nutrientes que tenemos en la siguiente tabla:
Mezcla Proteínas Carbohidratos
A 12% 9%
B 15% 5%
¿Cuántos gramos debe usar de cada mezcla para proporcionar las cantidades correctas de
nutriente a cada animal?
Mezcla A: 50 g
Mezcla B: 60 g
g. Dos máquinas pueden cepillar placa de latón. Una máquina tiene $600 de costo de
mantenimiento y $4 de costo por placa. La otra máquina tiene costos de mantenimiento de
$1000 y costo por placa de $2. Calcula el punto de equilibrio.
Cepillar 150 placas en la máquina A
Cepillar 500 placas en la máquina B
Mezcla Proteínas Carbohidratos Cantidad
A
B
Máquina $ Mantenimiento $ Placa Cantidad
A
B
h. Un impresor cuenta con dos prensas. En una, los costos de arreglo son de $2100, y se puede
imprimir determinado libro en $59.80 cada ejemplar. La otra prensa tiene costos de arreglo de
$3500, y puede imprimir el mismo libro en $59.50. Determina el punto de equilibrio.
35 libros en la prensa A
59 libros en la prensa B
i. Un vendedor puede elegir entre dos opciones de salario:
a. Una comisión directa del 7%, o
b. $1500 mensuales + comisión del 2%.
¿Cuánto debe vender esa persona para obtener la misma retribución en cualquier plan?
Si vende menos ¿Qué plan le conviene?
Si vende más ¿Cuál de los dos planes es mejor?
1)
2) y
3) y
Debe vender $ 30,000.00 para recibir en ambos casos $ 2,100.00
Si gana menos le conviene el plan B, y si gana más le conviene el plan A
j. Si dos ángulos son complementarios, su suma es 90°. Si uno de dos ángulos complementarios
mide 16° más que el otro, calcula el valor de cada ángulo.
Los ángulos miden 37⁰ y 53⁰
k. La fórmula para convertir grados Fahrenheit (F) en grados Celsius (C) es:
Prensa $ Arreglo $ Libro Cantidad
A
B
Opciones Venta Comisión Sueldo
A
B
Ángulo Medida
Suma
¿Cuándo será la temperatura en grados Celsius la misma que en grados Fahrenheit?
-40⁰C será igual a -40⁰F
l. Se quiere obtener 1 lingote de oro de 1 kg de peso y ley de 900 milésimas, fundiendo oro de
975 milésimas y oro de 875 milésimas. ¿Qué cantidad hay que fundir de cada clase?
750 g del lingote de 875 milésimas
250 g del lingote de 975 milésimas
m. Un comerciante compró dos relojes distintos por 18 €. y los vendió por 19.35 €. ¿Cuánto pagó
por cada reloj si en la venta del primero ganó un 20% y en la del segundo perdió un 5%?
Pagó 9 € por cada reloj
Ley Peso Sueldo
Total
Compra Venta
Reloj 1
Reloj 2
Total
n. Se tienen dos soluciones de la ecuación ax + by = 15. La primera x = 2 e y = -1 y la
segunda solución x = -2 e y = -29. Calcula a y b.
a = 7
b = -1
o. Dos líquidos de densidades 0,7 kg/L y 1,3 kg/L se mezclan obteniéndose un líquido de
densidad 0,9 kg/L. Halla la cantidad de líquido que hay que tomar de cada clase para obtener
una mezcla de 30 L.
10 L del líquido de densidad 0.7 kg/L y 20 L del líquido de densidad 1.3 kg/L
p. Un vinatero poseía 760 litros de vino de $82.50/litro. Por tener poca salida comercial decidió
mezclarlo con cierta cantidad de otro vino de $72/litro. ¿Qué cantidad del segundo vino ha de
mezclar con el primero para que la mezcla resulte a $75 el litro?
Se requieren 1900 L del segundo líquido
Volumen Densidad Masa
Líquido 1
Líquido 2
Total 27 kg
Volumen Precio / L Precio total
Líquido 1
Líquido 2
Total
q. Se ha comprado alcohol de quemar a $25/litro y se ha mezclado con otro de $27/litro. Halla la
cantidad que entra de cada clase para obtener 100 litros de mezcla de $25.50/litro.
Se requieren 75 L del alcohol que cuesta $ 25.00/L
Se requieren 25 L del alcohol que cuesta $ 27.00/L
r. Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas.
Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros
vierte por hora cada grifo?
La velocidad de un grifo es de 3000 L/h y del otro es de 5000 L/h
Precio / L Volumen Precio total
Alcohol 1
Alcohol 2
Total
Depósito 1 Depósito 2
Velocidad Volumen Tiempo Velocidad Volumen Tiempo
Grifo 1
Grifo 2
Total
s. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse
abriendo los dos grifos a la vez?
El tiempo en el que se llenará será de 1.42 h
t. Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2.4 horas en llenarlo. Si se
abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto
tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?
Un grifo tarda 6 horas y el otro 4 horas
Grifo
Velocidad
Volumen
Tiempo
Grifo
Velocidad
Volumen
Tiempo
u. En una peluquería se hace una mezcla para un tinte. Si añadiésemos 4ml a la cantidad utilizada
del producto A, el volumen sería el mismo que un tercio del producto B. Por otro lado, el doble
del volumen de A es lo que le falta al B para medir 250 ml. ¿Qué cantidad se usa de cada
producto?
a. 47.6 ml de producto A y 154.8 ml de B
b. 774/5 ml de A y 238/5 de B
c. No está la respuesta
Las opciones a. y b. cumplen con las condiciones
v. Una piscifactoría cultiva en sendos tanques truchas y doradas. Si se colectara un tercio de las
truchas y la mitad de las doradas se obtendrían 184 peces. Por otro lado, si se colectara la
quinta parte de las truchas y la cuarta parte de las doradas obtendríamos 98 peces. ¿Cuántos
peces de cada especie hay en cada tanque?
a. 270 doradas y el resto truchas
b. 248 doradas y 180 truchas
c. No está la respuesta
Opción b. 248 doradas y 180 truchas
A B
Cantidad inicial
Condición 1
Condición 2
Cantidad Condición 1 Condición 2
Truchas
Doradas
Total
w. Un depósito A contiene 32 litros de una solución de alcohol al 25% en volumen. Otro depósito
B contiene 50 litros de solución de alcohol al 40% en volumen. Hallar el volumen que se debe
extraer de cada uno de ellos para obtener 40 litros de solución de alcohol al 30% en volumen.
26.7 L de A y 13.3 L de B
x. Un depósito A contiene 40 L de una solución salina con una cantidad de sal de 80 kg. Otro
depósito B contiene 120 L de una solución con 60 kg de sal disuelta. Hallar el volumen que se
debe extraer de cada uno de ellos para obtener 30 L de solución cuya concentración sea de 1.5
kg/L.
20 L del depósito A y 10 L del depósito B
Depósito Volumen Concentración Volumen mezcla
A
B
Mezcla
Depósito Volumen Cantidad
de sal Concentración
Volumen mezcla
A
B
Mezcla
y. Una aleación contiene un 10% de zinc y un 20% de cobre. Hallar el número de kilogramos de
zinc y cobre que se deben alear con 100 kg de la aleación dada, para obtener una tercera
aleación con un 20% de zinc y un 24% de cobre.
10 kg de cobre y 15 kg de zinc
Concentración Peso
Aleación Zinc Cobre Zinc Cobre Aleación
1
2
3
z. Una aleación cuya masa es de 600 kg está compuesta por 100 kg de cobre y 50 kg de estaño.
Otra aleación de 1000 kg está compuesta por 300 kg de cobre y 150 kg de estaño. Hallar las
masas de cobre y de estaño que se deben mezclar con las dos aleaciones dadas para obtener
una tercera aleación con un 32% de cobre y un 28% de estaño. Los % son en masa.
500 kg de estaño y 400 kg de cobre
Concentración Peso
Aleación Cobre Estaño Cobre Estaño Aleación
1
2
x y
3
aa. Se tiene una solución de HCl con una concentración al 50% y otra al 80%. ¿Qué cantidad de
cada una se debe mezclar para obtener 100 ml de una solución al 68%? Los tantos por ciento
son en volumen.
Se deben agregar 40 ml de la solución al 50% y 60 ml de la solución al 80%
bb. En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y
cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?
16 aciertos y 4 errores
cc. La cifra de las decenas de un número de dos cifras es doble que la cifra de las unidades. Halla
ese número sabiendo que si le sumamos el número formado por sus cifras cambiadas de lugar
el resultado es 99.
El número es 63
Solución de HCl
Concentración Volumen mezcla
A
B
Mezcla
Cantidad Puntuación Calificación
Aciertos
Errores
Decenas Unidades
Número
Condición 1
Condición 2
dd. Dos compañeros de BUP hacen un trabajo de historia y lo tienen que pasar a máquina. Si lo
hacen los dos juntos, tardan 12 horas, pero Pepe, mecanografiándolo todo él sólo, invierte 10
horas más que Paco. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno por separado?
Paco tarda 20 horas y Pepe tarda 30 horas
Compañeros Velocidad Tiempo
Paco
Pepe
Ambos
A. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Métodos:
I. Suma y/o resta-sustitución
II. Determinantes
III. Gráfico
1. Resuelve los siguientes problemas.
a. Un artista hace tres tipos de estatuas de cerámica, con un costo mensual de $650 por 180
estatuas. Los costos de fabricación de los tres tipos son $5, $4 y $3, respectivamente. Si vende
sus estatuas a $20, $12 y $9, respectivamente, ¿cuántas de cada tipo debe fabricar para
obtener $2,100 de ingresos mensuales?
Método de suma-resta y sustitución
1. Elegir dos ecuaciones para eliminar una variable haciendo multiplicaciones y sumas:
2. Elegir otro par de ecuaciones (incluyendo la que falta) para eliminar la misma variable:
3. Resolver las ecuaciones como un sistema de 2x2:
Estatuas Cantidad Costos
fabricación Recio de
venta
A
B
C
Total 180
4. Sustituir el resultado :
5. Sustituir en una de las ecuaciones originales :
30 estatuas A, 50 estatuas B y 100 estatuas C
b. En cada uno de tres alimentos, la unidad de peso tiene los nutrientes que se muestran en la
tabla. ¿Cuántas unidades de peso de cada uno se deben ingerir para obtener exactamente 11
gramos de grasas, 6 gramos de carbohidratos y 10 gramos de proteínas?
Alimento Grasas Carbohidratos Proteínas
A 1 1 2
B 2 1 1
C 2 1 2
Método de determinantes
1. Hacer el primer determinante con los coeficientes de las literales
2. Sustituir en D los coeficientes de a por los términos constantes
Alimento Grasas Carbohidratos Proteínas
A
B
C
Total 11
3. Sustituir en D los coeficientes de y por los términos constantes
4. Sustituir los valores obtenidos en una ecuación para obtener el tercer valor
1 g de A, 2 g de B y 3 g de C
c. Un fabricante de ropa produce sacos, camisas y pantalones. En la tabla siguiente vemos el
tiempo necesario para cortar, coser y empacar cada prenda. ¿cuántas prendas de cada una
debe producir para llenar todas las horas disponibles de trabajo?
Actividad Sacos Camisas Pantalones Tiempo disponible
Corte 20 min 15 min 10 min 115 horas
Costura 60 min 30 min 24 min 280 horas
Empaque 5 min 12 min 6 min 65 horas
Actividad Sacos Camisas Pantalones Tiempo
disponible
Corte
Costura
Empaque
120 sacos, 200 camisas y 150 pantalones
d. Una fábrica produce tres tipos de balones de futbol, con un costo mensual de $24,450 por
cada 1125 balones. Los costos de fabricación de los tres tipos de balones son $40, $30 y $20.
Estos balones se venden en $160, $120 y $100, respectivamente. ¿Cuántos balones de cada
tipo se fabrican si la ganancia mensual es de $117,200?
Balones Cantidad Costo
mensual Precio de
venta
Tipo 1
Tipo 2
Tipo 3
Total
Tipo 1: 40
Tipo 2: 115
Tipo 3: 970
e. El dueño de una tienda quiere mezclar cacahuates de $20 el kg, almendras de $ 35 kg y nueces
de la India de $25 el kg, para obtener 50 kg de una mezcla que pueda vender a $25 el kg. Usó
15 kg menos de almendras que de cacahuates. ¿Cuántos kilogramos de cada producto debe
utilizar?
Precio / kg Cantidad
Cacahuates
Almendras
Nueces de la India
Total
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