SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS
I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 SOLUCIONES MULTIPOLARES EN RG vs GNI.2 SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANASI.3 GENERALIZACIÓN RELATIVISTA. COORDENADAS MSAI.4 ECUACIÓN DE BINET Y CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES
II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS
I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUALII RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
¿Existe algún tipo de simetría que nos permita caracterizar las soluciones con simetría axial de las ecuaciones de Einstein de vacío que posean un número finito de Momentos Multipolares ?
Toda solución de vacío, con simetría esférica es necesariamente estática.
TEOREMA:
CUESTIÓN:
Si una fuente restringida a la región r<a es esféricamente simétrica, entonces la solución para r>a debe ser la solución exterior de Schwarzschild.
SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS
José Luis Hernández Pastora
I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN
I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
Potencial Gravitatorio
Momentos Multipolares Newtonianos
DEFINICIÓN: Soluciones de las ecuaciones de Einstein de vacío con simetría axial que poseen un número finito de Momentos Multipolares.
Momentos Multipolares Relativistas (Geroch-Hansen,Thorne): an=an(Mn)
• Solución M-Q (J. Martín, E. Ruiz, J.L.H-P) / Solución Cuadrupolar
• Soluciones puras -polo (M. Herberthson, T. Bäckdahl) Dipolo gravitacional / Monopolo- -polo
SOLUCIONES MULTIPOLARES PURAS EN RG vs GN
José Luis Hernández Pastora
I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN
I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANAS
Sistema de ecuaciones diferenciales sobre M
Generador infinitesimal de un grupo local G de transformaciones actuando sobre la variedad M
G es un grupo de simetría
TEOREMA 1:
Simetría Monopolo-Dipolo
TEOREMA 2:
Simetría de orden -polar
Ecuación de Laplace (simetría axial):
Ecuaciones suplementarias ,
[Class. Quantum Grav. 25 (2008) 165021] (http://stacks.iop.org/CQG/25/165021)
Simetría de un sistema de ecuaciones
José Luis Hernández Pastora
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANAS
Grupos de transformaciones
Caso N=2 (Solución Monopolo-Dipolo-Cuadrupolo)
Grupo Monopolo-Dipolo
Grupo de orden -polar
=0
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANAS
Soluciones invariantes por un grupo
A)
B)
Función escalar invariante de un campo vectorial
Soluciones invariantes por el grupo
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANAS
Soluciones invariantes por un grupo
A) Caso N=2
B) Las soluciones de las ecuaciones son invariantes por la acción del grupo si y solo si la característica del campo vectorial asociado (evolutionary vector field) se anula sobre dichas soluciones
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS
Coordenadas MSAMSA
DEFINICION: ACMC-TRF (Asymptotically Cartesian and Mass Centered Thorne’s Rests Free) o coordenadas MSA (Multipole Symmetry Adapted)
Coordenadas Standard de Schwarzschild
CONJETURA: Existen coodenadas MSA para cualquier solución estática de Weyl con un número arbitrario y finito de Momentos
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS
Coordenadas MSAMSA
TEOREMA 1: Las soluciones con buen comportamiento asintótico del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales resultan ser las Soluciones Multipolares Puras in RG.
Coordenadas MSA
TEOREMA 2: Existen Grupos de Simetría de ese sistema de ecuaciones diferenciales cuyas soluciones invariantes por la acción de dichos grupos son las Soluciones Multipolares Puras en RG.
O equivalentemente
La única solución de las ecuaciones de Einstein de vacío con simetría axial que posee un conjunto finito de Momentos Multipolares viene dada por la solución invariante por la acción del Grupo de Simetrías Multipolares
2
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I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS
Cálculo de las coordenadas MSAMSA
[Class. Quantum Grav. 27 (2010) 045006] (http://iopscience.iop.org/0264-
9381/27/4/045006)
LEMA: Es posible calcular un sistema de coordenadas en el que se verifica:
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS
Cálculo de las coordenadas MSAMSA
Ecuación de Ernst
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS
Cálculo de las coordenadas MSAMSA
•Se preserva estructura axisimétrica
•Buen comportamiento asintótico
•Buen comportamiento en el eje
•Standard de Schwarzschild
•No armónicas
•Convergencia de la serie
[Class. Quantum Grav. 27 (2010) 045006] (http://iopscience.iop.org/0264-
9381/27/4/045006)
=0
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS
Interpretación y caracterización de las coordenadas MSAMSA
CUESTIONES: 1. ¿Los grupos , son grupos de simetría de las ecuaciones de Einstein?
2. ¿ Se puede establecer una relación entre la existencia de esas simetrías y la unicidad de ciertas soluciones?
3. La acción de estas simetrías sobre la ecuación de Ernst, ¿puede proporcionar condiciones que determinen a las propias coordenadas MSA y por tanto las caracterice?TEOREMA 1:
Simetría Monopolar
TEOREMA 2:
Simetría Monopolo-Dipolo
0
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I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS
Interpretación y caracterización de las coordenadas MSAMSA
CUESTIONES: 1. ¿Los grupos , son grupos de simetría de las ecuaciones de Einstein?
2. ¿ Se puede establecer una relación entre la existencia de esas simetrías y la unicidad de ciertas soluciones?
3. La acción de estas simetrías sobre la ecuación de Ernst, ¿puede proporcionar condiciones que determinen a las propias coordenadas MSA y por tanto las caracterice?
COORDENADAS MSAMSA ADAPTADAS A LA SIMETRÍA ESFÉRICA
Coordenadas Standard de Schwarzschild
José Luis Hernández Pastora
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS
Interpretación y caracterización de las coordenadas MSAMSA
CUESTIONES: 1. ¿Los grupos , son grupos de simetría de las ecuaciones de Einstein?
2. ¿ Se puede establecer una relación entre la existencia de esas simetrías y la unicidad de ciertas soluciones?
3. La acción de estas simetrías sobre la ecuación de Ernst, ¿puede proporcionar condiciones que determinen a las propias coordenadas MSA y por tanto las caracterice?
COORDENADAS MSAMSA ADAPTADAS A LA SIMETRÍA MONOPOLO-DIPOLO
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES
La solución Monopolo en coordenadas MSAMSA-Dipolo-Cuadrupolo
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I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES
Geodésicas de la solución multipolar
Caso: =cte, [compatible con , ]
Potencial efectivo :
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I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES
Ecuación de Binet [Problema de Kepler]
La ecuación de Binet :
Ecuaciones demovimiento:
Órbitas:
La órbita sobre una superficie constante
correspondiente a una
geodésica temporal del espacio-tiempo de Schwarzschild viene
dada por la
misma ecuación que la Ecuación de Binet correpondiente al
problema de
Kepler perturbado con un potencial del tipo con
Geodésicas de Schwarzschild:
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES
Ecuación de Binet Relativista
Problema de Kepler perturbado equivalente
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I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES
Ecuación de Binet Relativista
El problema clásico de Kepler para un objeto celeste de masa M , energía
total E
y momento angular orbital J, perturbado con el siguiente potencial:
El problema clásico de Kepler para un objeto celeste de masa M , energía
total E
y momento angular orbital J, perturbado con el siguiente potencial:
Problema de Kepler perturbado equivalente
proporciona la misma ecuación orbital para una partícula test de masa m que la
correspondiente a una geodésica temporal sobre el plano ecuatorial de la solución
multipolar pura con el número finito de momentos multipolares deseado.
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS RESULTADOS
• Determinación de simetrías de un sistema de ecuaciones
diferenciales
• Caracterización de soluciones clásicas (GN) de la
gravitación mediante simetrías.
• Generalización a RG de las Simetrías Multipolares.
• Introducción y cálculo de un nuevo sistema de coordenadas
adaptado a las simetrías (MSA)
• Determinación explícita de las métricas
correspondientes a las soluciones Multipolares Puras en
coordenadas MSA.
• Determinación de simetrías de un sistema de ecuaciones
diferenciales
• Caracterización de soluciones clásicas (GN) de la
gravitación mediante simetrías.
• Generalización a RG de las Simetrías Multipolares.
• Introducción y cálculo de un nuevo sistema de coordenadas
adaptado a las simetrías (MSA)
• Determinación explícita de las métricas
correspondientes a las soluciones Multipolares Puras en
coordenadas MSA.
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I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS EXPECTATIVAS
• Aplicación de las coordenadas MSA al cálculo de
correcciones relativistas a las órbitas en torno a objetos
estelares compactos.
• Determinación del Momento Cuadrupolar de objetos
estelares compactos.
• Introducción de nuevas representaciones de la soluciones
de Weyl.
• Determinación de las transformaciones de coordenadas
asociadas a dichas representaciones y conexión con las
coordenadas MSA.
• Aplicación de las coordenadas MSA al cálculo de
correcciones relativistas a las órbitas en torno a objetos
estelares compactos.
• Determinación del Momento Cuadrupolar de objetos
estelares compactos.
• Introducción de nuevas representaciones de la soluciones
de Weyl.
• Determinación de las transformaciones de coordenadas
asociadas a dichas representaciones y conexión con las
coordenadas MSA.
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I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS RELEVANCIA CIENTÍFICA
• Caracterización de soluciones Multipolares Puras y su
relevancia en la física de objetos estelares no esféricos.
• Determinación de Simetrías de ecuaciones
diferenciales, tanto a nivel clásico como relativista, que
permiten caracterizar las soluciones multipolares puras.
• Determinación de las coordenadas estandar de
Schwarzschild (asociadas a la simetría esférica) mediante
un problema de Cauchy.
• Especie de generalización del Teorema de Birkhoff.
• Utilización de las coordenadas MSA para futuros estudios de
soluciones globales y problemas de enganche,
representaciones de las soluciones, correcciones
relativistas orbitales...
• Caracterización de soluciones Multipolares Puras y su
relevancia en la física de objetos estelares no esféricos.
• Determinación de Simetrías de ecuaciones
diferenciales, tanto a nivel clásico como relativista, que
permiten caracterizar las soluciones multipolares puras.
• Determinación de las coordenadas estandar de
Schwarzschild (asociadas a la simetría esférica) mediante
un problema de Cauchy.
• Especie de generalización del Teorema de Birkhoff.
• Utilización de las coordenadas MSA para futuros estudios de
soluciones globales y problemas de enganche,
representaciones de las soluciones, correcciones
relativistas orbitales...
José Luis Hernández Pastora
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS EXPECTATIVAS
PERTURBACIÓN POR FUERZA CENTRAL DEL PROBLEMA DE
KEPLER
Teoría de perturbaciones a 1er orden en variables de acción-ángulo
Valor promedio de la perturbación:
Caso n=3:
Término Monopolar
Término Cuadrupolar
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I.2 Simetrías multipolares newtonianas
I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales
II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA
SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS EXPECTATIVAS
Elemento de línea estacionario axisimétrico
Coordenadas de Weyl: J=Ecuaciones de campo (caso estático)
TEOREMA: Solución estática con simetría axial si y solo si
Condiciones asintóticas y de regularidad:
José Luis Hernández Pastora
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I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA
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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y
SOLUCIONES EXACTAS EXPECTATIVAS
Elemento de línea estacionario axisimétrico
Ecuaciones de campo (caso estático)
Familia de soluciones:
Transformación de coordenadas (Weyl):
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