MECANICA DE FLUIDOS I

MEDICION DE LA PRESION EN LOS FLUIDOS En el primer capítulo, la presión de fluido, ,p fue definida como la magnitud de la fuerza por

unidad de área que se ejerce sobre una sustancia. Si una fuerza F actúa de manera uniforme sobre una superficie, la presión se calcula por la relación:

AFp /= (3.1)

También se estableció que la unidad estándar para la presión en unidades SI es el pascal (Pa) o N/m2. Mientras que la unidad estándar para la presión en el Sistema Británico de Unidades es Ib/pie2, aunque es de uso más frecuente y conveniente la unidad Ib/pulg2. En este capítulo se estudiarán las distintas formas de medir la presión que ejercen los fluidos. 3.1 PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESION MANOMETRICA. En todos los cálculos que involucran la presión de un fluido, la medición de esta magnitud debe hacerse en relación con alguna presión de referencia. Normalmente, la presión de referencia es la de la atmósfera, y la presión resultante que se mide se conoce como presión manométrica. En tanto que la presión que se mide en relación con el vacío perfecto se conoce como presión absoluta. La relación entre dos sistemas de medición de presión es la siguiente:

atmgageabs ppp += (3.2)

en donde:

absp = presión absoluta

gagep = presión manométrica, y

atmp = presión atmosférica.

Es necesario tener una idea clara de los siguientes conceptos básicos: 1. Un vacío perfecto es la presión más baja posible y le corresponde una presión absoluta cero. Por consiguiente, una presión absoluta será siempre positiva. 2. Una presión manométrica que es mayor que la presión atmosférica es positiva, en tanto que una presión manométrica que está por debajo de la atmosférica es negativa (se le conoce también como vacío parcial). Luego la presión manométrica correspondiente a la presión atmosférica es cero. Para tener claro el tipo de presión que se está midiendo, resulta útil representar las unidades de presión de la siguiente manera: - la presión manométrica en unidades de Pa (gage) o Ib/pulg2 relativa, - la presión absoluta en unidades de Pa (abs) o Ib/pulg2 absoluta.

Se debe tener en cuenta que la magnitud real de la presión atmosférica varía con el lugar y con las condiciones climatológicas y es conocida como la presión barométrica. EI intervalo de variación normal de la presión atmosférica cerca de la superficie terrestre es aproximadamente

de 95 KPa (abs) a 105 KPa (abs), o de 13.8Ib/pulg2 absoluta a 15.3 Ib/pulg

2 absoluta. A nivel

del mar, la presión atmosférica estándar es de 101.3 KPa (abs) o de 14.69 Ib/pulg2 absoluta. A

menos que se especifique el valor de la presión atmosférica, en adelante se considerarán para cualquier cálculo los valores estándar indicados. Ejemplo 1. Exprese una presión de 180 KPa (gage) como una presión absoluta. La presión atmosférica local es de 102 KPa (abs). Solución:

gagep = 180 KPa, atmp = 102 KPa.

atmgageabs ppp +=

=absp 180 K+ 102 K = 282 KPa (abs)

Ejemplo 1. Exprese una presión de – 8.5 Ib/pulg2 relativas como una presión absoluta. La

presión atmosférica local es de 14.7 Ib/pulg2 absolutas.

Solución:

gagep = – 8.5 Ib/pulg2, atmp = 14.7 Ib/pulg

2.

atmgageabs ppp +=

=absp -8.5 + 14.7 = 6.2 Ib/pulg2 absolutas

3.2 ELEVACIÓN Y PROFUNDIDAD EN UN FLUIDO. Para especificar un punto de interés respecto a un fluido se acostumbra utilizar dos términos: el de elevación y el de profundidad. Elevación es la distancia vertical medida a partir de algún nivel de referencia hasta el punto de interés, y se le representa por .z Se mide siempre como una cantidad positiva en el sentido

hacia arriba. Es decir, un punto más alto tiene una mayor elevación que un punto mas bajo. Es particularmente útil cuando el fluido es la atmósfera. En cambio, profundidad es la distancia vertical a partir del nivel libre de un fluido hasta un punto

de interés dentro del mismo, y se le representa por .h La profundidad se mide siempre como una cantidad positiva en el sentido hacia abajo. Su uso es práctico cuando se trata de grandes cantidades de agua como el mar o, represas, tanques, etc. Observar que un cambio de la

elevación z∆ está relacionado con el correspondiente cambio de profundidad h∆ , según la

ecuación:

hz ∆−=∆ (3.3)

Para medir una elevación, cualquier punto puede tomarse como nivel de referencia, como se ilustra en la Fig. 3.1, que muestra a un submarino bajo el agua. En la parte (a) de la figura, el fondo del mar es tomado como referencia de tal manera que la elevación del submarino es z = 70 m y la elevación del nivel libre de agua es 'z = 170 m. En la parte (c), se toma como referencia la posición del submarino de tal manera que la elevación del nivel libre de agua es 'z = 100 m y del fondo del mar z = – 70 m. Y en la parte (b) se muestran las profundidades: del

submarino es h= 100 m y del fondo del mar 'h = 170 m. (a) (b) (c)

Fig. 3.1 Elevaciones para dos niveles de referencias y profundidades. Se verifica experimentalmente que a mayor profundidad es mayor la presión. Se encuentra que es importante saber exactamente de que manera varía la presión con un cambio de profundidad o de elevación. 3.3 DERIVACION DE LA RELACION DE LA PRESION CON LA ELEVACION Y LA PROFUNDIDAD. Para determinar el cambio de presión en un líquido homogéneo en reposo, debido a un cambio en la elevación o en la profundidad, se partirá del análisis del estado de equilibrio de un volumen diferencial de fluido de forma cilíndrica ,dV orientado verticalmente, de altura

infinitesimal ,dz y con bases circulares de áreas ,A como se muestra en la Fig. 3.2.

El fluido está en reposo y tiene un peso específico .γ Luego debe cumplirse la condición de

equilibrio que establece que la sumatoria de las fuerzas verticales debe ser cero. Luego de acuerdo al diagrama de fuerzas de la Fig. 3.2 se tiene:

∑ =−−= 021 wFFFv (3.4)

En esta ecuación ApF =1 es la fuerza en la cara circular inferior, AdppF )(2 += es la fuerza

en la cara circular superior, y )( dzAdVw γγ == es el peso del volumen diferencial de fluido

.dV Se tiene en cuenta que dp es el cambio infinitesimal de presión, de la posición de la cara

inferior a la posición de la cara superior.

Fig. 3.2 Luego, reemplazando en (3.4) se tiene: 0)( =−+− dzAAdppAp γ (3.5)

y, luego de simplificar, se llega a 0)( =−+− dzdppp γ (3.6)

)(dzdp γ−= (3.7)

que es la ecuación diferencial que controla el cambio de presión con el cambio de la elevación. La relación de cambios finitos de presión y elevación se encuentra integrando, según:

∫∫ −=2

1

2

1

)(z

z

p

pdzdp γ (3.7)

El desarrollo de esta integral es diferente para líquidos y gases debido a que en los primeros el peso específico es prácticamente constante lo que no ocurre con los gases. 3.3.1 Líquidos. Se considera que un líquido es incompresible, por consiguiente, su peso específico ,γ es

constante. Luego la ecuación integral (3.7) se puede escribir:

∫∫ −=2

1

2

1

)(z

z

p

pdzdp γ (3.8)

para obtener ,luego, la relación

)( 1212 zzpp −−=− γ (3.9)

que puede escribirse, como zp ∆−=∆ γ (3.10)

Y, también, de acuerdo a la relación (3.3), hp ∆=∆ γ (3.11)

De estas dos últimas ecuaciones se pueden deducir las siguientes conclusiones: 1. La dos ecuaciones son válidas solamente para un líquido homogéneo en reposo. 2. Los puntos que se encuentren sobre el mismo nivel horizontal tienen la misma presión. 3. EI cambio de presión es directamente proporcional al peso específico del líquido. 4. La presión varía linealmente con el cambio de elevación z∆ o el cambio de profundidad. 5. Una disminución en la elevación (es decir, un aumento de la profundidad) ocasiona un aumento en la presión. 6. Un aumento en la elevación (es decir, una disminución de la profundidad) ocasiona una disminución en la presión. 3.3.2 Gases. Debido a que un gas es compresible, su peso específico cambia a medida que varía la presión. Por eso, para desarrollar la ecuación integral (3.7), es necesario conocer la dependencia del peso específico con respecto a la elevación o a la presión. En general la relación es diferente para gases diferentes, sin embargo, se requiere de un gran cambio en elevación para producir un cambio significativo en la presión de un gas. Por ejemplo, un aumento en la elevación de 300 m (aproximadamente 1000 pies) en la atmósfera, ocasiona una disminución en la presión de únicamente 3.4 KPa (aproximadamente 0.5 Ib/pulg2). Por eso, en adelante, salvo que se indique lo contrario, se supondrá que la presión en un gas es uniforme independientemente de la elevación. Ejemplo: En la Fig. 3.3 se muestra un tanque de aceite que tiene una parte abierta a la atmosfera, y la otra sellada con aire por encima del aceite. EI aceite tiene una gravedad específica de 0.90. Calcule la presión manométrica en los puntos A, B, C, D. E Y F, y la presión del aire en el lado derecho del tanque. Solución: El peso específico del aceite a utilizar es

=γ (0.9)(9.81 KN/m3) = 8.83 KN/m

3

Punto A: el aceite está expuesto a la atmósfera y, por consiguiente: Fig. 3.3

=Ap 0 Pa (gage)

Punto B: el cambio de profundidad del punto A al punto B es =∆h 3.0 m, por tanto, el cambio de presión es

hp BA ∆=∆ >− γ = (8.83)(3.0) = 26.5 KPa

Luego la presión manométrica en el punto B se obtiene según:

=∆+= >− BAAB ppp 0 + 26.5 = 26.5 KPa (gage)

Punto C: el cambio de profundidad del punto A al punto C es =∆h 6.0 m, por tanto, el cambio

de presión es

hp CA ∆=∆ >− γ = (8.83)(6.0) = 53.0 KPa

Luego la presión manométrica en el punto C se obtiene según:

=∆+= >− CAAC ppp 0 + 53.0 = 53.0 KPa (gage)

Punto D: este punto está al mismo nivel que el punto B, por tanto tiene la misma presión, es decir,

BD pp = = 26.5 KPa (gage)

Punto E: este punto está al mismo nivel que el punto A, por tanto tiene la misma presión, es decir,

AE pp = = 0 Pa (gage)

Punto F: el cambio de profundidad del punto A al punto F es =∆h – 1.5 m, (está más alto), por tanto, el cambio de presión es

hp FA ∆=∆ >− γ = (8.83)(– 1.5) = – 13.2 KPa

Luego la presión manométrica en el punto F se obtiene según:

=∆+= >− FAAF ppp 0 – 13.2 = – 13.2 KPa (gage)

Presión del aire: se trata de aire expuesto a la presión de la superficie de aceite con presión manométrica de – 13.2 KPa, por tanto, le corresponde el mismo valor de presión (independien-temente de la pequeña altura). 3.4 MANOMETROS. Se denomina así a un tipo de aparato de medición de presión, que utiliza la relación que existe entre un cambio de presión y un cambio de elevación o profundidad en un fluido estático, es decir, la relación hp ∆=∆ γ . E tipo más sencillo de manómetro es el tubo en U (Fig. 3.4) Un

extremo del tubo en U está conectado a la presión que se va a medir, mientras que el otro se deja abierto a la atmósfera. El tubo contiene un líquido conocido como fluido manométrico, que no se mezcla con el fluido cuya presión se va a determinar. Los fluidos manométricos típicos son agua, mercurio y aceites ligeros coloreados. Bajo la acción de la presión que se va a determinar, el fluido manométrico es desplazado de su posición normal. Puesto que los fluidos dentro del manómetro están en reposo, la ecuación

hp ∆=∆ γ puede utilizarse para escribir expresiones para los cambios de presión que se

presentan a través del manómetro. Estas expresiones pueden combinarse y resolverse algebraicamente para la presión deseada.

Ejemplo 1: Calcular la presión manométrica en un punto A de agua que está conectado al manómetro de la Fig. 3.4, cuyo fluido manométrico es mercurio (sg = 13.54). Solución: El peso específico del mercurio a utilizar es:

Hgγ = (13.54)(9.81 KN/ m3) = 132.8 KN/m

3

Se empieza observando que al punto 1 del mercurio le corresponde la presión atmosférica, es decir,

=1p 0 Pa (gage)

Luego la presión en el punto A se puede calcular según:

AA pppppp >−>−>−>− ∆+∆+∆+∆+= 44332211

Fig. 3.4 donde:

2121 >−>− ∆=∆ hp Hgγ

=∆ >− 32p 0 por corresponder a dos puntos del mercurio con el mismo nivel

4343 >−>− ∆=∆ hp aguaγ

=∆ >− Ap4 0 por corresponder a dos puntos del agua con el mismo nivel.

Entonces, reemplazando, la expresión para la presión en el punto A se reduce a:

4321 >−>− ∆+∆= hhp aguaHgA γγ

Pero, considerando que: 21 >−∆h = 0.25 m (positivo porque la profundidad aumenta),

43 >−∆h = – 0.40 m (negativo porque la profundidad disminuye).

Finalmente, se obtiene:

=Ap (132.8 K)(0.25) + (9.81 K)( – 0.40) = 29.28 KPa (gage)

Ejemplo 2: Calcular la presión manométrica en el punto B del manómetro diferencial de la Fig.

3.5, si la presión en el punto A es de 22.40 lb/pulg2 relativas.

Solución:

El peso específico del agua es 0.433 lb/pulg2, y el peso específico del aceite es, entonces,

Acγ = (0.86)(0.433) = 0.373 lb/pulg2

La presión en el punto B se puede calcular según:

BAAB ppppppp >−>−>−>−>− ∆+∆+∆+∆+∆+= 44332211

donde:

11 >−>− ∆=∆ AAcA hp γ

=∆ >− 21p 0 por corresponder a dos puntos del agua

con el mismo nivel

3232 >−>− ∆=∆ hp aguaγ

4343 >−>− ∆=∆ hp Acγ

=∆ >− Bp4 0 por corresponder a dos puntos del aceite

con el mismo nivel . Entonces, reemplazando, la expresión para la presión en el punto B se reduce a:

43321 >−>−>− ∆+∆+∆+= hhhpp AcaguaAAcAB γγγ

Fig. 3.5

Pero, considerando que: 1>−∆ Ah = 29.50 + 4.25 = 33.75 pulg

32 >−∆h = – 29.50 pulg

43 >−∆h = – 4.25 pulg

Finalmente, se obtiene:

=Bp 22.4 + (0.373)(33.75) + (0.433)( – 29.59) + (0.373)( – 4.25 ) = 22.25 lb/pulg2 relativas

3.5 BAROMETROS. EI barómetro es un dispositivo que se utiliza para medir la presión atmosférica. En la Fig. 3.6 se muestra un modelo simple que consiste en un tubo largo cerrado en un extremo y que inicialmente está lleno completamente con mercurio. EI extremo abierto se sumerge en un recipiente lleno con mercurio y se deja que el sistema alcance el equilibrio, como se muestra en la misma figura. En la parte superior del tubo se produce un vacío muy cercano al vacío perfecto, conteniendo vapor de mercurio a una presión despreciable (del orden 0.17 Pa a 20°C). Luego, entre los puntos indicados se puede escribir:

322113 >−>− ∆+∆+= pppp

Fig. 3.6

donde: atmpp =3

, =1p 0, hp Hgγ=∆ >− 21 y =∆ >− 32p 0.

Luego se obtiene:

hp Hgatm γ= (3.12)

Como el peso específico del mercurio es aproximadamente constante, un cambio en la presión atmosférica ocasiona un cambio en la altura de la columna de mercurio. Esta altura se reporta a menudo como la presión barométrica. Para obtener una presión atmosférica real es necesario,

entonces, multiplicar la altura h por el peso específico Hgγ , el cual se considera igual a 132.8

KN/m3 en el S.I. y 844.9 lb/pies3 en el Sistema Británico.

La presión atmosférica varía según las condiciones climatológicas, pero también varía con la altitud. Se observa una disminución de aproximadamente 85 mm en la columna de mercurio por cada 1000 m de altitud, y una disminución aproximada de 1.0 pulg en la columna de mercurio por cada aumento de 1000 pies. Se puede verificar que la altura de la columna de mercurio correspondiente a la presión atmosférica estándar, 101.3 KPa (abs), es 763 mm.