1.4 Series trigonométricas de Fourier
Las series trigonométricas de Fourier de una función son indispensables en el
análisis y modelación de fenómenos periódicos como las vibraciones, movimientos
ondulatorios, etc. Muchas de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que se
presentan en la práctica en conexión con estos fenómenos, son resueltos mediante el
uso de las series trigonométricas de Fourier.
Función periódica:
Una función se dice que es periódica con período si se cumple que:
para todos los valores de
Ejemplos:
(1)
(a) La función donde es un número real es periódica, cuyo período es
cualquier número real pues para todos los valores de
(b) Las funciones y son periódicas de período ya que
para todo
(2) Representemos gráficamente la
función que es periódica de período
definida por:
Función seccionalmente continua.
Se dice que la función es
seccionalmente continua en el intervalo si es continua en todos los puntos
del intervalo con la excepción, quizás, de un número finito de puntos en los cuales tiene
discontinuidades finitas, es decir, en dichos puntos existen los limites laterales.
Series Trigonométricas
Una serie trigonométrica es una serie de la forma:
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donde para son números reales,
llamados coeficientes de Fourier de la serie trigonométrica.
Supongamos que dada la función es seccionalmente continua en el intervalo
y periódica con período es la suma de la serie
trigonométrica:
en el intervalo es decir:
entonces resulta que:
y
¿Qué condiciones debe cumplir la función para poder asegurar que su serie
de Fourier es convergente y que su suma es precisamente dicha función?
Condiciones de Dirichlet:
Supongamos que la función es periódica con período . Además es
seccionalmente continua, al igual que su derivada en el intervalo
entonces:
La serie trigonométrica de Fourier de converge hacia:
a) si es un punto de continuidad de .
b) si es un punto de discontinuidad finita de donde
y
Ejemplo:
Sea la función que es periódica de período definida por:
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Esta función es seccionalmente continua en el intervalo ya que solo presenta
discontinuidades finitas en los puntos Además es periódica
con período .
Determinemos los coeficientes de Fourier.
Como
se concluye que para
De forma similar:
O lo que es
lo mismo:
Además, su derivada
también es seccionalmente continua en el intervalo
pues también presenta solo discontinuidades finitas en los puntos
Del análisis anterior se concluye que la función analizada cumple las condiciones de
Dirichlet, por tanto en todos los puntos de continuidad de se tendrá que.
En los puntos de discontinuidad la serie de Fourier converge
hacia: por ejemplo para
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Desarrollo Trigonométrico de Fourier para funciones pares e impares
Sea la función periódica con período y seccionalmente continua, en el
intervalo entonces:
(a) Si es una función par en ese intervalo, es decir para todo
~
con
(b) Si es una función impar en ese intervalo, es decir para todo
~ donde
Ejemplo:
Sea la función para y periódica con período
Notemos que
para todo
luego la función es par.
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~
Por lo tanto:
~
Desarrollo de Fourier para series de cualquier período
Muchas aplicaciones de las series trigonométricas de Fourier en la ciencia y la técnica,
requieren determinar el desarrollo de una función periódica con período siendo
El desarrollo en serie de Fourier de una función periódica con período y
seccionalmente continua en cualquier intervalo de la forma se expresa de la
forma siguiente.
donde frecuencia.
y
-Si es una función par en el intervalo entonces,
~ donde;
-Si es una función impar en el intervalo entonces
~ en este caso .
Ejemplo:
Sea la función en el intervalo y periódica con período
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Esta función es seccionalmente continua en el intervalo ya que es continua en
todos los puntos de este intervalo excepto en los puntos y donde tiene
discontinuidades finitas. Además, como para todo valor de de dicho
intervalo, la función es impar.
Entonces ~ donde:
Teniendo en cuenta que y para
Concluimos que para , luego
Como además la derivada de la función es seccionalmente continua en el
intervalo se cumplen las condiciones de Dirichlet por lo que podemos escribir.
para todo punto de continuidad de
Desarrollo Trigonométrico de Fourier para funciones no periódicas
En la práctica también aparece la necesidad de representar en series de Fourier
funciones que no so periódicas.
Sea una función seccionalmente continua en el intervalo Llamaremos
extensión periódica de con período a la función definida por:
para y tal que para todo donde
Para determinar el desarrollo trigonométrico de Fourier de una función seccionalmente
continua en el intervalo pero de forma tal que el período del desarrollo sea
debemos realizar sobre una prolongación de tal manera que la función
prolongada coincida con en el intervalo y que además su intervalo de
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definición tenga una amplitud igual al período que se desea. La función construida debe
satisfacer las condiciones de Dirichlet en su intervalo de definición para garantizar la
convergencia de su serie de Fourier.
Ejemplo:
Dada la función para obtener su desarrollo trigonométrico de
Fourier con período
Solución.
La prolongación de la función se puede realizar de muchas maneras, escogeremos la
más sencilla:
Considerando la extensión periódica de con período tendremos que
engendra una serie de Fourier
De forma similar:
,
Entonces:
Como la función cumple las condiciones de Dirichlet en el intervalo la
serie determinada, converge en todo punto del intervalo hacia la función
ya que en dichos puntos es continua. Fuera de
ese intervalo, la serie converge hacia la extensión periódica de con período
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es decir hacia . En los puntos de discontinuidad de ; o sea, en los puntos
± y ± la serie converge hacia la semisuma de los límites laterales de
en esos puntos.
Desarrollo Trigonométrico de Fourier para funciones de medio recorrido
Sea una función seccionalmente continua en el intervalo Para esta función
podemos determinar diferentes desarrollos trigonométricos en series de Fourier.
(a) Desarrollo de Fourier en serie de senos solamente:
En este caso debemos hacer una prolongación de manera impar a la función .
Denotemos por a la prolongación de
(b) Desarrollo de Fourier en serie de cosenos solamente:
En este caso debemos hacer una prolongación de manera par a la función .
Denotemos por a la prolongación de
(c) Desarrollo en serie de Fourier de senos y cosenos
Denotemos por a la prolongación de
Ejercicios.
(1) Dada la función periódica de período definida por:
(a) Dibuje su gráfico.
(b) Analice si es seccionalmente continua en el intervalo
(c) Determine su desarrollo trigonométrico de Fourier.
(d) Verifique que cumple las condiciones de Dirichlet y analice la convergencia del
desarrollo obtenido.
(e) ¿ Hacia qué valor converge el desarrollo para
(2) Si y para todo
(a) Determine su desarrollo trigonométrico de Fourier.
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(b) Demuestre que
(3) Para la función en el intervalo periódica con período
Determine su desarrollo trigonométrico de Fourier.
(4) Determine el desarrollo trigonométrico de Fourier con período para la función
definida por:
(5) Para la función en el intervalo Dibuje el gráfico de la función
hacia la cual converge el desarrollo de Fourier de en cada uno de los siguientes
casos.
(a) En seno y cosenos con período
(b) En seno y cosenos con período pero de forma tal que la serie converja hacia
cero en
(6) Dada la función para Dibuje el gráfico de los desarrollos
trigonométricos de Fourier que sean posibles de obtener. Determine analíticamente los
mismos.
(a) En senos y cosenos con período
(b) En cosenos solamente con período
(c) En senos solamente con período
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