SERIES ALTERNADAS
Definición: Sea 𝑎𝑛 > 0, ∀ 𝑛 ∈ ℕ, entonces la serie
−1 𝑛+1𝑎𝑛 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯+ −1 𝑛+1𝑎𝑛 + ⋯
∞
𝑛=1
y la serie
−1 𝑛𝑎𝑛 = −𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 + 𝑎4 − ⋯+ −1 𝑛𝑎𝑛 + ⋯
∞
𝑛=1
Se llaman Series alternadas (o alternantes)
TEOREMA: CRITERIO DE LAS SERIES ALTERNADAS (DE LEIBNITZ)
Si 𝑎𝑛 > 0, las series alternadas
−1 𝑛+1𝑎𝑛 y
∞
𝑛=1
−1 𝑛𝑎𝑛
∞
𝑛=1
Convergen, si se cumplen las siguientes condiciones:
1. 𝑎𝑛 es decreciente, para todo 𝑛
2. lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0
Ejemplo:
Analizar la convergencias de las series alternadas
a) −1 𝑛
𝑛2 ∞𝑛=1
Solución:
Sea 𝑎𝑛 = 1
𝑛2 Aplicando criterio para series alternadas:
1) Sea 𝑓 𝑥 =1
𝑥2 => 𝑓′ 𝑥 = −2
𝑥< 0, ∀𝑥 ≥ 1
Luego 𝑓 es decreciente, por lo tanto 1
𝑛2 es decreciente
2. lim𝑛→∞
1
𝑛2 = 0
Por el criterio de series alternadas, la serie alternada
−1 𝑛
𝑛2 ∞𝑛=1 es convergente
TEOREMA: CONVERGENCIA ABSOLUTA
Si la serie 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 converge, la serie 𝑎𝑛 ∞
𝑛=1 también converge
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL
Definición: Sea 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 una serie de términos arbitrarios.
Diremos que:
a) 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 es absolutamente convergente, si 𝑎𝑛 ∞
𝑛=1 converge
b) 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 es condicionalmente convergente, si 𝑎𝑛 ∞
𝑛=1 es
convergente, pero 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 diverge.
Observación:
Al estudiar la convergencia absoluta de una serie de
términos arbitrarios, se analiza la convergencia de
𝑎𝑛 ∞𝑛=1 , para la cual se pueden aplicar todos los
criterios de convergencia estudiados para series de
términos positivos.
Ejemplo:
Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las series:
a) −1 𝑛 𝑛!
𝑛𝑛 ∞𝑛=1
Solución:
Analizamos previamente la serie −1 𝑛 𝑛!
𝑛𝑛 ∞𝑛=1 =
𝑛!
𝑛𝑛 ∞𝑛=1
Usando criterio de la razón, siendo
𝑎𝑛 =𝑛!
𝑛𝑛 ; 𝑎𝑛+1 =
(𝑛 + 1)!
(𝑛 + 1)𝑛+1
Aplicando el criterio:
lim𝑛→
(𝑛+1)!
(𝑛+1)𝑛+1 ∙𝑛𝑛
𝑛!= 𝑒−1 =
1
𝑒< 1 . Por lo tanto, la serie
−1 𝑛 𝑛!
𝑛𝑛 ∞𝑛=1 Converge absolutamente
b) −1 𝑛
𝑛2+1 ¡ Ejercicio!∞
𝑛=1
SERIES DE POTENCIAS
Definición: Sea 𝒂 un número real fijo, 𝑐𝑛 ∈ ℝ, ∀ 𝑛 ∈ ℕ y 𝑥 una variable real. Una serie de la forma:
𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 + ⋯+ 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 + ⋯
∞
𝑛=0
Se llama serie de potencia en (𝑥 − 𝑎), y la sucesión 𝑐𝑛 es la sucesión de coeficientes de la serie.
Observación:
1. En una serie de potencia, cada término es una función de 𝑥.
2. Si en una serie de potencias, se reemplaza en 𝑥, por un
valor real fijo, se obtiene una serie numérica como las ya
estudiadas… la pregunta es: ¿para qué valores de 𝑥 la serie
numérica resultante converge absolutamente?
3. La serie de potencia 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛∞𝑛=0 , converge por lo menos
para 𝑥 = 𝑎.
Intervalo y radio de convergencia
Con cada serie de potencia, se asocia un intervalo de convergencia, y el radio de éste, llamado “radio de convergencia”.
Centro del intervalo de convergencia: 𝒂 y
para cada 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝑅; 𝑎 + 𝑅), la serie de potencia converge
absolutamente.
En los extremos del intervalo (𝑎 − 𝑅; 𝑎 + 𝑅) la serie puede o no
ser absolutamente convergente.
Notemos que:
i. Si 𝑅 = 0 , la serie converge absolutamente, sólo en 𝑥 = 𝑎
ii. Si 𝑅 = ∞ , la serie converge absolutamente para todo 𝑥 ∈ ℝ.
iii. Si 𝑅 ∈ ℝ+ ∪ 0 , la serie converge absolutamente, para todo
𝑥 ∈ 𝑥 − 𝑎 < 𝑅 y diverge para todo 𝑥 ∈ 𝑥 − 𝑎 > 𝑅.
Criterio de convergencia para una serie de potencia
Dada la serie de potencia 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛∞𝑛=0 , si 𝐿 = lim
𝑛→∞
𝑐𝑛+1
𝑐𝑛 ó
𝐿 = lim𝑛→∞
𝑐𝑛 𝑛 , entonces el radio de convergencia es:
𝑅 = 1 𝐿 , 𝑠𝑖 𝐿 ∈ ℝ+ 0 , 𝑠𝑖 𝐿 = +∞
+∞ , 𝑠𝑖 𝐿 = 0
Ejemplos
Determinar radio e intervalo de convergencia para las series
a) 𝑒𝑛+1 𝑥−1 𝑛
𝑛!∞𝑛=0
Solución: Sean 𝑎 = 1 y 𝑐𝑛 =𝑒𝑛+1
𝑛! , luego
𝐿 = lim𝑛→∞
𝑐𝑛+1
𝑐𝑛= lim
𝑛→∞
𝑒𝑛+2
(𝑛 + 1)!
𝑒𝑛+1
𝑛!
= lim𝑛→∞
𝑒𝑛+2
(𝑛 + 1)! ∙
𝑛!
𝑒𝑛+1= 0
Luego 𝐿 = 0 ⟹ 𝑅 =1
𝐿= ∞, es decir, la serie converge absolutamente,
en todo ℝ
b) 𝑥−2 𝑛
𝑛∞𝑛=1
Solución:
Sea 𝑎 = 2 y 𝑐𝑛 =1
𝑛 , luego
𝐿 = lim𝑛→∞
𝑐𝑛𝑛 = lim
𝑛→∞
1
𝑛
𝑛
= lim𝑛→∞
1
𝑛𝑛 = 1 ⟹ 𝑅 =1
𝐿= 1
Es decir, la serie converge absolutamente en el intervalo
𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅 o sea 2 − 1, 2 + 1 = 1, 3 . Para este caso, se debe
analizar los extremos del intervalo, así:
i) Si 𝑥 = 1, la serie es 1−2 𝑛
𝑛∞𝑛=1 =
−1 𝑛
𝑛∞𝑛=1 que es una serie
alternante que convergente condicionalmente.
ii) Si 𝑥 = 3, la serie es 3−2 𝑛
𝑛∞𝑛=1 =
1
𝑛∞𝑛=1 que es una serie
divergente.
Podemos concluir que la serie:
Converge Absolutamente en el intervalo 1,3
Converge condicionalmente cuando 𝑥 = 1
Diverge en (−∞, 1) ∪ 3,+∞)
DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIES DE POTENCIAS
Si una serie de potencias 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛 ∞𝑛=0 tiene un intervalo de
convergencia 𝐼, entonces la suma de la serie existe para todo 𝑥 en
el intervalo. Podemos decir, que la suma de la serie es una función
en 𝑥 ∈ 𝐼, es decir
𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐼
TEOREMA: Si la serie de potencia 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛 ∞𝑛=0 tiene un radio
de convergencia 𝑅 > 0, entonces en el intervalo 𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅 ,
𝑓 es derivable (y por consiguiente continua) e integrable, entonces
𝑎 ) 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛−1
∞
𝑛=1
, ∀𝑥 ∈ 𝐼
𝑏) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛+1
𝑛 + 1+ 𝐶 , ∀𝑥 ∈ 𝐼 , 𝐶 ∈ ℝ
∞
𝑛=0
Observación:
1. El radio de convergencia de la serie obtenida mediante la
derivación o integración de una serie de potencias es el mismo
que el de la serie de potencia original. Sin embargo, el intervalo
de convergencia puede diferir como resultado del
comportamiento en los extremos.
2. El teorema anterior, establece que una función definida mediante una serie de potencias se comporta como un polinomio, y tanto
su derivada como su antiderivada se pueden determinar
derivando o integrando término a término de la serie.
Ejemplo:
Si 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛
𝑛!∞𝑛=0 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2+
𝑥3
3!+
𝑥4
4!+ ⋯ entonces
𝑓′ 𝑥 = 0 + 1 + 2 ∙𝑥
2+ 3
𝑥2
3!+ 4 ∙
𝑥3
4!+ ⋯
= 1 + 𝑥 +𝑥2
2+
𝑥3
3!+
𝑥4
4!+ ⋯
= 𝑓(𝑥)
Notar que 𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ¿a qué función corresponde?
SERIE DE TAYLOR
Sea 𝑓 una función infinitamente derivable para un real fijo 𝑎,
entonces la serie de potencias
𝑓 𝑛 (𝑎
𝑛!𝑥 − 𝑎 𝑛 = 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 +
𝑓′′(𝑎)
2!
∞
𝑛=0
𝑥 − 𝑎 2 + ⋯
Representa a la función 𝑓 en el intervalo de convergencia 𝐼 de la
serie y se llama “Desarrollo de Taylor de 𝑓 alrededor de 𝑎”.
Si 𝑎 = 0, se llama Serie de MacLaurin.
Ejemplo:
Hallar la serie del desarrollo de Taylor para la función
a) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥,
El desarrollo de Taylor es
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 = 𝑓 𝑛 (0
𝑛!𝑥𝑛 =
𝑓 0 𝑥0
0!+
𝑓′ 0 𝑥
1!+
𝑓′′(0)𝑥2
2!
∞
𝑛=0
+𝑓′′′(0)𝑥3
3!+ ⋯
En donde,
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 , 𝑎 = 0
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 → 𝑓 0 = 𝑒0 = 1
𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 → 𝑓′ 0 = 𝑒0 = 1
𝑓′′ 𝑥 = 𝑒𝑥 → 𝑓′′ 0 = 𝑒0 = 1
𝑓′′′ 𝑥 = 𝑒𝑥 → 𝑓′′′ 0 = 𝑒0 = 1
⋮ ⋮
Luego,
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 = 𝑓 𝑛 (0
𝑛!𝑥𝑛 = 1 +
𝑥
1!+
𝑥2
2!
∞
𝑛=0
+𝑥3
3!+
𝑥4
4!+ ⋯
Por lo tanto, la función 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 se representa mediante
una serie de potencia. Así
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥= 𝑥𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
b) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) alrededor 𝑎 = 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑛 (0
𝑛!𝑥𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 0 + sen 0 ′𝑥 +
𝑠𝑒𝑛 0 ′′
2!
∞
𝑛=0
𝑥2 +sen 0 ′′′
3!𝑥3 + ⋯
Donde, se𝑛 0 = 0
𝑠𝑒𝑛′ 𝑥 = cos 𝑥 → cos 0 = 1
𝑠𝑒𝑛′′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 → −sen(0) = 0
𝑠𝑒𝑛′′′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 → −cos 0 = −1
𝑠𝑒𝑛𝑖𝑣 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → sen 0 = 0
⋮ ⋮
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑛 (0
𝑛!𝑥𝑛 = 𝑥 −
∞
𝑛=0
𝑥3
3!+
𝑥5
5!− ⋯
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −1 𝑛+1
𝑛!𝑥𝑛
∞
𝑛=1
Observación:
Las series establecidas anteriormente, se pueden usar
para encontrar desarrollos en series de potencias de otras
funciones, ya que estas series son absolutamente
convergentes en todo ℝ.
Ejemplo:
Hallar la serie de potencias de la función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)
Tenemos que:
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥 −𝑥3
3!+
𝑥5
5!−
𝑥7
7!+ ⋯
Entonces podemos encontrar una representación en serie
de potencias para 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥), cambiando 𝑥 𝑝𝑜𝑟 2𝑥
en la serie de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Es decir,
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = −1 𝑛+1
𝑛!2𝑥 𝑛
∞
𝑛=1
= 2𝑥 −2𝑥 3
3!+
2𝑥 5
5!−
(2𝑥)7
7!+ ⋯
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