1) ELASTICIDAD

1) ELASTICIDAD 1.1) Introducción La teoría de la elasticidad (TE) como la mecánica de sólidos (MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores.

Cuerpos Deformables {Descripción adecuada}

Los cuerpos pueden ser rígidos, elásticos o plásticos dependiendo de la materia de que este hecho y de la fuerza que apliquemos. i) Rígidos: difícil de deformar por acción de una fuerza y si en caso de apliquemos una fuerza grande se romperá.

ii) Plástico: Son aquellos que a la acción de fuerzas se deforma sin romperse, quedando deformada cuando deja de actuar la fuerza, sino que queda deformados permanentemente.

iii) elástico: Son aquellos que a la acción de una fuerza el cuerpo se deforma, pero recupera sus dimensiones originales cuando cesan dichas fuerzas

Esfuerzo

Deformación

Módulos elásticos

Y

S

B

Régimen elástico 1.2) Esfuerzo y deformación

Experimentalmente:

Li L A: sección transversal

Se observa:

los L van a depender de las F

y A

siempre en régimen elástico

los L dependen de L Se define: a) Esfuerzo, s: Es la fuerza aplicada F y el área A sobre la que actúa, F/A. (Fuerza por unidad de área)

FEsfuerzo s

A

b) Deformación, e: Si a una barra de longitud L le aplicamos una fuerza de tracción F y la barra sufre un alargamiento ∆L, se define alargamiento o deformación longitudinal como: (Deformación unitaria)

L

Deformación eL

Con estas definiciones se observa relación directa entre los esfuerzos y las deformaciones. Módulo elástico = Esfuerzo/Deformación

EM

D

1

s

s Me Me

L A

F

F

F

L

L

F

F

Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 4

M 1010 2

N

m

¿? Podría describir curvas s-e donde se muestren las 3 fases: elástica,

plástica y de ruptura. ¿? Podría describir curvas s-e especiales. 1.3) Ley de Hooke La ley de Hooke es solo aplicable a deformaciones unitarias pequeñas, hasta que se alcanza el límite de proporcionalidad, analizando si es un cuerpo rigido, elástico o platico (ver figura).

D E Régimen elástico

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1.4) Módulos elásticos i) Modulo de Young, Y Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.

/

/

F AY

L L

N/m2

ii) Modulo de corte, S Describe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efecto de fuerzas aplicadas según sus caras (fuerzas tangenciales o de corte),

Para pequeñas fuerzas F la cara de área A se desplaza relativamente una

pequeña distancia x hasta que las fuerzas internas del cuerpo logran equilibrar dicha fuerza.

La resistencia al desplazamiento x se describirá en base al modelo S,

A

F

h f

F

x h

xtg

h f

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/

/

Esfuerzo de corte F AS

Deformación de corte x h

FhS

A x

iii) Modulo volumétrico, B Describe la resistencia del material a deformaciones volumétricas.

Supongamos que el cubo de área A esta sometido a las fuerzas F sobre cada una de sus caras. El cubo está sometido a compresión, el modulo volumétrico esta definido por,

Si esta presión, F

pA

, se escribe como una variación de presión, p ,

/

pB

V V

F A

F

F

F

/ /

/ /

F A F AB

V V V V

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En estas condiciones se introduce el “- “para obtener un B > 0.

Compresión: p > 0 V < 0 B > 0.

Dilatación o expansión: p < 0 V > 0 B > 0. ¿? Existirán otros módulos elásticos. Ejercicio 1: 1° Ideal

v2(0) 0 → MRUV Polea ideal

Cuerda ideal, m

m1,m2 , puntuales L = 2 m1 = 3, m2 = 5

= 4 x 10-3 ¿? t

2° Polea real → a afectada

→ I=I (m,r) , f polea

CR

MRUV 3° Cuerda real → Deformación → CR → MRUV

4°1º) t ¿?

2,54

ga t(y2 0) ?

y(t) y (0)+ v(0) t - 2

1at2

y m2

h2 1m m1

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2

2

5,2010 t

5,2

2t

5º3°) Considerando sólo deformación de la cuerda, T=?, t=? w2 – T = m2 a T = w2 – m2 a

50 – 5 x 2,5

T 37,5

/

/

F A FLY L F T

L L YA

Yacero 20 x 1010

m

xx

xL

6,27

1021020

25,372310

t ¿? Ejercicio 2: La deformación causada a la barra de longitud L, x, mediante la aplicación adecuada de la fuerza F, es decir, el trabajo efectuado por F sobre el sistema elástico, queda almacenado como energía potencial elástica en el sistema…veamos que es asi,

Mostraremos que en el sistema queda almacenada energía potencial elástica que puede expresarse de esta manera,

Acero

A

-F F

-L 0 x x

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,1

2

p elEF ALu

A L unidad de volumen

Al aplicar la fuerza F, tal como muestra la figura, producirá una deformación x, descrita por,

/

/

AYF A

x Lx FY

L

De tal forma que la fuerza del sistema será,

elast

AYF x

L {En todo momento la fuerza aplicada F es tan intensa como

la respuesta elástica del sistema, siempre que el proceso se realice muy lentamente, estado cuasiestacionario}

Ahora, calculando el trabajo de esta fuerza,

, , , , , , , ,elF

p el p el f p el i p el f p elW E E E E E

2

0 , ,0

1/

2el

LF L

p el p el

AY AYW x dx x E E

L L

2

,

1

2p el

AYL E

L

2

,

1

2p el

AL E

L

Y

1

2

A

L

/F A

L / L

2L

,p elE

,

1

2p elF L E

1

AL

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,1

2

p elEF Lu

AL AL

1

2

F Lu

A L

1

2s e u

¿? Aplicaciones tecnológicas de la deformación de los cuerpos en sus

tres fases notables: elástica, plástica y de ruptura. S1P10) Se cuenta con una barra troncocónica maciza cuya sección circular varía uniformemente a lo largo de su longitud L, entre los diámetros d y D. Los extremos están sujetos a una fuerza axial F, determine la deformación unitaria ó específica debido a dicha fuerza. SOLUCION:

De

2,

2 2

D dFL Fdx dL dL y x

YA Y y L

d/2 D/2 F F L

b/2 d/2

L

Y A(x) D/2 d/2 y F 0 x

X Ax L

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2 20

0

2 2

2

L

I

Fdx F dx FLdL L

Y Y dDD d D dYd x d x

L L

?I

D du d x

L

D ddu dx

L

2

*

D

d

I

L du LI

D d u dD

* 1 1 1D

dI

u d D

02FLL

Y dD

2L F

L Y dD

S1P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de

longitud (longitud sin estirar) con un diámetro de 0,1 mm. El sistema es puesto en movimiento como un péndulo

cónico con un ángulo en el vértice. a) Calcule la deformación del alambre. b) El periodo del movimiento rotacional cuando la tensión en

el alambre en dos veces el peso de la masa (Yacero = 21 x 1010 Pa). SOLUCION: DCL (m):

m

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T

m w

Datos: m=1, l=2, d==10-4, Yacero = 21x 1010. Del equilibrio en la vertical,

...cos secT mg T mg

Y de la dinámica circular,

2

...' , 'tcp cp

vF Tsen ma m R l sen l l l

R

De α y β,

2

..t n .a'

tvmg m

l sen

a) Del modulo de Young,

2 22

4sec

2

FL Tl TlY Y l T mg

LA Y ddl

2 2

4 seclmgl

Y d

b) T (periodo)=?, con la condición 2

3T mg

( T: tensión)

2( )T periodo

w

La frecuencia angular la obtenemos de ,

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2cpF Tsen m g sen m 'l sen 2w

2 2'

'

g gw l l l w

l l l

Con lo que el T queda,

22

l lT

g

0,0242usando l 0,6T

S1P1) La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes

características: peso = w, área transversal = A, longitud = L y módulo de Young = Y. Si una pesa de peso 2 w es colocado en la parte inferior, halle la deformación de la barra considerando la deformación por peso propio.

SOLUCION: Primero determinaremos la deformación causada por el peso propio de la barra, para lo cual tomamos un elemento de la barra de longitud infinitesimal dx, como se muestra en la figura, sobre la cual actúa la fuerza w(x), es decir, la fuerza debido al peso del trozo de barra de longitud x,

( )w

w x xL

Esta fuerza producirá un elemento de deformación dado por,

( )( )

wx dx

w x dxFLY

A

wLd L xdx

AY AY LAYL

barra

L 2w

X

dx

w(x)

x

0

w w(x)

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Para calcular la deformación total integramos para toda la barra,

01

2

L wLL L

AY

wL xdx

LAY

Ahora, para la deformación total, consideramos la deformación que produce la pesa 2w,

2

(2 ) 2w L wLL

AY AY

Con lo que la deformación total es, 1 2

2

2

wL wLL L L

AY AY

5

2

wLL

AY

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S1P4) Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y área transversal de 2,00 cm2

se sujeta por un extremo al extremo de una varilla de acero de longitud L y sección de 1,00 cm2. La varilla compuesta se somete a tracciones iguales y opuestas de 6,00 x 104 N en sus extremos.

a) Calcule L si el alargamiento de ambas varillas es el mismo b) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla? c) ¿Qué deformación sufre cada varilla? Modulos de Young: Cobre: 11 x 1010 Pa Acero: 20 x 1010 Pa SOLUCION: Representamos a la varilla compuesta en el siguiente diagrama,

a) Determinamos L de la condición

1 2L L L . Mostramos DCL de cada

varilla en la dirección de interés y aplicamos la condición,

1 2 21

1 2

1 2 11 2 1

FL F L A YL

AY

LL L L

AY A Y

F A1 L1 L A2 F

F L1 F

F L F

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Calculando, 4

1 2 2

1 1

1,40 1 10L A YL

AY

1020 10 42 10 1011 10

1,27

1,27L

b) Calculando los esfuerzos,

48

1 4

1

6,00 103 10

2,00 10A

Fs

A

Fs

48

2 4

2

6,00 106,00 10

1,00 10

Fs

A

8 8

1 23 10 6 10s s

c) Calculando las deformaciones,

s s

L L

L

s sLY L

Y

L

e

8

31 11 10

1

3 10 1,403,81 10

11 10

s LL

Y

8

32 22 10

2

6 10 1,273,81 10

20 10

s LL

Y

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d

3

1 2 3,81 10L L

S1P14) Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4,0 x 108,

el acero se rompe. Determine la fuerza de corte para, a) cortar un perno de acero de 1 cm de diámetro, y b) hacer un hoyo de 1 cm de diámetro en una plancha de acero de 0,50 cm de espesor.

SOLUCION: a) Determinación de la fuerza de corte, F

De la ecuación del esfuerzo de corte,

2

2

44

4

F s ds F

A

FF

d

2

8 210 1 10

4

31,4F kN

Por lo tanto, una fuerza mayor que F cortara al perno. b) Ahora, determinamos la fuerza de corte para hacer el hoyo,

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d F

F

d w

Fs F s d w

A

8 2 24 10 1 10 0,5 10F

62,8F kN

S1P2) Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M,

módulo de Young Y, gira libremente con velocidad angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin fricción y pivoteando en uno de sus extremos.

Determine: a) La deformación producida en la barra b) En donde se produce el esfuerzo máximo

SOLUCION:

a) 2

cpdF dF dm w r

M

dm drL

w

L,M dm w dFcp

r dr

O

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2Mw

dF r rdrL

2

2: " "2

cp

MwF r r dF

L

22

22

( )2

2

Mwr dr

L MwY dL r dr

AdL LAY

FLY

A L

2

2

0 0 2

L L MwL dL r dr

LAY

2 2

6

Mw LL

AY

b) De

22

222( )

2

Mwr

F MwLs r rA A LA

,

por lo tanto, en r=L,

2

( )2

Mw Ls L

A