SISTEMAS LINEALES ITRANSFORMADAS DE FOURIER
IndiceIntroduccin De la SCF a la TFCondiciones de DirichletTransformada de una Seal CausalTransformada de la Funcin del SistemaEspectros de EnergaPropiedadesTransformadas de Fourier de Seales de PotenciaEstado estacionario
Introduccin Una de las caractersticas principales de los sistemas es su espectro de frecuencia anteriormente analizado con los espectros discretos por medio de SCF y CnUna de las restricciones a este anlisis es la periodicidad de la seal. Pero no todas las seales son peridicas.Es interesante sino muy importante saber el comportamiento de un sistema a una seal que tiene un espectro caracterstico y a otras con formas diferentes Este anlisis se lo puede realizar a partir de el la Transformada de Fourier
De la SCF a la TFDe la representacin de la SCFSi dilatamos la funcin peridica f(t)
De la SCF a la TFSi reemplazamos la definicin de Cn en f(t)
De la SCF a la TFDe la representacin de la SCF
Esta expresin es la llamada la integral de Fourier y se entiende mejor si separamos las integrales
Donde y son llamadas transformada directa e inversa de Fourier respectivamente
De la SCF a la TFLa notacin utilizada para representar estas integrales son
Como la F(w) es una funcin compleja puede separarse en su parte real e imaginaria como
De la SCF a la TFAs mismo por su forma compleja F(w) puede representarse por su Magnitud y Fase
donde
Las graficas de |F(w)| y (w) son llamados espectros continuos de Magnitud y Fase
Condiciones de DirichletNo todas las funciones se pueden representar por la integral de Fourier como en las series de Fourier estas deben cumplir ciertas condiciones llamadas de Dirichlet f(t) debe ser absolutamente integrable
f(t) debe tener un nmero finito de mximos y mnimos en cualquier intervalo finitof(t) debe tener un nmero finito de discontinuidades finitas en cualquier intervalo finitoLamentablemente estas condiciones excluyen a las seales peridicas y paso pero afortunadamente con la inclusin de la funcin impulso sean posible su anlisis como seales de energa
Resultados interesantes Transformada de un pulso rectangular
Resultados interesantes Transformada de un pulso rectangular trasladado La nica diferencia se encuentra en la grfica de su fase ya que el traslado introduce un exponencial complejo
El ejemplo muestra la relacin inversa entre T y w
Resultados interesantes Una relacin analtica que muestra este efecto es
Esta relacin se la puede entender como duracin y ancho de banda equivalentes
Resultados interesantes La simetra de la funcin puede causar resultados interesantes al analizar las integrales y utilizar los criterios de ortogonalidad
si f(t) es par entonces ser real Pura F(w) y si es impar ser puramente Compleja
Resultados interesantes Hallar la transformada de Fourier delas siguientes funciones y grficar su espectro de magnitud y fase
Transformada de una Seal CausalAl analizar una funcin causal f(t) puede ser escrita como
de la misma manera se puede demostrar que
Tambin se puede demostrar que fp(t) se puede calcular a partir de Fp(w) lo mismo que fi(t) de Fi(w) implica que
Transformada de una Seal CausalPor otro lado
Estos resultados nos permiten definir las transformadas seno y coseno de Fourier
Transformada de una Seal CausalEjercicioCalcular la transformada coseno y seno de
Resp:
Transformada de la Funcin del SistemaSea un sistema mostrado en la figura
La relacin entrada salida esta dada por la convolucin
Si aplicamos a esta relacin la transformada de Fourier se puede demostrar que
Donde H(w) es llamada Funcin de transferencia o respuesta de frecuencia del sistema Estos resultados son muy tiles para el estudio de Sistemas Lineales y Dinmicos
Transformada de la Funcin del SistemaModelos de dispositivos dinmicos y no dinmicos
Transformada de la Funcin del SistemaEjemplo Circuito RC
Luego de aplicar las impedancias equivalentes en el dominio de la frecuencia se analiza el circuito como uno resistivo
Transformada de la Funcin del SistemaEs comn dibujar el espectro de magnitud en una escala logartmica con la siguiente notacin
Que para el ejemplo anterior
Por lo tanto
Espectros de EnergaEs interesante analizar el clculo de el espectro de energa de una seal en el dominio de la frecuencia donde se puede demostrar que:
As tambin la energa de la respuesta de un sistema puede ser representado como
Donde se puede deducir que la energa asociada a la salida de un sistema es proporcional a la entrada y ese factor de proporcionalidad es
Por ello muchas veces se la llama funcin de transferencia de energa
Propiedades
LinealidadEscalamiento
Retardo
Modulacin
Simetra
Derivada
Convolucin
Correlacin
Transformadas de Fourier de Seales de PotenciaComo seales peridicas tenemos
Estado estacionarioUn Sistema en el cual se desea analizar la respuesta a una entrada senoidal en su estado estacionario, es posible utilizando las tcnicas de las TF
si
Estado estacionarioContinua
Por lo tanto basta conocer la funcin de H(w) para saber la respuesta y(t)
Ejemplos En el siguiente circuito determinar la corriente en el inductor y la potencia promedio
Ejercicios
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