Selección y Evaluación de Proyectos Utilizando el Enfoque de Opciones Reales
Monografía de grado presentada a la
Facultad de Economía
por
Jorge A. Sefair
Asesor: Andrés Medaglia Coasesor: Julio Villareal
Para optar al título de Economista
Facultad de Economía Universidad de los Andes
Julio 2005
Tabla de Contenido
1 Introducción.................................................................................................................... 4 2 Las opciones reales dentro del contexto de evaluación de proyectos............................. 6 3 Aproximación a un modelo de selección de proyectos utilizando la valoración por opciones reales...................................................................................................................... 11
3.1 Formulación del modelo....................................................................................... 12 3.2 Caso de estudio..................................................................................................... 14 3.3 Resultados............................................................................................................. 16
4 Conclusiones................................................................................................................. 18 5 Anexo 1: Ejemplo de valoración de un proyecto a través de opciones reales.............. 20 6 Referencias ................................................................................................................... 24
2
Lista de Tablas
Tabla 1. Áreas de aplicación y literatura relacionada de las opciones reales....................... 10 Tabla 2. Demanda por recursos para algunos proyectos (dhit).............................................. 15 Tabla 3. Costo y VPN del conjunto de proyectos ................................................................. 15 Tabla 4. Horas disponibles de los perfiles profesionales...................................................... 16 Tabla 5. Costo de una hora adicional de recurso.................................................................. 17
Lista de Gráficas
Gráfica 1. Consumo de los recursos 1 y 4 por los proyectos incluidos en el portafolio óptimo........................................................................................................................... 16
Gráfica 2. Selección de proyectos: comparación entre escenario base y adición de recursos...................................................................................................................................... 17
Gráfica 3. Árbol para el precio spot del petróleo (Pu, Pm y Pd son las probabilidades de movimientos hacia arriba, hacia el centro y hacia debajo de los nodos)...................... 20
Gráfica 4. Valor del proyecto sin opciones .......................................................................... 21 Gráfica 5. Valoración de la opción de abandonar el proyecto.............................................. 22
Lista de Cuadros
Cuadro 1. Estructura de la estrategia de selección de proyectos propuesta ........................ 12
3
1 Introducción
La evaluación del desempeño de las alternativas de inversión es una práctica común
tanto en las empresas que buscan maximizar sus beneficios financieros, como en aquellas
interesadas en maximizar el beneficio económico y social generado (en su mayoría
públicas). A través de la evaluación de proyectos se busca determinar el impacto que tendrá
una decisión de inversión. Con esta información, la compañía decide cuáles son los mejores
proyectos para financiar dentro de un conjunto de alternativas, siendo una decisión
compleja cuando existen múltiples insumos para ser asignados, interdependencias entre
proyectos y muchas alternativas. Esta complejidad hace necesario el desarrollo de nuevas
herramientas matemáticas y computacionales que permitan a la compañía -luego de la
evaluación de las alternativas- la selección de las que mayor beneficio generan.
Múltiples metodologías se han desarrollado con el fin de evaluar el desempeño de una
alternativa de inversión. Graham y Harvey (2001) recopilaron información para 4,400
firmas, encontrando que las metodologías más frecuentemente utilizadas son la tasa interna
de retorno (TIR) y valor presente neto (VPN). Dentro de la literatura relacionada con las
técnicas de selección de proyectos, los criterios de evaluación más utilizados son la
rentabilidad (medida a través del VPN) y el riesgo. Benli y Yavuz (2003), Gupta y
Kyparisis (1992), Kyparisis et al (1996), Kangari y Boyer (1982) y Kimms (2001), entre
otros, usan el valor presente neto (VPN) como criterio de maximización. Kangari y Boyer
(1982) y Kangari y Riggs (1988), incorporan la incertidumbre a través del uso de tasas de
descuento acordes al nivel de riesgo de cada proyecto. Chun (1994) incluye el riesgo desde
el punto de vista de la probabilidad de cumplir una tarea y Sefair y Medaglia (2005) utilizan
la varianza del VPN como medida de riesgo. Tradicionalmente, la medición del riesgo ha
estado inspirada en la metodología de Markowitz (1952).
Desde la década de los 90´s se ha desarrollado la teoría de las opciones reales como
alternativa a la metodología del VPN, alcanzando un auge considerable de aplicación en la
industria. El 25% de las empresas que componen el estudio de Graham y Harvey (2001)
reportaron el uso de las opciones reales como metodología de evaluación de proyectos.
Copeland y Antikarov (2001) reportan que grandes compañías como Hewlett-Packard,
Apple, Anadarko Petroleum, Mobil, Exxon, Airbus Industries, Texaco, entre otras, han
utilizado la metodología de valoración por opciones reales en áreas como desarrollo de
4
nuevos productos, producción y distribución, decisiones de salida o entrada a segmentos de
mercado, explotación de gas y petróleo, entre otras.
Las opciones reales han tenido un auge considerable debido a sus implicaciones dentro
de la estrategia de una compañía, ya que pueden ayudar a descubrir nuevas oportunidades
de negocio que no son observables a través de las metodologías tradicionales como el VPN
(Harvard Management Update, 2001). Adicionalmente, esta metodología incorpora
elementos estratégicos como la flexibilidad para ajustar las decisiones de inversión a
medida que se conoce nueva información (Mauboussin (1999), Benninga y Tolkowsky
(2002)). Por otro lado, esta teoría permite la planeación de decisiones que son contingentes
al éxito de las decisiones actuales. Es posible tener en cuenta que inversiones realizadas
hoy -que pueden tener VPN negativo- pueden crear oportunidades de inversión en el futuro.
En una compañía farmacéutica por ejemplo, el gasto en el desarrollo de una nueva
medicina, puede estar precedido de una etapa de desarrollo y verificación, haciendo posible
que la inversión se realice paso por paso y no en su totalidad en un mismo instante.
Finalmente, las opciones reales permiten una mejor gestión del riesgo en sectores de alta
incertidumbre por dos razones. En primer lugar, las metodologías tradicionales de
evaluación de proyectos relacionan un nivel alto de incertidumbre con una mayor tasa de
descuento y por lo tanto con un menor VPN. En la teoría de opciones la incertidumbre se
considera como una oportunidad: una mayor incertidumbre implica un mayor valor de la
opción (Mauboussin, 1999). En segundo lugar, la flexibilidad para ajustar las decisiones de
inversión permite tomar un curso de acción que maximiza los beneficios y reduce la
posibilidad de enfrentar pérdidas (Benninga y Tolkowsky (2002), Boute et al.(2004)).
Una vez evaluadas las alternativas de inversión, la compañía se enfrenta a la difícil
tarea de decidir cuáles proyectos realizar. Esta tarea se complica cuando existen recursos
escasos (fuerza laboral, maquinaria, tecnología, presupuesto, entre otros) y restricciones
técnicas como interdependencias, en las que la realización de un proyecto obliga a la
realización de otro. Diversas técnicas se han aplicado al problema de selección de proyectos
con el fin de encontrar un conjunto de proyectos que maximice el retorno esperado bajo
restricciones presupuestales y de recursos. Dentro de éstas técnicas se encuentran
programación lineal (Freeland y Rosenblatt (1978); Myers (1972)), programación lineal
multiobjetivo (Ringuest y Graves, 1989), programación entera (Beged-Dov (1965), Sefair y
5
Medaglia (2005), Medaglia et al.(2005)), programación por metas (Benjamin (1985),
Myers (1972)), algoritmos evolutivos (Medaglia, 2003), entre otras. Una revisión de las
técnicas aplicadas a la selección de proyectos dentro de empresas públicas puede
encontrarse en Zanakis et al. (1995).
En este trabajo se propone un modelo de programación entera mixta para realizar la
selección de los mejores proyectos dentro de un conjunto de alternativas. Este modelo tiene
en cuenta restricciones de recursos como presupuesto e insumos y interdependencias entre
proyectos. Estas restricciones hacen que el proceso de selección de proyectos vaya más allá
de un simple ordenamiento, ya que la escasez de los recursos hace que no todos puedan ser
llevados a cabo al mismo tiempo. El objetivo del modelo es el de realizar la selección de las
alternativas de inversión y sus requerimientos de tal forma que se maximice el impacto total
generado. La medición del impacto de cada uno de los proyectos se realiza a través de la
técnica de opciones reales.
En la segunda sección de este documento se describe detalladamente la metodología de
las opciones reales. La tercera sección presenta el modelo de selección de proyectos y un
caso de estudio como ejemplo de su aplicación. Finalmente se presentan las conclusiones y
la investigación futura que se desprende de este trabajo.
2 Las opciones reales dentro del contexto de evaluación de proyectos
La metodología de opciones reales se fundamenta en el trabajo de los premios Nobel
Scholes (1997) y Merton (1997) quienes desarrollaron la teoría de opciones financieras en
conjunto con Fisher Black. El espíritu de las opciones reales es la aplicación de la teoría de
valoración de las opciones sobre activos financieros a la valoración de activos reales
(proyectos). A través de la metodología de opciones reales es posible valorar oportunidades
ocultas en entornos de alta incertidumbre (Harvard Management Update, 2001).
De acuerdo con Amram y Kulatilaka (1998) la metodología tradicional del VPN
tiende a subvalorar los proyectos, ya que en muchos casos la creación de valor se encuentra
en las posibilidades de crecimiento futuro y no en los flujos de caja estimados desde el
presente. Por ejemplo, las inversiones en proyectos de investigación y desarrollo,
tecnologías de información y comercio electrónico se fundamentan en la creación de
6
nuevas oportunidades de negocio en el futuro y no en los flujos de caja inmediatos (Miller y
Park, 2002). Además, si la incertidumbre es alta no es posible tomar acertadamente la
decisión de hacer o no hacer un proyecto de inversión a través de las metodologías
tradicionales. El VPN, evalúa los proyectos desde el presente utilizando toda la información
actual disponible y asumiendo certeza en el futuro o al menos asumiendo que la situación
actual no cambiará mucho. De esta forma, solo es posible tomar una decisión: hacer
(VPN>0) o no hacer el proyecto (VPN≤ 0). Esta rigidez en la toma de decisión no permite
ningún tipo de flexibilidad en el ajuste futuro de las decisiones, ignorando nuevos cursos de
acción que podrían mejorar el desempeño del proyecto si los pronósticos no son acertados.
Las opciones reales se fundamentan en los principios de las opciones financieras. En
una opción financiera sobre una acción por ejemplo, el propietario tiene la posibilidad (más
no la obligación) de comprar o vender la acción si el precio alcanzado por la acción es
superior o inferior a un precio acordado previamente. En las opciones reales, el encargado
de la toma de decisión tiene la posibilidad de tomar diferentes cursos de acción si se
cumplen determinadas condiciones (previstas desde el presente). Por ejemplo, una
compañía decidió construir una gran planta de procesamiento dado el valor actual y el
pronóstico del precio de su producto con una inversión de US 500 millones. Años después,
por causas exógenas (imposibles de pronosticar) el precio del producto cae, hasta tal punto
que no es posible mantener la operación en la planta ¿Qué hubiera pasado si en lugar de
construir una gran planta, se hubiera decidido construir una planta más pequeña, y
expandirla en el futuro si el precio del producto aumentaba o se mantenía dentro de cierto
rango? Esta flexibilidad para tomar decisiones, no solamente aumenta el valor del proyecto
al tener en cuenta nuevas oportunidades, sino que reduce el riesgo de pérdida al ajustar las
decisiones ante cambios inesperados.
Las opciones reales no hacen obsoleto al VPN, simplemente afinan sus resultados al
tener en cuenta mas de un escenario y sus posibles contingencias. De esta forma, el valor
presente neto estratégico, ajustado por las opciones reales (VPN ) puede escribirse de
acuerdo a la ecuación (2.1) (Trigeorgis, 1995)
VPN = VPN + Valor de las Opciones (2.1)
7
Las opciones que típicamente se tienen en cuenta están relacionadas con el valor del
proyecto o con el valor esperado de los flujos de caja como activos subyacentes. Esto
quiere decir por ejemplo que si el valor de los flujos de caja no ha sido el esperado se tiene
el derecho de ejercer la correspondiente opción y cambiar el curso de acción del proyecto.
Las opciones mas utilizadas tienen en cuenta el aplazamiento, abandono, reducción del
tamaño y expansión de los proyectos. Algunas de las opciones implican un costo adicional
como las opciones de expandir capacidad, construcción de infraestructura adicional o
cambio entre insumos sustitutos. Trigeorgis (1995) y (1998) presenta una completa
recopilación de los tipos de opciones más comunes y describen detalladamente la
valoración de opciones como: aplazar la inversión dentro de una compañía de petróleos
hasta resolver algún tipo de incertidumbre coyuntural en los precios internacionales del
crudo, detener la construcción de un proyecto, expandir infraestructura cuando las
condiciones del precio son más favorables de lo esperado, entre otras.
La metodología de opciones reales ha sido aplicada en diversas áreas del conocimiento
en donde existe un alto nivel de incertidumbre al momento de tomar las decisiones.
Kitabatake (2002) aplica la metodología de opciones reales a la evaluación de un proyecto
de infraestructura pública (carreteras) en un parque nacional natural de Japón. Cortázar et
al. (2001) desarrollan un modelo basado en opciones reales que determina cuando es
óptimo para una firma invertir en tecnologías ambientales y cuáles son los parámetros
principales que deben guiar la decisión. Lima y Suslick (2002) desarrollan un modelo para
seleccionar un portafolio óptimo de proyectos de petróleo y gas. Benninga y Tolkowsky
(2002) evalúan proyectos de investigación y desarrollo de un nuevo medicamento en la
industria farmacéutica. La Tabla 1 muestra las áreas de aplicación y la literatura
relacionada, ampliando la revisión realizada por Miller y Park (2002).
Las opciones reales, como cualquier otra metodología, también tienen sus dificultades.
Dentro del contexto financiero, las opciones están claramente especificadas: derecho a
comprar o derecho a vender. Por el contrario, dentro del contexto de las opciones reales, el
aspecto de mayor dificultad es el de definir claramente cuáles son las opciones a tener en
cuenta. La incorrecta identificación de las opciones puede invalidar el ejercicio de
evaluación y conducir a decisiones equivocadas (Harvard Management Update, 2001). Por
otro lado, algunas técnicas de valoración de opciones pueden ser dispendiosas y requerir de
8
conocimientos avanzados en ecuaciones diferenciales, cálculo estocástico, programación
dinámica, simulación, entre otros. La dificultad para valorar las opciones hace que este
método no sea fácilmente aplicable. Copeland y Antikarov (2001), Hull (2003), Mun
(2002), Van Horne (1997) y Trigeorgis (1998) describen detalladamente una serie de
métodos discretos y continuos para valorar opciones reales. Trigeorgis (1998) recopila una
serie de técnicas y casos aplicados a determinados tipos de opciones reales. Mun (2003)
describe a profundidad una serie de casos reales utilizando una herramienta de software que
se incluye con su libro. Finalmente, Amram y Kulatilaka (1998) disponen del sitio web
www.real-options.com para facilitar el aprendizaje y la aplicación de la metodología de
valoración por opciones reales. En este sitio web (desarrollado en conjunto con su libro),
los autores ponen a disposición material de referencia, casos de estudio, ejercicios y
vínculos a desarrollos de software en el área.
9
Tabla 1. Áreas de aplicación y literatura relacionada de las opciones reales
Área de Aplicación Fuente
Biotecnología
Kellog y Charnes (2000) Ottoo (1998) Brach y Paxson (2001) Lavoie y Sheldon (2000) Rausser y Small (2000)
Manufactura e Inventarios
McLaughlin y Taggart (1992) Stowe y Su (1997) Ritchken y Tapiero (1986) Kulatilaka (1993) Mauer y Ott (1995) Cortazar y Schwartz (1993) Chung (1990)
Recursos Naturales
Kelly (1998) Pickles y Smith (1993) Imai y Nakajima (2000) Smit (1997) Kemma (1993) Cortazar, Scwartz y Cassasus (2001) Cortazar, Scwartz y Salinas (1998) Kamrad y Ernst (2001) Brennan y Schwartz (1985) Cortazar y Cassasus (1998) Kitabatake (2002)
Investigación y Desarrollo
Vonortas (1998) Perlitz, Peske y Schrank (1999) Jensen y Warren (2001) Morris, Teisburg y Kolbe (1991) Kim y Koo (2001) Lee y Paxson (2001) Herath y Park (2002) Childs y Triantis (1999) Lint y Pennings (2001) Benninga y Tolkowsky (2002)
Valoracion de acciones
Kelly (1998) Kellog y Charnes (2000) Keeley y Punjabi (1996) Kester (1984) Jagle (1999) Chung y Charoenwong (1991)
Estrategia Bernardo y Chowdhry (2002) Kogut y Kulatilaka (1994) Bollen (1999)
Tecnología
Boer (2000) McGrath (1997) McGrath y MacMillan (2000) Amram, Kulatilaka y Henderson (1999) Kumar (1996) Panayi y Trigeorgis (1998) Taudes (1998)
Petróleo
Lima y Suslick (2002) Imai y Nakajima (2000) Pickles y Smith (1993) Petrobras (Ing. Marco A. G Dias) www.puc-rio.br/marco.ind/main.html
10
3 Aproximación a un modelo de selección de proyectos utilizando la
valoración por opciones reales
Una empresa puede contar con una cantidad considerable de proyectos para ser
llevados a cabo. Una vez realizada la evaluación de los proyectos la compañía debe
determinar si tiene los recursos suficientes para realizar todos los proyectos con >0.
De no ser así, la compañía se enfrenta al problema de seleccionar los mejores proyectos de
tal forma que maximice el valor agregado para la compañía y utilice sus recursos
eficientemente.
VPN
Dentro de la literatura de selección de proyectos se han desarrollado modelos que
tienen en cuenta la utilización de recursos de capacidad finita. Benli y Yavuz (2003),
Medaglia et al.(2005), Sefair y Medaglia(2005), entre otros, tienen en cuenta restricciones
de presupuesto para realizar la selección. Kavadias y Loch (2004), Kimms (2001) y
Schwindt (2005) presentan formulaciones que tienen en cuenta restricciones de recursos
diferentes a los de presupuesto, como mano de obra, maquinaria, tecnología, entre otras.
El modelo que se presenta en esta sección, tiene en cuenta la selección de proyectos de
inversión bajo restricciones de recursos dentro de un contexto de opciones reales. El
Cuadro 1 muestra la estructura de la estrategia de selección de proyectos propuesta. La
compañía evalúa los proyectos a partir de la información disponible utilizando la
metodología de opciones reales. La cantidad de recursos disponible dentro de la compañía,
las restricciones de interdependencia y presupuesto, la demanda de recursos por parte de los
proyectos y los resultados de la evaluación se utilizan como insumo del modelo de
optimización. Este modelo selecciona las mejores alternativas y realiza la programación de
los recursos necesarios. Al año siguiente, la compañía debe evaluar no solamente los
proyectos nuevos sino los que se iniciaron en períodos anteriores, es decir, debe actualizar
la información que se utilizó para evaluar los proyectos que están en curso para así
determinar si ejerce o no las opciones reales. Una vez llevado a cabo este proceso, la nueva
información alimenta de nuevo el modelo de optimización que determina cuáles proyectos
deben realizarse y cuales -de los que estaban en curso- deben detenerse.
11
Cuadro 1. Estructura de la estrategia de selección de proyectos propuesta
3.1 Formulación del modelo
Sea el conjunto de proyectos a considerar. Sea T la longitud del horizonte de
planeación. Sea cit el costo de inversión del proyecto i en el período t (t=0,…, T). Sea rot el
presupuesto de inversión para el tiempo t. Sea rt el presupuesto no utilizado en el tiempo t-1
que se traslada al tiempo t ( ). Sea
P
0tr ≥ iVPN el VPN del proyecto i calculado a través de la
metodología de opciones reales.
t=2
t=1
Información disponible (precios,
variables macroeconómicas,
condiciones de mercado, etc.)
Evaluación de proyectos usando opciones reales
Oferta de recursos disponibles dentro de
la compañía
Modelo de optimización
Proyectos a realizar
Programación de los requerimientos de
recursos (insumos y presupuesto)
Conjunto de proyectos candidatos
Presupuesto
Demanda de recursos por parte de cada
proyecto
Interdependencias
Información disponible (precios,
variables macroeconómicas,
condiciones de mercado, etc.)
Evaluación de proyectos usando opciones reales
Oferta de recursos disponibles dentro de
la compañía
Modelo de optimización
Proyectos a realizar
Programación de los requerimientos de
recursos (insumos y presupuesto)
Conjunto de proyectos candidatos
Presupuesto
Demanda de recursos por parte de cada
proyecto
Interdependencias Actualización de la información de los
proyectos realizados en t-1
Proyectos provenientes de t-1
que se deben cancelar
t=0
12
Sea el conjunto de recursos necesarios para la realización de los proyectos. Sea sht la
cantidad disponible del recurso hH para el tiempo t. Sea dhit la demanda del recurso hH
por parte del proyecto iP, para el período t.
H
Sea A el conjunto de relaciones de interdependencia entre los proyectos, es decir, si el
proyecto iP tiene una relación de interdependencia con el proyecto jP, entonces (i,j)A.
Si existe una relación de interdependencia (i,j)A, esto quiere decir que si se realiza el
proyecto j se tiene que haber realizado el proyecto i, pero no lo contrario.
Sea yi una variable binaria que toma el valor de 1 si el proyecto iP se realiza. La
variable yi toma el valor de 0 si el proyecto no es realizado.
La función objetivo de este problema se muestra en (3.1). Allí se busca maximizar el
VPN agregado generado por la realización de los proyectos.
max i ii P
VPN y∈∑ (3.1)
Las restricciones de presupuesto (3.2) incluyen el presupuesto proveniente del período
anterior ( ), el presupuesto exógeno ( ) y el costo de inversión en el tiempo t ( ). tro
tr it ii P
c y∈∑
1 ; 0,...,ot t t it i
i Pr r r c y t+
∈
= + + = T∑ (3.2)
Las restricciones de recursos disponibles (diferentes a presupuesto) (3.3) muestran que
la utilización de los recursos en cada mes, no debe superar la cantidad disponible.
; , 0,...,hit i hti P
d y s h H t T∈
≤ ∈ =∑ (3.3)
El conjunto de restricciones (3.4) permite modelar las restricciones de interdependencia.
Si el proyecto j es realizado (yj =1) entonces se obliga a que el proyecto i se realice (yi=1).
; ( , )j iy y i j A≤ ∈ (3.4)
El modelo anterior selecciona los mejores proyectos de inversión teniendo en cuenta
recursos limitados cuya oferta esta determinada. Una versión alternativa del modelo,
permite a la empresa determinar los recursos adicionales necesarios para la realización de
los proyectos. Para esto se reemplazan (3.2) y (3.3) por (3.5) y (3.6), en donde es la
cantidad adicional del recurso h requerida en el tiempo t, y
hts∆
htp es el costo de una unidad
adicional del recurso h en el período t.
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1 ; 0,...,ot t t it i ht ht
i P h Hr r r c y s p t+
∈ ∈
= + + − ∆ =∑ ∑ T
(3.5)
+ ; , 0,...,hit i ht hti P
d y s s h H t T∈
≤ ∆ ∈ =∑ (3.6)
3.2 Caso de estudio
El modelo desarrollado toma como insumo la evaluación realizada de los proyectos a
través de la metodología de opciones reales. Esta aplicación se concentra en el problema de
selección de proyectos y la asignación de los recursos con que dispone la compañía
(presupuesto y mano de obra). El caso de estudio fue construido a partir de un modelo
desarrollado para una compañía del sector de telecomunicaciones en Colombia1.
La compañía cuenta con 10 proyectos de investigación y desarrollo en distintas áreas
para realizar el próximo año. Dentro de las áreas se encuentran Gestión de recaudo y
cartera, Desarrollo de la oferta, Mejorar rendimiento de los sistemas, entre otros. Para
realizar los proyectos la compañía cuenta con 5 perfiles profesionales de fuerza laboral,
dentro de los que se encuentran programadores de Java, especialistas SAP, arquitectos de
software, entre otros. La Tabla 2 muestra la demanda en horas de perfiles profesionales
para los proyectos 1, 2 y 7. Allí se observa que un proyecto no requiere necesariamente la
intervención de todos los perfiles profesionales. La empresa también cuenta con un
presupuesto de 120 millones para realizar los proyectos. Los recursos no son suficientes
para realizar todos los proyectos a la vez.
1 El modelo fue implementado en el software Xpress-MP de Dash Optimization bajo el Academic Partner Program suscrito con la Universidad de los Andes.
14
Tabla 2. Demanda por recursos para algunos proyectos (dhit) t Perfil
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 2 200 120 150 230 230 230 230 230 230 230 230 230 4 105 35 120 120 275 225 225 225 225 225 225 225
Proyecto 1
t t Perfil
0 1 2 Perfil
0 1 2 3 1 100 160 150 1 60 85 82 85 2 380 200 130 2 220 220 220 220 3 175 125 225 3 275 275 275 275 4 125 185 225 4 295 170 275 215
Proyecto 2 Proyecto 7
La compañía determina el desempeño de los proyectos de acuerdo a la metodología de
opciones reales descrita anteriormente. En el Anexo 1 se encuentra una descripción
detallada del cálculo de valor del VPN para el proyecto 7. La Tabla 3 muestra el y el
costo de inversión para cada proyecto. Se observa la existencia de proyectos buenos y
malos desde el punto de vista del VPN. Adicionalmente, si se selecciona el proyecto 5
dentro del portafolio óptimo, se debe haber seleccionado el proyecto 9.
VPN
Tabla 3. Costo y VPN del conjunto de proyectos
Proyecto 0ic * (millones)
iVPN (millones)
1 5 65.32 1.2 18.23 8 27.54 1.2 5.25 6 4.86 1.15 3.27 15 1.48 2 -36.99 1 84.2
10 5.5 -27.2 *Solo existe un costo en el período t=0
La Tabla 4 muestra la disponibilidad en horas de todos los perfiles profesionales
durante el año. Allí se observa que la cantidad de recursos no es homogénea a lo largo del
horizonte para algunos perfiles, dificultando la selección de los proyectos ya que cada uno
de ellos demanda horas de diferentes perfiles profesionales.
15
Tabla 4. Horas disponibles de los perfiles profesionales 2007
Perfil Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 1 620 580 540 400 470 430 480 480 480 430 430 480 2 1390 1200 830 1100 1100 850 830 830 780 530 550 480 3 1260 1280 1130 1180 1180 1180 1180 1180 1180 1180 1180 1280 4 780 930 830 780 830 780 800 830 880 880 880 880 5 1250 630 670 630 630 630 630 680 630 680 630 630
3.3 Resultados
La Gráfica 1 muestra el consumo de los recursos 1 y 4 luego de seleccionar los mejores
proyectos a través de la aplicación del modelo anteriormente descrito. El área sombreada
presenta el consumo de las horas disponibles en cada período por parte de los proyectos. La
utilización promedio de estos recursos fue de 80.68% y de 63.29% respectivamente, lo que
muestra que algunos recursos no serán utilizados en su totalidad y en un caso extremo no
serán utilizados. En este caso particular, la utilización del recurso 5 no supera el 6%. La
utilización promedio de los demás recursos fue de 80.42% (recurso 2) y 26.58% (recurso
3).
Gráfica 1. Consumo de los recursos 1 y 4 por los proyectos incluidos en el portafolio óptimo
16
La Gráfica 2 compara el caso en el que la compañía no puede modificar sus recursos
disponibles (escenario base) con aquel en el que se permite al modelo determinar los
recursos adicionales de personal (reemplazando (3.3) y (3.4) por (3.6) y (3.7)). Allí se
observa que la compañía puede lograr un incremento de 3% en el valor de su función
objetivo a través de la contratación adicional de recursos en Marzo ( y
), Mayo ( ), Octubre (
1, 96Mars∆ =
2, 226Mars∆ = 4, 30Mays∆ = 2, 10Octs∆ = ) y Diciembre ( ). A
través de la contratación adicional de recursos fue posible incluir al proyecto 4 dentro del
portafolio óptimo.
2, 60Dics∆ =
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
Oct
Nov
Dic
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
Oct
Nov
Dic
1 12 23 34 45 56 67 78 89 9
10 10
Escenario Base (F. Objetivo = 203.2) Adición de Recursos (F. Objetivo = 208.4)
Pro
yect
o 2007
Pro
yect
o 2007
Gráfica 2. Selección de proyectos: comparación entre escenario base y adición de recursos
Todas las adiciones de recursos se realizan bajo el mismo presupuesto inicial, teniendo
en cuenta el costo por unidad de las horas adicionales contratadas. Del presupuesto inicial
se destinaron 18.7 Millones para la contratación de los recursos adicionales ( ). La
Tabla 5 muestra el costo de contratar una hora adicional de cada uno de los recursos.
hts∆
Tabla 5. Costo de una hora adicional de recurso
Recurso Costo hora adicional (pesos) ( htp )
1 50,000 2 50,000 3 60,000 4 60,000 5 70,000
17
4 Conclusiones
La metodología de opciones reales se presenta como una herramienta que complementa
los resultados del VPN tradicional. Esta metodología incorpora elementos estratégicos que
son de utilidad para el encargado de la toma de decisión, ya que permiten el ajuste de las
decisiones a medida que se reduce la incertidumbre sobre los flujos de caja. Es posible
dirigir el proyecto hacia donde más beneficios capture evitando el riesgo de pérdida.
Adicionalmente, las opciones reales permiten descubrir alternativas que a través de las
metodologías tradicionales no son evidentes, por ejemplo las inversiones realizadas en la
actualidad pueden abrir posibilidades de negocio futuras como en el caso de los proyectos
de investigación y desarrollo.
Los criterios de rentabilidad y riesgo son tenidos en cuenta simultáneamente al emplear
las opciones reales. La consideración de las posibles contingencias y la posibilidad de
ajustar la decisión a medida que se obtiene nueva información, reduce significativamente la
posibilidad de enfrentar pérdidas. De la misma forma, al ajustar el criterio del VPN
tradicional, es posible incorporar la rentabilidad de cada alternativa.
Las opciones reales pueden ser aplicadas en un amplio espectro de áreas que no
solamente están relacionadas con en el sector privado. Existen grandes oportunidades
dentro del contexto de la evaluación de proyectos gubernamentales en las áreas de
investigación y desarrollo, ciencia y tecnología y evaluación de proyectos ambientales,
áreas en las que existe una gran incertidumbre en cuanto a su impacto (y posiblemente
subvaloración de los proyectos) y que son de vital importancia en una economía en
desarrollo. Adicionalmente, la utilización de las opciones reales haría más riguroso el
mecanismo de planeación en las empresas al tener que prever todas las posibles
contingencias y cursos de acción de los proyectos.
La aplicación de las opciones reales y en general de cualquier metodología de
valoración de proyectos eliminaría la subjetividad presente en la selección de los proyectos
a realizar. La presión política y la ausencia de criterios técnicos en la evaluación de los
proyectos pueden tener un costo de oportunidad muy alto, sobretodo si se trata de proyectos
dentro de empresas públicas. El modelo y la metodología planteada pueden convertirse en
herramientas para cuantificar el impacto de decisiones arbitrarias al comparar los resultados
18
con los que se obtienen al permitir la mejor asignación de los recursos (modelo sin
restricciones arbitrarias).
El modelo desarrollado puede ser parte de un sistema de apoyo a la decisión para
compañías que estén interesadas en seleccionar proyectos de inversión bajo restricciones de
recursos, no solamente financieros, sino también de personal, maquinaria, tecnología, entre
otros. En el caso de una empresa pública, el modelo permite la asignación eficiente de los
recursos hacia los proyectos que generen mayores impactos sobre la compañía o la
sociedad.
El modelo puede ser utilizado, no solamente para responder a la pregunta ¿cuáles
proyectos realizar? sino también determinar ¿cuáles recursos son necesarios? y ¿en qué
cantidad? A través del modelo planteado, la compañía puede planificar la adquisición de los
recursos adicionales necesarios para la realización de nuevos proyectos. La planeación de
los requerimientos de los recursos hace que la empresa evite la subutilización o la
adquisición innecesaria de recursos. Adicionalmente el modelo puede ser utilizado para
planear el presupuesto necesario para la realización de proyectos, convirtiéndose en un
ejercicio de gran importancia en el caso que la empresa requiera crédito para financiar sus
inversiones.
19
5 Anexo 1: Ejemplo de valoración de un proyecto a través de opciones
reales.
El siguiente ejemplo se construye a partir de Hull (2003). Considere una compañía que
tiene que decidir cuando invertir $15 millones para obtener 6 millones de barriles de cierto
campo petrolero a una tasa de 2 millones de barriles por año durante tres años. Los costos
fijos de operar el equipo ascienden a $6 millones por año y los costos variables a $17 por
barril. Se asume que la tasa de interés libre de riesgo es de 10% anual, que el precio spot
del petróleo es de $20 por barril y que los precios futuros esperados para los próximos tres
años son de $22, $23 y $24 por barril. El proceso estocástico para los precios del petróleo
es estimado de acuerdo a un proceso de reversión a la media con parámetros y 0.1a =
0.2σ = . La Gráfica 3 describe el comportamiento del precio del petróleo en un mundo
neutral al riesgo.
E J44.35 45.68
B F30.49 31.37 32.3
K
A C G20 21.56 22.18 22.85
D H15.25 15.69 16.16
I N11.1 11.43
L
M
Nodo A B C D E F G H I
Pu 0.166 0.121 0.166 0.221 0.886 0.121 0.166 0.221 0.086
Pm 0.667 0.656 0.667 0.656 0.026 0.656 0.667 0.656 0.026
Pd 0.166 0.221 0.166 0.121 0.086 0.221 0.166 0.121 0.886
Gráfica 3. Árbol para el precio spot del petróleo (Pu, Pm y Pd son las probabilidades de movimientos
hacia arriba, hacia el centro y hacia debajo de los nodos)
Si se asume que el proyecto no tiene ninguna opción relacionada, los flujos de caja en los
próximos tres años equivalen a $4 millones para el primer año (2 millones de barriles * $22
20
- $6 millones - $17 * 2 millones de barriles) $6 millones para el segundo año y $8 millones
para el tercero. El valor del proyecto es por lo tanto
0.11 0.1 2 0.1 315 4 6 8 0.54e e e− ⋅ − ⋅ − ⋅− + ⋅ + ⋅ + ⋅ = −
Este análisis indica que no se debe realizar el proyecto. La Gráfica 4 muestra el valor del
proyecto en cada uno de los nodos de la Gráfica 3.
E J42.24 0
B F38.32 21.42 0
A C G14.46 10.8 5.99 0
D H-9.65 -5.31 0
I N-13.49 0
K
L
M
Gráfica 4. Valor del proyecto sin opciones
Por ejemplo en el nodo H existe una probabilidad de 0.221 de que el precio del petróleo al
final del tercer año sea de $22.85, en este caso el beneficio generado es de $5.7 millones (2
millones de barriles * $22.85 - $6 millones - $17 * 2 millones de barriles). También existe
una probabilidad de 0.656 de que el precio del petróleo al final de tercer año sea de $16.16,
en cuyo caso el beneficio es de $-7.68 millones finalmente, existe una probabilidad de
0.1217 de que el precio del petróleo al final del tercer año sea de $11.43, y en este caso el
beneficio es $-17.14 millones. Por lo tanto el valor esperado del proyecto en el nodo H es
igual a
( ) ( ) 0.110.2217 5.7 0.656 7.68 0.1217 17.14 5.31e− ⋅⋅ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ = −⎡ ⎤⎣ ⎦
En el nodo inicial A, el valor del proyecto es de $14.46 millones. Al incluir la inversión el
valor del proyecto es de $-0.54 millones, consistente con los cálculos previos.
21
Suponga ahora que la compañía tiene la opción de abandonar el proyecto en cualquier año.
Se supone que no hay valor de salvamento ni pagos adicionales una vez el proyecto ha sido
abandonado. El abandono es una opción put americana con precio de ejercicio de $0. La
valoración de la opción se muestra en la Gráfica 5
E J
0 0
B F0 0
A C G1.94 0.8 0 0
D H9.65 5.31 0
I N13.49 0
K0
L
M
Gráfica 5. Valoración de la opción de abandonar el proyecto
La opción put no se debe ejercer en los nodos E, F y G ya que el valor del proyecto es
positivo. La opción se debe ejercer en los nodos H e I en cuyo caso tiene un valor de $5.31
y $13.49 millones. El valor de la opción en el nodo D, si esta no se ejerce es
( ) 0.110.121 13.49 0.656 5.31 0.221 0 4.64e− ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
Por el contrario el valor de ejercer la opción en el nodo D es $9.65 millones, lo que es
mayor que $4.64 millones entonces la opción no se debe ejercer. El valor de la opción put
en el nodo C es
( ) 0.110.166 0 0.666 0 0.166 5.31 0.8e− ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
El valor de la opción en el nodo A es de
( ) 0.110.166 0 0.666 0.8 0.166 9.65 1.94e− ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
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El valor de la opción de abandonar es entonces igual a $1.94. Aplicando la Ecuación (2.1)
se tiene que
VPN = $-0.54 + $1.94 = $1.4
Por lo tanto un proyecto que no era atractivo a través del VPN tradicional, ahora tiene un
valor positivo.
23
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