SECUENCIA 2
Los números decimales, ¿son otra clase de números?
Introducción
En esta secuencia hemos priorizado algunas cuestiones acerca de los números
decimales que los estudiantes han comenzado a conocer y sistematizar en los
dos años anteriores, para continuar en la escuela secundaria con el
establecimiento de relaciones entre los diferentes tipos de escrituras:
fraccionarias, decimales, porcentuales…
Se pretende que al finalizar el 6° grado los estudiantes hayan tenido la
oportunidad de enfrentarse a problemas, extra o intramatemáticos, que les
permitieran reconocer, escribir y comunicar números decimales, producir
argumentos para justificar equivalencias, intercalar números entre otros dos,
elaborar estrategias para comparar decimales y producir conclusiones útiles para
validar procedimientos o resultados.
Algunos autores llaman decimales a cualquier número real expresado en forma
decimal, es decir a todo número con coma. En este trabajo sostenemos el criterio
que reconoce como números decimales únicamente a los números racionales que
tienen como representante una fracción decimal.1 De este modo diferenciamos los
números decimales de las expresiones decimales de un número, que también
puede ser real.
Si bien las fracciones surgen con las primeras civilizaciones, los números decimales
aparecen en el siglo XVI, cuando Stevin2 en su obra La Disme, sugiere utilizar un
criterio de posición para escribir las fracciones decimales, que consiste en
colocar una coma o un punto a la derecha de las unidades y seguidamente
escribir los numeradores de las fracciones en décimos, centésimos, milésimos…,
colocando ceros cuando faltan unidades de algún orden.
Los números decimales serán considerados, entonces, como otra forma de escritura, así
por ej., la expresión 0,25 designa un número decimal que también se puede escribir
en forma de fracción que a su vez es equivalente a la fracción irreducible .
Son tres formas distintas de expresar un número decimal particular.
2
Para el tratamiento de este tipo de números los problemas con dinero
constituyen un contexto familiar para los estudiantes y permiten muchas veces
“la entrada” al estudio de los decimales. Muchas veces los conocimientos que
tienen disponibles los niños permiten anticipar y controlar resultados aunque aún
no dominen ciertas relaciones matemáticas. Hoy nos encontramos con la dificultad
que las monedas menores al peso han quedado en desuso, si bien aún son legales en
los precios o pagos no son utilizadas. Por otra parte el uso de decimales en el
contexto del dinero tiene ciertos límites. Así por ejemplo entre 1,99 y 2 no existe
otro precio, lo que no permite “hacer visible” que entre dos racionales hay
infinitos números racionales.
Por esta razón se plantean situaciones del contexto de la medida que permiten el
uso de los milésimos y también problemas descontextualizados, es decir problemas
intramatemáticos.
Si bien hemos decidido que los números racionales se estudien a partir de otra
forma de escritura de las fracciones decimales, es importante que su estudio se
profundice al analizar el valor posicional y las relaciones entre los diferentes
órdenes. Se proponen situaciones en las que hay que discutir sobre la composición de
un número destacando el valor posicional de cada cifra. Por ejemplo: ¿Qué número
se forma con 0,1; 0,1; 0,001; 0,001; 0,001 y 0,01?
También en las situaciones que planteen establecer relaciones de equivalencia y
orden será necesario considerar el valor posicional, para desechar ideas como que la
cantidad de cifras decimales determina si un número es mayor a otro. Así por
ejemplo 3,5 no es menor que 3,222 aunque 5 es menor que 222.
Desde esta propuesta se propone un trabajo centrado en la construcción de
significados para los decimales, su comparación y sus diversas representaciones, así
como la transformación de un número en otro. Se plantean diferentes contextos
intra y extramatemáticos y algunos juegos con la intencionalidad que se
conviertan en auténticos desafíos intelectuales.
Los problemas propuestos tienden a que los estudiantes pongan en juego distintos
tipos de tareas del trabajo matemático como: tomar decisiones, justificar,
validar, resolver, comunicar, formular preguntas…, pero con la convicción de
que la apropiación de conceptos está íntimamente relacionada con las
interacciones que se generen en el aula y 1con la intervención del docente.
1 Criterio que sostienen J. D. Godino, Socas(2001), Centeno (1998)
3
Actividad 1
Un cuadrado unidad
Organización de la clase: se propone trabajar en parejas
Materiales: cuadrículas de 10 x 10 cuadraditos
En esta actividad les proponemos expresar relaciones entre los cuadraditos y una cuadrícula de
10 x 10, que consideraremos como unidad.
1. Para pensar y responder sin pintar:
a. ¿Cuántos cuadraditos pintarían si les piden representar las fracciones 1
4y
1
5?
b. ¿Es cierto que dos columnas de cuadraditos representan la fracción 2
5 del cuadrado unidad?
c. Discutan si es posible escribir otra fracción que represente la misma parte que 2
5.
d. ¿Cuántos cuadraditos representan2
10 del cuadrado unidad?
2. Ahora a pintar:
a. Representen en el cuadrado dibujado las fracciones 1
10 y
1
100
b. Representen también la fracción 14
100y las fracciones
12
100+
3
10
3. Para discutir con tu compañero y responder:
a. ¿Cuántos centésimos hay en un cuarto de la unidad? ¿y en 1
5 de la unidad?
b. ¿Cuántos décimos hay en treinta centésimos?
c. ¿A qué es igual la mitad de un décimo? ¿Cómo se escribe como fracción decimal?
d. ¿Podrían representar1
1000? ¿Es necesario hacer otras divisiones en el cuadrado unidad?
e. ¿Cuántos milésimos hay en una unidad? ¿Y en 1
2 unidad?
f. Analicen qué fracción está representada en cada caso. Escríbanla de dos maneras diferentes
4
Actividad 2
¡A jugar! Pintando el cuadrado unidad2
Materiales: un cuadrado unidad de 10 x10 cuadraditos por jugador, dos lápices de distinto
color para cada jugador y un mazo de 15 cartas con fracciones decimales, que
figuran en los recortables.
Organización de la clase: se juega en parejas
Reglas de Juego:
Se mezclan las cartas del mazo y se colocan boca abajo en la mesa.
Para decidir quién comienza, cada jugador saca una carta, el que saque la fracción mayor comienza
el juego.
Por turno cada uno saca una carta y representa la fracción que le tocó en su cuadrado unidad con el
color elegido.
Gana la partida el jugador que pinte primero todo el cuadrado unidad o al que le hayan quedado la
menor cantidad de cuadraditos sin pintar cuando se terminen las cartas.
Si alguno de los jugadores recibe una carta que no se puede representar porque se pasa de la
unidad, este jugador debe abandonar el juego y entonces gana su contrincante.
Para después de jugar
Se propone que resuelvan en forma individual
¿Es verdad que si ya pintaste5
10 y te toca la carta
70
100 te pasás del entero? Explica por qué
Fede dice que le tocaron las tarjetas4
10 ,
50
100 y que con
1
10 completa la unidad ¿Tiene
razón? Justifica tu respuesta
2 Adaptado de Hacer Matemática en 6°. Cecilia Parra Irma Saiz Editorial Estrada 2011ª)
Para recordar
Las fracciones que tienen
como denominador la unidad
seguida de ceros (10, 100,
1000….) se llaman fracciones
decimales.
Para recordar
5
Melina jugaba con Ariel. Ariel dice que con las tarjetas 150
1000
70
100 y
1
10 completa el cuadrado
unidad, Melina dice que no, que le falta ¿Quién creen que tiene razón? Si están de acuerdo con
Melina escriban cuánto le falta. ¿Hay alguna carta que le sirve?
Si ya pintaron750
1000 y
1
10 ¿Cuánto le falta para completar el entero? ¿Qué carta necesita
para completar la unidad?
Tarea
Responder:
a) ¿Cuántos décimos hay en 70
100? ¿Y en
500
1000?
b) Completar con la fracción que falta para que el cálculo sea igual a 1
23
100 +
54
100 +
1
10 + = 1
Actividad 3
Juego de comunicación: ¿Qué parte?
Materiales: cuadrículas de 10 x 10 y papel para escribir mensajes.
Organización de la clase: La clase se divide en un número par de grupos con dos o tres
integrantes, que actuarán como emisores primero y como receptores luego.
Reglas de juego:
Cada equipo recibe una tarjeta distinta con la representación gráfica de una fracción,
como las que siguen:
a) ¿Cuántos décimos hay en tres unidades?
b) ¿Cuántas unidades hay en 60
10?
c) ¿Cuántos milésimos hay en dos unidades?
d) ¿Cuántos centésimos hay en 5 décimos?
Para seguir
pensando:
6
Cada equipo tiene que escribir un mensaje con la expresión fraccionaria que corresponda
a la representación que recibió.
Cuando todos los equipos terminan de escribir el mensaje, cada uno lo entrega al equipo
asociado para que la represente nuevamente en forma gráfica y además escriba la
expresión decimal.
Luego analizan entre los equipos si la representación gráfica realizada por el equipo
receptor es la misma o es equivalente a la que recibió el equipo emisor al inicio de la
jugada.
En caso de error, emisores y receptores discutirán si la causa está en la escritura
fraccionaria del mensaje emitido o en la representación gráfica de los receptores. Además
podrán discutir si la escritura decimal es la traducción de la fraccionaria.
Para después de jugar
Analizá y resolvé estas situaciones
1. En una cuadrícula representá lo que dicen estos mensajes:
a)2
10 +
1
4b) 0,25 +
15
100
7
2. Escribí de tres maneras diferentes el número: 3 décimos más 18 centésimos.
3. Benja representó en la cuadrícula una fracción decimal, quiso escribir esa
representación de distintas maneras lo hizo en forma incompleta. Escribí en los espacios
en blanco lo que falta.
4. ¿Cuáles de las siguientes escrituras corresponden a mil trescientos cinco milésimos?
Decidí cuáles son correctas. Explicá por qué
a)1, 305 b) 1305,1000 c)1305
1000d) 0, 1305 e)1300,005
Tarea
Escribí estos números:
a) Ocho enteros, cinco décimos
b) Dos enteros, siete décimos y un centésimo
c) Cuatro enteros, dos centésimos
d) Quince enteros, doce milésimos
…….
4Setenta y cinco…………….
… …
20
…….
100Siete décimos y cinco……… 0,……
Si una unidad se divide en 10 partes cada parte
es un décimo. Se escribe 0,1 =1
10.
Un centésimo es una de las cien partes en que se
dividió la unidad. Se escribe 0,01= 1
100.
Si la unidad se divide en 1000 partes, cada parte
es un milésimo 0,001= 1
1000.
Para recordar
8
Actividad 4
Juego: Cartas y números
Materiales: Un mazo de 30 cartas (diez de 0,1, diez de 0,01 y diez de 0,001), una tabla por
jugador como la siguiente: Número decimal Puntaje
Organización de la clase: Se divide la clase en parejas
Reglas de Juego:
Cada pareja recibe un mazo de cartas y deciden quién reparte las cartas. El jugador que
se encuentra a la derecha del que reparte comienza el juego.
Cada jugador recibe cinco cartas y una tabla para anotar.
El juego consiste en armar un número con las cinco cartas y escribirlo en la tabla.
El que escriba el número mayor gana esa ronda y se anota 2 puntos. Si hay empate
porque escribieron el mismo número obtienen un punto cada uno.
Se juegan tres rondas y gana el que obtiene mayor cantidad de puntos.
Partidas simuladas Para después de jugar, sin usar las cartas
Analicen las situaciones y respondan:
a) ¿Con qué cartas armarías los siguientes números: 0,3; 0,04; 0,002; 0,24; 0,135?
b) Ariana usó cinco cartas 0,01 y cinco cartas de 0,1 ¿Qué número armó?
c) ¿Qué cartas usarías para armar el 1,01 de dos maneras diferentes? ¿Y el 1,1?
d) ¿Qué número se arma con todas las cartas del mazo?
e) Para anotar un número, Mayra sumó tres veces 0,001, dos veces 0,1 y cuatro veces 0,01
¿Qué número anotó?
Tarea 1. Usando solamente los decimales 0,1, 0,01 y 0,001 ¿qué cuenta harían para que el
resultado sea 0, 345?
2. Si en el visor de la calculadora figura el número 2,346 ¿qué cálculo hay que hacer en lamáquina para que en el visor aparezca el número 2,306 sin borrar? ¿Y para que aparezca 2, 046?
9
10
Actividad 5 Problemas para pensar
Analicen las situaciones y resuelvan
1. Javier, Cecilia y Mariela midieron el largo de su propia carpeta. Todos utilizaron el metro
como unidad y expresaron los resultados con fracciones.
¿Cuál de los estudiantes tiene la carpeta más larga? ¿Por qué?
2. Marita la dueña de la mercería tiene estas piezas de cinta. ¿Cuál de ellas mide 1 metro y
4 milímetros?
3. Roberto, el carpintero y su ayudante, están construyendo una escalera. Roberto dice al ayudante, alcanzame el tablón de 14 metros y ocho centímetros. ¿Cuál de los tres tablones le tiene que alcanzar?
Yo medí 2
5 m A mí me dio
2
10+
25
100 m
Mi carpeta
mide 35
100 m
14,8 m 14,08 m 14,80 m
1,40 m 1,04 m 1,004 m
4. Fede compró caramelos en el kiosco y pagó justo usando estas monedas
¿Cuál de estos precios pagó?
Tarea Para dormir
Carolina y su hermana Agustina conversan acerca de las camas de su
habitación. Carolina dice que el ancho de su cama es 1m 5 dm y Agustina dice
que la suya es más ancha porque mide 1,5 m. ¿Es cierto lo que dice Agustina?
¿Por qué?
Actividad 6
¿Estamos en problemas?
Problemas para analizar 1. Cuando la profesora preguntó cuánto le falta a 6,90 para llega a 10
¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
Para mí lo que
falta es 3,01
Yo pienso que lo
que falta es 3,10 Yo creo que
es 3,19
Marcos
Ale
Noelia
11
2. Para discutir en el grupo y responder:
¿Cuánto le falta a 3,99 para llegar a 4?
¿Cuánto le falta a 3,0099 para llegar a 4?
¿Cuánto le falta a 0,2 para llegar a 1?
¿Cuánto se pasa el 2 del número 1,79
¿Cuánto se pasa el 1 del número 0, 019?
3. Emi tenía que decidir qué números de la lista están más cerca de 3. Él dice que hay
dos. ¿Les parece que tiene razón? ¿Por qué?
2,98 2,9 2,99 3,01 3,1
¿Cuál es el número entero que está más cerca de 6,5999? ¿Es único?
Tarea
Tarea
Para resolver sin la calculadora
Si en el visor de la calculadora está el número 5, 627 ¿qué cálculo hay que hacer para
que aparezca 5,027 sin borrar?
Si en el visor de la calculadora está el número 9,148 ¿qué cálculo que habría que hacer
para que aparezca 9,108?
Actividad 7 Juego de la Guerra de personajes
Materiales: Un mazo de veinte cartas de personajes que se encuentran en el anexo.
Organización de la clase: Se juega en parejas. Se reparten 10 cartas para cada jugador
Para seguir
pensando:
12
Reglas de juego
Antes de comenzar los integrantes de la pareja deciden quién reparte.
Cada jugador hace una pila con sus cartas sin mirarlas. Va a comenzar el juego el
jugador que no repartió.
En cada vuelta cada jugador toma la carta superior de su pila y la mira pero no se la
muestra al adversario.
El jugador al que le toca comenzar el juego, da vuelta la carta y elige una característica,
la que considere mejor de su carta y “canta”, por ejemplo: “peso, 118,300Kg”.
A continuación, el otro jugador canta el peso correspondiente a su carta. El que tiene la
carta con la medida mayor para la magnitud elegida gana y se lleva las dos cartas. Por
ejemplo, si el peso en la primera carta del adversario hubiera sido”87,5 kg”, gana el
primero y se lleva las dos cartas.
Los jugadores eligen alternativamente qué magnitud comparar.
Si se produce empate porque las medidas para la magnitud elegida son equivalentes, se
declara la guerra. Quien advierte el empate dice “canto guerra pri” y elige la
característica que competirá.
Se colocan sobre la mesa las cartas que empataron; entonces dan vuelta una segunda
carta que será la que competirá para desempatar y se comparan las medidas respectivas
y el que tiene la medida mayor se lleva las cuatro cartas.
El juego continua hasta que se acaban las cartas de cada uno.
Gana el jugador que obtiene más cartas.
Para después de jugar
Organización de la clase: realizar en forma individual
1. Cuando Ale y Florencia jugaban a la guerra de personajes, hubo discusiones:
Florencia: “Altura: 1, 77 m”
Ale: “Peso 1,770 kg”
Florencia: “Canto guerra pri”
Ale: “¡No estoy de acuerdo! ¡Gané yo! Porque 770 es mayor que 77”
¿Qué opinan? ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
13
2. Durante algunas vueltas, el juego se mantuvo tranquilo. Hasta que de pronto… Ale dijo:
“Peso 125,8 kg” y Flor leyó su carta: “125,80 kg” ¿Les parece que alguno de ellos cantó
“guerra pri”? ¿Por qué?
3. En otra vuelta hubo guerra. Ale cantó “guerra pri” y leyó: altura: 1,50 m ¿Qué altura
podría tener Florencia en su carta? Escribe la menos dos alturas posibles.
4. A esta altura del partido, Ale y Florencia estaban convencidos de que para jugar a esta
guerra de personajes había que saber bastante de decimales. Siguieron jugando hasta
que apareció un nuevo motivo de desacuerdo: Florencia: “Altura: 1,63 m y Ale dice 163
10
de m.
Actividad 8
A ordenar pesos y alturas
1. a) Julieta ordenó estas cartas según las pesos de los personajes de mayor a menor.
¿Están de acuerdo?
Peso:112,505 kg
Altura: 1,570 m
Largo de brazos: 0,77 m
Peso: 112,70 kg
Altura: 1,68 m
Largo de brazos: 0,56 m
Peso: 112,07 kg
Altura: 1,64 m
Largo de brazos: 0,69 m
Peso: 112,05 kg
Altura: 1,94 m
Largo de brazos: 0,780 m
b) Ordenen las mismas cartas según las altura de los personajes de menor a mayor.
c) Clarita discute con los amigos acerca del largo de brazos de dos personajes: Yoda y
Chewbacca. Ella dice que Yoda tiene más cortos los brazos.
Si a las cifras decimales de un
número decimal se le agregan ceros
se obtienen números decimales
equivalentes.
Para recordar
14
Yoda
Largo de brazos: 0,6 m
Es decir que 0,6 < 0,56
¿Tiene razón? ¿Por qué?
Chewbacca
Largo de brazos: 0,56 m
2. Cuando Joaquín y Any jugaban con las cartas de personajes, ocurrió esta discusión:
Joaquín: “Altura: 1, 7 m”
Any: “Peso 1,68 kg”
Joaquín: “Canto guerra pri”
Any: “¡Qué guerra ni guerra! ¡Gané yo! Tengo 1 con 68 y vos 1 con 7”
¿Qué opinan? ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
Tarea
1. Ordena estos números de mayor a menor
a) Doce enteros, cinco centésimos b) 12,01 c) 12, 30 d) 100
8e) 12,1 f) Doce enteros, cinco
décimos
2. a. Víctor tarda 11,5 segundos en recorrer 100 metros llanos y Manuel, 11,48 segundos.
¿Es cierto lo que dice Lucía: -“Manuel tarda más porque 48 es mucho más grande que
5”?
b. Alejandra dice que 9,320 es mayor que 9,32 porque tiene más cifras. ¿Tiene razón?
El signo < se lee: “...es menor que..”
Y el signo > se lee; “…es mayor que…” Para recordar
15
Actividad 9
Adivinar números
Organización de la clase: En parejas
Analicen lo que pasó cuando jugaron a adivinar números y resuelvan.
1. Juan Manuel y Sofía jugaban a adivinar números. Mientras los números eran enteros
no hubo problemas, pero cuando comenzaron a jugar con decimales se generó esta
discusión:
- Juan Manuel:- “Adivina adivinador...El número que pensé está entre 2,4 y 2,5”
- Sofía: No seas tramposo, no hay números entre 2,4 y 2,5
¿Quién piensan que tiene razón? Expliquen por qué.
2. Juan Manuel le dio a Sofía estos ejemplos de números que están entre 2,4 y 2,5:
2, 41 2,47 y 2,49
¿Están de acuerdo con Juan Manuel? ¿Podrían ustedes escribir otro número?
3. Ahora Sofía está contenta porque si puede encontrar números decimales entre dos
decimales ganarle a Juan Manuel.
Sofía: - ““Adivina adivinador...Mi número está entre 3,14 y 3,15 y tiene tres cifras
decimales” ¿Qué números habrá pensado Sofía? Escriban tres.
4. En la última jugada Juan Manuel dice:
“Adivina adivinador...pensé un número que está entre 4, 56 y 4, 57 y tiene dos
lugares después de la coma”
Sofía dice que ella ganó porque ahora sí se equivocó Juan Manuel y perdió. ¿Tiene
razón Sofía? ¿Por qué?
Tarea
Escribí tres números entre:
a) 1,7 y 1,8
b) 12,05 y 12,06
c) 0,5 y 0, 51
d) 13,6 y 14
16
Actividad 10
¿Qué aprendimos?
Organización de la clase: Esta actividad se realizará en forma individual
1. Juegos Olímpicos
En la tabla se muestran algunos resultados de la primera etapa de salto en altura de
mujeres en los juegos olímpicos de 2018. Países PB
China 1,81
Suiza 1,77
Australia 1,78
Italia 1,79
Ucrania 1,94
Grecia 1,83
Islas
Marshall
1,45
República
Checa
1,81
Eslovenia 1,74
Sudáfrica 1,75
Israel 1,79
Finlandia 1,87
Leyenda PB: mejor marca personal
2. Un mismo número
¿Cuáles de las siguientes escrituras corresponden al número mil quinientos cinco
milésimos
a) 1,505 b) 1505,1000 c) 1505
1000d) 0, 1505 e) un entero y quinientos cinco milésimos
a) ¿Cuáles son los países que ocuparon los tres primeros puestos?
b) Escribe como fracción decimal la marca de los atletas de Italia y
Eslovenia.
c) ¿Cuánto le falta a la marca de la atleta de Islas Marshall para
llegar a 2?
d) ¿Cuáles de los siguientes números están más cerca de la marca de
la atleta de China?
1, 791 1, 799 1, 812 1,8099
e) Escribe de dos maneras diferentes la marca de Sudáfrica.
f) Escribe dos decimales equivalentes a la marca de Israel.
g) Escribí tres números decimales entre la marca de las atletas de
Eslovenia y Sudáfrica, es decir entre 1,74 y 1,75.
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3. Para pensar
a. Mariela pesaba 55,5 kg. Hoy subió a la balanza y extrajo un ticket que decía
55,500 kg. Ella preocupada dijo que subió de peso. ¿Es cierto? ¿Por qué?
b. En un supermercado venden las manzanas en bolsas con diferentes pesos.
Quedan sólo dos bolsas. Una de ellas dice: “peso 3,3 kg” y la otra dice: “peso 3,25
kg”. Si quiero llevar la bolsa que contienen más manzanas, ¿Cuál elijo?
4. Para explicar
a. ¿Cómo le explicarías a otro alumno qué hay que tener en cuenta para ordenar
los números: 5,65; 5, 065; 5,056; 5, 506; 5,605?
b. ¿Qué tenés en cuenta para saber si dos números decimales son equivalentes?
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