5/13/2018 Resumen cuadricas - slidepdf.com
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Las cuádricas
Son superficies que corresponden a gráficas de expresiones del tipo P(x,y,z) = 0 donde P(x,y,z)
es un polinomio de segundo grado en tres variables.
• Es estudio de la cuádricas ha sido tradicionalmente una disciplina correspondiente al ÁlgebraLineal y su estudio completo se hace de forma matricial y usando conocimientos propios de dichadisciplina.
• Lo que veremos aquí es un resumen de tales superficies y nos ocuparemos exclusivamente decuádricas cuyos ejes principales de simetría son paralelos a los coordenados. Esto se traduce en
sus ecuaciones en la ausencia de productos de variables distintas: xy , xz , yz cuya presenciaindicaría un posición girada de la cuádrica respecto de los ejes de coordenadas.
• En el resumen, aparece como eje básico de las cuádricas el de dirección OZ. Fácilmente podre-mos traducir esas ecuaciones cuando el eje básico sea paralelo a OX o a OY.
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Esfera de centro (α , β ; γ) y radio r :
(x −α)2+ (y − β)2
+ (z − γ)2= r 2
Caso general: Ax2+By 2+Cz2
+Dx+Ey +F z+G = 0 dondeA , B y C son no nulos e iguales. Completando cuadradosen x , y , z y operando, obtenemos la forma canónica.Como casos especiales se puede obtener un punto o unaesfera imaginaria.
Elipsoide de centro ( α , β ; γ) y semiejes: a paralelo a OX, b paralelo a OY y c
paralelo a OZ.
(x −α)2
a2+
(y − β)2
b2+
(z− γ)2
c2= 1
Caso general: Ax2+ By 2 + Cz2
+Dx + Ey + Fz +G = 0donde A , B y C son no nulos y de igual signo. Comple-tando cuadrados en x , y , z y operando, obtenemos laforma canónica. Como casos especiales se puede obtenerun punto o un elipsoide imaginario.
Paraboloide parabólico de vértice (α , β ; γ) y eje paralelo a OZ.
z− γ = ±
(x −α)2
a2+
(y − β)2
b2
(Con signo “− "en la parte derecha de la ecuación canóni-ca, se obtiene una gráfica simétrica a la de la figura, haciaabajo)Caso general: Ax2
+ By 2 + Dx + Ey + F z + G = 0donde A y B son no nulos y de igual signo y F no nulo.Completando cuadrados en x , y y operando, obtenemosla forma canónica.
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Paraboloide hiperbólico de vértice (α , β ; γ) y eje paralelo a OZ.
z − γ = ±
(x −α)2
a2−
(y − β)2
b2
(Con signo “− "en la parte derecha de la ecuación canóni-ca, se obtiene una gráfica simétrica a la de la figura, haciaabajo)Caso general: Ax2
+ By 2 +Dx + Ey + F z +G = 0 dondeA , B y F son no nulos y de distinto signo y F no nulo.Completando cuadrados en x , y y operando, obtenemosla forma canónica.
Hiperboloide de una hoja de centro (α , β ; γ) y eje paralelo a OZ.
(x −α)2
a2+
(y − β)2
b2−
(z − γ)2
c2= 1
Caso general: Ax2+ By 2 + Cz 2
+Dx + Ey + F z +G = 0donde A y B tienen signo distinto que C y son todos no
nulos . Completando cuadrados en x , y , z y operando,obtenemos la forma canónica. Este caso general es comúncon el hiperboloide de dos hojas.
Hiperboloide de dos hojas de centro (α , β ; γ) y eje paralelo a OZ.
−(x −α)2
a2
−(y − β)2
b2
+(z − γ)2
c2
= 1
Caso general: Ax2+ By 2 + Cz 2
+Dx + Ey + F z +G = 0donde A y B tienen signo distinto que C y son todos nonulos . Completando cuadrados en x , y , z y operando,obtenemos la forma canónica. Este caso general es comúncon el hiperboloide de una hojas.
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Cono elíptico de vértice (α , β ; γ) y eje paralelo a OZ
(z − γ)2=
(x −α)2
a2+
(y − β)2
b2
Caso general: Ax2+ By 2 + Cz2
+Dx + Ey + Fz +G = 0donde A y B tienen signo distinto que C y son todos nonulos . Completando cuadrados en x , y , z y operando,obtenemos la forma canónica. Este caso general es el mis-mo que para los hiperboloides, con lo que no obtendremos
su caracterización hasta tener la forma canónica.
Cilindros en general
Toda ecuación polinómica de dos variables Ax2+ By 2 +
Cx + Dy + E = 0 representa en el espacio un cilindrode generatrices paralelas al eje cuya variable falta, en estecaso OZ, y directriz la ecuación dada en el plano corres-pondiente, en este caso el plano XY. En la figura adjunta se
representa el cilindro hiperbólico(y − β)2
b2−
(x −α)2
a2= 1
Cuádricas de revolución
En todas las ecuaciones anteriores si los parámetros a y b son iguales, las cuádricas son derevolución , es decir, se obtienen girando una cónica sobre un eje paralelo al eje OZ
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