Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (SEDO) es un conjunto de n ecuaciones diferenciales todas ellas de 1er orden:

=

=

=

),...,,(.......................................

),...,,(

),...,,(

21

2122

2111

nnn

n

n

yyyxfdxdy

yyyxfdxdy

yyyxfdxdy

donde las funciones dependen sólo de una única variable x. y k ( x ), (k = 1, 2, · · · , n)La solución de este problema consiste en calcular el conjunto de las funciones , que verifican las condiciones de contorno dadas:

y k (x)

! y1(xk) = y0k, k = 1, 2 · · · , ny1(x0) = y00 , y2(x0) = y02 , · · · yn(x0) = y0n

Nos vamos a restringir a sistemas de la forma [1].

[1]

2

El sistema [1] no es la forma más general de SEDO. El caso general sería

G1(y!1, y

!2, · · · , y!n, y1, y2, · · · , yn, x) = 0

G2(y!1, y

!2, · · · , y!n, y1, y2, · · · , yn, x) = 0

· · ·Gn(y!1, y!2, · · · , y!n, y1, y2, · · · , yn, x) = 0

Teorema de existencia y unicidad El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (SEDO)

=

=

=

),...,,(.......................................

),...,,(

),...,,(

21

2122

2111

nnn

n

n

yyyxfdxdy

yyyxfdxdy

yyyxfdxdy

[1]

con las condiciones de contorno dadas, , tiene una única solución si las funciones verifican en un entorno del punto las siguientes dos condiciones

y1(x0) = y00 , y2(x0) = y02 , · · · yn(x0) = y0nfk(x, y1, y2, · · · , yn), (k = 1, 2, · · · , n)

1.- Son continuas en un entorno del punto . x0, y01 , y

01 , · · · , y0n

2.- Todas las derivadas parciales !fk!yj

, k, j,= 1, 2, · · · , n

existen y están acotadas en un entorno . x0, y01 , y

01 , · · · , y0n

La segunda es una condición más restrictiva de la condicion de que las funciones verifique la llamada condición de Lipschitz.

3

x0, y01 , y

01 , · · · , y0n

Integraciónporreducciónaecuacionesdesacopladasdeordensuperior.Elmetodoconsistebásicamenteeneliminarencadaecuacióndelsistemalasotrasvariables.Paraellocambiamoselordendelaecuacióndiferencial.

EjemploI

= y

= z

d2y

dx2= y

d2z

dx2= z

[2]

[2]esunpardeEDlinealesdesacopladas.Sinembargonoestotalmenteequivalentealsistemadepar<da.

que depende de 4 constantes; las condicionesinicialesdadasresultaninsuficientes.

Lasolucióngeneralde[2]es:y(x) = Aex +Be!x

z(x) = Cex +De!x

Debemosimponerlasecuacionesdepar<da[1]aestasolución:

Seaelsistemadeecuaciones

dy

dx= z

dz

dx= y

conlascondicionesinicialesy(x0) = y0, z(x0) = z0

[1]

Derivandolasecuaciones[1]podemosdesacoplarlasfunciones:

d2y

dx2=

dz

dxd2z

dx2=

dy

dx

A = C B = !Ddy

dx= Aex !Be!x

= z = Cex +De!xy(x) = Aex +Be!x

z(x) = Aex !Be!x

quesólodependededosconstantesdeintegración,AyB.AyBsepuedenobtenerdelasconcionesiniciales.En

Aex0 +Be!x0 = y0

Aex0 !Be!x0 = z0

x = x0

A =y0 + z0

2e!x0

B =y0 ! z0

2ex0

y(x) =y0 + z0

2e(x!x0) +

y0 ! z02

e!(x!x0)

z(x) =y0 + z0

2e(x!x0) ! y0 ! z0

2e!(x!x0)

4

5

Encontrarlasolucióndelsistemadeecuacionesdiferenciales

Problemaspropuestos

dy

dx= 3y ! 2z

dz

dx= 2y ! z

conlascondicionesinicialesy(0) =

3

2, z(0) = 1

66

Encontrarlasolucióngeneraldelsistemadeecuacionesdiferenciales

GeneralizaciónasistemasdemasdedosEDde1erorden

= 9y

esunsistemade3EDcontresfuncionesy(x), z(x), w(z)Sepuede‘desacoplar’elsistemadeformaanálogaalcasodedosecuaciones:

Deformaqueelproblema sereduceatresEDordinariasconunaúnicafunción:

[1]

dy

dx= 3z

dz

dx= w

dw

dx= 9y

dy

dx= 3z

dz

dx= w

dw

dx= 9y

= 3w

= 27z

= 27y

= 27z

= 27w

derivando

d3y

dx3= 3

dw

dxd3z

dx3= 9

dy

dxd3w

dx3= 27

dy

dx

derivando

d2y

dx2= 3

dz

dxd2z

dx2=

dw

dxd2w

dx2= 9

dy

dx

d3y

dx3= 27y

d3z

dx3= 27z

d3w

dx3= 27w

[2]

7

d3y

dx3= 27y

d3z

dx3= 27z

d3w

dx3= 27w

[2][1]

dy

dx= 3z

dz

dx= w

dw

dx= 9y

Hemosconver<doelsistema[1]deEDde1erordenenunconjuntodetresecuacionesde3erorden

peroambossistemasnosonestrictamenteequivalentes.La solución del sistema [1]depende de tres constantes arbitarias,mientras que la del conjunto [2]deecuaciones<ene9constantesindeterminadas.Buscamoslasolucióngeneraldeunaecuaciónde[2];porejemplodelaprimeray!3 ! 27y = 0

Probamoslasolucióny(x) = epx p3 ! 27 = 0,laecuacióncaracterís<casereduceaBuscamoslasraícesdelpolinomiocaracterís<co:

p3 ! 27 = (p! 3)(p2 + 3p+ 9)

Lasolucióngeneraldela1ªecuaciónesportanto

Porlotantolasraicessonylaparejadeconjugadasp1 = 3

p2,3 =!3±

"9! 4# 9

2

dondesonconstantesarbitrarias.Ay, By, Cy

Lasotras funcionesde [2] verifican lamismaecuacióndiferencial, por lo tanto la solucióngeneraldees[2]:

=!3± i3

"3

2

yG(x) = Ayep1x +Bye

p2x + Cyep3x

yG(x) = Ayep1x +Bye

p2x + Cyep3x

zG(x) = Azep1x +Bze

p2x + Czep3x

wG(x) = Awep1x +Bwe

p2x + Cwep3x

8

d3y

dx3= 27y

d3z

dx3= 27z

d3w

dx3= 27w

[2]

Lasolucióndelasecuaciones

dy

dx= 3z

dz

dx= w

vemosque todas lasconstantesde integraciónquedandeterminadaspor tresdeellas (ennuestrocasohemoselegido,peropodríanserotras)Ay, By, Cy

Si imponemosqueverifiquenel sistema deecuacionesdepar<da

dy

dx= 3z

dz

dx= w

dw

dx= 9y

[1]

Aw = p1Az, Bw = p2Bz, Cw = p3Cz

Ayp1ep1x +Byp2e

p2x + Cyp3ep3x = 3Aze

p1x + 3Bzep2x + 3Cze

p3x

Azp1ep1x +Bzp2e

p2x + Czp3ep3x = Awe

p1x +Bwep2x + Cwe

p3x

Az =p13Ay, Bz =

p23By, Cz =

p33Cy [3a]

subs<tuyendolosvalores[3a]: [3b]Aw =p213Ay, Bw =

p223By, Cw =

p233Cy

estándesacopladas.

yG(x) = Ayep1x +Bye

p2x + Cyep3x

zG(x) = Azep1x +Bze

p2x + Czep3x

wG(x) = Awep1x +Bwe

p2x + Cwep3x

9

La3ªecuacióndelsistemadw

dx= 9y

[3b]Aw =p213Ay, Bw =

p223By, Cw =

p233Cy

conducealosvaloresquehabíamosobtenidoenlaecuación[3b]:

yaquedadoqueysonsolucionesdelaec.caracterís<ca:loscoeficientesde[3b]y[3b]soniguales

p1, p2, p3 p3 = 27

Awp1ep1x +Bwp2e

p2x + Cwp3ep3x = 9Aye

p1x + 9Byep2x + 9Cye

p3x

Así: =9p2127

=p213

9

p1=

9

p1

p21p21

[3c]Aw =9

p1Ay, Bw =

9

p2By, Cw =

9

p3Cy

ylomismoocurreconlosotroscoeficientesdeyBw Cw

dondeyp1 = 3 p2,3 =!3± i3

"3

2

Lasoluciongeneraldelsistemasólodependedetresconstantesarbitrarias.A ! Ay, B ! By, C ! By

yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x

zG(x) =p13Aep1x +

p23Bep2x +

p33Cep3x

wG(x) =p213Aep1x +

p223Bep2x +

p233Cep3x

[4]

10

Lasolucióndelsistemadeecuaciones[2]

si buscamos soluciones del sistema reales, elegimos las constantes de integración de forma que lostérminoscomplejosasociadosalasraícescomplejasydenunvalorreal.p2 p3

dondeyp1 = 3 p2,3 =

!3± i3"3

2

Par<mosporejemplode[4ª]

yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x = Ae3x +Be!3+3i

"3

2 x + Ce!3!3i

"3

2 x

= Ae3x + e!32x[Be

i3!

32 x + Ce!

i3!

32 x]

= Ae3x + e!32x[cos(

3!3

2x)(B + C) + i sin(

3!3

2x)](B " C)]

= Ae3x + e!32x{B[cos(

3!3

2x) + i sin(

3!3

2x)] + C[cos(

3!3

2x)" i sin(

3!3

2x)]}

= !e3x + "e!32x cos(

3!3

2x) + #e!

32x sin(

3!3

2x)

donde! = A

" = B + C

# = i(B ! C)

B =1

2(! ! i")

C =1

2(! + i")

yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x

zG(x) =p13Aep1x +

p23Bep2x +

p33Cep3x

wG(x) =p213Aep1x +

p223Bep2x +

p233Cep3x

[4a]

[4b]

[4c]

esequivalentea[4ª],ysilasconstantesysonreales,tambiénloeslafunción[5ª].!," #En este caso y la suma de los dos úl<mos términos de [4ª]es la suma de dos complejosconjugados,queesreal.

B = C!

Lasolución[5a]yG(x) = !e3x + "e!

32x cos(

3!3

2x) + #e!

32x sin(

3!3

2x)

11

Hemosvistoqueconelcambio

dondeysonreales,lasolucionesunafunciónreal.

!," #

Escribimoslaec.[4b]conlasconstantesy!," #

zG(x) =p13Aep1x +

p23Bep2x +

p33Cep3x =

p1!

3ep1x +

p2(" ! i#)

6ep2x +

p2(" ! i#)

e

p3x

A = !, B =1

2(" ! i#), C =

1

2(" + i#)

p1 = 3, p2,3 =!3± i3

"3

2

= !e3x +(!3 + i3

"3)(" ! i#)

12e!

3x2 xei

3!

32 x +

(!3! i3"3)(" + i#)

12e!

3x2 xe!i 3

!3

2 x

= !e3x +p2(" ! i#)

6e!

3x2 xei

3!

32 x +

p3(" + i#)

6e!

3x2 xe!i 3

!3

2 x

losdosúl<mostérminossoncomplejosconjugados,deformaquesusumareal z + z! = 2Real(z)

= !e3x +e!

3x2 x

12[(!3 + i3

"3)(" ! i#)ei

3!

32 x + (!3! i3

"3)(" + i#)e!i 3

!3

2 x]

[5b]zG(x) = !e3x +e!

3x2 x

2[(!" +

"3#) cos(

3"3

2x)! (

"3" + #) sin(

3"3

2)]

Operando

quetambienesrealsilasconstantesdeintegraciónloson.

yG(x)

yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x

zG(x) =p13Aep1x +

p23Bep2x +

p33Cep3x

[4a]

[4b]

[4c]wG(x) =p113Aep1x +

p223Bep2x +

p233Cep3x

12

Hemosvistoqueconelcambio

dondeysonreales,lassolucionesy sonfuncionesreales,paralosvalorescalculadosde

!," #

A = !, B =1

2(" ! i#), C =

1

2(" + i#)

p1 = 3, p2,3 =!3± i3

"3

2

yG(x)wG(x)

yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x

zG(x) =p13Aep1x +

p23Bep2x +

p33Cep3x

[4a]

[4b]

[4c]wG(x) =p113Aep1x +

p223Bep2x +

p233Cep3x

Escribimoslaec.[4c]conlasconstantesy!," #

wG(x) =p113Aep1x +

p223Bep2x +

p233Cep3x = 3!e3x +

p223

" ! i#

2ep2x +

p233

" + i#

2ep3x

Teniendoencuentaqueyp3 = [p2]! [z1z2]

! = z!1z!2 ! p23(! + i")ep3x = [p22(! " i")ep2x]!

wG(x) = 3!e3x +1

6p22(" ! i#)ep2x +

1

6[p22(" ! i#)ep2x]!= 3!e3x +

1

3Real[p22(" ! i#)ep2x]

p2 =!3± i3

"3

2# p22 = !9

4(1 + i

"3)

= 3!e3x ! 3e!32x

4Real{[" + #

"3 + i("

"3! #)][cos(

3"3x

2) + i sin(

3"3x

2)}

= 3!e3x ! 3

4Real[(1 + i

"3)(" ! i#)e!

32x[cos(

3"3x

2) + i sin(

3"3x

2)]

= 3!e3x ! 3e!32x

4[(" + #

"3) cos(

3"3x

2)! ("

"3! #) sin(

3"3x

2)]

wG(x) = 3!e3x ! 3e!32x

4[(" + #

"3) cos(

3"3x

2)! ("

"3! #) sin(

3"3x

2)] [5c]

lasoluciónestambiénreal

13

HemosvistoquelasolucióngeneraldelsistemaConclusión

[1]

dy

dx= 3z

dz

dx= w

dw

dx= 9y

era

ydonde p1 = 3, p2 =!3± i3

"3

2Estaeslasolucióngeneraldelsistema,quedependedetresconstantesarbitrariasA,ByC.Conelcambiodeconstantes,estaeslasoluciónsepuedereescribircomo

A = !, B =1

2(" ! i#), C =

1

2(" + i#)

yG(x) = !e3x + "e!32x cos(

3!3

2x) + #e!

32x sin(

3!3

2x)

wG(x) = 3!e3x ! 3e!32x

4[(" + #

"3) cos(

3"3x

2)! ("

"3! #) sin(

3"3x

2)]

zG(x) = !e3x +e!

3x2 x

2[(!" +

"3#) cos(

3"3

2x)! (

"3" + #) sin(

3"3

2)] [5]

yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x

zG(x) =p13Aep1x +

p23Bep2x +

p33Cep3x

wG(x) =p113Aep1x +

p223Bep2x +

p233Cep3x

[4]

Ambassolucionessontotalmenteequivalentes.[5]esotraformadeescribirlasolucióngeneraldelsistema,entérminosdefuncionesreales.Sevequesielegimoslasconstantesylasoluciónestambiénreal,comounoesperaria.!,", #