Tema 2- Sistemas Tema 2- Sistemas Numéricos - Representación Numéricos - Representación
de Enterosde Enteros
Gustavo Dávila Oct 2011
Representación de EnterosRepresentación de Enteros
Sistema Numérico PosicionalSistema Numérico Posicional♦Considere el número Considere el número 583 e583 es ‘quinientos ochenta s ‘quinientos ochenta y tres’y tres’
♦Los digitos Los digitos 5,85,8 y 3 ocupan una y 3 ocupan una posiciónposición en el número en el número
♦Cada posición tiene un Cada posición tiene un pesopeso• 33 ocupa la posición de ‘unidades’, y su peso es ocupa la posición de ‘unidades’, y su peso es 1, 1,
• 88 ocupa la posición de ‘decenas’ ocupa la posición de ‘decenas’
• 55 la posición de ‘centenas’ la posición de ‘centenas’
• 583 = 5x100 + 8x10 + 3x1 = 5x10583 = 5x100 + 8x10 + 3x1 = 5x1022 + 8x10 + 8x1011 + 3x10 + 3x1000
♦Los Los pesos posicionalespesos posicionales son expresados en potencias de son expresados en potencias de 10 10
A 10 se le llama A 10 se le llama la la basebase o o raízraíz del sistema del sistema
♦Los sistemas numéricos con laLos sistemas numéricos con la• base 10 se llama sistema decimalbase 10 se llama sistema decimal
• base 2 es sistema numérico binariobase 2 es sistema numérico binario
• base 8 es sistema numérico octal base 8 es sistema numérico octal
• base 16 es sistema numérico hexadecimalbase 16 es sistema numérico hexadecimal
Usar Complemento a 9 y a 10Usar Complemento a 9 y a 10
• Suponga que que se quiere restar:Suponga que que se quiere restar:
125 - 9 = 116125 - 9 = 116
• Se puede hacer también de la forma complemento a 9Se puede hacer también de la forma complemento a 9
1) Se resta 009 de 999 = 9901) Se resta 009 de 999 = 990990 es ahora la representación de 9 en complemento a 9 para operarlo 990 es ahora la representación de 9 en complemento a 9 para operarlo
contra un número de 3 dígitoscontra un número de 3 dígitos
2) Se suma 1 a 990 = 991 2) Se suma 1 a 990 = 991
991 es ahora la representación de 9 en complemento a 10991 es ahora la representación de 9 en complemento a 10
3) Se realiza la operación 125 + 991 = 11163) Se realiza la operación 125 + 991 = 1116
4) Se descarta el acarreo y queda 116 4) Se descarta el acarreo y queda 116
• Se han restado dos números usando suma, más Se han restado dos números usando suma, más adelante se verá aplicando a los números binariosadelante se verá aplicando a los números binarios
Bits, Bytes y Palabras (words)Bits, Bytes y Palabras (words)
• Una colección de Una colección de 88 bits forma la más pequeña unidad significativa, bits forma la más pequeña unidad significativa, llamada un llamada un bytebyte
• Un patrón de Un patrón de 44 bits es llamado un bits es llamado un nibblenibble• A veces, se usan grandes números de bits juntos. Estos son A veces, se usan grandes números de bits juntos. Estos son
llamados llamados palabraspalabras (words) (words). No existe un estándar para el tamaño . No existe un estándar para el tamaño de una palabra asi que diferentes máquinas tienen diferente de una palabra asi que diferentes máquinas tienen diferente tamaño de palabratamaño de palabra
7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1
bit más significativo bit menos significativo
− El bit 0 es el ‘bit menos significativo’ o LSB− El bit 7 es el ‘bit más significativo’ o MSB− Para obtener el equivalente en decimal, se usan los pesos
posiciónales de cada bit y se expresan en potencias de 2
Representación de Enteros en Representación de Enteros en BinariosBinariosBinario a DecimalBinario a Decimal
1001101010011010 = 154 = 15411*2*277++00*2*266++00*2*255++11*2*244++11*2*233++00*2*222++11*2*211++00*2*200
11*2*277++11*2*244++11*2*233++11*2*211
128+16+8+2 = 154128+16+8+2 = 154
Decimal a BinarioDecimal a Binario
154 2154 2 00 77 2 77 2 1717 38 2 38 2 11 18 19 2 18 19 2
00 11 9 2 9 2 1001101010011010 11 4 2 4 2 00 2 2 2 2 00 11
LSB
MSB
Doble BabbleDoble Babble
Convertir 10011010 a su representación decimal
1 + 0 = 1 * 2 = 2
0 + 2 = 2 * 2 = 4
0 + 4 = 4 * 2 = 8
1 + 8 = 9 * 2 = 18
1 + 18 =19 * 2 = 38
0 + 38 =38 * 2 = 76
1 + 76 =77 * 2 = 154
0 + 154= 154
Magnitud con SignoMagnitud con Signo
Existen diversos métodos para representar los números negativos como binario. Son estos:
• El Esquema de Magnitud con Signo
• El Esquema de Complemento a Uno
• El Esquema de Complemento a Dos
El Esquema de Magnitud con Signo parte del principio que todo número tiene dos partes, un signo y una magnitud
1 0 1 0 1 0 1 1 => - 43
( - ) ( 43 )
Signo Magnitud
Para un número de n bits de longitud: - el máximo entero positivo que se puede representar es 2n-1-1 - el mínimo entero negativo que se puede representar es -(2n-1-1)
El Esquema de Complemento a UnoEl Esquema de Complemento a Uno
• Para representar un número en el esquema de complemento a uno se siguen los siguientes pasos:
1) Convertir el entero posititivo en el número dado de bits
2) Invertir todos los bits. 0s en 1s y 1s en 0s
• Ejemplo: Se va a representar el número -154
1) Se representa 154 positivo en binario
010011010
2) Se invierten los bits
101100101
• Mediante el bit de signo se puede verificar que:
(101100101)2 es la representación de (-154)10 en complemento a uno
El Esquema de Complemento a DosEl Esquema de Complemento a Dos
• Para representar un número en el esquema de complemento a dos se siguen los siguientes pasos:
1) Convertir el entero posititivo en el número dado de bits
2) Invertir todos los bits. 0s en 1s y 1s en 0s
3) Sumar 1 a los bits cambiados
• Ejemplo: Se va a representar el número -154
1) Se representa 154 positivo en binario
010011010
2) Se invierten los bits
101100101
3) Se suma 1 a los bits cambiados
101100110
Representaciones del CeroRepresentaciones del Cero
Complemento a Uno Complemento a Dos
Original 00000000 00000000
Cambiados 11111111 11111111
Sumar 1 (más 1 acarreo) 00000000
Resultado 11111111 00000000
Conclusión: •En complemento a uno al igual que en signo magnitud se pueden representar de dos formas el cero (más cero y menos cero) lo que es matematicamente incorrecto
•En complemento a dos existe una única manera de representar el cero
Esquema de Representación de Esquema de Representación de EnterosEnteros
Esquema MáximoEntero Positivo
MínimoEnteroNegativo
2n-1-1 -(2n-1-1)
Complemento a Uno 2n-1-1 -(2n-1-1)
Complementoa Dos 2n-1-1 -2n-1
Magnitud con Signo
Desborde AritméticoDesborde Aritmético
En 5 bits:• El rango de enteros que se puede representar es [-16,15] • El resultado de la adición (10)10 + (8)10 que es (18)10 cae fuera del
rango que puede ser representado en 5 bits • Esto se denomina ‘desborde aritmético’
Un ‘desborde aritmético’ ocurre cuando:• Existe un acarreo hacia el bit de signo, pero no fue acarreado en el bit
de signo, o
• No existe un acarreo hacia el bit de signo, pero existe un acarreo desde el bit de signo
+
-6
0
-4
-8
-2
4
2
-3
-1 1
5
76
3
-7
-5
-
Tema Tema – 3 - – 3 - Sistemas Sistemas Numéricos - Representación Numéricos - Representación
de Números Realesde Números Reales
Pasos para Convertir un Número Real Pasos para Convertir un Número Real Decimal a BinarioDecimal a Binario
Para convertir (32.625)Para convertir (32.625)1010 en binario los pasos son: en binario los pasos son:
1) Convertir la parte entera en binario1) Convertir la parte entera en binario
(32)(32)1010 = (100000) = (100000)22
2) Convertir la parte fraccional en binario2) Convertir la parte fraccional en binarioPara hacer esto se multiplica por 2 extrayendo la parte entera resultante en cada paso Para hacer esto se multiplica por 2 extrayendo la parte entera resultante en cada paso (para algunos números como 0.3 el proceso anterior no finaliza y debe ser truncado)(para algunos números como 0.3 el proceso anterior no finaliza y debe ser truncado)
0.625 * 2 = 0.625 * 2 = 11.250 .250 0.250 * 2 = 0.250 * 2 = 00.5.50.5 * 2 = 0.5 * 2 = 11.0 (0.625).0 (0.625)1010 = (101) = (101)22
3) Representar el número binario completo 3) Representar el número binario completo
(32.625)(32.625)1010 = (100000.101) = (100000.101)22 = (.100000101)x2 = (.100000101)x266
En este caso:En este caso:
(.100000101)(.100000101)22 es la mantisa normalizada y 6 es el exponente es la mantisa normalizada y 6 es el exponente
Pasos para Convertir un Número Real Pasos para Convertir un Número Real Decimal a BinarioDecimal a Binario
4) Guardar la mantisa normalizada en los 23 bits reservados para ella4) Guardar la mantisa normalizada en los 23 bits reservados para ella
5) Sumar el código de exceso al exponente y representarlo en 8 bits5) Sumar el código de exceso al exponente y representarlo en 8 bits
Exponente desplazado = 6 + 2Exponente desplazado = 6 + 2n-1 n-1 ==
6+128 = (134)6+128 = (134)1010 = (10000110) = (10000110)22
6) La representación final será6) La representación final será
Sistema OctalSistema Octal• El sistema octal es denominado el sistema numérico basado en 8
• Un número octal válido es una combinación de uno o más digitos octales válidos es decir del 0 al 7
• Conversion de un número octal en decimal(120)8 = 1x82 + 2x81 + 0x80
= 64 + 16 = (80)10
• Conversion de un número decimal a octal
80 8
0 10 8
2 1
Sistema HexadecimalSistema Hexadecimal
• La base del sistema hexadecimal es 16• Los diez primeros dígitos son 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9• Los otros seis dígitos son A,B,C,D,E y F que represen los
equivalentes decimales de 10,11,12,13,14 y 15 respectivamente
• Convertir el número hexadecimal (249)16 en decimal
(249)16 = 2x162 + 4x161 + 9x160
= 2x256 + 64 + 9 = 512 + 64 + 9 = (585)10
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