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Series de Ejercicios Resueltos de Dinmica
UNAM
Ing. Juan Ocriz Castelazo
Facultad de Ingeniera Divisin de Ciencias Bsicas
Departamento de Cinemtica y Dinmica
Prefacio
Las series de ejercicios que hemos elaborado para que estn a disposicin de los alumnos de la materia de Cinemtica y Dinmica, pretenden ofrecer una buena variedad de ejercicios com-pletamente resueltos. Los textos de Dinmica que recomiendan los profesores de la asignatura, y que los alumnos conocen, contienen una magnfica seleccin de problemas modelo, que los autores suelen presentar eficazmente resueltos. El presente trabajo aspira a acrecentar el repertorio y a ser mucho ms detallado en los procedimientos. Los problemas se han reunido conforme a los temas del programa vigente en la Facultad, es decir, en cinco captulos. En cada captulo se han ordenado segn su grado de dificultad. No hemos querido proponer problemas para que el alumno resuelva por su cuenta, puesto que los textos a que tiene acceso, ya en la biblioteca, ya en el mercado, contienen abundancia de ellos. En la elaboracin de las resoluciones hemos adoptado algunos criterios que conviene conocer. Se ha procurado no omitir ningn paso, salvo los que puedan ser claramente comprendidos por un estudiante de matemticas de bachillerato; todos los dems se asientan, a pesar de que puedan alargarse demasiado. Sin embargo, para no hacer farragosa su lectura, hemos suprimido las unidades en el proceso: slo se asientan en las respuestas. Esto, por otra parte, no debe considerarse una mala costumbre cuando un alumno resuelva problemas por su cuenta. En muchos de los pasos se da una explicacin escrita. A veces, para aclararlo; otras, para recordar un concepto, teorema, ley o principio que pueda no ser fcilmente identificado. El objeto de presentar la resolucin es que el alumno entienda lo mejor posible cmo se pasa de los cono-cimientos conceptuales a la aplicacin concreta. Los diagramas de cuerpo libre, que constituyen un medio imprescindible para la resolucin de los problemas cinticos, se presentan siempre al lado izquierdo de los desarrollos matemticos. En ellos se muestran sistemticamente los datos numricos conocidos, sin unidades. Dibujar un diagrama claro y completo es ya estar en el camino de la solucin de los problemas y la mejor herramienta con que se puede contar para llegar a buen fin. Los sistemas de referencia se muestran siempre con lneas punteadas, de manera que se dis-tingan fcilmente de los vectores, ya sean fuerzas, posiciones, velocidades o aceleraciones. En los problemas cinticos se emplean diferentes unidades de fuerza. Se usan sobre todo newton (N), kilogramos (kg) o libras (lb, # en los dibujos); pero tambin la tonelada mtrica (1000 kg), la tonelada corta (2000 lb), la onza (1 oz = 1 lb/16) y el kilopound (1 kip = 1000 lb). Conviene tener en cuenta que el kilogramo (kg) puede ser tambin unidad de masa, y con frecuencia se utiliza as; aunque algunos textos distinguen mediante un subndice si se trata de un kilogramo-fuerza o un kilogramo-masa, nosotros no, pues consideramos que el estudiante debe ser capaz de identificar de qu tipo de unidad se trata, o bien, decidir por s mismo qu desea entender por un kilogramo en los problemas que se le presenten. Las respuestas se expresan siempre en sistema decimal. Los nmeros se han redondeado a la tercera cifra significativa o, si comienzan con 1, a la cuarta. Con ello se pretende que las respuestas sean lo ms breve posible y su precisin sea mayor al 0.2%. Los ngulos se dan en grados sexagesimales con una cifra decimal. Con las respuestas parciales no seguimos este criterio. Se recomienda al estudiante que, para el aprovechamiento de este material, intente resolver los problemas por su cuenta y luego compare su resolucin con la de este libro.
30 de agosto de 2010
ndice
1. Cinemtica de la partcula
1.1 Movimiento rectilneo 1.1.1 Posicin en funcin del tiempo 1 1.1.2 Velocidad en funcin del tiempo 3 1.1.3 Aceleracin en funcin del tiempo 6 1.1.4 Soluciones grficas 9 1.1.5 Aceleracin en funcin de la velocidad 10 1.1.6 Aceleracin en funcin de la posicin 13
1.2 Movimiento rectilneo uniforme y uniformemente acelerado 15 1.2.1Movimiento de varias partculas independientes 18 1.2.2Movimiento de varias partculas conectadas 20
1.3 Movimiento curvilneo 1.3.1 Componentes cartesianas 22 1.3.2 Componentes intrnsecas 26 1.3.3 Componentes cartesianas e intrnsecas relacionadas 33
2. Cintica de la partcula
2.1 Movimiento rectilneo 2.1.1Aceleracin constante 39 2.1.2Aceleracin variable 52
2.2 Movimiento curvilneo 2.2.1 Componentes cartesianas 69 2.2.2 Componentes intrnsecas 72
3. Trabajo y energa e impulso y cantidad de movimiento para la partcula
3.1 Trabajo y energa cintica 83
3.2 Trabajo, energa cintica y energa potencial 93
3.3 Impulso y cantidad de movimiento 102
4. Cinemtica del cuerpo rgido
4.1 Movimiento relativo de partculas 117
4.2 Rotacin pura 121
4.3 Traslacin pura 126
4.4 Movimiento plano general 4.4.1 Velocidades 127 4.4.2 Centro instantneo de rotacin 133 4.4.3 Aceleraciones 138
5. Cintica del cuerpo rgido
5.1 Traslacin pura 149
5.2 Rotacin pura baricntrica 155
5.3 Rotacin pura no baricntrica 163
5.4 Movimiento plano general 168
Lista de smbolos
Aceleracin (vector aceleracin) a Aceleracin (o magnitud de la aceleracin) at Componente tangencial de la aceleracin an Componente normal de la aceleracin ax Componente de la aceleracin en direccin del eje de las equis ay Componente de la aceleracin en direccin del eje de las yes am Aceleracin media cm Centmetro ft Pies h Horas i Vector unitario en direccin del eje de las equis in Pulgada j Vector unitario en direccin del eje de las yes k Vector unitario en direccin del eje de las zetas k Radio de giro Radio de giro centroidal km Kilmetro I Momento de inercia de la masa de un cuerpo Momento de inercia de la masa de un cuerpo, respecto a un eje centroidal L Logaritmo natural m Metro mm Milmetro N Componente normal o perpendicular de una fuerza P Peso de un cuerpo o fuerza de gravedad Posicin (vector) r Radio s Segundos s Posicin o distancia t Tiempo ton Tonelada Velocidad (vector) v Velocidad (magnitud) o rapidez vm Velocidad media x Posicin o distancia. Eje de referencia y Posicin o distancia. Eje de referencia z Posicin o distancia. Eje de referencia
(Alfa) Aceleracin angular (Delta) Incremento s Distancia recorrida Desplazamiento (My) Coeficiente de friccin s Coeficiente de friccin esttica k Coeficiente de friccin cintica pi (Pi) Nmero pi. Razn de la circunferencia al radio (Ro) Radio de curvatura (Omega) Velocidad angular
# Libras Pies Pulgadas
1
1. CINEMTICA DE LA PARTCULA
1.1 Movimiento rectilneo
1.1.1 Posicin en funcin del tiempo
1. La posicin de una partcula que describe una lnea recta queda definida mediante la expresin s = t3/3 9t + 2, donde si t est en s, s resulta en m. De-termine: a) la aceleracin de la partcula cuando su velocidad es de 7 m/s; b) su velocidad media desde t = 3 hasta t = 6 s. c) Dibuje las grficas tiempo-posi-cin, tiempo-velocidad y tiempo-aceleracin del mo-vimiento de la partcula, durante los primeros seis segundos.
Resolucin
Ecuaciones del movimiento
2931 3 += tts
92 == tdtds
v
tdtdv
a 2==
a) Tiempo en que la velocidad es 7 m/s
97 2 = t 162 =t 4=t
La raz negativa no tiene significacin fsica en este caso.
P 0 s
Cinemtica de la partcula
2
Para t = 4
( )42=a ; = 2s
m8a
b)
336 ss
ts
vm
=
=
202)6(9)6(31 3
6 =+=s
162)3(9)3(31 3
3 =+=s
3)16(20
=mv ; = sm12mv
c) Tabulacin para dibujar las grficas
t 0 3 6 s 2 -16 20 v -9 0 27 a 0 6 12
27
-9 3 6
t (s)
v (m/s)
s (m)
t (s)
20
6
3
-16
2
3
12
6
6
a (m/s2)
t (s)
Cinemtica de la partcula
3
1.1.2 Velocidad en funcin del tiempo
2. La velocidad de un punto P que se mueve sobre el eje de las ordenadas, que es un eje vertical dirigido hacia arriba, se puede expresar como v = 6 t2 24, en donde v se da en ft/s y t en s; adems, cuando t = 0, entonces y = 6 ft. Calcule: a) la magnitud y la direccin de la aceleracin del punto cuando t = 3 s; b) el desplazamiento del punto P durante los primeros cuatro segundos; c) la longitud que recorre durante ese mismo lapso. d) Dibuje esquemticamente las grficas del movimiento del punto P.
Resolucin
Ecuaciones del movimiento
Como dtdy
v =
entonces:
vdtdy =
= vdtdy
= dtty )246( 2
= dtty )246( 2 Ctty += 242 3
Si t = 0, y = 6 6 = C
Por tanto:
6242 3 += tty 246 2 = tv
tdtdv
a 12==
a) Para t = 3
)3(12=a ;
P
y
0
= 2sft36a
Cinemtica de la partcula
4
b)
04 yyy =
En donde:
386)4(24)4(2 34 =+=y
60 =y
638 =y
= ft32y
c) Para conocer la distancia que recorre, investigare- mos cuando v = 0
42460
2
2
=
=
t
t
2=t
Slo la raz positiva tiene significado fsico
266)2(24)2(2 32 =+=y
Por tanto, la partcula se movi de y0 = 6 a y2 = 26 y luego a y4 = 38
)42()20( += yyD 6432)26(38626 +=+=D
ft96=D
d) Tabulacin para dibujar las grficas
t 0 2 4 y 6 -26 38 v -24 0 72 a 0 24 48
72
-24 2 4
t (s)
v (ft/s)
y (ft)
t (s)
38
4
2
-26
6
2
24
12
4
a (ft/s2)
t (s)
Cinemtica de la partcula
5
3. En la figura aparece la grfica de la mag-nitud de la velocidad de una partcula en funcin del tiempo. Se sabe que cuando t = 0, la posicin de la partcula es s = + 8 in. Dibuje las grficas tiempo-aceleracin y tiempo-posicin del movimiento de la partcula.
Resolucin
La magnitud de la aceleracin es igual a la pendiente de la grfica tiempo-velocidad; durante los primeros cuatro segundos es positiva de 40/4 = 10 y despus es nula.
(La grfica tiempo-aceleracin puede ser discontinua como en este caso, pero nunca las grficas tiempo-velocidad y tiempo-posicin)
La grfica tiempo-posicin comienza, segn los datos, en s = + 8. Desde t = 0 hasta t = 2, la pendiente de la curva que comienza siendo negativa, va disminuyen-do en magnitud hasta hacerse nula: el desplazamiento en ese lapso es igual al rea bajo la grfica tiempo-velocidad, es decir 20. De 2 a 4 s el comportamiento de la grfica es inverso al anterior y cuando t = 4, la partcula vuelve a su posicin inicial, pues el rea acumulada bajo la grfica tiempo-velocidad es cero. De 4 a 6 s, la pendiente es constante, positiva y de 20, por tanto, se trata de una recta.
t (s) 6 4 2
20
-20
v (in/s)
s (in)
2 4 6
48
8
-12
20
1
a (in/s2)
10
6 2
t (s) 4
t (s)
Cinemtica de la partcula
6
1.1.3 Aceleracin en funcin del tiempo
4. La grfica de la figura muestra la magnitud de la aceleracin de una partcula que se mueve sobre un eje horizontal dirigido hacia la derecha, que llama-remos x'x. Sabiendo que cuando t = 1 s, x = 3 cm y v = 4.5 cm/s, calcule: a) la posicin de la partcula cuando su velocidad es nula; b) su velocidad cuando t = 3 s y su posicin cuando t = 5 s.
Resolucin
La partcula se mueve conforme a dos leyes distintas: una de 0 a 3 s y otra de 3 a 6 s.
Ecuaciones del movimiento de 0 a 3 s ta 39 =
Pues la ordenada al origen es 9 y la pendiente de la recta es -3.
Como ,dtdv
a = entonces adtdv =
==
dttdvdttdv
)39()39(
125.19 Cttv +=
Si t = 1, 5.4=v , conforme a los datos 1
2)1(5.1)1(95.4 C+= ; 121 =C
Por tanto
125.19 2 = ttv
Como ,dtdx
v = entonces vdtdx =
==
dtttdxdtttdx
)125.19()125.19(
2
2
232 125.05.4 Ctttx +=
t (s)
a (cm/s2)
9
6 3
Cinemtica de la partcula
7
Si t = 1, x = 3
232 )1(12)1(5.0)1(5.43 C+=
112 +=C 11125.05.4 32 += tttx
Por lo tanto, las ecuaciones del movimiento durante los primeros tres segundos son:
11125.45.0 23 ++= tttx 1295.1 2 += ttv
93 += ta
a) Investigamos si en algn instante la velocidad es nula
01295.1 2 =+ tt
Dividiendo entre -1.5:
0862 =+ tt
Factorizando
0)2)(4( = tt 41 =t 22 =t
41 =t est fuera del intervalo: en 22 =t s, 0=v y en ese instante su posicin es:
11)2(12)2(5.4)2(5.0 23 ++=x
cm1=x
b) Para t = 3
12)3(9)3(5.1 2 +=v
scm5.1=v
Cinemtica de la partcula
8
c) Para investigar la posicin en 5=t , se necesita la ecuacin del movimiento de 3 a 6 s.
0=a 5.1=v (la velocidad que alcanz a los 3 s)
Si 3=t , 211)3(12)3(5.4)3(5.0 23 =++=x
5.2)3(5.12
4
4
=
+=
CC
Por tanto: 5.25.1 = tx
Para 5=t 5.2)5(5.1 =x ;
cm5=x
Cinemtica de la partcula
9
1.1.4 Soluciones grficas
5. Un tren que parte de la estacin A aumenta su velocidad uniformemente hasta alcanzar los 60 km/h. A partir de ese instante comienza a frenar, tambin uniformemente, hasta detenerse en la esta-cin B. Si el viaje dura veinte minutos, cunto distan las estaciones A y B?
Resolucin
Dibujamos la grfica tiempo-velocidad. Como 20 min es igual a 1/3 de hora, 1/3 es el valor de la abscisa.
Puesto que = vdts , entonces s es igual al rea bajo la grfica.
21)60(
31
2== bhs ;
km10=s
60
1/3
v (km/h)
t (h)
Cinemtica de la partcula
10
1.1.5 Aceleracin en funcin de la velocidad
6. La aceleracin de un avin que aterriza en una pista a 50 m/s se puede expresar, para un cierto lapso, como a = 4 (10)3v2, donde si v est en m/s, a resulta en m/s2. Determine el tiempo requerido para que el avin reduzca su velocidad a 20 m/s.
Resolucin
Como la aceleracin est en funcin de la velocidad y queremos conocer un tiempo, igualamos:
dtdv
v
dtdv
a
=
=
2
10004
Separando variables
210004
v
dvdt =
=
22501
v
dvdt
Cv
t+=
1250
Condiciones iniciales: si 50,0 == vt
52505011
250
5015010
=
+=
=
+=
vt
v
t
C
C
Para 20=v
520
250=t ; s5.7=t
s
v a
Cinemtica de la partcula
11
7. Calcule la distancia que requiere el avin del problema anterior para reducir su velocidad de 50 a 20 m/s.
Resolucin
Primer mtodo
Partiendo de la solucin de la ecuacin diferencial del problema 6:
5250 =v
t
Despejando v e igualando a ds/dt
Ctst
dtds
tdtds
tv
vt
++=+
=
+=
+=
=+
)5(L2505
250
52505
250
2505
Hacemos s = 0 cuando t = 0
5L2505L2500
=
+=
CC
Por tanto
[ ]5L)5(L2505L250)5(L250
+=
+=
ts
ts
Por las propiedades de los logaritmos
55L250 += ts
Para t = 7.5
5.2L2505
5.12L250 ==s
m229=s
s
v a
Cinemtica de la partcula
12
Segundo mtodo
Como la aceleracin es funcin de la velocidad y deseamos conocer un desplazamiento, igualamos:
dsdv
va =
dsdv
v
dsdv
vv
=
=
2501
10004 2
Separando variables
Cvsv
dvds
v
dvds
+=
=
=
L250
2501
2501
Si 0=s , 50=v
Para 20=v
5.2L250
50L250
=
=
s
vs
m229=s
vs
v
s
vs
LvsC
C
50L250
50L250
50LL250
50L250
L50L500
=
=
+=
=
=
+=
Cinemtica de la partcula
13
1.1.6 Aceleracin en funcin de la posicin
8. La magnitud de la aceleracin de un colla- rn que se desliza sobre una barra horizontal se expre- sa, en funcin de su posicin, como a =12 x , donde a se da en in/s2 y x en in. Cuando t = 2 s, entonces v = 32 in/s y x = 16 in. Determine la posicin, la velo- cidad y la aceleracin del collarn cuando t = 3s.
Resolucin
Como la aceleracin est expresada en funcin de la
posicin, se sustituye por dxdv
v
xdxdv
v 12=
Separando variables
12
3
12
32
83212
2
12
CxCxvdxxvdv
+=+
=
=
Si x = 16, v = 32 De los datos
12
32 )16(82
32 C+=
1512512 C+= ; 01 =C
43
232
4
82
xv
xv
=
=
Sustituimos v por dtdx
43
4xdtdx
=
Separando variables dtdxx 44
3=
Cinemtica de la partcula
14
24
1
43
44
4
Ctx
dtdxx
+=
=
Si t = 2, x = 16
De los datos
288 C+= ; 02 =C
tx
tx
=
=
41
41
44
4tx = La ecuacin queda resuelta.
Derivando respecto al tiempo
2
3
124
ta
tv
=
=
Satisface la ecuacin original, ya que si:
24, txtx == , o sea, xa 12=
Para t = 3
=
=
=
2sin108
sin108
in81
a
v
x
Cinemtica de la partcula
15
1.2 Movimientos rectilneos uniforme y uniformemente acelerado
9. El motor de un automvil de carreras es capaz de imprimirle, durante cierto lapso, una acelera-cin constante de 5.2 m/s2. Si el automvil est ini-cialmente en reposo, diga: a) cunto tiempo le lleva alcanzar una velocidad de 300 km/h; b) qu distancia requiere para ello.
Resolucin
Ecuaciones del movimiento
==
==
=
26.22.5
2.52.52.5
ttdtx
tdtva
Las constantes de integracin son nulas, pues cuando t = 0 tanto v como x son nulas.
a)
300 km h 300
3.6m s
t2.56.3
300=
)2.5(6.3300
=t ; s03.16=t
b)
2)03.16(6.2=x ;
m669=x
Cinemtica de la partcula
16
10. Un tren del metro, que viaja a 60 mi/h, emplea 250 ft para detenerse, frenando uni-formemente. Cul es la aceleracin del tren mientras frena?
Resolucin
sft88h
mi60 =
Como se desea conocer la aceleracin a partir de la velocidad y el desplazamiento, empleamos:
vdvadsdsdv
va
=
=
= vdvdsa
Puesto que a es constante, queda fuera de la integral.
Cvas +=2
2
Elegimos como origen el punto en el que comienza a frenar el tren.
Si 0=s , 88=v
C+=2
8802
; 2882
=C
28822
=v
as ; s
va
28822
=
Para 250=s y 0=v
49.15500882
==a
El signo indica que tiene sentido contrario al de la velocidad:
=s
ft49.15a
60 mi/h
Cinemtica de la partcula
17
11. Un elevador comercial puede, a lo ms, tanto aumentar como disminuir su velocidad a razn de 3.5 m/s2. Y la mxima velocidad que puede alcan-zar es de 420 m/min. Calcule el tiempo mnimo que necesita para subir quince pisos, partiendo del reposo, si cada piso tiene 5.1 m de altura.
Resolucin
Supongamos que el elevador alcanza una velocidad mxima y la mantiene cierto tiempo t, como se muestra en la grfica
sm7
sm
60420
minm420 ==
La pendiente de la recta inclinada es 3.5, que es la razn de cambio de la velocidad. Por lo tanto de la grfica y por semejanza de tringulos:
75.31
0
=
t ; 120 2 ttt ==
El elevador debe desplazarse
5.76)1.5(15 ==y
Tal desplazamiento es igual al rea del trapecio en la grfica
( ) ( ) 5.762
742
=
++=
+ tthBb
5.762
2814=
+t
5.627 =t ; 93.8=t
El tiempo total es
s93.122 =t
t0 t1 t2
3.5 3.5
1 1
t
7
v (m/s)
t (s)
Cinemtica de la partcula
18
A B 200 ft
a1
v2
A B 200 ft
a1
v2
x
1.2.1 Movimiento de varias partculas independientes
12. Un motociclista arranca del punto A con una aceleracin constante a1 = 2.4 ft/s2 hacia la derecha. Cuatro segundos despus, un automvil pasa por el punto B, situado a 200 ft de A, viajando hacia la izquierda. Sabiendo que la velocidad del automvil es v2 = 30 ft/s y constante, diga en dnde el motociclista encuentra el automvil. Desprecie el tamao de los vehculos.
Resolucin
Tomando como origen el punto A, eligiendo un eje xx hacia la derecha y tomando como t = 0 el instante en que arranca el motociclista, las ecuaciones del movimiento son:
Motociclista
211
11
1
2.1
4.2
4.2
tdtvx
tdtav
a
==
==
=
Las constantes de integracin son nulas.
Automvil
300
2
2
=
=
v
a
Negativa, porque el sentido es contrario al del eje elegido.
Ctdtvx +== 3022
Cuando 4=t , 2002 =x de los datos, sustituyendo C+= )4(30200 ; 320=C
320302 += tx
200 ft
Cinemtica de la partcula
19
El motociclista encuentra el automvil si:
21 xx =
4.2320)2.1(43030
0320302.1320302.1
2
2
2
+=
=+
+=
t
tt
tt
1.3306.8
2
1
=
=
t
t
Sustituyendo 1t en 1x
1.78)06.8(2.1 21 ==x
El motociclista encuentra al automvil a 78.1 ft a la derecha de A.
= ft1.78Ax
Cinemtica de la partcula
20
A
D
B
C
A
B
C
D yD
y
yA yC
vA = 8
yB
aA = 4 aB = 10 vB = 5
1.2.2 Movimiento de varias partculas conectadas
13. El cuerpo A se desplaza hacia abajo con una velocidad de 8 m/s, la cual aumenta a razn de 4 m/s2, mientras B baja a 5 m/s, que disminuye a razn de 10 m/s2. Calcule la magnitud y la direccin tanto de la velocidad como de la aceleracin del cuerpo C.
Resolucin
Velocidad
Cuerda que une los cuerpos A y D
DA yyl +=1
Derivando respecto al tiempo DA vv +=0 ; AD vv = (1)
Cuerda que une B con C
( ) ( )DCB
DCDB
yyylyyyyl
222
+=
+=
Derivando respecto al tiempo DCB vvv 20 +=
De (1) ACB vvv 20 ++=
ABC vvv 2= (2)
Sustituyendo:
21)8(25 ==Cv
El signo negativo indica que el sentido es contrario al del eje yy
=s
m21Cv
Cinemtica de la partcula
21
Aceleracin
Derivando la ecuacin (2) respecto al tiempo:
2)4(2)10(2
==
=
C
ABC
a
aaa
= 2sm2Ca
Cinemtica de la partcula
22
1.3 Movimiento curvilneo
1.3.1 Componentes cartesianas
14. Un avin de pruebas describe, inmediata- mente despus de despegar, una trayectoria cuya ecuacin cartesiana es y = 5 (10)-5 x2. Se mueve con-forme la expresin x = 150t + 5t2, donde t est en s, x resulta en m. Determine la posicin, velocidad y aceleracin del avin cuando t = 10 s.
Resolucin
Las ecuaciones de las componentes horizontales del movimiento son:
10
10150
5150 2
==
+==
+=
dtdv
a
tdtdx
v
ttx
x
x
x
Sustituyendo x en la ecuacin de la trayectoria, se obtienen las ecuaciones de las componentes verticales
[ ])5150(10)10150(10)5150)(10150(1010
)5150(105
224
25
225
tttdt
dva
tttdtdy
v
tty
yy
y
+++==
++==
+=
Para t = 10 s
200)2000(10520005001500
25==
=+=y
x
En forma vectorial:
[ ]m2002000 jir +=
y
x
2010 m
5.7
2000 m
200 m
y
x
y = 5 (10)-5 x2
Cinemtica de la partcula
23
Escalarmente:
==
+=
7.5;2000200
tan
2002000
11
22
r
= 7.5m2010r Es la posicin del avin
50)2000)(250(101250)10(10150
4==
=+=
y
x
v
v
Vectorialmente:
[ ]m50250 jiv +=
Escalarmente:
==
+=
3.11;25050
tan
50250
22
22
v
= 3.11s
m255v Es la velocidad del avin
[ ] 25.8)2000(1025010110
24=+=
=
y
x
a
a
Vectorialmente: [ ]2sm25.810 jia +=
Escalarmente:
==
+=
5.39;1025.8
tan
25.810
33
22
a
= 5.39s
m96.12 2a
Es la aceleracin del avin cuando t = 10 s
y
x
11.3
255 m/s
y
x
39.5 12.96 m/s
Cinemtica de la partcula
24
15. La corredera A se mueve dentro de la ranura conforme se eleva el brazo horizontal, que tiene una velocidad constante de 3 in/s. Calcule la velocidad y la aceleracin de la corredera cuando = 6 in.
6
3
6
y
A
v
se mueve dentro de la ranura conforme se eleva el brazo horizontal, que tiene una velocidad constante de 3 in/s. Calcule la velocidad y la aceleracin de la corredera cuando x
Resolucin
Como el brazo se mueve hacia arriba con velocidad constante:
30
=
=
y
y
v
a
Y, por tanto:
tdtvy y 3==
La relacin entre las coordenadas de la posicin est establecida por la ecuacin de la trayectoria:
2
61 yx =
2)3(61
tx = Sustituimos y por el valor en funcin de
t
335.1 2
=
=
=
x
x
a
tv
tx
Derivando respecto al tiempo
Con las ecuaciones del movimiento a la vista, podemos responder a la pregunta.
Si x = 6
245.16 2
==
=
t
t
a raz negativa no tiene significado fsico.
6
x
ueve hacia arriba con velocidad
as de la posicin est por la ecuacin de la trayectoria:
por el valor en funcin de
Derivando respecto al tiempo
Con las ecuaciones del movimiento a la vista,
no tiene significado fsico.
Cinemtica de la partcula
25
Para 2=t
63
tan
71.636
36)2(3
2222
=
=+=+=
=
==
yx
y
x
vvv
v
v
6.26=
= 6.26s
in71.6v
Para el mismo instante
03
=
=
y
x
a
a
= 2sin3a
3
6 x
y
A
Cinemtica de la partcula
26
1.3.2 Componentes intrnsecas
16. Una locomotora comienza a moverse desde el punto A conforme a la expresin donde t est en s y s es la longitud en ft medida sobre la va a partir de A. El punto Bft de A y su radio de curvatura es de 800 ft. Diga: cul es la velocidad de la locomotora en es su aceleracin en A; c) cul, en B
Componentes intrnsecas
16. Una locomotora comienza a moverse conforme a la expresin s = 4t2,
es la longitud en ft medida B se halla a 4000
y su radio de curvatura es de 800 ft. Diga: a) locidad de la locomotora en B; b) cul
B.
Resolucin
Derivando la expresin de la longitud recorrida respecto al tiempo, obtenemos:
8
8
4 2
==
==
=
dtdv
a
tdtds
v
ts
t
a) El tiempo que tarda en llegar a B es:
100044000 2
=
=
t
t
Su velocidad por tanto, tiene una magnitud de:
25310008 ==v
= 30s
ft253v
La direccin es perpendicular al radio de la curva, pues debe ser tangente a la trayectoria.
b) Como el punto A est en un tramo recto
taa =
=s
ft8a
Su direccin es la de la trayectoria.
Derivando la expresin de la longitud recorrida
El tiempo que tarda en llegar a B es:
Su velocidad por tanto, tiene una magnitud de:
La direccin es perpendicular al radio de la curva,
Como el punto A est en un tramo recto
Cinemtica de la partcula
27
c) En el punto B la aceleracin de la locomotora tiene tanto componente tangencial como normal, porque pertenece a una curva:
= 308ta En direccin de la velocidad
=== 6080800
)253( 22v
an
Dirigida hacia el centro de curvatura
4.80808 22 =+=a
Sea el ngulo que forma con la velocidad
1.0808
tan == ; = 7.5 Respecto a la horizontal, por tanto, forma un ngulo de:
=+ 7.657.560
= 7.65s
ft4.80 2a
a
8
80
30
60
B
Cinemtica de la partcula
28
n
an
2
2
17. Un automvil viaja por la carretera de la figura aumentando uniformemente su velocidad. Pasa por A con una rapidez de 72 km/h y llega a km/h, cinco segundos despus. Determine: leracin del automvil al pasar por Acurvatura de la carretera en la cima all la aceleracin del vehculo es de 4 m/s
t
17. Un automvil viaja por la carretera de la figura aumentando uniformemente su velocidad. Pasa
con una rapidez de 72 km/h y llega a B a 108 , cinco segundos despus. Determine: a) la ace-
leracin del automvil al pasar por A; b) el radio de B, sabiendo que
all la aceleracin del vehculo es de 4 m/s2.
Resolucin
sm30
sm
6.3108
hkm108
sm20
sm
6.372
hkm72
==
==
Como la rapidez aumenta uniformemente, i.e., la componente tangencial de la aceleracin es constante, tanto en A como en B:
25
2030=
=
=
=
t
ABt
a
t
vv
t
va
a) Al pasar por A
22)2(2
220020
222
22
==+=
===
tn
n
aaa
va
= 45s
m83.2 2a
b) Al pasar por B
22tn aaa += ;
222tn aaa +=
Como la rapidez aumenta uniformemente, i.e., la de la aceleracin es constante,
Cinemtica de la partcula
29
46.324 2222 === tn aaa
Como
2van = ;
na
v2=
46.3302
= ; m260=
n
Cinemtica de la partcula
30
18. Un motociclista que corre en una pista circular de 440 ft de radio pasa por A a 60 mi/h; en B, 200 ft adelante, su velocidad es de 30 mi/h. Sabiendo que el motociclista reduce uniformemente su veloci-dad, calcule su aceleracin cuando se encuentra en A.
Resolucin
sft88h
mi60 =
sft44h
mi30 =
Como la reduccin de la rapidez es uniforme, la componente tangencial de la aceleracin es la misma en cualquier instante. Como se conoce la funcin de la distancia recorrida:
==
=
vdvdsa
vdvdsadsdv
va
t
t
t
Por ser constante, at queda fuera de la integral.
Cvsa t += 2
2
Si s = 0, v = 88
Tomaremos como origen el punto A
52.14)200(288
28844
288
288
2880
22
2222
2
2
=
=
=
=
=
+=
va
vsa
C
C
t
t
B 200
A 440
Cinemtica de la partcula
31
En el punto A la componente normal es:
5.39;6.17
52.14tan
8.226.1752.14
6.1744088
2222
22
==
=+=+=
===
nt
n
aaa
va
5.39s
ft8.22 2=a
14.52
a
A
t
n 17.6
Cinemtica de la partcula
32
19. Un buque navega con rapidez constante de 24 nudos. Para dirigirse al puerto vira 90 en un minuto. Determine la magnitud de la aceleracin del buque durante la maniobra.
Resolucin
Puesto que la magnitud de la velocidad no vara du- rante la maniobra:
0=ta Por tanto
vaa n
==
Donde
es la velocidad angular.
srad
602
mingrados90 pi ==
Adems:
s
m
3600185224
horamartimasmillas24nudos24 ==
Por tanto:
323.036001852)24(
120==
pia
2sm323.0=a
Y es perpendicular a la velocidad en cualquier instante.
v a
Cinemtica de la partcula
33
x
y
1.3.3 Componentes cartesianas e intrnsecas relacionadas
20. La trayectoria de un cohete interplanetario tiene la ecuacin y = 2 (10)5x2 + 0.8x. La compo-nente horizontal de su velocidad es constante y de 350 m/s. Calcule la razn del cambio de la magnitud de su velocidad con respecto al tiempo, cuando x = 9000 m.
Resolucin
Primer mtodo
dxdy
vdtdx
dxdy
dtdy
v
xxy
xy ===
+= 8.0)10(2 25
Como la componente horizontal de la velocidad es:
[ ]
[ ] 252
5
sm9.4)10(4350
280014.08.0)10(4350350
==
===
+=+=
=
y
yx
yyy
y
x
a
dxdv
vdtdx
dxdv
dtdv
a
xxv
v
La razn del cambio de magnitud de la velocidad con respecto al tiempo la mide la componente tangencial de la aceleracin.
dtdv
at =
Como dicha componente tiene la direccin de la velo-cidad, investigamos sta.
x
y
v
v=tan
Para 900=x : 154=yv , 350=xv
vy
v
350
t
v
an
a n
at
y = 2 (10)5x2 + 0.8x
Cinemtica de la partcula
34
=
=
7.23
350154
tan
es el ngulo que forma la velocidad con la horizon- tal, y es el mismo que forma la aceleracin con su componente normal. Proyectamos la aceleracin en el eje tangencial.
973.1sen9.4 == ta
La magnitud de la velocidad disminuye a razn de
2sm973.1
Segundo mtodo
Escribiendo en lenguaje vectorial
jjaiaajijvivv
yx
yx
9.4
154350
=+=
+=+=
Para proyectar la aceleracin en el eje tangencial, investigamos el producto escalar (o producto punto) de dos vectores.
teata =
En donde te es un vector unitario en direccin de la velocidad
( ) 973.1154350
9.415422
=
+
==
v
va
ta
t
v
e
at
a
Cinemtica de la partcula
35
21. Las ecuaciones paramtricas de las coorde-nadas de la punta de un brazo mecnico son x = 25t 4t2 y y = 50 2t2; ambas resultan en ft, si el tiempo est en s. Diga qu longitud tiene el radio de curva-tura de la trayectoria de la punta cuando y = 0.
Resolucin
Primer mtodo
Para hallar el radio de curvatura, se requiere conocer la magnitud de la componente normal de la acelera- cin y la magnitud de la velocidad.
2v
an =
Las ecuaciones del movimiento son:
8
825
425 2
==
==
=
dtdv
a
tdtdx
v
ttx
x
x
x
4
4
250 2
==
==
=
dtdv
a
tdtdy
v
ty
yy
y
Investigamos en qu instante 0=y
52500 2
==
t
t
y
x
Cinemtica de la partcula
36
La raz negativa no tiene significado fsico en este caso.
Para 5=t
25625)20()15(20)5(4
15)5(825
22==+=
==
==
v
v
v
y
x
El ngulo que la velocidad forma con la horizontal es:
1520
tan
==
x
y
v
v
= 1.53
La aceleracin en ese mismo instante es:
( )[ ] 54)1(24)4()8(48
22222=+=+=
=
=
a
a
a
y
x
Y su direccin respecto a la horizontal
=
== 6.26;84
tan x
y
a
a
El ngulo que forman entre s la velocidad y la acele-racin es:
= 5.26
La proyeccin de la aceleracin sobre el eje normal es:
45.26cos545.26cos === aan
15
20
v
4
8
n
26.6
t
v
y
x
x
y
y
x a
Cinemtica de la partcula
37
Por tanto:
46252
==
na
v
Segundo mtodo
Utilizando lgebra vectorial
La componente normal de la aceleracin se puede obtener proyectando el vector aceleracin sobre un vector unitario ne en direccin del eje normal, el cual es perpendicular a la velocidad.
Sea te un vector unitario en direccin de la velocidad
( )
( ) ( ) 44.24.66.08.0486.08.0
8.06.02015251
==+==
+=
===
jijieaajie
jijiv
ve
nn
n
t
46252
==
na
v tf3.156=
ft3.156=
en
et
y
x
Cinemtica de la partcula
38
39
2. CINTICA DE LA PARTCULA
2.1 Movimiento rectilneo
2.1.1 Aceleracin constante
1. Un tractor y su remolque aumentan unifor-memente su rapidez de 36 a 72 km/h en 4 s. Sabiendo que sus pesos son, respectivamente, 2 y 20 ton, cal-cule la fuerza de traccin que el pavimento ejerce sobre el tractor y la componente horizontal de la fuerza que se ejerce en el enganche entre los vehcu-los durante ese movimiento.
Resolucin
A partir de la informacin del movimiento, investiga-mos la aceleracin del vehculo.
Comenzaremos convirtiendo las velocidades a m/s:
sm20
sm
6.372
hkm72
sm10
sm
6.336
hkm36
==
==
Como el aumento de velocidad es uniforme:
Para conocer las fuerzas problema cintico co-menzaremos: 1) dibujando el diagrama de cuerpo libre del conjunto; 2) eligiendo un sistema de refe-rencia.
Empleamos a continuacin las ecuaciones cinticas:
22022
0
=
=
=
NN
Fy
dtdv
a =
5.24
1020=
=
=
tv
a
x
y
N
22
F
Cintica de la partcula
40
Puesto que la aceleracin del vehculo es horizontal, este resultado no es til para la resolucin del pro-blema.
)5.2(81.9
22=
=
F
maFx
Como P=mg; entonces m=P/g
= ton61.5F
Para conocer la fuerza en el enganche, se puede estu-diar cualquiera de los dos cuerpos que la ejercen. Elegiremos el remolque.
)5.2(81.9
20=
=
xQ
maFx
ton10.5=xQ Se trata de una tensin
Podemos comprobar los resultados analizando el tractor:
Por la tercera ley de Newton, las reacciones del remolque sobre el tractor son iguales a las reacciones del tractor sobre el remolque, pero de sentido contrario.
)5.2(81.9261.5
)5.2(81.9261.5
=
=
=
x
x
Q
Q
maFx
ton10.5=xQ
20
Qx
Qy
x
y
N1
N2
x
y Qy
Qx
2 ton
Cintica de la partcula
41
2. Los coeficientes de friccin esttica y cin-tica entre las llantas de una camioneta de doble traccin y la pista son 0.85 y 0.65, respectivamente. Diga cul ser la velocidad terica mxima que alcanzar la camioneta en una distancia de 300 ft, su-poniendo suficiente la potencia de su motor.
Resolucin
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre y elegimos el sistema de referencia. Como deseamos conocer la velocidad mxima des-pus de recorrer cierta longitud, se requiere que el automvil adquiera la mxima aceleracin, por tanto, que ejerza la mxima fuerza de traccin, que es de friccin en este caso.
4.27)2.32(85.02.32
85.0
2.3285.0
2.3285.0
00
==
=
=
=
=
=
=
=
a
a
aPP
aPN
maFPN
NPF
x
y
Se trata de una aceleracin constante, por tanto:
2)(
21
22
2
1
vvxa
vdvdxa
dxdv
va
v
v
=
=
=
p
0.85 N
N
y
x
Cintica de la partcula
42
En este caso, 01 =v y 300=x
300)4.27(2)(222 == xav
sft1.1282 =v
Se puede convertir a hmi :
hmi4.87h
mi44301.128
sft1.128 =
=
Cintica de la partcula
43
3. Un nio arroja una piedra de 1.5 kg de masa hacia arriba, verticalmente, con una velocidad inicial de 12 m/s desde la orilla de un edificio de 20 m de altura. Determine: a) la altura mxima, sobre el suelo, que alcanza la piedra; b) la velocidad con que llega al suelo.
Resolucin
Dibujamos la piedra en un diagrama de cuerpo libre que represente cualquier instante del movimiento, y elegimos un sistema de referencia.
Disponemos de una ecuacin cintica:
81.95.1)81.9(5.1
=
=
=
a
a
maFy
Es decir, en cualquier instante, suba o baje la piedra, su aceleracin es la de la gravedad y se dirige hacia el centro de la Tierra.
A partir de la aceleracin, escribimos las ecuaciones del movimiento de la piedra, refirindolas al sistema de referencia que se muestra en la figura.
2
0
0
281.91220
)81.912(20
81.91281.91281.9
tt
dttvdtyy
tdtadtvva
+=
+=+=
==+=
=
Ahora podemos contestar las preguntas.
y
0
20 m
20 m
12 m/s
Cintica de la partcula
44
a) Cuando alcance la altura mxima su velocidad ser nula.
81.912
81.9120
=
=
t
t
Y en ese instante: 212 9.81 1220 12
9.81 2 9.81144 72 7220 209.81 9.81 9.81
y
y
= +
= + = +
m3.27=y que es la altura mxima sobre el suelo
b) Llega al suelo cuando y = 0
0402481.9281.912200
2
2
=
+=
tt
tt
Las races son:
138.158.3
2
1
=
=
t
t
El tiempo en que llega al suelo es la raz positiva y la velocidad es:
2.23)58.3(81.912 ==v
El signo negativo indica que su sentido es contrario al sentido del eje de las yes, elegido arbitrariamente.
=s
m2.23v
Cintica de la partcula
45
4. Se lanza un cuerpo de 40 kg hacia arriba de un plano inclinado con un ngulo de 15, con una velocidad inicial de 20 m/s. Si los coeficientes de friccin esttica y cintica son 0.25 y 0.20, respectivamente, entre el cuerpo y el plano, cunto tiempo emplea en volver al punto del que fue lanzado?, con qu velocidad pasa por l?
Resolucin
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre mientras el cuerpo sube, elegimos el sistema de referencia. Empleamos a continuacin las ecuaciones cinticas:
0(40)(9.81) cos15 0379 newtons
0.2 40(9.81)sen15177.4
4.43
FyNN
Fx maN ma
ma
a
=
=
=
=
=
=
=
El signo negativo indica que la aceleracin tiene sentido contrario al eje de las equis y que el cuerpo se est deteniendo.
Escribimos las ecuaciones del movimiento:
( ) 21010
243.42043.420
43.42043.420
43.4
ttdttdtvxx
tdtdtavva
==+=
==+=
=
El tiempo que tarda en subir lo encontramos haciendo
v = 0.
40 kg
15
40(9.81)
0.2 N
N
Cintica de la partcula
46
st
t
t
t
51.4
51.443.4
202043.4
2043.40
=
==
=
+=
Para encontrar la distancia que recorre el cuerpo en el ascenso hasta detenerse sustituimos el tiempo hallado.
m1.45
)51.4(243.4)51.4(20 2
=
=
x
x
Habr recorrido esta distancia antes de detenerse.
Ahora analizaremos al cuerpo a partir de que comien-za a bajar.
Utilizando un nuevo sistema de referencia, tenemos:
379015cos)81.9)(40(
0
=
=
=
NN
Fy
La fuerza de friccin tiene ahora otro sentido.
644.040
2.015sen)81.9(40402.015sen)81.9(40
=
=
=
=
a
Na
aNmaFx
Las ecuaciones del movimiento, en el nuevo sistema de referencia y tomando como origen el punto en el que el cuerpo se detuvo, son:
( ) 200
2644.0644.0
644.0644.0644.0
tdttdtvxx
tdtadtvva
==+=
==+=
=
Vuelve al punto de partida en x = 45.1 m
40(9.81)
0.2 N
N
x
Cintica de la partcula
47
s83.11644.0
2)1.45(2644.01.45 2
=
=
=
t
t
t
Por tanto, el tiempo que tarda en volver al punto de donde fue lanzado es la suma de este tiempo ms el empleado en subir.
51.483.11 +=Tt
s34.16=Tt
La velocidad con la que pasa por dicho punto la hallamos sustituyendo el tiempo de descenso en la ecuacin de la velocidad.
)83.11(644.0=v
= 15s
m62.7v
Cintica de la partcula
48
5. Los pesos de los cuerpos A y B de la figura son, respectivamente, 20 y 30 lb, y los de la polea y de la cuerda, despreciables. Sabiendo que la cuerda es flexible e inextensible y que no hay ninguna friccin en la polea, calcule la aceleracin del cuerpo B y la tensin de la cuerda.
Resolucin
Los cuerpos estn conectados con una sola cuerda, de manera que su aceleracin tiene la misma magnitud. La cuerda sufre la misma tensin en toda su longitud, pues la polea es de peso despreciable (y la suma de momentos de las fuerzas respecto a su eje de rotacin tiene que ser nula).
Una vez dibujado el diagrama de cuerpo libre de A, elegimos un sistema de referencia dirigido hacia arriba, pues el cuerpo, ms ligero que B, acelerar aumentando su rapidez hacia arriba.
aT
maFy
2.322020 =
=
)2.32
1(20 aT += _______________ (1)
El sistema de referencia para el diagrama de cuerpo libre de B lo elegimos hacia abajo para ser consis-tentes con el diagrama anterior.
aT
maFy
2.323030 =
=
)2.32
1(30 aT = _______________ (2)
Igualando (1) y (2)
)2.32
1(30)2.32
1(20 aa =+
20 #
30 #
A
B
2T
T T
Polea
T
T
20
30
Cuerpo A
Cuerpo B
Cintica de la partcula
49
44.650
322
102.32
502.32
30302.32
2020
==
=
=+
a
a
aa
La aceleracin de B es, por tanto
= 2sft44.6a
Y la tensin de la cuerda
)2.1(20)2.32
44.61(20 =+=T
lb24=T
Cintica de la partcula
50
6. Los cuerpos A y B pesan 40 y 60 kg, respec-tivamente. El coeficiente de friccin esttica entre el cuerpo A y el plano horizontal es 0.35, y el de friccin cintica, de 0.25. Suponiendo despreciable la masa de las poleas y cualquier resistencia suya al movi-miento, calcule tanto la tensin de la cuerda que une las poleas, como la aceleracin de los cuerpos A y B.
Resolucin
A
A
A
x
y
aT
aT
aNT
maF
NN
F
81.94010
81.940)40(25.0
81.94025.0
40040
0
=
=
=
=
=
=
=
AaT 81.94010 +=
___________ (1)
Analizando el cuerpo B
BaT 81.96060 1 =
BaT 81.960601 = ____________ (2)
Tenemos las ecuaciones 1 y 2 con cuatro incgnitas.
40
Cuerpo A
0.25 N
N
T
x
y
Cuerpo B
T1
60 y
Cintica de la partcula
51
Estudiemos la polea mvil.
Como su masa es despreciable
0=ma Por tanto
030
1 =
=
TTFy
TT 31 = _____________ (3)
Y la cuarta ecuacin la obtenemos relacionando las aceleraciones de A y B, mediante la cuerda que conecta las poleas, cuya longitud es constante.
BA yxl 3+=
Derivando respecto al tiempo
BA
BA
aa
vv
3030
+=
+=
Para resolver el sistema de ecuaciones, multiplicamos (1) por (3) e igualamos con (2)
BA aa 81.96060
81.940103 =
+
Ahora, sustituimos (4):
[ ]
)10(140
81.981.9
202081.9
12010
81.960603
81.940103
=
=+
=
+
B
BB
BB
a
aa
aa
= 2sm701.0Ba
= 2sm10.2Aa
18.57 kgT =
T1
y
T T T
Cintica de la partcula
52
2.1.2 Aceleracin variable
7. A un cuerpo que reposa en una superficie lisa se le aplica una fuerza F cuya magnitud vara con el tiempo, segn se muestra en la grfica de la figura. Determine el tiempo que se requiere para que el cuer-po regrese a su posicin original.
Resolucin
De acuerdo con la grfica, la expresin que define la fuerza horizontal es:
tF 216 =
Pues 16 N es la ordenada al origen y la pendiente es negativa y de 2 N/s.
Despus de dibujar el diagrama de cuerpo libre para cualquier instante del movimiento y elegir el sistema de referencia, escribiremos la ecuacin cintica.
dtdvP
t
maFx
81.9216 =
=
Hemos sustituido a por dv/dt porque la fuerza est en funcin del tiempo.
Para resolver la ecuacin diferencial, separamos va-riables e integramos.
CvPtt
dvPdtt
dvPdtt
+=
=
=
81.916
81.9)216(
81.9)216(
2
Para 0=t , 0=v , de donde 0=C
F
t(s)
16
8
F(N)
P
16 2t
N x
y
Cintica de la partcula
53
)16(81.981.9
16
2
2
ttP
v
vP
tt
=
=
Sustituimos v por dx/dt
)16(81.9 2ttPdt
dx=
Separando variables e integrando:
132
2
2
)318(81.9
)16(81.9)16(81.9
CttP
x
dtttP
dx
dtttP
dx
+=
=
=
Escogiendo el origen en el punto de partida. Si 0=x , 0=t y 01 =C .
)318(81.9 32 tt
Px =
Esta es la ecuacin que define la posicin en funcin del tiempo.
Si vuelve al punto de partida, 0=x
0318
0)318(81.9
32
32
=
=
tt
ttP
Dividiendo entre 2t , pues dos races son nulas:
( )380
318
=
=
t
t
s24=t
Que es el tiempo en que vuelve al punto de partida.
Cintica de la partcula
54
8. Una embarcacin de 9660 lb de desplaza-miento navega en aguas tranquilas a 24 nudos cuando su motor sufre una avera. Queda entonces sujeta a la resistencia del agua que, en lb, se puede expresar como 0.9v2, donde v est en ft/s. Diga en cunto tiem-po la rapidez de la embarcacin se reducir a 6 nudos.
Resolucin
Cv
t
v
dvdt
v
dvdt
dtdv
v
dtdv
v
mav
maFx
+=
=
=
=
=
=
=
13009.0
3009.0
3009.0
3009.0
2.3296609.0
9.0
2
2
2
2
2
Cuando t = 0, v = 24 nudos
Dado que la resistencia est expresada en el sistema ingls, realizamos la conversin de nudos a
sft
53.40s3600
s1m3048.0
m185224
hs
ftmi.mar.24
s
fthmar.mi
24
=
=
=
=
x
x
x
401.7)53.40(
300)53.40(
13000
=
=
+=
C
C
C
9660
0.9v2
U
x
Cintica de la partcula
55
Entonces:
401.73009.0 +=v
t
Cuando la velocidad de la embarcacin es v = 6 nudos:
Nuevamente realizamos la conversin, utilizando una regla de tres con el resultado anterior.
sft13.10
246
53.40=
=
v
v
Entonces:
9.02.22
2.229.0401.76.299.0
401.713.10
3009.0
=
=
+=
+=
t
t
t
t
s7.24=t
Cintica de la partcula
56
9. Una embarcacin de 9660 lb de desplaza-miento navega en aguas tranquilas a 24 nudos cuando su motor sufre una avera. Queda entonces sujeta a la resistencia del agua que, en lb, se puede expresar como 0.9v2, donde v est en ft/s. Qu distancia nave-gar hasta que su velocidad se reduzca a 6 nudos?
Resolucin
Dibujamos un diagrama de cuerpo libre, que repre-sente cualquier instante del movimiento, y elegimos un eje de referencia en direccin de la velocidad.
dxdv
vv
maFx
2.3296609.0 2 =
=
Hemos sustituido a por v dv/dx porque la fuerza est en funcin de la velocidad y queremos conocer un desplazamiento.
Simplificando la ecuacin, tenemos:
dxdv
v 3009.0 =
Separamos variables
Cvxv
dvdx
v
dvdx
+=
=
=
L3009.0
3009.0
3009.0
Elegimos el origen en la posicin en que la embar-cacin sufre la avera, de modo que
Si 0=x , nudos24=v
nudos24L300nudos24L3000
=
+=
CC
9660
0.9v2
U
x
Cintica de la partcula
57
La ecuacin queda as:
( )nudos24LL3009.0nudos24L300L3009.0
=
=
vx
vx
Por las propiedades de los logaritmos
nudos24L3009.0 vx =
nudos24L
003.01 v
x =
Volviendo a utilizar las propiedades de los logaritmos
vx
nudos24L003.01
=
La posicin de la embarcacin cuando su rapidez es de 6 nudos es:
4L003.01
nudos6nudos24L
003.01
==x
ft462=x
Que es tambin la distancia que navega hasta dicha posicin.
Cintica de la partcula
58
10. Se arroja una pequea esfera de 2 kg de peso hacia arriba, verticalmente, con una velocidad inicial de 15 m/s. En su movimiento experimenta una resistencia del aire, que, en kg, se puede considerar de 0.04v, donde v se d en m/s. Determine: a) el tiempo en que alcanza su altura mxima; b) la velocidad con que vuelve al punto de partida.
Resolucin
En el diagrama de cuerpo libre, dibujaremos la resis-tencia del aire en sentido positivo, pero asignamos a la magnitud un signo negativo, de modo que si v es positiva, la fuerza resulta negativa y viceversa.
Cvg
t
v
dvg
dt
v
dvg
dt
dtdv
gv
maFy
+=
=
=
=
=
)204.0(L04.02
204.02
204.02
204.02
Si t = 0, v = 15
=
+=
204.06.2L
02.01
6.2L02.010
vgt
Cg
+=
204.06.2L
02.01
vgt _____________ (1)
Nombramos (1) a la ecuacin anterior ya que ser utilizada ms adelante.
Para v = 0
-0.04 v
2
y
Cintica de la partcula
59
3.1L02.01
gt =
s337.1=t
De la ecuacin (1)
0.02
0.02
0.02
2.60.02 L0.04 2
2.60.04 2
0.04 2 2.6
0.04 2 2.6
gt
gt
gt
gtv
ev
v e
v e
= +
=
+
+ =
= +
gtev 02.06550 += ______________ (2)
( )1
02.0
02.0
02.0
02.06550
6550
6550
Ceg
ty
dtedy
edtdy
gt
gt
gt
+=
+=
+=
Si y = 0, t = 0
( )gteg
ty
Cg
02.0
1
102.06550
02.0650
+=
+=
Se encuentra el valor de t para y = 0
s801.2=t
Sustituyendo el tiempo encontrado en la ecuacin (2)
=s
m47.12v
Cintica de la partcula
60
O bien:
dydv
vg
v
dydv
vg
v
maFy
5050
2204.0
=+
=
=
1)50(L5050
5050
50
505050
50
5050
Cvvygv
dvdvdyg
dvv
vdygv
vdvdyg
++=
+=
+
+=
+=
Si y = 0, v = 15
65L501565L50150
1
1
+=
+=
CC
++=
5065L5015
50 vvyg
Para y = 0:
++=
5065L50150
vv
Resolviendo mediante aproximaciones o con ayuda de una calculadora programable, obtenemos:
151 =v (Cuando comienza el movimiento)
48.122 =v
=s
m48.12v
Cintica de la partcula
61
11. Una cadena de 4 m de longitud y 80 N de peso reposa en el borde de una superficie rugosa, cuyo coeficiente de friccin cintica es 0.5. Mediante una fuerza constante de 50 N se jala a otra superficie contigua, lisa. Calcule la velocidad con que la cadena termina de pasar completamente a la superficie lisa.
Resolucin
Dibujamos un diagrama de cuerpo libre de la cadena, que representa un instante cualquiera de su movi-miento. Un tramo de ella se encuentra sobre la super-ficie rugosa y otro en la lisa.
Colocamos el origen del sistema de referencia en la unin de las dos superficies, de modo que el tramo sobre la superficie lisa tiene una longitud x.
Como el peso de la cadena es de 80 N y mide 4 m, su peso por unidad de longitud es:
mN20
480
==w
Las componentes normales de las superficies sobre la cadena tienen la misma magnitud que los pesos de sus tramos respectivos.
[ ] 8050 0.5 20(4 )9.81
8050 10(4 )9.81
8050 40 109.81
8010 109.81
819.81
Fx madv
x vdx
dvx v
dx
dvx v
dxdv
x vdx
dvx v
dx
=
=
=
+ =
+ =
+ =
50
0
x
20(4-x)
Cintica de la partcula
62
Hemos sustituido a por dxdv
v ya que la fuerza est en
funcin de la posicin x, y hemos dividido ambos miembros entre 10.
Separamos variables e integramos.
Cvxx
vdvdxx
vdvdxx
+
=+
=+
=+
22
281.98
2
81.98)1(
81.98)1(
Si 0=x , 0=v puesto que cuando el extremo derecho de la cadena se halla en el punto de unin de las superficies comienza a moverse.
2481.9
81.94
2
0
2
22
xxv
vx
x
C
+=
=+
=
La cadena termina de pasar a la superficie lisa cuando 4=x , y su velocidad entonces es:
84481.9
2481.9 2
+=
+=
v
xxv
=s
m42.5v
Cintica de la partcula
63
12. Un cuerpo de masa m unido a un resorte, cuya constante de rigidez es k, se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Se aleja el cuerpo una distancia xo de su posicin de equilibrio y se suel-ta. Escriba las ecuaciones del movimiento del cuerpo en funcin del tiempo y dibuje las grficas corres-pondientes.
Resolucin
En el diagrama de cuerpo libre, dibujaremos la fuerza del resorte en sentido positivo, pero asignamos a su magnitud un signo negativo, de forma que si x es positiva la fuerza resulte negativa y viceversa.
dxdv
mkx
maFx
=
=
El signo negativo sirve para cambiar el sentido de la fuerza. Pues si x es positiva, es decir, si el cuerpo est a la derecha del origen, la fuerza se dirige hacia la izquierda; y viceversa.
22
22 vmCxk =+
Cuando 0xx = ; 0=v
Entonces: 22 2
0
22 20
2 2 20
2 2 20
2 2 2
2 2 2
( )2 2( )
xx vk m k
xx vk k m
k mx x v
k x x mv
=
+ =
=
=
2
02
20
20
xkC
Cxk
=
=+
N
mg
-kx
x
y
Cintica de la partcula
64
( )22
0
220
xxm
kv
xxm
kv
=
=
Sea m
kp =
dtdx
v =
2 20
2 20
2 20
20
angsen
dx p x xdt
dx pdtx x
dx p dtx x
x pt Cx
=
=
=
= +
Si 0=t , 0xx = ( )
+=
=
=
90angsen
901angsen
0
2
2
ptx
x
CC
Aplicando la funcin seno de ambos lados de la ecuacin:
( )
ptx
x
ptx
x
cos
90sen
0
0
=
+=
ptxx cos0=
Derivando con respecto al tiempo tenemos:
( ) ptpxptpxdtdx
sensen 00 ==
ptpxv sen0=
Cintica de la partcula
65
Derivando nuevamente con respecto del tiempo en-contraremos la aceleracin.
( ) ptxpptppxdtdv
coscos 02
0 ==
ptxpa cos02
=
xpa 2=
Las grficas para la posicin, velocidad y aceleracin son, respectivamente:
t
x0
x0
t
p x0
- p x0
t
p2 x0
-p2 x0
pt
0
2
a
v
x
Cintica de la partcula
66
13. Un cuerpo de 16.1 lb de peso pende de los tres resortes mostrados en la figura. Se jala el cuerpo hacia abajo tres pulgadas de su posicin de equilibrio y se suelta. Se pide: a) Hallar la constante de rigidez de un resorte equivalente a los tres de la figura. b) De-terminar si el movimiento que adquiere el cuerpo es armnico simple o no. c) Dar la amplitud, el perodo y la frecuencia del movimiento. d) Calcular la velo-cidad y aceleracin mximas del cuerpo.
Resolucin
a) La constante de rigidez equivalente a la de los dos resortes en paralelo es ft
lb6030301 =+=k La constante equivalente a los dos resortes en serie es:
1205
120321
401
6011
=
+=
+=
k
k
ftlb24=k
b) Dibujamos el diagrama de cuerpo libre para cualquier instante del movimiento y elegimos como origen la posicin de equilibrio del cuerpo. En dicha posicin la fuerza del resorte es igual al peso, de 16.1 lb, de modo que en cualquier posicin la accin del resorte tiene una magnitud de 1.1624 + y
yaay
ay
maFy
485.024
2.321.161.161.1624
=
=
=+
=
Esta ecuacin es de la forma xa 2= que corres- ponde al movimiento armnico simple, es decir, rec-tilneo, cuya aceleracin es proporcional a la posicin
24 16.1
y
16.1
Cintica de la partcula
67
con respecto al punto de equilibrio y se dirige hacia l.
Por lo tanto, el cuerpo adquiere movimiento armnico simple.
c) Como la amplitud es la distancia mxima que la partcula se aleja del origen, in30 =y , que es la longitud sealada en el enunciado. Como in12ft1 =
ft25.00 =y
El periodo T es el tiempo en que el cuerpo da una oscilacin completa:
pT
pTpi
pi
22
=
=
En donde m
kp =
24=k 16.1 0.532.2
24 48 4 30.5
m
p
= =
= = =
Entonces:
32342 pipi
==T
s907.0=T
Y la frecuencia, que es el nmero de ciclos completos por unidad de tiempo:
pi21 pT
f ==
Hz103.1=f
Cintica de la partcula
68
d) Como se trata de movimiento armnico simple, las ecuaciones del movimiento son:
ypptypa
ptpyv
ptyy
20
20
0
cos
sen
cos
==
=
=
que, para este caso particular, son:
34cos1234sen334cos25.0
ta
tv
ty
=
=
=
El valor de la velocidad mxima se alcanza cuando
1sen =pt , por tanto:
30max == pyv
sft732.1max =v
La aceleracin mxima corresponde a la posicin extrema, 25.0=y
)25.0(4802max == ypa
2max sft12=a
Cintica de la partcula
69
2.2 Movimiento curvilneo
2.2.1 Componentes cartesianas
14. La corredera A, de 5 lb de peso, se mueve dentro de la ranura conforme se eleva el brazo hori-zontal, que tiene una velocidad constante de 3 in/s. Sabiendo que cuando x = 6 in, su velocidad tiene una pendiente positiva de 1/2 y su aceleracin es hori-zontal y de 3 in/s2 dirigida hacia la derecha, determine todas la fuerzas externas que actan sobre ella en esa posicin.
Resolucin
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la co-rredera. Las reacciones normales del brazo y de la ranura sern llamadas NB y NR respectivamente, en donde NB tendr la direccin del eje y, mientras que NR ser normal a la velocidad en el punto.
5123
2.325
123
2.325
51
=
=
=
R
R
N
N
maFx
lb0868.0=RN
+=
=
=
525
05
25
0
RB
RB
NN
NN
Fy
x
y
lb08.5=BN
Cintica de la partcula
70
5. Desde la orilla de un edificio de 20 m de altura, un nio arroja una piedra con una velocidad de 15 m/s, cuya pendiente es de 4/3. Sabiendo que la piedra tiene una masa de 1.5 kg y la resistencia del aire es despreciable, determine la altura mxima h sobre el suelo que alcanza la piedra, la distancia horizontal R que se aleja del edificio y la velocidad con que llega al suelo.
Resolucin
El diagrama de cuerpo libre de la piedra en cualquier instante del movimiento es el que se muestra. Elegimos un eje de referencia unilateral hacia arriba.
==
=
=
2sm81.9
81.95.1)81.9(5.1
a
a
a
maFy
Partiendo de este dato, elegimos un sistema de refe-rencia completo para plantear las ecuaciones del movimiento de la piedra.
Componentes horizontales
95315
0
00
=
==+=
=
x
xxxx
x
v
vdtavv
a
tx
dtdtvxx x9
90=
=+=
y 1.5 (9.81)
y
x 0
20m
Cintica de la partcula
71
Componentes verticales
( )2
0
0
281.91220
81.912
81.912
81.95415)81.9(
81.9
tty
dttyy
tv
dtdtvv
a
y
yy
y
+=
+=
=
=+=
=
Alcanza la altura mxima h cuando la componente vertical de la velocidad es nula.
81.912
81.91200
=
=
=
t
t
v y
Y esa altura es y = h
81.97220
81.972
81.914420
81.912
281.9
81.9121220
2
+=+=
+=h
m3.27=h
La piedra llega al suelo en un punto situado a una distancia R del edificio. Es decir, cuando
2
281.912200
0
tt
y
+=
=
Las races de esta ecuacin son:
138.158.3
2
1
=
=
t
t
En 58.3=t s, x =R )58.3(9=R
m3.32=R
Cintica de la partcula
72
2.2.2 Componentes intrnsecas
16. Un pndulo cnico de 8 kg de peso tiene una cuerda de 1 m de longitud, que forma un ngulo de 30 con la vertical. Cul es la tensin de la cuer-da? Cul es la rapidez lineal del pndulo?
Resolucin
=
=
=
30cos8
0830cos0
T
TFy
kg24.9=T
( )( )
( )8
30sen81.98
30sen81.930sen181.9
830sen
81.9830sen
2
22
2
2
=
=
=
=
=
Tv
Tv
vT
vT
maFn n
sm683.1=v
8 kg
n
y
30 T
Cintica de la partcula
73
17. Calcule el ngulo de peralte que debe tener la curva horizontal de una carretera para que los vehculos al transitar por ella no produzcan fuerzas de friccin sobre el pavimento. El radio de la curva es de 1000 ft y de 60 mi/h la velocidad de diseo.
Resolucin
Convertimos las mi60 h a ft
s
s
ft88s
ft304460
hmi60 =
=
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de un vehculo en el que el pavimento slo ejerce una fuerza normal.
El sistema de referencia requiere que el eje normal se dirija hacia el centro de la curva; y elegimos otro eje perpendicular a l (el eje tangencial es perpendicular al plano del dibujo).
2
2.32sen
cos
0cos0
vPN
maF
PN
PNF
nn
z
=
=
=
=
=
Sustituyendo:
32200)88(
tan
32200)88(
cos
sen
1000)88(
2.32sen
cos
2
2
2
=
=
=
PP
N P
z
n
5.13=
Cintica de la partcula
74
18. Un cuerpo de 4 kg de masa se encuentra sujeto por dos cuerdas, una horizontal (AC) y otra (AB) de 0.8 m de largo, que forma un ngulo de 30 abajo de la horizontal. Determine la tensin que soportar la cuerda AB en el instante en que se corte la cuerda AC. Diga tambin cul ser la aceleracin del cuerpo.
Resolucin
2
2
2
4(9.81)sen 4
4(9.81)sen 4
4(9.81)sen 40.8
4(9.81)sen 5
n
n
Fn maT a
vT
vT
T v
=
=
=
=
=
Cuando = 30 ; 0=v
4(9.81)sen30 04(9.81)sen30
TT
=
=
1 9 .6 2 NT =
t
t
a
maFt4cos)81.9(4 =
=
Si = 30 :
2
4(9.81)cos30 44(9.81) cos30
4m8.49
s
t
t
t
a
a
a
=
=
=
2m33.9 60
sa =
n
t
Cintica de la partcula
75
19. Un pndulo de 4 kg de masa comienza a oscilar cuando su cuerda, de 0.8 m de longitud, forma un ngulo de 30 abajo de la horizontal, como se muestra en la figura. Cul ser la mxima rapidez que alcance? Cul, la tensin correspondiente de la cuerda?
Resolucin
Puesto que la rapidez del pndulo es variable, dibuja- remos un diagrama de cuerpo libre que represente un instante arbitrario de su movimiento.
Utilizaremos un sistema de referencia intrnseco: el eje normal se dirige hacia el centro de la trayectoria circular del pndulo; y el tangencial tiene la direccin de la velocidad de ste.
t
tt
a
maF
4cos)81.9(4 ==
La mxima rapidez la alcanza cuando 0=ta , o sea,
=
=
=
900cos
0cos4
Y para hallar esa rapidez, sustituimos
dsdv
v4cos)81.9(4 =
Simplificando
dsdv
v81.91
cos =
Se puede relacionar el ngulo y el arco diferencial ds : el ngulo d es, como todo ngulo, la razn del arco al radio.
dds
dsd
8.08.0
=
=
0.8 d
ds 0.8
n
t
Cintica de la partcula
76
De donde:
ddv
v8.081.9
1cos =
Separando variables:
( )2
10.8cos9.81
10.8 cos9.81
10.8sen2 9.81
d vdv
d vdv
v C
=
=
= +
Si = 30 , 0=v
C=
218.0
De donde
( )
( ) ( )
2
2
max
10.8sen 0.42 9.81
1 0.4 2sen 12 9.81
0.8(9.81)(1)
v
v
v
= +
=
=
maxm2.80
sv =
2
4(9.81) sen 4n n
F ma
vTr
=
=
Para = 90 (sen 1= ), maxvv = y 8.0=r
)81.9(88.0
)81.9(8.04)81.9(4
=
+=
T
T
78.5 NT =
Cintica de la partcula
77
20. Por el punto A de la superficie lisa mos-trada en la figura, pasa una partcula de masa m con una rapidez vo. Diga con qu rapidez v llegar al pun-to B, si la diferencia de nivel entre A y B es h.
Resolucin
Elegimos una posicin arbitraria de la partcula, como la que se muestra en la figura, y dibujamos el diagrama de cuerpo libre.
Utilizamos un sistema de referencia intrnseco: el eje normal dirigido hacia el centro de la curva y el tangencial en direccin de la velocidad.
Como nos interesa conocer la rapidez, empleamos la ecuacin:
cos
cos
t tF madv
mg mvds
g ds vdv
=
=
=
Para poder integrar, relacionamos la longitud ds con el ngulo , como se ve en la figura:
cos
cos
dhds
dsdh
=
=
Por tanto
=
=
v
v
B
A
dvvdhg
dvvdhg
0
ds dh
N
n mg
t
h
Cintica de la partcula
78
ghvv
vvgh
vgh
o
v
v
22
2
22
20
2
2
0
+=
=
=
ghvv o 22 +=
Si v0 = 0, se tiene
ghv 2=
Siempre que no haya fuerza de friccin.
21. Un nio coloca una canica en la parte alta de un globo terrqueo. Diga en qu ngulo abandona el globo y se convierte en proyectil. Desprecie toda friccin.
N
n
mg
Cintica de la partcula
21. Un nio coloca una canica en la parte alta de un globo terrqueo. Diga en qu ngulo la canica abandona el globo y se convierte en proyectil. Des-
Resolucin
Aunque la canica est originalmente en equilibrio, ste es tan inestable que el movimiento es inminente
Dibujaremos un diagrama de cuerpo libre que represente cualquier instante del movimiento de la canica sobre la superficie del globo terrqueo.
Elegimos un sistema de referencia intrnseco, con el eje normal hacia el centro del globo y el eje tangencial en direccin de la velocidad.
Puesto que la componente tangencial de la aceleracin mide el cambio de magnitud de la velocidad, que es variable en este caso, comenzaremos con la siguiente ecuacin.
sen
t tF madv
mg m vds
=
=
Se puede relacionar el ngulo ds, ya que todo ngulo se mide con la razn del arco al radio.
rddsr
dsd
=
=
De donde:
sen
sen
sen
v dvgr d
gr d vdv
gr d vdv
=
=
=
t
Cintica de la partcula 79
la canica est originalmente en equilibrio, e el movimiento es inminente.
diagrama de cuerpo libre que repre- sente cualquier instante del movimiento de la canica sobre la superficie del globo terrqueo.
Elegimos un sistema de referencia intrnseco, con el eje normal hacia el centro del globo y el eje
e la velocidad.
Puesto que la componente tangencial de la acelera-cin mide el cambio de magnitud de la velocidad, que
omenzaremos con la si-
y el arco diferencial , ya que todo ngulo se mide con la razn del arco
Cintica de la partcula
80
Cvgr +=2
cos2
Como v = 0 cuando = 0 (cos = 1)
)cos1(2
cos2
2cos
)1(
2
2
2
=
=
=
=
grv
grgrv
grvgr
Cgr
Utilizando la otra ecuacin cintica:
r
vmNmg
maF nn2
cos =
=
Cuando la canica est a punto de separarse del globo,
N = 0 y =
r
vmmg
2
cos =
Del resultado anterior:
32
cos
2cos3cos22cos
)cos1(2cos
)cos1(2cos
=
=
=
=
=
grgr
r
grg
= 2.48
Cintica de la partcula
81
22. El aro liso de la figura, cuyo radio es de 0.5 m, gira con rapidez angular constante alrededor de un eje vertical. Calcule dicha rapidez angular, sabien-do que el collarn, aunque puede deslizarse libremente sobre el aro, mantiene fija su posicin relativa a l.
Resolucin
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre del collarn.
Como la trayectoria que describe es una circun-ferencia en el plano horizontal, el eje normal, que se dirige hacia el centro de la trayectoria, es tambin horizontal.
El eje tangencial es perpendicular al plano del dibujo y no aparece en el diagrama.
2
2
2
0sen30 0
12
cos309.81
322 9.81
139.81
.
.
.
Z
n n
F
N P
N P
F maPN r
PP r
r
=
=
=
=
=
=
=
El radio de la trayectoria es
325.02
35.030cos5.0 ===r
30
N
P
n
z
0.5
r
30
Cintica de la partcula
82
De donde
25.081.9
)325.0(81.913
.
.
2
2
=
=
rad6.26s
.
=
83
3. TRABAJO Y ENERGA E IMPULSO Y CANTIDAD DE
MOVIMIENTO PARA LA PARTCULA
3.1 Trabajo y energa cintica
1. Con una fuerza E de 20 kg, inclinada 30, se
empuja un cuerpo de 50 kg sobre una superficie ho-
rizontal, en lnea recta, a lo largo de 10 m. Los coefi-
cientes de friccin esttica y cintica son 0.3 y 0.2,
respectivamente. Calcule el trabajo que realizan la
fuerza E, el peso, la componente normal de la reac-
cin de la superficie y la friccin durante el movi-
miento descrito.
Resolucin
Mediante el diagrama de cuerpo libre investigaremos
las magnitudes de las fuerzas cuyos trabajos desea-
mos conocer.
60;02
12050
0
NN
Fy
Por tanto 122.0 NFr
Como las cuatro fuerzas son constantes, el trabajo se
puede calcular mediante la expresin:
sFU cos
en donde es el ngulo que la fuerza forma con el
desplazamiento, que, en este caso, es horizontal y
hacia la derecha.
P = 50
E = 20
30
N
Fr = 0.2 N
x
y
Trabajo e impulso
84
102
3201030cos20EU
mkg2.173EU
10270cos50PU
1090cos50NU
0NU
1011210180cos12FrU
mkg120FrU
El trabajo es un escalar que puede ser positivo, nega-
tivo o nulo.
0PU
Trabajo e Impulso
85
2. Una fuerza F de 500 N empuja un cuerpo de
40 kg de masa que reposa en una superficie horizon-
tal. Sabiendo que el cuerpo se desplaza en lnea recta
y que los coeficientes de friccin esttica y cintica
entre el cuerpo y la superficie son 0.30 y 0.25, respec-
tivamente, calcule la velocidad del cuerpo cuando se
haya desplazado 8 m.
Resolucin
Investigaremos las magnitudes de las fuerzas externas
que actan sobre el cuerpo de 40 kg.
)81.9(40;040
0
NgN
Fy
Por tanto:
1.98
81.9)40(25.0
Fr
NkFr
Los trabajos que realizan las fuerzas son:
0NP UU
(pues son perpendiculares al desplazamiento)
8.784)8(1.98
4000)8(500
Fr
F
U
U
La frmula del trabajo y la energa cintica establece
que:
20
3215
0)40(2
13215
2
18.7844000
2
2
1
2
2
v
v
vvm
TU
sm68.12v
P = 40 g
F = 500
Fr = 0.25 N
N
x
y
Trabajo e impulso
86
3. El collarn de la figura, de 4 lb de peso, se
suelta desde el punto A de la gua lisa de la figura y
llega al punto B. Determine el trabajo que realiza su
peso durante ese movimiento y diga con qu rapidez
llega el collarn a B.
Resolucin
Primer procedimiento
Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre del collarn
en una posicin cualquiera de su trayectoria.
El desplazamiento tiene la direccin del eje tan-
gencial.
B
AdsU
dsPU
cos4
cos2
1
Como el ngulo , durante el movimiento, va de
-90 90, integraremos sustituyndolo por el ngulo , que es el complemento de y siempre
crece.
180
0sen4 dsU
Tomaremos un desplazamiento diferencial y lo rela-
cionaremos con .
ddsds
d 6.0;6.0
180
0sen6.04 dU
1)1(4.2
0cos180cos4.2
U
U
N
t
N
t
4
ds d
0.6
4
ftlb8.4U
Trabajo e Impulso
87
Segundo procedimiento
Como el trabajo es una fuerza conservativa, es decir,
el trabajo que realiza es independiente de la trayec-
toria que siga el cuerpo, se puede calcular multipli-
cando su magnitud por el cambio de nivel de la par-
tcula (vid. Prob. 4)
2.14U
hPU
ftlb8.4U
Trabajo e impulso
88
4. Una partcula de masa m pasa por A con
una rapidez vo. Sabiendo que la superficie es lisa, de-
termine, en funcin de la altura h, el trabajo del peso
y la rapidez v con que pasa por el punto B.
Resolucin
En cualquier posicin, las nicas fuerzas que actan
sobre la partcula son el peso y una reaccin normal.
Esta ltima no trabaja precisamente por ser normal al
desplazamiento. es el ngulo que el peso forma con
el desplazamiento.
B
A
B
AdsmgdsmgU coscos
En la figura relacionaremos con un desplaza-
miento diferencial.
B
A
B
Adhmgds
ds
dhmgU
ds
dhcos
mghU
Utilizando la frmula del trabajo y la energa cintica
tenemos, tenemos:
ghvv
vvmmgh
TU
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