1 Matemática Matem
Liceo Exp. Bilingüe de Cartago Prof. K Pamela Granados V.
Nombre del estudiante: _____________________________________________________________
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Definición: Un conjunto de m ecuaciones lineales y n incógnitas recibe el nombre de sistema de
ecuaciones lineales.
La solución, de dicho sistema, son los valores de las incógnitas que cumplen simultáneamente que todas
las ecuaciones, que lo forman, son verdaderas.
En nuestro caso sólo se estudiaran sistemas con dos variables y dos ecuaciones ( 2 2x ), los cuales son de
la forma 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
como por ejemplo
2 3 7
3 1,2
x y
x y
El sistema anterior determina dos rectas en el plano xy, por lo
tanto, la solución de un sistema de ecuaciones es el punto de
intersección de las rectas que lo forman.
Sea (x,y) la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales,
entonces una posible representación gráfica de ese sistema y su
solución es
Tipos de Sistemas de Ecuaciones
Sistemas Consistentes e Independientes: Si las rectas de un sistema de ecuaciones lineales se
intersecan en un punto, es decir, tienen una única solución, las ecuaciones de estas rectas forman un
sistema consistente y son independientes.
Este tipo de sistemas cumplen que 1 1
2 2
a b
a b
Ejemplo: 8
(3, 5)2 1
x yS
x y
Se tienen que 1 1
2 1
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Sistemas Inconsistentes: Si las rectas de un sistema de ecuaciones lineales son paralelas y distintas, entonces
no hay punto de intersección, ie, no tienen solución, en este caso se dice que las ecuaciones forman un sistema
inconsistente y la solución del sistema es vacía.
Este tipo de sistemas cumplen que 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c .
Ejemplo: 4 3 5
8 6 2
x yS
x y
Se tienen que 4 3
8 6
Sistemas Consistentes y Dependientes: Si las rectas de un sistema de ecuaciones lineales coinciden en
su representación gráfica, ie, cada punto de una de las rectas pertenece también a la otra, entonces el sistema es
consistente y las ecuaciones son dependientes y tiene un infinito número de soluciones.
Este tipo de sistemas cumplen que 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c .
Ejemplo: 24 8 12
2 4 6
x yS
x y
Se tienen que 4 8 12
2 4 6
Ejemplo: Clasifique los siguientes sistemas de ecuaciones.
1) 4 4 5
5 3
x y
x y 2)
2 5
4 2 7
x y
x y 3)
2 3 1
51 34 17
y x
x y 4)
1
3 2 3
y x
x y
Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se estudiaran cuatro: el gráfico,
sustitución, igualación y reducción (suma y resta)
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Método Gráfico: Este método consiste en trazar las gráficas de las ecuaciones que forman el sistema,
en un mismo plano cartesiano, para localizar las coordenadas del punto de intersección de ellas, si existe,
ese punto será la solución del sistema.
Ejemplo: Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
2 51)
1
x y
x y
2 4 62)
2 1
x y
x y
33)
5 5
x y
x y
2 34)
2 4 5
x y
x y
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Método de Sustitución: Este método consiste en despejar en una de las ecuaciones, una de las
variables en función de la otra, luego se sustituye la variable que se despejó en la otra ecuación,
seguidamente se resuelve la ecuación para obtener el valor de la variable y finalmente se determina el
valor de la otra variable, dichos valores nos dan la solución del sistema.
Ejemplo: Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
Método de Igualación: Consiste en despejar en cada una de las ecuaciones la misma variable, e igualar
las expresiones resultantes, de esta forma se obtienen una ecuación lineal con una sola incógnita, al
encontrar el valor de la ecuación resultante, sustituimos el valor en alguna de las ecuaciones que se
despejaron originalmente, para determinar el valor faltante, para así determinar la solución del sistema.
Ejemplo: Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
4 4 281)
9 18 45
x y
x y
19 13 312)
3 4 17
a b
a b
5 14 171)
10 7 19
t b
t b
21 7 492)
13 6 22
x a
x a
En el ejemplo #1, se pueden simplificar primero las ecuaciones, antes de resolver el sistema
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Método de Reducción o Eliminación (Suma o Resta)
Este método consiste en eliminar una de las variables, sumando o restando las ecuaciones que forman el
sistema. En el caso de que no se puedan eliminar ninguna de las variables, podemos multiplicar las
ecuaciones por alguna cantidad necesaria para eliminarla, luego se suman o restan las ecuaciones para
formar una ecuación lineal de una incógnita y la resolvemos, por último se sustituye el valor encontrado
en una de las ecuaciones originales, para determinar el valor de la solución del sistema.
Ejemplo: Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
4 31. )
5 6 9
x ya
x y
4 31.b)
5 6 9
x y
x y
9 5 302. )
18 30 4
a ba
a b
9 5 302.b)
18 30 4
a b
a b
En este tipo de método, se debe, ordenar el sistema de tal manera que cada variable y número coincida en
posición en ambas ecuaciones que forman el sistema, es decir, debe estar acomodado de la forma
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
(eliminar “x”) (eliminar “y”)
(eliminar “a”) (eliminar “b”)
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Práctica
A) Marque con equis
1) Sean rectas cuyos criterios, respectivamente, están dadas por . Si
y el sistema de ecuaciones resultantes es incompatible, entonces “ ”pertenece al conjunto
a)
b)
c)
d)
2) De acuerdo con los datos de la gráfica adjunta y sabiendo que pertenece al gráfico de .
Considere las siguientes proposiciones:
I. Las gráficas de NO se intersecan en un punto.
II. El sistema de ecuaciones resultante es independiente.
De ellas, ¿cuáles son verdaderas?
a) Ambas b) Ninguna c) Sólo la I d) Sólo la II
3) Si las rectas , forman un sistema de ecuaciones inconsistente entonces:
a)
b)
c)
d)
B) ¿Cuál debe ser el valor de “k” en el sistema , para que éste sea consistente y
dependiente?
1 2l l 4 5 3 12 3x y x y v
v v
{3}
{5}
{5}
(500,0)1l
1 2l l
4 3 2 10 5x y x ay
6
5a
a
6
5a
6
5a
8 6 10
12 9 4
x y
x y k
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C) Trace la región dada por cada uno de los siguientes conjuntos.
1)
2)
3)
D) Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones.
1) 2)
3) 4)
( , ) / 1x y x ( , ) / 2x y y 1( , ) /
2x y y
2 3 12
5 7 1
x y
x y
4 21 2
4 3
x y
x y
2 3 12
5 7 1
x y
x y
4 21 2
4 3
x y
x y
x
y
x
y
x
y
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5) 6)
7) 8)
E) Determine el punto de intersección de las siguientes rectas.
1) 2)
33
5 4
yx
x y
3 3 24 0
2 34 4
x y
x y
9 6 6
12 15 1
y x
x y
7 14,6
3 0,6 7
x y
x y
4 2 0 2 3 0x y x y 4 3 4 0 1 0x y x y
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F) Determine el valor de “a”, en la solución del sistema
G) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones.
1) 2)
3) 4)
(3 ) ( 1) 4
( 2) ( 2) 1
a b b a
b a a b
11
8 5 10
191
5 4 40
x y
x y
23
3 4
04
x y
x y
2( 3) 22
13 2
yx
x y
1 3
1 1
2 1
1 1
x y
x y
x y
x y
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5) 6)
H) En cada uno de los siguientes sistemas, determine el valor numérico de
1) , si es la solución del sistema
2) “m”, si es la solución del sistema
( 2) ( 3)
4 20
3 1
a b b a
b a
1 3
1 17
115
1
x y
x y
x y
x y
mn (2 , 3)m n 7 4 13
5 2 19
x y
x y
( 2,2 1)m 2 1
3 4 14
x y
x y
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I) De acuerdo con la figura adjunta, si , determine el valor de
J) Calcule dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.
K) Si (-1,5) es la solución del sistema , determine el valor de “k”.
L) Compruebe si , es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones
1) 2)
, 80CD AB m A E D C B
2 (1 ) 4
(4 3 ) 2 5
kx k y
k x ky
12
2x y
7 4 12
3 2 7
x y
x y
2 3
2 6 1
x y
x y
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M) Si son constantes, determine el conjunto solución de los siguientes sistemas.
1) 2)
3)
N) Coloree la región del plano que es encuentre entre las siguientes ecuaciones
a b
2 2x y a b
x y a b
2 4
4
xy b
b
xy a b
a
2 2
x y a b
ax by a b
1) 2 1,4 3 5 0
2a y x x y y
) 0,2 5 1 2b x y x y x
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Problemas que Involucran Sistemas de Ecuaciones Lineales
Cálculo de la superficie de un terreno
Tabilla Babilónica
Universidad de Columbia (USA)
Los sistemas de ecuaciones lineales ya fueron resueltos por los
babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales
como longitud, anchura, área o volumen, sin que tuviera relación con
problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica
plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes
términos (cidead):
1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos
En nuestra notación el sistema es:
anchura: x, longitud: y manos: t
Ejemplo: Plantee el sistema que soluciona los siguientes problemas y determine su solución.
1) Una cuerda mide , se corta en dos partes de tal manera que una de ellas mide dos metros más que
la otra ¿Cuánto mide cada pedazo?
4 28
10
3 18
6 4
x y t
x y t
y t
y t x t
12m
/ 5 7R
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2) Si a los términos de una fracción se añade tres, el valor de la fracción es un medio, y si a los términos
se le resta uno, el valor de la fracción es un tercio. Hallar la fracción original.
3) La diferencia de dos números es 14 y un cuarto de su suma es 13. hallar los números.
4) En una granja hay 236 animales entre cerdos y gallinas, si el total de sus patas entre ambos animales es
600, ¿cuántos cerdos y gallinas hay en la granja?
5/
13R
/ 33 19R
/ 64 172R c g
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Práctica
Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas. Debe aparecer planteo, operación y respuesta larga.
1) Dos números están en la razón 3 es a 4, si el menor se aumenta en dos y el mayor se disminuye en
nueve, la relación es de 4 a 3. Hallar los números.
2) A Sara y Emma les gusta mucho las matemáticas, por lo que usualmente juegan a adivinar números,
por lo que Sara le dice a Emma que halle dos números que cumplan que: si el mayor de esos dos
números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4, además, si cinco veces el menor se
divide por el mayor, el cociente es dos y el residuo es 17. Si Emma encontró los números
correctamente, ¿cuál es la respuesta que Emma le dio a Sara?
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3) En un teatro hay 500 butacas entre vip y platea. En un día de función a sala llena, se recaudaron
. Si los precios de cada butaca en vip y platea son respectivamente
¿cuántas butacas de cada clase hay en ese teatro?
4) Berta compra dos libros para obsequiar a sus hijas, cuando llega a su casa se da cuenta que la
diferencia entre el precio de dos libros que compró es de y además, uno cuesta las tres quintas
partes de lo que cuesta el otro. ¿Cuánto pagó Berta por cada libro?
¢2 200 000 ¢5000 ¢3000
¢1250
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5) La distancia entre Cartago y Pérez Zeledón es de 165 km. Una estudiante del TEC, oriunda de P.Z.,
quiere ver a su mamá, pero por su itinerario en la universidad no puede ir hasta P.Z. a visitarla, por lo
que le pide a su mamá, un domingo, que salgan las dos al mismo tiempo de sus casas y se topen de
camino, si el coche de la estudiante va a una velocidad de 60 km/h y la mamá viaja a una velocidad de
50 km/h. Suponiendo que la velocidad de ambas es constante, cuánto tiempo tardan en encontrarse, y
cuánta distancia ha recorrido cada una de ellas hasta el momento del encuentro.
6) Juan está estudiando para ser chef, por lo que le gusta estar inventando comidas y mezclando frutas
para hacer nuevos sabores de refrescos, que luego los venden entre sus familiares, para ayudarse con
sus estudios. Si Juan ha mezclado dos tipos de pulpa de fruta diferente; donde el primero cuesta
el litro, y el segundo, de el litro, obteniendo 40 litros de mezcla a el litro. ¿Cuántos litros
ha puesto Juan de cada clase, para obtener los 40 litros a ese precio?
¢625
¢565 ¢586
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