Carrera: Ingeniería Industrial
Materia: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Profesora: Bloeck, Marina Beatriz
Alumno: Juan Manuel Santillan
Guía N°5: Sistemas de Ecuaciones
Año 2015
1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando los tres procedimientos descriptos anteriormente. Clasificarlos
a) { 2x+ y+z=3x− y+z=0
3x− y+2 z=2
Primera forma de resolución:
>> A=[2 1 1;1 -1 1; 3 -1 2]
A =
2 1 1
1 -1 1
3 -1 2
>> b=[3;0;2]
b =
3
0
2
>> Ab=[A b]
Ab =
2 1 1 3
1 -1 1 0
3 -1 2 2
>> rref(Ab)
ans =
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 0
Luego x= 1, y=1 y z=0
Entonces: Sol= {(1;1;0)}. Sistema Compatible Determinado
Segunda forma de resolución:
>> x=inv(A)*b
x =
1.0000
1.0000
0.0000
Luego x= 1, y=1 y z=0
Entonces: Sol= {(1;1;0)}. Sistema Compatible Determinado
Tercera forma de resolución:
>> x=(A)\b
x =
1.0000
1.0000
0.0000
Luego x= 1, y=1 y z=0
Entonces: Sol= {(1;1;0)}. Sistema Compatible Determinado
b) { x− y=1iy+z=0
x+ (1−i ) y=iPrimera forma de resolución:
A=[1 -1 0;0 i 1;1 1-i 0]
A =
1 + 0i -1 + 0i 0 + 0i
0 + 0i 0 + 1i 1 + 0i
1 + 0i 1 - 1i 0 + 0i
>> b=[1;0;i]
b =
1 + 0i
0 + 0i
0 + 1i
>> Ab=[A b]
Ab =
Columns 1 through 3
1 + 0i -1 + 0i 0 + 0i
0 + 0i 0 + 1i 1 + 0i
1 + 0i 1 - 1i 0 + 0i
Column 4
1 + 0i
0 + 0i
0 + 1i
>> rref(Ab)
ans =
Columns 1 through 3
1 + 0i 0 + 0i 0 + 0i
0 + 0i 1 + 0i 0 + 0i
0 + 0i 0 + 0i 1 + 0i
Column 4
2/5 + 1/5i
-3/5 + 1/5i
1/5 + 3/5i
Luego x= 25+ 1
5i, y=
−35
+ 15i y z=
15+ 3
5i
Entonces: Sol= {( 25+ 1
5i ;
−35
+ 15i ; z=
15+ 3
5i)}. Sistema Compatible
Determinado
Segunda forma de resolución:
>> x=inv(A)*b
x =
2/5 + 1/5i
-3/5 + 1/5i
1/5 + 3/5i
Luego x= 25+ 1
5i, y=
−35
+ 15i y z=
15+ 3
5i
Entonces: Sol= {( 25+ 1
5i ;
−35
+ 15i ; z=
15+ 3
5i)}. Sistema Compatible
Determinado
Tercera forma de resolución:
>> x=(A)\b
x =
2/5 + 1/5i
-3/5 + 1/5i
1/5 + 3/5i
Luego x= 25+ 1
5i, y=
−35
+ 15i y z=
15+ 3
5i
Entonces: Sol= {( 25+ 1
5i ;
−35
+ 15i ; z=
15+ 3
5i)}. Sistema Compatible
Determinado
c) { x+2 y+4 z=1x+ y+3 z=2
2x+5 y+9 z=1
Primera forma de resolución:
>> A=[1 2 4;1 1 3;2 5 9]
A =
1 2 4
1 1 3
2 5 9
>> b=[1;2;1]
b =
1
2
1
>> Ab=[A b]
Ab =
1 2 4 1
1 1 3 2
2 5 9 1
>> rref(Ab)
ans =
1 0 2 3
0 1 1 -1
0 0 0 0
Entonces: Sistema Compatible Indeterminado
>> x=inv(A)*b
Warning: Matrix is singular to working precision.
x =
1/0
1/0
1/0
>> x=(A)\b
Warning: Matrix is singular to working precision.
x =
0/0
0/0
0/0
Entonces: Sol: Sistema Compatible Indeterminado
d) {x− y+iz=1iy−z=i
Primera forma de resolución:
>> A=[1 -1 i;0 i -1]
A =
1 + 0i -1 + 0i 0 + 1i
0 + 0i 0 + 1i -1 + 0i
>> b=[1;i]
b =
1 + 0i
0 + 1i
>> Ab=[A b]
Ab =
Columns 1 through 3
1 + 0i -1 + 0i 0 + 1i
0 + 0i 0 + 1i -1 + 0i
Column 4
1 + 0i
0 + 1i
>> rref(Ab)
ans =
Columns 1 through 3
1 + 0i 0 + 0i 0 + 2i
0 + 0i 1 + 0i 0 + 1i
Column 4
2 + 0i
1 + 0i
Entonces: Sol: Sistema Compatible Indeterminado
>> x=inv(A)*b
Error using inv
Matrix must be square.
Entonces: Sol: Sistema Compatible Indeterminado
>> x=(A)\b
x =
0 + 0i
0 + 0i
0 - 1i
Entonces: Sol: Sistema Compatible Indeterminado
e) { x−iy=2y+iz=1+2 ix+ y=1+i
Primera forma de resolución:
>> A=[1 -i 0;0 1 i;1 1 0]
A =
1 + 0i 0 - 1i 0 + 0i
0 + 0i 1 + 0i 0 + 1i
1 + 0i 1 + 0i 0 + 0i
>> b=[2;1+2i;1+i]
b =
2 + 0i
1 + 2i
1 + 1i
>> Ab=[A b]
Ab =
Columns 1 through 3
1 + 0i 0 - 1i 0 + 0i
0 + 0i 1 + 0i 0 + 1i
1 + 0i 1 + 0i 0 + 0i
Column 4
2 + 0i
1 + 2i
1 + 1i
>> rref(Ab)
ans =
Columns 1 through 3
1 + 0i 0 + 0i 0 + 0i
0 + 0i 1 + 0i 0 + 0i
0 + 0i 0 + 0i 1 + 0i
Column 4
1 + 0i
0 + 1i
1 - 1i
Luego x=1, y=i y z=1-i
Entonces: Sol= {(1;i;1-i)}. Sistema Compatible Determinado
Segunda forma de resolución:
>> x=inv(A)*b
x =
1 + 0i
0 + 1i
1 - 1i
Luego x=1, y=i y z=1-i
Entonces: Sol= {(1;i;1-i)}. Sistema Compatible Determinado
Tercera forma de resolución:
>> x=(A)\b
x =
1 + 0i
0 + 1i
1 - 1i
Luego x=1, y=i y z=1-i
Entonces: Sol= {(1;i;1-i)}. Sistema Compatible Determinado
f) { x+ y+z=23 x−2 y−z=4−2x+ y+2 z=2
Primera forma de resolución:
>> A=[1 1 1;3 -2 -1;-2 1 2]
A =
1 1 1
3 -2 -1
-2 1 2
>> b=[2;4;2]
b =
2
4
2
>> Ab=[A b]
Ab =
1 1 1 2
3 -2 -1 4
-2 1 2 2
>> rref(Ab)
ans =
1 0 0 1
0 1 0 -2
0 0 1 3
Luego x=1, y=-2 y z=3
Entonces: Sol= {(1;-2;3)}. Sistema Compatible Determinado
Segunda forma de resolución:
>> x=inv(A)*b
x =
1
-2
3
Luego x=1, y=-2 y z=3
Entonces: Sol= {(1,-2,3)}. Sistema Compatible Determinado
Tercera forma de resolución:
>> x=(A)\b
x =
1
-2
3
Luego x=1, y=-2 y z=3
Entonces: Sol= {(1,-2,3)}. Sistema Compatible Determinado
g) { 2 x+5 y=16x+3 y−2 z=−2
x+z=4
Primera forma de resolución:
>> A=[2 5 0;1 3 -2;1 0 1]
A =
2 5 0
1 3 -2
1 0 1
>> b=[16;-2;4]
b =
16
-2
4
>> Ab=[A b]
Ab =
2 5 0 16
1 3 -2 -2
1 0 1 4
>> rref(Ab)
ans =
1 0 0 -2
0 1 0 4
0 0 1 6
Luego x=-2, y=4 y z=6
Entonces: Sol= {(-2,4,6)}. Sistema Compatible Determinado
Segunda forma de resolución:
>> x=inv(A)*b
x =
-2
4
6
Luego x=-2, y=4 y z=6
Entonces: Sol= {(-2,4,6)}. Sistema Compatible Determinado
Tercera forma de resolución:
>> x=(A)\b
x =
-2
4
6
Luego x=-2, y=4 y z=6
Entonces: Sol= {(-2,4,6)}. Sistema Compatible Determinado
2) Estudiar la compatiblidad o incompatibilidad de los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el teorema de Rouche-Frobenius y resolverlos en el caso que sean compatibles:
i.
a) { x+ y−z=02x+ y+z=0x+z=1
>> A=[1 1 -1;2 1 1;1 0 1]
A =
1 1 -1
2 1 1
1 0 1
>> b=[0;0;1]
b =
0
0
1
>> Ab=[A b]
Ab =
1 1 -1 0
2 1 1 0
1 0 1 1
>> rank(A)
ans =
3
>> rank(Ab)
ans =
3
Entonces:
r (A)=R(Ab)=3
r (A)= R(Ab)=3 (n° de incógnitas). Por lo tanto el Sistema es Compatible Determinado
>> x=inv(A)*b
x =
2
-3
-1
Luego x=2, y=-3 y z=-1
Entonces: Sol= {(2,-3,-1)}. Sistema Compatible Determinado
b) { x−2 y+ z=22x+ y−z=1
2 x− y=0−x+2 y−z=−2
>> A=[1 -2 1;2 1 -1;2 -1 0;-1 2 -1]
A =
1 -2 1
2 1 -1
2 -1 0
-1 2 -1
>> b=[2;1;0;-2]
b =
2
1
0
-2
>> Ab=[A b]
Ab =
1 -2 1 2
2 1 -1 1
2 -1 0 0
-1 2 -1 -2
>> rank(A)
ans =
3
>> rank(Ab)
ans =
3
Entonces:
r (A)=R(Ab)=3
r (A)= R(Ab)=3 (n° de incógnitas). Por lo tanto el Sistema es Compatible Determinado
>> x=(A)\b
x =
3
6
11
Luego x=3, y=6 y z=11
Entonces: Sol= {(3,6,11)}. Sistema Compatible Determinado
c) { 3 x− y+z−t=12 x+4 y−6 t=0x+ y−z+2 t=0
3x+6 y−9 t=−1
>> A=[3 -1 1 -1;2 4 0 -6;1 1 -1 2;3 6 0 -9]
A =
3 -1 1 -1
2 4 0 -6
1 1 -1 2
3 6 0 -9
>> b=[1;0;0;-1]
b =
1
0
0
-1
>> Ab=[A b]
Ab =
3 -1 1 -1 1
2 4 0 -6 0
1 1 -1 2 0
3 6 0 -9 -1
>> rank(A)
ans =
3
>> rank(Ab)
ans =
4
r (A)≠R(Ab)
r (A)≠ R(Ab)¿4 (n° de incógnitas). Por lo tanto el Sistema Incompatible
d) {2x+2 y−z+t=−1x− y+z=2
>> A=[2 2 -1 1;1 -1 1 0]
A =
2 2 -1 1
1 -1 1 0
>> b=[-1;2]
b =
-1
2
>> Ab=[A b]
Ab =
2 2 -1 1 -1
1 -1 1 0 2
>> rank(A)
ans =
2
>> rank(Ab)
ans =
2
r (A)¿R(Ab)
r (A)= R(Ab)¿4 (n° de incógnitas). Por lo tanto el Sistema es Compatible Indeterminado
ii.
a) {2x−5 y+3 z=4x−2 y+z=3
5 x+ y+7=11 ∼{2x−5 y+3 z=4
x−2 y+z=35 x+ y=4
>> A=[2 -5 3;1 -2 1;5 1 0]
A =
2 -5 3
1 -2 1
5 1 0
>> b=[4;3;4]
b =
4
3
4
>> Ab=[A b]
Ab =
2 -5 3 4
1 -2 1 3
5 1 0 4
>> rank(A)
ans =
3
>> rank(Ab)
ans =
3
r (A)¿R(Ab)
r (A)= R(Ab)=3 (n° de incógnitas). Por lo tanto el Sistema es Compatible Determinado
>> x=(A)\b
x =
3/2
-7/2
-11/2
Luego x=32, y=−7
2y z=−11
2
Entonces: Sol= {(32;−7
2;−11
2)}. Sistema Compatible Determinado
b) { x+4 y+ z=7x+6 y−z=132x− y+2 z=5
>> A=[1 4 1;1 6 -1;2 -1 2]
A =
1 4 1
1 6 -1
2 -1 2
>> b=[7;13;5]
b =
7
13
5
>> Ab=[A b]
Ab =
1 4 1 7
1 6 -1 13
2 -1 2 5
>> rank(A)
ans =
3
>> rank(Ab)
ans =
3
r (A)=R(Ab)
r (A)= R(Ab)=3 (n° de incógnitas). Por lo tanto el Sistema es Compatible Determinado
>> x=(A)\b
x =
5
1
-2
Luego x=5, y=1 y z=-2
Entonces: Sol= {( 5;1;-2 )}. Sistema Compatible Determinado
c) {3x+2 y+z+u−w=3x+2 z+u−w=2
3 x−2 z+u−w=0
>> A=[3 2 1 1 -1;1 0 2 1 -1;3 0 -2 1 -1]
A =
3 2 1 1 -1
1 0 2 1 -1
3 0 -2 1 -1
>> b=[3;2;0]
b =
3
2
0
>> Ab=[A b]
Ab =
3 2 1 1 -1 3
1 0 2 1 -1 2
3 0 -2 1 -1 0
>> rank(A)
ans =
3
>> rank(Ab)
ans =
3
r (A)=R(Ab)
r (A)= R(Ab)¿5 (n° de incógnitas). Por lo tanto el Sistema es Compatible Indeterminado
d) { x+ y+ z=02 y−3 z=5 ix+iy=−1
>> A=[1 1 1;0 2 -3;1 i 0]
A =
1 + 0i 1 + 0i 1 + 0i
0 + 0i 2 + 0i -3 + 0i
1 + 0i 0 + 1i 0 + 0i
>> b=[0;5i;-1]
b =
0 + 0i
0 + 5i
-1 + 0i
>> Ab=[A b]
Ab =
Columns 1 through 3
1 + 0i 1 + 0i 1 + 0i
0 + 0i 2 + 0i -3 + 0i
1 + 0i 0 + 1i 0 + 0i
Column 4
0 + 0i
0 + 5i
-1 + 0i
>> rank(A)
ans =
3
>> rank(Ab)
ans =
3
r (A)=R(Ab)
r (A)= R(Ab)=3 (n° de incógnitas). Por lo tanto el Sistema es Compatible Determinado
>> x=(A)\b
x =
-0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 1.0000i
0.0000 - 1.0000i
Luego x=0 ,y=i y z=-i
Entonces: Sol= {( 0;i;-i )}. Sistema Compatible Determinado
e) { x+ z=4−x+2 y+z=6y+ z=−3
>> A=[1 0 1;-1 2 1;0 1 1]
A =
1 0 1
-1 2 1
0 1 1
>> b=[4;6;-3]
b =
4
6
-3
>> Ab=[A b]
Ab =
1 0 1 4
-1 2 1 6
0 1 1 -3
>> rank(A)
ans =
2
>> rank(Ab)
ans =
3
r (A)≠R(Ab)
r (A)¿ R(Ab)=3 (n° de incógnitas). Por lo tanto el Sistema es Compatible Incompatible
3) Resolver los siguientes sistemas utilizando uno de los tres procedimientos anteriormente descriptos. Clasificarlos.
i.
a) { x+2 y−z=72x+ y+z=6x− y+3 z=−1
>> A=[1 2 -1;2 1 1;1 -1 3]
A =
1 2 -1
2 1 1
1 -1 3
>> b=[7;6;-1]
b =
7
6
-1
>> Ab=[A b]
Ab =
1 2 -1 7
2 1 1 6
1 -1 3 -1
>> x=inv(A)*b
x =
5/3
8/3
0
Luego x=53, y=8
3y z=0
Entonces: Sol= {( 53;
83;0)}. Sistema Compatible Determinado
b) { x+ y=2x− y=2 i
>> A=[1 1;1 -1]
A =
1 1
1 -1
>> b=[2;2i]
b =
2 + 0i
0 + 2i
>> Ab=[A b]
Ab =
1 + 0i 1 + 0i 2 + 0i
1 + 0i -1 + 0i 0 + 2i
>> x=inv(A)*b
x =
1 + 1i
1 - 1i
Luego x= 1+i y y= 1-i
Entonces: Sol= {( 1+i;1-i)}. Sistema Compatible Determinado
c) {2 x+3 y−5 z−2=03x− y+2 z+1=0
5x+4 y−6 z−3=0∼ {2x+3 y−5 z=2
3x− y+2 z=−15 x+4 y−6 z=3
>> A=[2 3 -5;3 -1 2;5 4 -6]
A =
2 3 -5
3 -1 2
5 4 -6
>> b=[2;-1;3]
b =
2
-1
3
>> Ab=[A b]
Ab =
2 3 -5 2
3 -1 2 -1
5 4 -6 3
>> x=inv(A)*b
x =
-1/5
14/5
6/5
Luego x=−15, y=14
5y z=6
5
Entonces: Sol= {(−15;
145;
65
)}. Sistema Compatible Determinado
ii.
a) { x+ y=4x+ y+z=12 y+z=1
>> A=[1 1 0;1 1 1;0 2 1]
A =
1 1 0
1 1 1
0 2 1
>> b=[4;1;1]
b =
4
1
1
>> Ab=[A b]
Ab =
1 1 0 4
1 1 1 1
0 2 1 1
>> x=inv(A)*b
x =
2
2
-3
Luego x=2 ,y=2 y z=-3
Entonces: Sol= {(2;2;-3)}. Sistema Compatible Determinado
b) { x−2 z=12x+ y+z=5x−2 y=7
>> A=[1 0 -2;2 1 1;1 -2 0]
A = 1 0 -2 2 1 1 1 -2 0 >> b=[1;5;7]
b = 1 5 7
>> Ab=[A b]Ab = 1 0 -2 1 2 1 1 5 1 -2 0 7 >> x=inv(A)*bx = 3 -2 1
Luego x=3 ,y=-2 y z=1
Entonces: Sol= {(3;-2;1)}. Sistema Compatible Determinado
c) { 2 x+ y+2 z=7x+3 y+z=7
3x+4 y−2 z=8
>> A=[2 1 2;1 3 1;3 4 -2]
A =
2 1 2
1 3 1
3 4 -2
>> b=[7;7;8]
b =
7
7
8
>> Ab=[A b]
Ab =
2 1 2 7
1 3 1 7
3 4 -2 8
>> x=inv(A)*b
x =
8/5
7/5
6/5
Luego x=85, y=7
5y z=6
5
Entonces: Sol= {( 85;
75;
65
)}. Sistema Compatible Determinado
iii.
a) { 3 x+2 y+z=15x+3 y+4 z=2x+ y−z=1
>> A=[3 2 1;5 3 4;1 1 -1]
A =
3 2 1
5 3 4
1 1 -1
>> b=[1;2;1]
b =
1
2
1
>> Ab=[A b]
Ab =
3 2 1 1
5 3 4 2
1 1 -1 1
>> x=inv(A)*b
x =
-4
6
1
Luego x=-4 ,y=6 y z=1
Entonces: Sol= {(-4;6;1)}. Sistema Compatible Determinado
b) { x+ y+z=12x+3 y−4 z=9x− y+z=−1
>> A=[1 1 1;2 3 -4;1 -1 1]
A =
1 1 1
2 3 -4
1 -1 1
>> b=[1;9;-1]
b =
1
9
-1
>> Ab=[A b]
Ab =
1 1 1 1
2 3 -4 9
1 -1 1 -1
>> x=inv(A)*b
x =
1
1
-1
Luego x=1 ,y=1 y z=-1
Entonces: Sol= {(1;1;-1)}. Sistema Compatible Determinado
4) Plantear y resolver los siguientes problemas:
a) El propietario de un restaurante planea utilizar “x” mesas para 4 personas, “y” mesas para 6 personas y “z” mesas para 8 personas, para un total de 20 mesas. En plena ocupación, se sientan en la mesa 108 clientes. Si solo se utilizan la mitad de las mesas “x”, la mitad de las mesas “y” y un cuarto de las mesas “z”, todas ellas completamente ocupadas, entonces solo se sientan 46 clientes. Obtener “x”,”y” y ”z”.
{4 x+6 y+8 z=108x+ y+z=20
2 x+3 y+2 z=46
>> A=[4 6 8;1 1 1; 2 3 2]
A =
4 6 8
1 1 1
2 3 2
>> b=[108;20;46]
b =
108
20
46
>> Ab=[A b]
Ab =
4 6 8 108
1 1 1 20
2 3 2 46
>> x=inv(A)*b
x =
10
6
4
Entonces: Solución= {(10,6,4)}.
b) Se desea distribuir 178 tn de trigo en tres silos cuyas capacidades suman exactamente esa cantidad ¿Cuántas tn caben en cada silo si la razón entre la capacidad del primero y la del segundo es 2/5 y entre la de este y la del tercero es 7/8?
{S1+S2+S3=178
S1S2
=25
S 2S 3
=78
∼ {S1+S2+S3=1785S1−2S2=08 S2−7 S3=0
>> A=[1 1 1;5 -2 0;0 8 -7]
A =
1 1 1
5 -2 0
0 8 -7
>> b=[178;0;0]
b =
178
0
0
>> x=inv(A)*b
x =
28
70
80
Entonces: Solución= {(28,70,80)}.
c) Una empresa ha vendido 42000 artículos de papelería, bolígrafos, gomas y rotuladores, al precio de 1.2, 1.5 y 2$ respectivamente. El total de los ingresos producidos por esas ventas asciende a 64000 $. Se sabe, además, que el número de bolígrafos que se ha vendido es el 40% del número, total del resto de artículos vendidos. Determinar el número de cada tipo de artículos vendidos.
{ b+g+r=420001.2b+1.5g+2r=64000
b=0.4 (g+r )∼ { b+g+r=42000
1.2b+1.5g+2r=64000b−0.4 g−0.4 r=0
>> A=[1 1 1;1.2 1.5 2;1 -0.4 -0.4]
A =
1 1 1
6/5 3/2 2
1 -2/5 -2/5
>> b=[42000;64000;0]
b =
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