SISTEMAS DINÁMICOS: CAPITULO 1- REPRESENTACIONES DE SISTEMAS
Ing. Gerardo Becerra, M.Sc.
Representaciones de sistemas
Objetivos: 1. Utilizar datos, indicios e información para formular las
ecuaciones de un sistema (CDIO 2.1.1.1)
2. Describir las abstracciones necesarias para definir y modelar un sistema. (CDIO 2.3.2.1)
3. Identificar las interfaces esenciales entre los elementos del sistema (CDIO 2.3.2.3)
4. Identificar sistemas propios según una disciplina y sistemas con interacción entre áreas (CDIO 2.3.2.4)
G. Becerra -Ene-2015 2
Contenido
Semana # 1 (3 horas) • Definir y clasificar sistemas • Definir las etapas para el estudio de sistemas • Definir variables de estado y plantear las
ecuaciones de estado: circuitos eléctricos. • Plantear modelos de sistemas variantes con el
tiempo
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Temas para repasar
• Descripción de sistemas en el dominio del tiempo y la frecuencia (Circuitos en frecuencia)
• Representación matricial de transformaciones lineales; valores y vectores propios (Algebra Lineal)
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Que es un sistema?
• Cualquier cosa se puede tratar como un sistema
• Sistema: conjunto de elementos interactuantes
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Que restricciones tiene un sistema?
Para que “cualquier cosa” se pueda estudiar formalmente como un sistema debe:
Las componentes internas o subsistemas, interactúan entre si.
Ser limitado: Las fronteras del sistema separan a las componentes internas del mundo externo.
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Que restricciones tiene un sistema?
Para que “cualquier cosa” se pueda estudiar formalmente como un sistema debe:
Tener un objetivo y un rendimiento medible
Interactuar con otros sistemas y el ambiente
Existir alguna relación causa – efecto y un cierto grado de estabilidad
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Sistema estático: sin memoria
• ESTÁTICO : las salidas actuales son el resultado de las entradas actuales únicamente.
• Se describe por ecuaciones algebraicas.
• Un sistema es sin memoria si y sólo si y(t) solo depende de u(t), para todo t
• y(t)= f{u(t) }
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Sistema dinámico
• DINÁMICO . las salidas actuales son el resultado de las entradas actuales y la historia pasada: tiene memoria.
• Se describe por ecuaciones diferenciales
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Entrada sencilla – salida sencilla (SISO)
• Un sistema se denomina SISO (Single Input Single Output) si tiene una sola variable de entrada y una sola variable de salida.
• Se emplean escalares
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Entrada múltiple – salida múltiple (MIMO)
• Un sistema se denomina MIMO (Multiple Input Multiple Output) si tiene varias variables de entrada y varias variables de salida.
• Se emplean vectores y matrices
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Sistema concentrado
• Un sistema concentrado sólo tiene como variable independiente al tiempo, se describe por medio de un conjunto finito de variables de estado
• Se describe por ecuaciones diferenciales totales.
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Sistema distribuido
• Un sistema distribuido tiene dos o más variables independientes, requiere un número infinito de variables de estado.
• Se describe por ecuaciones diferenciales parciales.
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Sistema continuo
• Un sistema es continuo en el tiempo si acepta como entradas señales continuas en el tiempo y genera como salidas señales continuas.
• Se describe por variables continuas y ecuaciones diferenciales
u(t) y(t)
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Sistema discreto
• Un sistema es llamado de tiempo discreto si acepta como entrada señales discretas en el tiempo y genera como salida señales discretas.
• Se describe por secuencias y ecuaciones diferencia
u(k t) y(k t)
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Linealidad - Superposición
• Un sistema es lineal si para los pares { x1(t0) , u1[t0 , ) } ======
{ x1[t0 , ) , y1[t0 , ) }
y { x2(t0) , u2[t0 , ) } ======
{ x2[t0 , ) , y2[t0 , ) }
y para todo , R , las siguientes relaciones
son validas:
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Linealidad - Superposición
1. Aditividad: {x1(t0) + x2(t0) , u1[t0 , ) + u2[t0 , ) }
{x1[t0 , ) + x2[t0 , ) , y1[t0 , ) + y2[t0 , )}
2. Homogeneidad { x1(t0) , u1[t0 , ) } ====== { x1[t0 , ) , y1[t0 , ) }
En caso contrario el sistema es no lineal.
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Sistema lineal
Bajo que condiciones es lineal? Puede ser no lineal?
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Sistema no lineal
Cómo es la relación volumen vs nivel?
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Invariancia
• Un sistema es invariante con el tiempo si dado un estado inicial y una entrada:
{ x(t0) , u[t0 , ) } ==== { x[t0 , ) , y[t0 , ) } y para cualquier tiempo τ R: { x(t0 + τ) , u[t0 + τ, ) } { x[t0 + τ, ), [t0 + τ, ) } • De lo contrario el sistema es variante con el tiempo.
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Sistema invariante
Para que condiciones se puede considerar invariante?
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Sistema variante
Es independiente el voltaje de salida del tiempo?
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Causalidad
• Un sistema es causal si la salida en t = t0 depende de los valores de la entrada y de la salida para t t0.
• Un sistema no causal es anticipatorio: genera una respuesta antes de tener aplicada una entrada.
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Ejemplo 1
• Clasificar los sistemas descritos por:
)(
)(
)(
01
243
)(
)(
3
2
1
2
1
tu
tu
tu
tty
ty
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dtuety
tutytyety
t
t
t
)()(
)()()(3)(
0
Ejemplo 1
• La característica entrada – salida describe un sistema lineal?
Existe representación matemática para la curva de histéresis?
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Parámetros físicos
• Unidades, dimensiones y rangos. • Constantes: parámetros físicos del sistema,
generalmente son desconocidas o poco definidas y por lo tanto se deben encontrar por medio de un proceso de identificación de sistemas.
• Variables: describen el comportamiento del sistema respecto al tiempo: las excitaciones son externas y conocidas a priori, las salidas y los estados internos se deben determinar.
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Variables
• Variables de “esfuerzo”: asociadas con la capacidad de desarrollar un trabajo. Se pueden representar en general por la letra e
• Variables de “flujo”: asociadas con el movimiento de masa. Se pueden representar por la letra f.
• Para la descripción de los componentes se requieren dos variables una de esfuerzo y otra de flujo.
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Variables
SISTEMA ESFUERZO e(t) FLUJO f(t)
Eléctrico Voltaje v(t) – (V) Corriente i(t) - (A)
Mecánico Traslación Fuerza f(t) – (N) Velocidad v(t) – (m/s )
Mecánico Rotación Momento o Torque τ(t) –
(N-m)
Velocidad angular – ω(t)
– rad/s
Hidráulico Presión p(t) – (Pa) Tasa de flujo, f(t) – (m3
/s)
Térmico Temperatura T(t) – (°𝐶) Flujo de calor Q(t) – (J/s)
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Constantes
Parámetros físicos del sistema, generalmente son desconocidas o poco definidas y por lo tanto se deben encontrar.
• Por medición directa.
• Por información de los fabricantes: especificaciones, curvas etc.
• Por un experimento de identificación de sistemas.
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Modelo matemático
Es un conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema y que se obtienen a partir de las leyes de interconexión, las leyes de los elementos y de los principios físicos fundamentales. A partir del modelo se puede analizar la respuesta, evaluar parámetros de funcionamiento y diseñar los sistemas de control requeridos para modificar a voluntad la respuesta dinámica del sistema.
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Que es modelar un sistema?
• Es PLANTEAR un conjunto de ecuaciones que describen su comportamiento.
• A partir de principios básicos.
• El modelo permite analizar la respuesta, evaluar parámetros de funcionamiento y diseñar los sistemas de control requeridos para modificar a voluntad la respuesta dinámica del sistema.
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Que se necesita para el modelo?
• Definir las fronteras • Definir las relaciones con los demás
subsistemas y el ambiente • Plantear un modelo • Distinguir entre el sistema real y el
modelo • Todo modelo es una aproximación de la
realidad y se pierden detalles importantes.
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Desarrollo de modelos
ES ADECUADO?
VERIFICAR
SOLUCIONAR
PLANTEAR ECUACIONES
DESCOMPONER
DEFINIR
NO
REVISAR
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Definir
• Objetivo del análisis.
• Requerimientos del análisis
• Delimitar el alcance
• Dividir el problema en el sistema de interés y su entorno.
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Descomponer
• Identificar los componentes, numerarlos y plantear los diagramas de cuerpo libre que muestran las entradas, salidas y las interacciones internas y externas.
• Identificar todos los parámetros y variables necesarias, sus convenciones y orientaciones.
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Plantear
• Definir el tipo de formulación: entrada – salida o variables de estado.
• Escribir las relaciones entrada / salida de los componentes individuales.
• Plantear las ecuaciones del sistema a partir de las leyes de interconexión y de conservación.
• Plantear ecuaciones independientes.
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Solucionar
• Dominio del tiempo
• Dominio transformado (s, jw, z)
• Solución analítica.
• Solución numérica.
• Linealización
• Simulación
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Verificar
• Punto de equilibrio.
• Variables dentro del rango dinámico.
• Balance de energía.
• Balance de masa.
• Validez suposiciones
• Ajustar parámetros, si es necesario
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Modelos sistemas LIT
• Entrada –salida: ecuación que describe la variable de salida de interés (y) en función de las entradas (u) • Dominio tiempo:
• Sistemas continuos: ecuación diferencial
• Sistemas discretos: ecuación diferencia
• Dominio frecuencia: relación algebraica (función de transferencia): • Sistemas continuos: variable s o jω
• Sistemas discretos: variable z
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Modelo: Entrada - salida
• Ecuación Integro – Diferencial lineal de coeficientes constantes:
• Lineal
• Coeficientes constantes (invariante)
ubdt
udb
dt
udbya
dt
yda
dt
yda
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n 01
1
101
1
1 .........
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Función de transferencia
• La transformada de Laplace de la ecuación integro – diferencial, con condiciones iniciales nulas (estado cero) lleva a:
01
1
1
01
1
1
01
1
1
01
1
1
.....
.....
)(
)()(
)(...
)(...
asasasa
bsbsbsb
sU
sYsH
sUbsbsbsb
sYasasasa
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
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Espacio de estado
• El estado de un sistema en el tiempo t0 es la mínima cantidad de información que junto con la entrada u[t0 , ) determinan la respuesta del sistema para todo t ≥ t0.
• El estado resume la información pasada requerida para determinar el comportamiento futuro del sistema.
• Se definen variables de estado en sistemas con almacenamiento de energía; no aplica para sistemas instantáneos.
42 G. Becerra -Ene-2015
Espacio de estado
• Conjunto finito de ecuaciones de la forma:
• f y h son funciones vectoriales:
qpn
tttt
)(ttttt
yux
uxhy
xxuxfx
,,
))(),(,()(
))(),(,()( 00
qpn
npn
:
:
h
f
43 G. Becerra -Ene-2015
Espacio de estado
• Para discreto:
• Los sistemas se pueden representar por:
))(),(,()(
)( )(),(,()1( 00
kukxkhky
xkxkukxkfkx
qjuuuxxxthy
nixtxuuuxxxtfx
pnjj
iipnii
...2,1 );...,;....,;(
...2,1 )();...,;....,;(
2121
002121
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Espacio de estado
• En notación matricial:
• X es el vector de estado, U el vector de entradas y Y el vector de salidas:
qpn
npn
t
tt
:
:
),(
)( ),( 00
H
F
UX,HY
XXUX,FX
qpn YUX ,,
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Espacio de estado
• X (t) vector de variables de estado del sistema (n x 1) • A (t) matriz del sistema (n x n) • B (t) matriz de entrada (n x p) • U (t) vector de variables de entrada (p x 1) • Y (t) vector de variables de salida (q x 1) • C (t) matriz de salida (q x n) • D (t) matriz “hacia delante” (q x p)
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Espacio de estado4
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Espacio de estado
• Se asocia una variable de estado con cada elemento de almacenamiento de energía
• Selección no es única
• El conjunto de variables de estado debe ser linealmente independiente.
• Sistema LIT: A, B, C, D son constantes
• La representación de estado se puede emplear para sistemas: lineales, no lineales, variantes, invariantes, continuos, discretos, SISO y MIMO
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Variables de estado circuitos eléctricos
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Ejemplo 2
• Plantear el conjunto de ecuaciones de estado que describe al sistema. Tomar como salida
2Rv
50 G. Becerra -Ene-2015
Ejemplo 3: Sistema variante
• Plantear las ecuaciones de estado para un sistema Lineal Variante con el tiempo.
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Ejemplo 45
• Plantear el modelo de estado.
• Variable de salida voltaje sobre R = 1Ω
• Variables (v,i)
• Variables (q,φ)
• Qué relación existe entre las representaciones?
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Referencias
1. CHUA Leon, DESOER Charles, KUH Ernest. Linear and Nonlinear Circuits. New York. McGraw-Hill. International Edition 2000.
2. CHEN Chi-Tsong. Linear Systems Theory and Design. 3rd Edition. New York: Oxford University Press. 1999.
3. CLOSE Charles, FREDERICK Dean and NEWELL Jonathan. Modeling and Analysis of Dynamic Systems. 3rd Edition. New York: John Wiley & Sons. 2002.
4. Carl H. Durney STATE-SPACE METHOD CIRCUITS Matlab® TUTORIAL.
5. Eytan Modiano State Variable Description of LTI systems
53 G. Becerra -Ene-2015
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