Departamento de Ciencias Cajamarca 2014
CURSO: MATEMÁTICA IV
Tema :
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Las ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes tienen numerosas aplicaciones y
pueden resolverse de manera sistemática. Existen, sin embargo, casos donde son preferibles
los métodos alternativos de esta sesión. Recuérdese, por ejemplo, las ecuaciones
)(''' tFkxcxmx y )('1
''' tEIC
RILI
Correspondientes a un sistema masa-resorte-amortiguador y a un circuito RLC en serie,
respectivamente. Con frecuencia ocurre en la práctica que los términos de excitación )(tF
o )(' tE tienen discontinuidades – por ejemplo, cuando el voltaje suministrado a un circuito
eléctrico se activa o desactiva periódicamente –. En este caso los métodos estudiados
pueden ser inconvenientes, por lo que resulta más adecuado el método de transformada de
Laplace.
El operador diferencial D puede verse como una transformación cuando se aplica a la
función )(tf , a partir de la cual se obtiene la nueva función )(')( tftfD . La
transformada de Laplace L { )(tf }= )(sF de una nueva variable independiente s. Después
de aprender como calcular la transformada de Laplace )(sF de una función )(tf , se
presentará la forma en que la transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial
con función desconocida )(tf en una ecuación algebraica )(sF . Debido a que las
ecuaciones algebraicas son generalmente más fáciles de resolver que las ecuaciones
diferenciales, éste es un método que simplifica el problema de encontrar la solución )(tf .
Transformada de Laplace y transformadas inversas
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Definición La transformada de Laplace
Dada una función )(tf definida para toda 0t , la transformada de Laplace de f es la
función de F definida como sigue:
)(sF = L { )(tf }=
0)( dttfe st
(1)
para todo valor de s en los cuales la integral impropia converge.
Recuérdese que una integral impropia en un intervalo infinito está definida como el límite
de la integral en el intervalo acotado; esto es,
b
abadttgdttg )(lim)( (2)
Si el límite en (2) existe, entonces se dice que la integral impropia converge; de otra manera
diverge o no existe. En los siguientes ejemplos, la integral impropia de la definición de
L { )(tf } normalmente converge para algunos valores de s y diverge para los otros.
Ejemplo 1
Con 1)( tf para 0t , la definición de la transformada de Laplace en (1) obtiene
L { )(tf } =
se
se
sdte bs
b
stst 11lim
1
00
y por tanto
L {1} = s
1 para 0s (3)
Como en (3), es una buena práctica especificar el dominio de la transformada de Laplace –
tanto en problemas como en ejemplos – . Además, en este cálculo se ha utilizado la
abreviatura común
ba
ba
tgtg )(lim)(
(4)
Observación
El límite calculado en el ejemplo 1 no existiría si s < 0, porque el término bses /1 estaría
no acotado conforme b . Así, L {1} está definida sólo para s > 0. Esto es algo
normal de las transformadas de Laplace; el dominio de la transformada es normalmente de
la forma s > a para algún valor a.
Ejemplo 2
Con atetf )( para 0t , se obtiene
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L {ate } =
se
sas
edtedtee bs
b
tastasatst 11
lim
0
)(
0
)(
0
Si s – a > 0 , entonces 0)( tase conforme t ; así, se concluye que
L {ate } =
as
1 para as (5)
Ejemplo 3
Supóngase que attf )( donde a es real y 1a . Entonces
L {at }=
0dtte ast
Si se sustituye stu , = sut / y = sdudt / en la integral, se obtiene
L {at }=
101
)1(1
a
au
a s
aduue
s
para toda s > 0 (de tal manera que 0 stu ). Debido a que !)1( nn si n es un entero
no negativo, se observa que
L {nt }=
1
!ns
n para 0s (6)
Por ejemplo
L { t }= 2
1
s , L {
2t }= 3
2
s , y L {
3t }= 4
6
s
LINEALIDAD DE LAS TRANSFORMADAS
No es necesario realizar a fondo los cálculos de la transformada de Laplace directamente de
la definición. Una vez que se conocen las transformadas de Laplace de varias funciones,
éstas pueden combinarse para obtener las transformadas de otras funciones. La razón es que
la transformada de Laplace es una operación lineal.
TEOREMA 1 Linealidad de la transformada de Laplace
Si a y b son constantes, entonces
L { )()( tbgtaf }= a L { )(tf } + bL { )(tg } (7)
para toda s tal que las transformadas de Laplace tanto de f como de g existen.
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Ejemplo 4
El cálculo de L {2/nt } se basa en el conocido valor especial
2
1
de la función gamma, y las propiedades 1)1( y )()1( xxx . por ejemplo , se
concluye que
4
3
2
1
2
1.
2
3
2
3
2
3
2
5
Ahora, con las fórmulas (6) y (7) se obtiene
L {2/32 43 tt } = 3.
532/53
36
2/54!2
ssss
Ejemplo 5
Recuérdese que 2/cosh ktkt eekt . Si 0k , entonces el teorema 1 y el ejemplo 2 en
conjunto dan como resultado
L { ktcosh } = 2
1 L {
kte } 2
1 L {
kte} =
ksks
11
2
1
esto es,
L { ktcosh } = 22 ks
s
para 0 ks (8)
De manera similar,
L { ktsenh } = 22 ks
k
para 0 ks (9)
Debido a que 2/cos iktikt eekt la fórmula en (5), con a = ik, proporciona
L { ktcos } = 22
2
2
111
iks
s
iksiks
y así,
L { ktcos } = 22 ks
s
para 0s (10)
(Se concluye que el dominio es para s > Re[ik] = 0). De manera similar,
L { ktsen } = 22 ks
k
para 0s (11)
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Ejemplo 6
Aplicando la linealidad, la fórmula dada en (10) y la conocida identidad trigonométrica se
obtiene
L { tsene t 3 23 22 } = L { te t 6cos13 2 }
0 para
)36)(2(
72 1443
36
1
2
3
2
3
2
ssss
ss
s
s
ss
TRANSFORMADAS INVERSAS
Si )(sF es la transformada de alguna función continua )(tf , entonces )(tf está
determinada de manera única. Esta observación permite construir la siguiente definición,
Definición
Si )(sF L { )(tf } , entonces se llama )(tf a la transformada inversa de Laplace de
)(sF , y se escribe
)(tf L – 1
{ )(sF } (12)
Ejemplo 7
Empleando las transformadas de Laplace que se obtuvieron en los ejemplos 2, 3 y 5, se
observa que
L – 1
{3
1
s} =
2
2
1t , L
– 1 {
2
1
s} =
te 2 , L
– 1 {
9
22 s
} = tsen 3 3
2
Notación – Funciones y sus transformadas
A lo largo de esta sesión se han representado las funciones de t con letras minúsculas. La
transformada de una función siempre se representará con la misma letra, pero mayúsculas.
Así, F(s) es la transformada de Laplace de f (t), y x(t) es la transformada inversa de Laplace
de X(s).
FUNCIONES CONTINUAS POR TRAMOS
Definición
Se dice que la función f (t) es continua por tramos en el intervalo acotado bta siempre
que [a, b] pueda subdividirse en varios subintervalos finitos colindantes, de tal manera que:
1. f sea continua en el interior de cada uno de estos subintervalos; y
2. f (t) tenga un límite finito conforme t se aproxime a cada extremo de cada
subintervalo desde su interior.
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Se dice que f es continua por tramos para 0t
si es continua por tramos en todo subintervalo
acotado de ,0[ . Así, una función continua
por tramos tiene sólo discontinuidades simples
(si las hubiera) y únicamente en puntos aislados.
En estos puntos el valor de la función
experimenta un salto finito, como se indica en la
figura
El salto en f (t) en el punto c está definido como )()( cfcf , donde
)(lim)(0
cfcf y )(lim)(0
cfcf
Probablemente la función continua por tramos más simple (pero discontinua) es la función
escalón unitario, cuya gráfica se muestra en la figura. Esta función se define como sigue
0 1
0 0 )(
tpara
tparatu
Debido a que 1)( tu para 0t , y a que la transformada de Laplace involucra sólo
valores de la función para 0t , se observa inmediatamente que
L { )(tu } = s
1
La gráfica de la función escalón unitario )()( atutua se muestra en la figura. El salto
de esta función ocurre en t = a en vez de en t = 0; de manera equivalente,
atpara
atparaatutua
1
0 )()(
Ejemplo 8
Encuentre L { )(tua } si 0a
Solución
L { )(tua } = )0 ,0( ,lim)(0
ass
e
s
edtedttue
asb
at
st
ba
st
a
st
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Definición
Se dice que la función f es de orden exponencial conforme t si existen constantes no
negativas M, c y T tales que
ctMetf )( para Tt
(13)
Así, una función es de orden exponencial siempre que su incremento (conforme t ) no
sea más rápido que un múltiplo constante de alguna función exponencial con un exponente
lineal. Los valores particulares de M, c y T no son tan importantes; lo importante es que
algunos de esos valores existan de tal manera que la condición en (13) se satisfaga.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Aplique la definición para encontrar la transformada de Laplace de las funciones
a) ttf )(
b) 2)( ttf
c) 13)( tetf
d) ttf cos)(
e)
f)
g)
h)
2. Utiliza las transformadas ya conocidas para encontrar las transformadas de Laplace de
las funciones en los ejercicios siguientes (puede necesitar una integración preliminar
por partes)
a) tttf 3)( 2 b) 35 43)( tttf
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c) tettf 32)(
d) tettf 104)(
e) ttf 5cosh1)(
f) ttsentf 2cos2)(
g) ttf 2cos)( 2
h) ttsentf 3cos3)(
i) tttf 2cos)(
3. Utilice las transformadas conocidas para encontrar las transformadas inversas de
Laplace de las funciones en los ejercicios
a) 4
3)(
ssF
b) 3)( ssF
c) 5
21)(
sssF
d) 5
1)(
ssF
e) 4
3)(
ssF
f) 4
13)(
2
s
ssF
g) 9
35)(
2
s
ssF
h) 24
9)(
s
ssF
TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
TEOREMA
Suponga que la función )(tf es continua y suave por tramos para 0t y que es de orden
exponencial cuando t , entonces la L { )(' tf } existe para cs , y
L { )(' tf } = s L { )(tf } – )0()()0( fssFf
La función f se llama suave por tramos en el intervalo acotado [a, b] si es continua por
tramos en [a, b] y derivable salvo en ciertos puntos finitos, siendo )(' tf continua por
tramos en [a, b].
COROLARIO
Suponga que las funciones f , 'f , ''f , … , )1( nf son continuas y suaves por tramos para
0t y cada una de estas funciones es de orden exponencial con los mismos valores de M y
c. Entonces, la L { )()( tf n} existe cuando cs y
L { )()( tf n} =
ns L { )(tf } – 1ns )0(f –
2ns )0('f – … – )0()1( nf
= )0()0(...)0()( )1()2(1 nnnn fsffssFs
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TEOREMA Traslación sobre el eje s
Si )(sF L { )(tf } existe para s > c , entonces L { )(tfeat} existe para s > a + c , y
L { )(tfeat} = )( asF
De manera equivalente,
L – 1
{ )( asF } = )(tfeat
Ejemplo 9
Encuentre la transformada inversa de Laplace de
sss
ssF
82
1)(
23
2
Solución
Utilizamos fracciones parciales para descomponer
42)4)(2(
1
82
1 2
23
2
s
C
s
B
s
A
sss
s
sss
s
Al calcular los valores de A, B y C se obtienen los resultados
4
24/17
2
12/58/1
82
123
2
ssssss
s
y entonces,
L – 1
tt ee
sss
s 42
23
2
24
17
12
5
8
1
82
1
FUNCIÓN DE HEAVISIDE
La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su
nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0
para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo. Tiene
aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representa una señal que
se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.
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En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien
activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o
una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto
tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir
una función especial llamada función escalón unitario o función Heaviside.
La función Heaviside, es una función discontinua cuyo valor es 1 para el argumento
positivo y 0 en el resto del intervalo
at
atatu
, 1
, 0 )(
Definimos )( atu sólo en el eje t no negativo, puesto que es todo lo que nos interesa en el
estudio de la transformada de Laplace.
En el sentido más amplio, 0)( atu cuando t < a. Cuando una función f definida para
0t , se multiplica por )( atu , la función escalón unitario “desactiva” una porción de la
gráfica de esa función
TEOREMA Traslación sobre el eje t
Si L { )(tf } existe para s > c , entonces
L { )()( atfatu } = )(sFe as
y
L – 1
{ )(sFe as} = )()( atfatu
Para s > a + c
Obsérvese que
atatf
atatfatu
, )(
, 0 )()(
Así, el teorema implica que L – 1
{ )( asFe as } es la
función cuya gráfica para at es la traslación en a
unidades hacia la derecha de la gráfica de )(tf para
0t
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FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC
En muchos sistemas mecánicos, eléctricos, etc; aparecen fuerzas externas muy grandes en
intervalos de tiempo muy pequeños, por ejemplo un golpe de martillo en un sistema
mecánico, o un relámpago en un sistema eléctrico. La forma de representar esta fuerza
exterior es con la función Dirac.
Consideremos la función )(tf , definida por
tsi
tsitf
0
0 1
)(
donde 0 y que es muy pequeño.
A la función )(tf , así definida se le denomina función impulso, y cuando 0 la
altura de la región rectangular sombreada crece indefinidamente y la base decrece, de tal
manera que el área siempre es igual a 1, es decir
1)(0
dttf
A la función )(lim)(0
tft
se denomina función impulso unitario o función Delta de
Dirac.
Ahora calculemos su transforma de Laplace
L { )(tf } =
dttfedttfedttfe ststst )()()(00
ss
e
s
edt
e sstst
1
00
L { )(tf } s
e s
1
Como )(lim)(0
tft
L { )(t } = 0
lim
L { )(tf }
L { )(t } = 0
lim
s
e s
1=
0lim
s
se s
= 1
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Por tanto L { )(t } = 1, además L { )( at } = ase
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Aplique una transformada de Laplace a la ecuación diferencial
a) tey
dx
dy 23 sujeta a 1)0( y
b) 2)()(''4 tyty sujeta a 0)0( y , 2/1)0(' y
2. Aplique el teorema de traslación para encontrar las transformadas de Laplace de las
funciones
a) tettf 4)(
b) tettf 42/3)(
c) tsenetf t 3)( 2
d) 8/2cos)( 2/ tetf t
3. Emplee el teorema de traslación para obtener las transformadas inversas de Laplace de
las funciones
a) 42
3)(
ssF
b) 31
1)(
s
ssF
c) 44
1)(
2
sssF
d) 54
2)(
2
ss
ssF
e) 256
53)(
2
ss
ssF
f) 20129
32)(
2
ss
ssF
4. Utilice fracciones parciales para hallar las transformadas inversas de Laplace de las
funciones
a) 4
1)(
2
ssF
b) ss
ssF
3
65)(
2
c) 107
25)(
2
ss
ssF
d) sss
ssF
2
45)(
23
5. Utilice el teorema de traslación en el eje t para calcular la transformada de Laplace de
las funciones
a)
3 , 0
3 , 2 )(
t
ttf
b)
3 ,
3 , 0 )(
2 tt
ttg
c)
2 , 0
20 , )(
t
tsenttf
d)
2 , 0
20 , 2cos )(
t
tttf
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6. Utilice el teorema de traslación en el eje t para calcular la transformada de Laplace de
las funciones
a) 2
3
)(s
esF
s
b) 2
3
)(s
eesF
ss
c) 2
)(
s
esF
s
d) 1
)(2
s
esF
s
TRANSFORMADAS DE PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
Se presentará ahora la aplicación de la transformada de Laplace para resolver una ecuación
diferencial con coeficientes constantes, tal como
)()()(')('' tftcxtbxtax (1)
con condiciones iniciales dadas 0)0( xx y ')0(' 0xx . Mediante la linealidad de la
transformada de Laplace podemos transformar la ecuación (1) tomando de manera separada
la transformada de Laplace de cada término de la ecuación. La ecuación transformada es
a L { )('' tx } + b L { )(' tx } + c L { )(tx } = L { )(tf } (2)
esta ecuación involucra las transformadas de las derivadas 'x y ''x de la función
desconocida )(tx .
Para transformar la ecuación (1) se necesita
L { )('' tx } = )0(')0()(2 xsxsXs
L { )(' tx } = )0()( xssX
Ejemplo
Resuélvase el problema con valores iniciales
1)0(' , 2)0( ; 06''' xxxxx
Solución
Con los valores iniciales dados, se tiene
L { )(' tx } = 2)()0()( ssXxssX
L { )('' tx } = 12)()0(')0()( 22 ssXsxsxsXs
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donde )(sX representa la transformada de Laplace de la función desconocida )(tx . De
esta manera, la ecuación transformada es
0)(62)(12)(2 sXssXssXs
la cual se simplifica en
032)(62 ssXss
Así,
)2)(3(
32
6
32)(
2
ss
s
ss
ssX
Por el método de fracciones parciales se tiene
)(sX L { )(tx } 2
5/7
3
5/3
ss
Como L – 1
{ )/(1 as } = ate , se sigue que
tt eetx 23
5
7
5
3)(
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Utilice la transformada de Laplace para resolver los problemas con valores iniciales en
a) 0)0(' , 5)0( , 04'' xxxx
b) 3)0(' , 2)0( , 015'8'' xxxxx
c) )0(' 0)0( , 2'' xxtsenxx
d )
0)0(' , 1)0( , 3cos'' xxtxx
e) 3)0(' , 2)0( , 025'6'' xxxxx
f) 0)0(' )0( , 8'4'' xxexxx t
2. Movimiento libre no amortiguado Una masa
que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte.
En t = 0 se libera la masa desde un punto que
está 8 pulgadas debajo de la posición de
equilibrio con una velocidad ascendente de 4/3
pie/s. Determine la ecuación del movimiento.
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3. La figura muestra una viga de longitud 2 que está empotrada en un soporte por el
lado izquierdo y libre por la derecha. La deflexión vertical de la viga a una distancia x
del soporte se denota )(xy . Si la viga tiene una carga concentrada L que actúa sobre
ella en el centro de la viga, entonces la deflexión debe satisfacer el problema simbólico
con valores en la frontera
)()()4( xLxEIy
0)2(''')2('')0(')0( yyyy
donde E, es el módulo de
elasticidad, e I, es el momento de
inercia, son constantes. Determine
una fórmula para el desplazamiento
)(xy en términos de las constantes
, L, E, e I.
4. Vibraciones mecánicas La masa del sistema masa-resorte-amortiguador está sometida
a una fuerza periódica externa )2(4)( tsentf aplicada en el tiempo t = 0 .
Determinar el desplazamiento resultante de )(tx de la masa en el tiempo t, suponiendo
que la velocidad y posición iniciales son cero para ambos casos.
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