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Page 1: Series de fourier

1.4 Series trigonométricas de Fourier

Las series trigonométricas de Fourier de una función son indispensables en el

análisis y modelación de fenómenos periódicos como las vibraciones, movimientos

ondulatorios, etc. Muchas de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que se

presentan en la práctica en conexión con estos fenómenos, son resueltos mediante el

uso de las series trigonométricas de Fourier.

Función periódica:

Una función se dice que es periódica con período si se cumple que:

para todos los valores de

Ejemplos:

(1)

(a) La función donde es un número real es periódica, cuyo período es

cualquier número real pues para todos los valores de

(b) Las funciones y son periódicas de período ya que

para todo

(2) Representemos gráficamente la

función que es periódica de período

definida por:

Función seccionalmente continua.

Se dice que la función es

seccionalmente continua en el intervalo si es continua en todos los puntos

del intervalo con la excepción, quizás, de un número finito de puntos en los cuales tiene

discontinuidades finitas, es decir, en dichos puntos existen los limites laterales.

Series Trigonométricas

Una serie trigonométrica es una serie de la forma:

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donde para son números reales,

llamados coeficientes de Fourier de la serie trigonométrica.

Supongamos que dada la función es seccionalmente continua en el intervalo

y periódica con período es la suma de la serie

trigonométrica:

en el intervalo es decir:

entonces resulta que:

y

¿Qué condiciones debe cumplir la función para poder asegurar que su serie

de Fourier es convergente y que su suma es precisamente dicha función?

Condiciones de Dirichlet:

Supongamos que la función es periódica con período . Además es

seccionalmente continua, al igual que su derivada en el intervalo

entonces:

La serie trigonométrica de Fourier de converge hacia:

a) si es un punto de continuidad de .

b) si es un punto de discontinuidad finita de donde

y

Ejemplo:

Sea la función que es periódica de período definida por:

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Esta función es seccionalmente continua en el intervalo ya que solo presenta

discontinuidades finitas en los puntos Además es periódica

con período .

Determinemos los coeficientes de Fourier.

Como

se concluye que para

De forma similar:

O lo que es

lo mismo:

Además, su derivada

también es seccionalmente continua en el intervalo

pues también presenta solo discontinuidades finitas en los puntos

Del análisis anterior se concluye que la función analizada cumple las condiciones de

Dirichlet, por tanto en todos los puntos de continuidad de se tendrá que.

En los puntos de discontinuidad la serie de Fourier converge

hacia: por ejemplo para

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Desarrollo Trigonométrico de Fourier para funciones pares e impares

Sea la función periódica con período y seccionalmente continua, en el

intervalo entonces:

(a) Si es una función par en ese intervalo, es decir para todo

~

con

(b) Si es una función impar en ese intervalo, es decir para todo

~ donde

Ejemplo:

Sea la función para y periódica con período

Notemos que

para todo

luego la función es par.

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Page 5: Series de fourier

~

Por lo tanto:

~

Desarrollo de Fourier para series de cualquier período

Muchas aplicaciones de las series trigonométricas de Fourier en la ciencia y la técnica,

requieren determinar el desarrollo de una función periódica con período siendo

El desarrollo en serie de Fourier de una función periódica con período y

seccionalmente continua en cualquier intervalo de la forma se expresa de la

forma siguiente.

donde frecuencia.

y

-Si es una función par en el intervalo entonces,

~ donde;

-Si es una función impar en el intervalo entonces

~ en este caso .

Ejemplo:

Sea la función en el intervalo y periódica con período

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Page 6: Series de fourier

Esta función es seccionalmente continua en el intervalo ya que es continua en

todos los puntos de este intervalo excepto en los puntos y donde tiene

discontinuidades finitas. Además, como para todo valor de de dicho

intervalo, la función es impar.

Entonces ~ donde:

Teniendo en cuenta que y para

Concluimos que para , luego

Como además la derivada de la función es seccionalmente continua en el

intervalo se cumplen las condiciones de Dirichlet por lo que podemos escribir.

para todo punto de continuidad de

Desarrollo Trigonométrico de Fourier para funciones no periódicas

En la práctica también aparece la necesidad de representar en series de Fourier

funciones que no so periódicas.

Sea una función seccionalmente continua en el intervalo Llamaremos

extensión periódica de con período a la función definida por:

para y tal que para todo donde

Para determinar el desarrollo trigonométrico de Fourier de una función seccionalmente

continua en el intervalo pero de forma tal que el período del desarrollo sea

debemos realizar sobre una prolongación de tal manera que la función

prolongada coincida con en el intervalo y que además su intervalo de

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definición tenga una amplitud igual al período que se desea. La función construida debe

satisfacer las condiciones de Dirichlet en su intervalo de definición para garantizar la

convergencia de su serie de Fourier.

Ejemplo:

Dada la función para obtener su desarrollo trigonométrico de

Fourier con período

Solución.

La prolongación de la función se puede realizar de muchas maneras, escogeremos la

más sencilla:

Considerando la extensión periódica de con período tendremos que

engendra una serie de Fourier

De forma similar:

,

Entonces:

Como la función cumple las condiciones de Dirichlet en el intervalo la

serie determinada, converge en todo punto del intervalo hacia la función

ya que en dichos puntos es continua. Fuera de

ese intervalo, la serie converge hacia la extensión periódica de con período

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es decir hacia . En los puntos de discontinuidad de ; o sea, en los puntos

± y ± la serie converge hacia la semisuma de los límites laterales de

en esos puntos.

Desarrollo Trigonométrico de Fourier para funciones de medio recorrido

Sea una función seccionalmente continua en el intervalo Para esta función

podemos determinar diferentes desarrollos trigonométricos en series de Fourier.

(a) Desarrollo de Fourier en serie de senos solamente:

En este caso debemos hacer una prolongación de manera impar a la función .

Denotemos por a la prolongación de

(b) Desarrollo de Fourier en serie de cosenos solamente:

En este caso debemos hacer una prolongación de manera par a la función .

Denotemos por a la prolongación de

(c) Desarrollo en serie de Fourier de senos y cosenos

Denotemos por a la prolongación de

Ejercicios.

(1) Dada la función periódica de período definida por:

(a) Dibuje su gráfico.

(b) Analice si es seccionalmente continua en el intervalo

(c) Determine su desarrollo trigonométrico de Fourier.

(d) Verifique que cumple las condiciones de Dirichlet y analice la convergencia del

desarrollo obtenido.

(e) ¿ Hacia qué valor converge el desarrollo para

(2) Si y para todo

(a) Determine su desarrollo trigonométrico de Fourier.

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(b) Demuestre que

(3) Para la función en el intervalo periódica con período

Determine su desarrollo trigonométrico de Fourier.

(4) Determine el desarrollo trigonométrico de Fourier con período para la función

definida por:

(5) Para la función en el intervalo Dibuje el gráfico de la función

hacia la cual converge el desarrollo de Fourier de en cada uno de los siguientes

casos.

(a) En seno y cosenos con período

(b) En seno y cosenos con período pero de forma tal que la serie converja hacia

cero en

(6) Dada la función para Dibuje el gráfico de los desarrollos

trigonométricos de Fourier que sean posibles de obtener. Determine analíticamente los

mismos.

(a) En senos y cosenos con período

(b) En cosenos solamente con período

(c) En senos solamente con período

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