SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Series.Sea una sucesión, entonces una serie, viene dada por:
Convergencia Serie.Dada una seria , tal que , entonces:
Si existe y es igual a S, entonces la serie Converge a S.
Si no existe entonces la serie Diverge.
na
1
321n
nn aaaaa
1nna n
nn Sa
1
nnS
lim
nnS
lim
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Propiedades de las Series
• Dadas las series convergente , y c un
número real, entonces las siguientes series también son
convergentes, y sus sumas son:
• Si es convergente y es divergente, entonces:
es Divergente
Aan Bbn
cAac n BAba nn )( BAba nn )(
na nb
BAba nn )(
Importante: Si y son Divergente, entonces no se tiene certeza si es Convergente o Divergente
na nb
BAba nn )(
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Serie Geométrica.A toda aquella serie que se puede expresar de la forma:
o
se denomina serie geométrica.
La Convergencia o no de una serie geométrica viene dada
por:
• Si , entonces la serie Diverge.
• Si , entonces la serie Converge y su suma es
0n
nra
1
1
n
nra
1r
1rraS
1
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Serie Telescópica.Es aquella serie que se puede expresar de la forma:
La serie telescópica siempre converge a L si .
Serie Armónica.Es aquella serie que se puede expresar de la forma:
La serie armónica siempre es Divergente.
11
nnn aa
Lann
lim
1
1n n
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Serie pA toda aquella serie que se puede expresar de la forma:
se denomina serie p.
La Convergencia o no de una serie p viene dada por:
• Si , entonces la serie Diverge.
• Si , entonces la serie Converge.
1
1n
pn
1p
1p
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Criterio de la Divergencia
Si la serie infinita converge, entonces , con
lo cual se puede concluir que:
Si , entonces la serie es Divergente.
Importante: Si no implica que la serie sea Convergente, por lo tanto se debe utilizar otro criterio.
1nna 0lim
nna
0lim nna
0lim nna
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Criterio de la Integral
Si , tal que f es continua, positiva y decreciente,
entonces:
y
Convergen o Divergen ambas en forma simultanea.
)(nfan
dnnf
1
)(
1nna
Importante: Antes de aplicar el Criterio de la Integral se debe verificar que cumpla con las condiciones iniciales,
sino se debe utilizar otro criterio
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Criterio de Comparación
Si , para todo n entonces:
• Si Converge, entonces también Converge.
• Si Diverge, entonces también Diverge.
1nnb
1nna
1nna
1nnb
nn ba 0
Importante: En caso de que no se cumpla alguna de las dos condiciones anteriores, no se tiene certeza si la serie converge o no, por lo tanto se debe elegir otro criterio.
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Criterio de Comparación
Sean y , dos series de términos positivos entonces:
• Si , entonces ambas series Converge o Divergen.
• Si y Converge, entonces Converge.
• Si y Diverge, entonces Diverge.
na nb
0lim
n
n
n ba
0lim
n
n
n ba nb na
n
n
n balim nb na
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Criterio del Cociente o de la Razón
Sea una serie de términos positivos tal que an es
distinto de 0, entonces:
• Si , entonces Converge.
• Si ó , entonces Diverge.
• Si el criterio falla.
1lim 1
n
n
n aa
na
na
1lim 1
n
n
n aa
n
n
n aa 1lim na
1lim 1
n
n
n aa
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Criterio de la Raíz
Sea una serie de términos no negativos, entonces:
• Si , entonces Converge.
• Si ó , entonces Diverge.
• Si el criterio falla.
na
1lim
nn
na
1lim
nn
na
nn
nalim
1lim
nn
na
na
na
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Series Alternantes
Son aquellas series que poseen términos tanto positivos
como negativos en forma alternante. Estas series tienen la
forma :
ó
1
)1(n
nna
1
1)1(n
nn a
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Criterio de las Series Alternantes
Se dice que una serie alternante es convergente si cumple
con las siguientes condiciones:
•
• Sea decreciente para todo n, es decir que se cumpla:
0lim nna
1 nn aa
Importante: En caso de que no se cumpla alguna de las dos condiciones anteriores, se dice que la serie es
Divergente.
SERIES Y SUCESIONES
Cristian Castillo
Convergencia Absoluta
Se dice que la serie alternante es absolutamente
convergente si es convergente.
Convergencia Condicional
Se dice que la serie alternante es condicionalmente
convergente si es convergente y es
divergente.
1
)1(n
nna
1nna
1
)1(n
nna
1nna
1
)1(n
nna
Top Related