Pamela Salvatierra
Teresa Castillo
Lizza Aldana
Gu
ate
ma
la
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mb
re
de
20
12
Un poco de
humor…...
Introducción ………………………………………………………………. 1
Test “Qué tanto sabes sobre matrices?”………………………………....2
Cuento sobre matrices “La caperucita roja”………………………….….7
Conceptos básicos de matrices “ Entrevista con Matilde la matriz”…...9
Labor de una matriz en la vida cotidiana (Aplicaciones)……………….13
Pasos del método de Gauss………………………………………………..14
Independencia lineal……………………………………………………….15
Combinación lineal y espacio generado………………………………….16
Regla de Cramer…………………………………………………………….17
Expansión de Laplace……………………………………………………….18
Matriz adjunta……………………………………………………………….19
Test “Cuánto sabes de determinantes ?”…………………………………..20
Crucigrama de propiedades de matrices…………………………………..24
Chistes a lo matrix…………………………………………………………..25
Sabías qué………………………………………………………...………….26
Glosario……………………………………………………………………...27
Bibliografía ………………………………………………………………….30
El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas
que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sis-
temas de ecuaciones lineales y un enfoque más formal
en espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Se ha estudiado a lo largo del curso, diversos temas tales
como el balance de reacciones, el análisis de redes, las
fracciones parciales, etc, que involucran la resolución de
un sistema de ecuaciones lineales mediante el uso de
una matriz. En esta etapa entonces, se lleva a cabo el es-
tudio de las matrices, sus aplicaciones, tipos de opera-
ciones, etc.
Se define una matriz como un arreglo bidimensional de
números, ordenados en filas y columnas, que se utilizan
generalmente para descubrir sistemas de ecuaciones li-
neales sistemas de ecuaciones diferenciales o representar
una aplicación lineal. Las matrices pueden sumarse,
multiplicarse y descomponerse de varias formas.
Se definen en varios tipos y poseen diversas operacio-
nes. Los tipos de matrices que se pueden encontrar son:
cuadradas, rectangulares, triangulares superior e inferior,
nulas, identidad, transpuestas, diagonal, escalar, fila, co-
lumna, regular, singular, simétrica, antisimétrica, ortogo-
nal.
Se pretende con el siguiente trabajo, adaptar todos los
conocimientos de operaciones y tipo de matrices obteni-
dos hasta la fecha en una especie de revista que abarque
cada uno de los diferentes temas y que cubra con los ele-
mentos básicos de una revista.
1
¿Qué tanto sabes
sobre matric
es?
Descubre qué tanto sabes de matrices.
Realiza el test contestando
honestamente respecto a lo que sabes,
toma nota del punteo de cada respuesta
ubicado al lado de cada una de éstas.
Cuando termine el test, realiza la suma
y verifica tu punteo para saber cuánto
sabes.
2
Considerando la matriz , diría que se
trata de una matriz…
A. Identidad. (0)
B. Única. (1)
2. Si en una matriz, todos los elementos por en-
cima y por debajo de la diagonal son 0, se dice
que se trata de una matriz A. No es matriz (1) B. Nula (0)
3. Considere la mtariz en base
a sus conocimientos la de-finiría
como una matriz
A. Rectangular (1)
B. Cuadrada (0)
3
4. ¿Si los elementos por debajo de una dia-
gonal son ceros, qué tipo de matriz es?
A. Triangular inferior (0)
B. Triangular superior (1)
5. a= b=
, Considerando ambas
matrices, se pude decir que b es:
A. La inversa de a. (1) B. La transpuesta de a. (0)
6. Si todos los elementos ubicados por en-
cima de una diagonal son 0, se trata de
una matriz
A. Cero superior (1)
B. Triangular superior. (0)
4
7. ¿Se considera [4] como una matriz
de 1x1?
A. Si (0)
B. No (1)
8. Considerando una matriz de 3*2 ¿es posi-ble obtener su traza? A. Si, la traza de las matrices no depende del
tipo de matriz. (1) B. No, traza de matrices sólo puede ser obte-nida para matrices cuadradas. (0)
9. Para obtener la potencia de una ma-
triz, esta debe ser una matriz de tipo
A. Cuadrada (0).
B. Identidad (1)
10. Si A y B son matrices de diferentes tamaños.
¿se puede llevar a cabo la suma entre estas?
A. Es posible (1) B. No es posible (0)
5
RESULTADOS
O puntos: Tiene pleno conocimiento de las ma-
trices ¡excelente! :).
1-5 puntos: No estas tan mal, pero, ponte a es-
tudiar un poco más.:D.
6-10 puntos: Si tu examen fuera mañana esta-
rías en serios problemas :S. Estudia más.
6
Érase una vez un vectorcito que vivía con su familia generadora en su ca-sita, V. Era un vectorcito muy joven, pues apenas acababa de cumplir un módulo. Tenía el sobrenombre de Vectorcito Rojo por ser una ferviente ad-miradora de Lindeloff, famoso comunista de la época.
Cierto día, su mamá la llamó:
- Eh, Vectorcito Rojo, ven aquí!. Quiero que lleves estas coordenadas a la ca-sa W de tu abuelita, pues la pobre está muy sola desde que se ha restringido a un espacio de dimensión 1, pero ten cuidado cuando vayas por el bosque Hom(V,W), pues hace tiempo que acecha una matriz muy, muy feroz. - Sí, mamá -dijo Vectorcito Rojo.
Entonces su mamá cogió un 2-cubo abierto de "papé arbá", puso las coorde-nadas y estiró y retorció (pero sin romper ni pegar) el 2-cubo hasta conver-
tirlo en una esfera menos un punto. Después se la dió a Vectorcito.
- Ah!, y sobre todo no te entretengas cogiendo grafos por el camino, ya sa-bes que hay que cuidar el entorno.
- No te preocupes, mamá -y dicho esto, se orientó hacia la casa de su abueli-ta.
Vectorcito Rojo se movía alegremente a través del bosque Hom(V,W), pues pensaba que la matriz debía de rondar muy lejos, por lo menos en el quinto isomorfismo, cuando de repente, algo saltó detrás de una función y se plan-tó delante de Vectorcito Rojo. Vectorcito le reconoció: era la matriz de la que le había hablado su mamá. Parecía muy, muy fuerte (coloquialmente ha-blando, la matriz estaba cuadrada) y la miraba con maldad.
- ¿Dónde vas, Vectorcito Rojo?. - Voy a llevarle estas coordenadas a mi abuelita -dijo ella muerta de miedo. - ¿Me dejas probar alguna? Hace tiempo que no como nada desde que me echaron de GL(n,k) por degenerado.
- No -dijo Vectorcito- son para, y solo para, mi abuelita. - Hagamos una cosa -dijo la matriz- te echo una carrera hasta la casa de tu
abuelita, y si llego antes que tú tendrás que darme al menos una.
Vectorcito Rojo vaciló: su familia vivía en un espacio de clase media (más concretamente C1) y además de dimensión finita, así que no podía ir por ahí tirando una coordenada como si estuviera en un espacio proyectivo.
- No -dijo Vectorcito Rojo- tengo como norma no entretenerme y coger siempre el camino más corto -(esta norma, de uso tan extendido, es tambien conocida como norma euclídea).
- Te doy ventaja: contaré hasta omega antes de empezar a correr -dijo la matriz.
Vectorcito Rojo pareció cambiar de opinión: la matriz parecía sincera, al me-nos en casi todo. Vectorcito Rojo asintió, y empezó a correr.
Pero he aquí que la matriz, al ser degenerada, era muy tramposa, y como tal contó hasta omega, pero usando el axioma de elección, con lo que tardó muy poco. Entonces empezó a correr a través del bosque adquiriendo una velocidad
7
Una vez que llegó la matriz a casa de la abuelita, llamó a la puerta, que es-taba cerrada. La verdad es que la abuelita era una persona muy discreta pues toda su casa siempre estaba cerrada (y abierta a quien la abuelita qui-siera).
- ¿Quién es? -preguntó la abuelita. - Soy yo abuelita, tu querida nietecita. - No conozco tu voz, querida. - Es que estoy mal de la garganta, por culpa del gradiente de la mañana. - No te creo, dime, ¿qué te regalé cuando cumpliste 1/2 módulo?. - Un juego de polígonos constructibles con regla y compás. - Es cierto que eres mi nietecita, entra querida mía.
Y nada más entrar, la malvada matriz engulló a la abuelita, sin darle tiempo a decir ni pi, entonces se disfrazó como ella, se metió en la cama, y esperó.
Y nosotros nos preguntamos: ¿cómo sabía la matriz el regalo de la abueli-ta?. Pues resulta que la malvada matriz vió un día a la abuelita comprar este regalo en Gauss`r`us, la tienda de juguetes maximal de X, de ahí que co-nozca el regalo, pero eso es otra historia.
Al cabo de un rato llegó Vectorcito Rojo. Se retrasó un poco por culpa de las obras de parametrización de la nueva carretera.
Llamó a la puerta...
- ¿Se puede abuelita?. - Entra hija, y cierra la puerta que entra mucho flujo -respondió la malva-da matriz. - Abuelita, abuelita, qué filas más grandes tienes. - Son para reducirme mejor -dijo la matriz. - Abuelita, abuelita, y qué ceros más grande tienes. - Son para rodar mejor -dijo la matriz. - Abuelita, abuelita, y qué unos más grandes tienes. - Son para comerte mejor!! -gritó la matriz.
Y dicho esto la matriz se abalanzó sobre Vectorcito y se la comió.
Una vez en el interior de la matriz, Vectorcito se encontró con su abuelita.
- Socorro, socorro, quiero salir de aquí! - No podemos, hija -dijo la abuelita- la matriz está cerrada herméticamen-te.
La matriz salió de casa de la abuelita. Estaba traspuesta por el festín que se había dado y se disponía a dormir cuando apareció Jordan, el leñador, que había presenciado todo aquello. Jordan cogió su hacha, y armado de valor y autovalor se acercó y...¡zas! de un solo tajo diagonalizó la matriz expulsando a la abuelita y a Vectorcito entre los restos de su polinomio
característico (el cual por cierto había quedado intacto por la acción de Jordan).
8
Por un nú-
mero de renglones y
un número de co-
lumnas, en mi caso
yo soy una matriz de
tres renglones y
tres columnas.
Soy un arre-glo rectangular de número, si quieres le pue-
des llamar entradas. Aun-que en realidad me gusta
que me llamen por una le-tra mayúscula, algunos me nombran con letra minús-cula con doble subíndice.
Muchos de
nuestros
seguidores
están in-
teresados en
conocer mas acerca de ti;
¿Cuál seria el concepto
exacto que tienes sobre ti?
¿Por cuantas
partes estas compuesta?
9
Si, a matriz A es-
ta asociada con
sistema lineal
porque ella es una matriz
de coeficientes. Así mismo vector de
términos constates participa con ellos en
una forma de matriz aumentada
Hemos escucha-
do que entre sis-
tema lineal y tu amiga matriz A
existe un tipo de relación…
Si, a matriz A esta asociada con
sistema lineal porque ella es una
matriz de coeficientes. Así mis-
mo vector de términos consta-
tes participa con ellos en una
forma de matriz aumentada
Hemos escuchado que entre sistema lineal y tu amiga
matriz A existe un tipo de relación…
Si, nosotros como matriz aumen-
tada, nos encargamos de llevar
el sistema a una forma escalo-
nada
Que
les
a
encargado Gauss
10
Mediante este
método podemos re-
solver distintos pro-
blemas, si es que
existen o no solucio-
nes y el numero de
ellas, si las hay finitas o
infinitas.
El pretende llevar un sistema de ecuaciones li-neales a otro sis-tema que sea equivalente
¿Qué me
podrías de-
cir del mé-
todo que
utiliza
Gauss de eliminación?
¿Con que fin?
11
Puedo ayudarte a encontrar
la recta de intersección entre
dos planos, balancear ecua-
ciones químicas, ordenar un
sistema de flujo, análisis de
redes, ya sean der servicios,
de bienes y servicios, econó-
micas
Me refiero a que tenga la misma solución
¿A que te refieres con equivalente?
¿Cuál es
tu campo
laboral?
Me conocen como
Matilda en el Tra-
bajo , pero mis
amigas me dicen
Mati
12
Luego, en 1970 tu-vo un gran aporte en la historia de la química al diseñar un sistema de balanceo de ecuaciones
químicas.
Matilde se dio a cono-
cer por primera vez en
1964 cuando diseño un
sistema en el que po-
día resolver problemas
asignando números a
recursos.
En 2002, Matilde ganó
el premio a la innovación al
crear un sistema en el que
Matriz se ha destacado por ser un grupo emprendedor que ha ocupado los titulares en muchas ocasiones, han ganado premios espe-ciales y acreditaciones internacionales.
En 1973 resolvió un siste-
ma para análisis de redes
que se podría aplicar a
situaciones infinitas que
implicaran conservación
de flujo. En este sentido
profundizó y concluyó con
ayuda de los porstulados
de Koirchhoff para redes
eléctricas las leyes de co-
rriente en los nodos y la
ley de voltaje en circui-
tos.
En el 2007 Matilde ayudó al
país a controlar mediante
un análisis del tráfico vehi-
cular durante la mañana en
la ciudad de Guatemala.
13
Para llevar una matriz a la forma escalonada:
Intercambio de renglones
Multiplicación de renglones por una constante
Sumar el múltiplo de un renglón a otro
-3R1
2R2
R2+
R1
4R2
13R2
R3
+R2
15z=60
Z=4
-52y+28(4)
=60
Y=1
-6x-3+3(4)
=21
-6x=12
X=-2
14
Para llevar una matriz a la forma escalonada reducida:
Intercambio de renglones
Multiplicación de renglones por una constante
Llevar la matriz aumentada a la forma escalonada
utilizando operaciones elementales del renglón.
Hasta que la entrada principal sea 1 y tenga ceros
arriba y debajo de cada uno principal.
1/15
R3
R2-
28R3
-
1/52
R2
R1-
3R3
R1+3
R2
-1/6R1
X=4, Y=1, Z=-2
15
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Se dice que las matrices A1,
A2 Y A3 del mismo tamaño
son LINEALMENTE INDEPEN-
DIENTES si la única solución
de la ecuación
es 0 o trivial. Si no hay coefi-
cientes triviales que satisfa-
gan a la ecuación es LINEAL-
MENTE DEPENDIENTE.
16
Un conjunto de matrices
como el conjunto de to-das las combinaciones li-
neales de las matrices.
Si A, B y C son matrices del
mismo tamaño y C1, C2 Y Ck
son escalares, puede for-
marse la combinación lineal
c1A1 + c2A2 +...+ckAk
17
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Sea A una matriz de nxn
invertible y sea b un vector
en Rn. Entonces la solución
única x del sistema Ax=b
está dada por
18
Más información ….
El determinante de una matriz A de n xn , donde n≥2, pue-
de calcularse como
(que es la expansión por cofac- tores a lo
largo del i-ésimo renglón y también co-
mo la expansión por cofactores a lo largo de
la j-ésima columna
19
La matriz adjunta de A es
la transpuesta de la ma-
triz de cofactores
Ej:
Cofactores
C11=(-1)1+1det[8]=8
C12=(-1)1+2det[2]=-2
C21=(-1)2+1det[-3]=3
C22=(-1)2+2det[4]=4
20
Imagen tomada de: http://labellezasensible.blogspot.com/
¿Cuánto sabes
de
determinantes? Contesta cada una de las preguntas
honestamente, y anota el valor de cada
respuesta indicado al lado. Suma todas
las respuesta y obtén tu resultado; luego,
de acuerdo a tu resultado, verifica qué
tanto sabes de determinantes
21
1. ¿Qué resulta tras obtener
el determinante de una
matriz?
A. Un vector (1
)
B. Un escalar
(0)
2. ¿Cómo se define la determinante de
una matriz? A. Escalar o polinomio que resulta de
obtener los productos posibles de
una matriz. (1)
B. Vector que resulta de obtener los
productos posibles de una matriz.
(0)
3. ¿Qué cualidades debe tener una
matriz para poder obtener la deter-
minante?
A. Que sea una matriz de m x n
donde m y n son cualquier nu-
mero entero. (0)
B. Que sea una matriz cuadrada
(1)
4. En la expresió
n de expansió
n de La
Place: Cofactor (i
,j)= (-
1)i+j determ
i-
nante (Aij),
(i,j)
se refie
ren a:
A. El renglón y la columna que se
va
a eliminar.
(1)
B. El renglón y la columna del cual
se obtendrá la determinante.
(0)
22
5. ¿Cómo se denota la determi-
nante de una matriz?
A. |A| o det (A) (
1)
B. ||A||
(0)
6. ¿Para qué tipo de matrices
aplica el método de diagona-
les?
A. Matrices de 3x3 y 2x2 (1)
B. Todo tipo de matrices (0)
7. ¿Puede la determinante de
un a matriz ser negativa?
A. No (0) B. Si (1)
8. ¿Cambia la determinante si
(i,j) se refieren a cualquier com-
binación de números enteros?
ej: (3,2), (5,4), etc
A. No (1)
B. Si (0)
23
RESULTADOS
8 puntos: ¡Excepcional!, tus conocimientos
de matrices son perfectos. 100 asegurado en
tu examen (en la sección de teoria :D)
4 a 7 puntos: No esta mal, pero en tu lugar,
estudiaría más. No es que te diga que no sa-
bes nada, es sólo que siempre es bueno saber
más :D. 24
Horizontal
1. Se obtiene al cambiar renglones por columnas
2. tipo de matriz nxn
3. Operación con matrices donde A y B deben tener el mismo tamaño
4. AT=-A
5. Arreglo rectangular de números que se denota con letras mayúsculas o letras minúsculas con doble subíndice
6. Matriz triangular donde todas las entradas aij (donde i>j) son cero
Vertical
1. Método en que se lleva la matriz aumentada asociada al sistema a la forma escalonada
2. Operación con matrices donde A y B deben tener el mismo tamaño
3. Cuando A es una matriz cuadrada
4. A0=I
5. Matriz triangular donde todas las entradas aij (donde i<j) son cero
1 3
2 5
4
1 3 5
4
2
6
25
Había una vez una matriz es-calonada que entró a robar a una tienda de vectores (quería tener más columnas li), luego llegaron los carabi-neros y quedó reducida!!!!!! Jajaja
Se abre el telón y apare-
cen tres vectores lineal-
mente independientes,
Se cierra el telón , ¿ Co-
mo se llama la pelicu-
la ? Rango 3
En una fiesta de matrices hay una matriz triste en un rincón. Se le acerca la matriz identidad y le pregunta - Anímate chica ¿qué te pa-sa? - Es que estoy traspuesta
Se abre el telón aparece
una matriz 3x3 con deter-
minante distinto de cero
¿Cómo se llama la pelícu-
la?
RANGO 3
26
27
Sabías que …Una red consiste en un número finito de nodos co-
nectados por ramas o arcos. Cada rama está marcada por un
flujo que indica la cantidad de t objetos que pueden fluir por ca-
da rama en la dirección marcada.
Sabías que…un sistema lineal
se puede resolver sobre un módulo Zp cuando las
variables y coeficientes perteneces
a algún Zp.
Ej: la ec. Lineal x1 +x2 +x3 =1 en Z2
Sabías que…un sistema de análisis de re-
des está regida por la ley fundamental de
conservación del flujo.
Sabías que...mediante un análisis de redes puedes resolver
un problema de flujo como el que se observó ayer por la
mañana en la calle.
Matriz
Arreglo rectangular de número (llamadas
*entradas*) se denotan con letras mayús-
culas o con letras minúsculas con doble
subíndice
Renglones
Líneas horizontales en una matriz
Columnas
Líneas verticales en una matriz
Método de Gauss
Se debe de llevar la matriz aumentada
asociada al sistema a la forma escalonada
Entrada principal
Primera entrada distinta de cero que apa-
rece en cada renglón
Pivote
Número (sobre el escalón) que utilizo
como referencia para convertir en 0 todas
las entradas que están debajo de este.
28
Independencia Lineal
Se dice que un conjunto de vectores es
linealmente independiente si existen esca-
lares tales en su combinación lineal den
como resultado el vector cero
Conjunto generador
Vectores con los que se construye algo
Espacio generador
Resultado de combinar los vectores del
conjunto generador.
Matrices Cuadradas
Igual cantidad de renglones y de colum-
nas
Matrices Transpuestas
Resultado de cambiar los renglones por
columnas
Matrices simétricas
Ocurre cuando A es una matriz cuadrada
A=AT
Eliminación Gaussiana
Se utiliza para llevar un sistema de ecua-
ciones lineales a otro sistema que sea equi-
valente, es decir que tenga la misma solu-
ción
Sistema Lineal Homogéneo
Cuando todos los términos luego de la
línea den una matriz escalonada son cero,
este sistema siempre tiene solución ya sea
única o infinita
29
Potencias de Matrices
Para que se lleve a cabo esta operación es
necesario que la matriz sea una matriz
cuadrada
Matriz Identidad
Esta conformada por 1 en la diagonal y
ceros en el resto de la matriz esta definida
por A0
Traza de una matriz
Es la sumatoria de los números que se en-
cuentran en la diagonal de la matriz, pero
esta debe ser una matriz cuadrada
Matrices Triangulares Superior
Todas las entradas aij (donde i < j) son ce-
ro
Matrices Triangulares Inferior
Todas las entradas aij (donde i > j) son ce-
ro
Determinantes
Escalar denotado por|A| o det A definido
para matrices cuadradas
Matriz asntisimétrica
Se da cuando A tiene en su diagonal solo
ceros
AT=-A
Producto de Matrices
Donde Ay B son matrices Amxn y Bnxp
Cada cij es igual al resultado del producto
escalar del renglón i de A con la columna
j de B.
30
1. Daniel Poole. Álgebra lineal: una introducción moderna. 2001.
CENGAGE LEARNING
2. Stanley I. Grossman. Algebra lineal con aplicaciones. Mc-Graw
Hill.
3. Fernando Díaz et al. 2005. Introducción al álgebra. Netbiblio, Es-
paña.
31
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