3rES
O
SOLUCIONARI DELLLIBRE DE L’ALUMNE
Matemàtiques PIRÀMIDE
3
1. Els nombres naturals
Pàgina 6
1. a) 70. b) 70.000. c) 70.000 i 7. d) 70.000, 700 i 70.
2.
3. a) 245.000. b) 32.470. c) 86.000. d) 293.000. e) 40.000. f) 790.000.
4. a) 11, 11 i 17. b) 44, 66 i 9. c) 5, 6 i 72. d) 6, 57 i di-visor 16, residu 1.
5. a) 14. b) 70. c) 15. d) 210. e) 17. f) 17. g) 20. h) 20. i) 420. j) 280.
6. a) 5 · 6 + 5 · 3 = 45. b) 4 · 5 – 4 · 3 = 8. c) 6 · 12 + 6 · 4 = 96. d) 7 · 9 – 7 · 3 = 42. e) 5 · 2 + 5 · 6 – 5 · 4 = 20. f) 5 · 4 + 6 · 4 – 2 · 4 = 36.
7. a) 4 · (6 + 7) = 52. b) 2 · (4 · 7 + 5 · 3) = 86. c) 3 ·(5 + 9) = 42. d) 7 · (6 – 9) = –21. e) 6 · (2 + 5) = 42.f) 3 · (5 + 4 – 7) = 6
2. Els nombres enters
Pàgina 7
8. –9 < –6 < –4 < 0 < + 1 < + 2 < + 3 < + 6 < 12.9. + 7 > + 5 > + 3 > + 1 > 0 > –1 > –2 > –4 > –6.
10. a) –3. b) + 4. c) –8.
11. a) 6. b) 3. c) 7.
12. a) 2. b) –11. c) –2. d) –8. e) 4. f) –2.
13. a) –3. b) –11. c) 7. d) 7. e) 1. f) –5.
14. a) –15. b) 12. c) –8. d) 24. e) 3. f) –8.
15. a) 1. b) –8. c) 20. d) –2. e) 8. f) 24.
16. a) 5. b) 3. c) 6. d) 0. e) 0. f) No té sentit, el resultatés infinit.
3. Divisibilitat
Pàgina 8
17. Nombres primers: 7, 13, 67, 23.Nombres compostos: 6, 9, 26, 35, 80, 21.
18. a) 45 = 32 · 5. b) 34 = 2 · 17. c) 135 = 33 · 5. d) 86 = 2 · 43.
19. a) m. c. m. = 120; m. c. d. = 10.b) m. c. m. = 300; m. c. d. = 5.c) m. c. m. = 60; m. c. d. = 6.
4. Els nombres fraccionaris
Pàgines 8-9
6 21 3 2 12 4 6 1820. = = ; = = ; = .
8 28 4 5 30 10 11 33
7 7 121. a) . b) . c) .
5 8 4
29 11 7 1 13 1122. a) . b) . c) . d) . e) . f) .
21 10 15 24 12 60
4 5 1 4 1 223. a) . b) . c) . d) . e) . f) .
25 18 10 35 6 7
15 10 4 1824. a) 2. b) 3. c) . d) . e) . f) .
4 9 5 5
5. Els nombres decimals
Pàgines 9-10
25. a) Decimal exacte. b) Decimal periòdic pur. c) Irra-cional. d) Decimal periòdic mixt.
26. a) 78,368. b) 94,033. c) 9,736. d) –30,77. e) 69,556.f) 110,53. g) 12,27. h) 65,27.
27. a) 114. b) 131,3589. c) 41,1069. d) 0,10995. e) 163,8. f) 459,661. g) 2.217,25. h) 259,82154.
28. a) 2,11. b) 4,54. c) 7,69. d) 8,03.
29. a) 2,87. b) 33,66. c) 170,02. d) 4,69.
30. a) –1,97. b) 2,70. c) –1,40. d) –0,29.
6. Potències i arrels
Pàgina 10
31. a) 243. b) 64. c) 32. d) 2.401.
32. a) 625. b) 8. c) –343. d) 81.
33. a) 12,96. b) 143,48907. c) 0,0625. d) 79,507.
243 2734. a) . b) . c) –8.
1.024 8
35. a) � 12. b) � 25. c) � 100.
36. a) 9. b) –4. c) � 7.
7. Operacions combinades
Pàgina 11
37. a) 9. b) –5.
38. a) 12,8. b) 23,2.
6 27 22 139. a) . b) . c) . d) – .
5 56 15 18
40. a) 4. b) –31. c) 42. d) –25. e) 88.
8. Els percentatges
Pàgina 11
41. a) 31,2. b) 1.344.
42. 1.240,8 euros.
43. 27 euros.
44. 7,14 %.
REPASSO EL QUE SÉ
UM CM DM UM C D U
236.391 0 2 3 6 3 9 1
2.805.392 2 8 0 5 3 9 2
5.307 5 3 0 7
1.389.642 1 3 8 9 6 4 2
4
Pàgina 12
1. De dalt a baix i de dreta a esquerra:
1 1 1 1 1 1, , , , , .
30 14 28 12 10 24
2. a) 8,33 g. b) Nombre decimal periòdic pur.
Exploro
Pàgina 13
1. 1. Per exemple:– 64 m2 = superfície d’un quadrat de 8 m de cos-
tat.– 3/4 = tres quartes parts d’un pastís.– –273 ºC = zero absolut de temperatures.– � m = longitud d’una circumferència d’1 m de
diàmetre.– 0 = resultat de sumar dos nombres oposats.– XXI = segle actual.– 0,75 = tres quartes parts de la unitat.2. 17,86.3. Sí, 0,75 és l’expressió decimal de la fracció 3/4.4. Sí, perquè el centímetre equival a la centèsima
part del metre.
1 12. 1. , .
8 24
3 5 12. A. . B. . C. .8 8 8
Respecte del conjunt: 3/8.3. 15,625 g.
3. a) 0 km/h: cotxe aturat.b) 0 km: origen de la carretera.c) Temperatura de 19 ºC, equivalent a 66 ºF.d) Regle graduat de 30 cm; cada centímetre està
dividit en 10 mm.
1. Els nombres: usos i tipus
Pàgines 14-15
De consolidació
1. a) Fraccionària. b) Radical. c) Enterodecimal.d) Fraccionària. e) Fraccionària. f) Fraccionària.g) Potencial. h) Científica.
2. El c), el d), el g) i l’h), que són, respectivament, el6, el 100, el 8 i el 6.500.000.
3. Tots menys l’e).
4. a) 9/3. b) 30/2. c) –14/2. d) 64/2.
De raonament i comunicació
5. Resposta model:– Nombres naturals: nombre de punts que anota
un jugador, nombre d’habitacions d’un pis.– Nombres enters: número de planta d’un hospital,
anys de l’Imperi Romà.
– Nombres racionals: Parts referides a un total departs: de superfícies, de longituds...
6. Perquè s’apliquen directament a qualsevol nom-bre.
7. En comprovar les vegades que es repeteix la uni-tat de mesura o un tipus d’objecte: 4 cm, 5 llapis...
8. Quan s’expressen quantitats molt petites o moltgrans.
D’aplicació
9. Són nombres enters.
10. a) A. Pitàgores. B. Tales. C. Arquimedes. D. Eucli-des.
b) A: 88 15 62 21 88 15 62 50 31 19 21 25b) B: 63 18 45 50b) C: 27 18 88 39 64 21b) D: 88 19 43 62 50 87 43 50 63 15 63 50 18
2. Els nombres racionals
Pàgines 16-17
De consolidació
11. Racionals positius: a), b), c), e) i f).Racionals negatius: d), g) i h).
12. Representació dels nombres indicats a la rectanumèrica, dividint cada unitat en 6 parts.
13. a) 3/2. b) –4/9. c) –5/12. d) –6/7.
14. a) –7/4. b) 14/3. c) 3/8. d) –9/4.
15. a) 23/20. b) 27/35. c) 6/35.
De raonament i comunicació
16. Sí, es pot expressar en forma d’infinites fraccions:0/1, 0/2,...
17. Els nombres enters expressen quantitats positivesi negatives sense decimals; els nombres racionalspermeten expressar parts de quantitats enteres.Tots els enters són racionals, però no tots els ra-cionals són enters.
D’aplicació
18. a) 36/37. b) 10/18; 0,55... c) N’hi ha 11; 11/37. d) 1.Vermell. 2. Negre. 3. Vermell...
3.Tipus de nombres racionals
Pàgines 18-19
De consolidació�� �� ��
19. a) 0,571428 b) 0,5. c) 0,3 d) 0,4
20. a) 453/100. b) 298/100. c) 150/100. d) 1/100.
21. a) i d): periòdics; b) i c): finits.
De raonament i comunicació
22. En exhaurir-se els dígits de la calculadora, l’últimaxifra decimal s’arrodoneix.
��23. No; el període de 7/13 té 6 xifres: 538461
24. a) Decimals finits. b) i c) Decimals periòdics.
1. NOMBRES RACIONALS I IRRACIONALS
5
D’aplicació
25. a) Respecte de les 0 h: A. 1/4, B. 1/2, C. 2/3, D. 11/12.Respecte de les 2 h: A. 1/12, B. 1/3, C. 1/2, D. 3/4.
��b) Respecte de les 0 h: A. 0,25, B. 0,5, C. 0,6,��D. 0,916.
�� ��b) Respecte de les 2 h: A. 0,083, B. 0,3, C. 0,5,D. 0,75.Són decimals finits: 0,25, 0,5 i 0,75.
�� ��Són decimals periòdics purs: 0,6 i 0,3.�� ��Són decimals periòdics mixtos: 0,916 i 0,083.
c) 1/48.
4. Aproximació i error
Pàgines 20-21
De consolidació
26. a) 5,34. b) 8,47. c) 25,35.
27. a) 6,2. b) 3,7. c) 2,8.
28. a) 0,38. b) 0,88. c) 1,14. d) 0,42.
29. a) EA = 1/300. b) ER = 1/50.
De raonament i comunicació
30. 0,48; 0,28; 0,4. És més precís l’arrodoniment, ensacostem més al valor real.
D’aplicació
31. a) A. 0,3 L, periòdic. B. 0,2 L, finit. C. 0,375 L, finit.D. 0,25 L, finit.
b)
c) 1,2 L; 1,2 L; obtenim el mateix resultat si estracta d’una suma.
5. Els nombres reals: racionals i irracionals
Pàgines 22-23
De consolidació
32. Racionals: a), b), c), e) i g). Irracionals: d), f) i h).
33. Racionals: b), d) i f). Irracionals: a), c) i e).
34. a) 1,73. b) 2,24. c) 3,46. d) 3,87.
35. Pot ser la diagonal d’un rectangle de 2 cm d’ampleper 1 cm d’alt.
De raonament i comunicació
36. És irracional, no hi ha cap grup de xifres decimalsque es repeteixi periòdicament.
37. 2; 3�3 . a) Sí. b) No.
D’aplicació
38. a) 40.010 km. b) 0,0446; 4,46 %. c) 38.226 km.d) No és massa precisa; l’error relatiu és d’un 4,46 %.
Activitats de consolidació
Pàgines 24-26
1. Els nombres: usos i funcions
1 1 1 239. a) 3 . b) 3 . c) 5 . d) 4 .
5 4 2 3
40. a) 17/5. b) 17/3. c) 9/2. d) 16/7.��
41. a) 0,3. b) 14,3 . c) 16. d) 7. e) 25. f) 2,23606...g) 4.300. h) 2. i) 1,5707... j) 0,4330... k) 3/2. l) 0,001.
42. a) 2 · 103. b) 3 · 108. c) 4,53 · 10. d) 5,5 · 106. e) 6,359 · 102. f) 4,35 · 108.
2. Els nombres racionals
43. a) 1/4. b) 1/4. c) 3/16. d) 1/2. e) 1/2. f) 3/8.
44. a) –1/5. b) 1/5. c) 32/21. d) –62/35. e) –41/21. f) –21/20.
45. a) –29/60. b) –26/15. c) 11/36. d) –223/180.
46. a) 1/2. b) –4/5. c) –9/2. d) 7/9. e) –1/2. f) 8/9.
47. a) 23/15. b) 3/8. c) 49/120. d) 11/20.
48. A = –10/3; B = –5/3; C = 5/3; D = 10/3; E = 13/3. E > D > C > B > A.
49. a) 1/6 L. b) 1/4 L. c) 1/10 L.
3. Tipus de nombres racionals
50. a) Finit. b) Finit. c) Periòdic pur. d) Periòdic mixt. e) Finit. f) Periòdic mixt.
51. Enters: d). Decimals finits: b). Decimals periòdicspurs: a), e) i g). Decimals periòdics mixtos: c), f) i h).
4. Aproximació i error
52.
53. a) 1,1; 7/6; ER = 2/35. b) 0,8; 9/11; ER = 1/45. c) 0,7;1; ER = 3/10. d) 0,4; 13/36; ER = 7/65.
5. Els nombres reals: racionals i irracionals
54. Racionals: a), c) i d). Irracionals: b).
55. En els casos a) i c).
56. x = �2; y = �3; z = 2.
57. Representació gràfica de �7, �8, �10.
58. Si la retornem a l’urna, obtindrem un nombre irra-cional; si no la retornem, un nombre racional.
6. Problemes
59. 0,01 s.
60. 3/5 parts.
61. a) 800 m2. b) 2/5.
62. 9/20.
63. 55,2 %.
7. Per anar més enllà
64. a) 19/3. b) 52/9. c) 731/90.
Arrodon. dècimes
Arrodon.centèsimes
ER
A 0,3 0,33 1/10, 1/100
B 0,2 0,20 0, 0
C 0,4 0,38 1/15, 1/75
D 0,3 0,25 1/5, 0
Fracció Apr. 1 EA ER Apr. 2 EA ER
1/3 0,3 1/30 1/10 0,33 1/300 1/100
2/11 0,2 1/55 1/10 0,18 1/550 1/100
3/8 0,4 1/40 1/15 0,36 3/200 1/25
5/11 0,5 1/22 1/10 0,45 1/220 1/100
6
�� �� ��65. a) 0,416 min. b) 0,83 min. c) 0,583 min. d) 0,2 min.
�� �� ��e) 0,3 min. f) 0,916 min. g) 3,75 min. h) 2,3 min. i) 5,25 min.
66. a) Periòdic pur. b) Periòdic pur. c) Periòdic mixt odecimal finit. Si el denominador d’una fracció irre-ductible no conté el factor 2 ni el factor 5, el valorde la fracció és un nombre periòdic pur. En cascontrari, s’obté un nombre decimal finit o un nom-bre decimal periòdic mixt.
67. a) 57/144. b) 9/24. c) 1/6. d) 7/48. Les respostes cor-responen als angles convexos.
Activitats d’aplicació
Pàgines 27-29
68. 1. El percentatge del titular s’ha aproximat per trun-cament a les unitats.
2. ER = 6/286.3. Facturació: 84.843 milions d’euros.
Beneficis: 1.003 milions d’euros.
69. 1. 20/27; 20/27 · 20/27 = 400/729.2. 740,7 cm3; 548,7 cm3.
70. 1. Sis respostes correctes.2. Maria: 36 p.; Joan: 24 p.; Jaume: 28 p.3. Núria: 9; 3. Carles: 7; 5. Júlia: 9; 8.
71. 1. Piques de la primera fila: 1/2, 1/2.Piques de la segona fila: 1/4, 1/2, 1/4.Piques de la tercera fila: 1/8, 3/8, 3/8, 1/8.
2. 1,25 L/min, 3,75 L/min, 3,75 L/min i 1,25 L/min.
72. 1. Els temps que dura una negra són:
2. a) 381 n/min; sí.b) A. 159 n/min; B. 208 n/min; C. 257 n/min.
73. 1. a) 1/5 + 1/5. b) 1/2 + 1/4 + 1/20. c) 1/3 + 1/3 + + 1/6. d) 1/2 + 1/10.
2. 1/2 + 1/6.3. a) 24/35 = 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/35 + 1/35 +
+ 1/35 + 1/35. b) 19/28 = 1/2 + 1/28 + 1/28 + + 1/28 + 1/28 + 1/28.
74. 1. a)
b) 100/6 g de xocolata, 300/6 g de nata, 50/6 g deiogurt i 50/6 g de sucre glacé.
c)
2. Informació nutricional per a 100 g de gelat: glú-cids: 33,24 g; lípids: 14,24 g; proteïnes: 2,3 g.
3. a) 270,32 kcal; 225,27 kcal.b) QDR: 313 –375 g glúcids; 83,3 g lípids i 132,5– 195 g de proteïnes.c) %: glúcids: 10,6; lípids: 17,1; proteïnes: 1,7.
Jocs i enigmes
Pàgina 30
Estrella de nombres
Quadrat màgic
RellotgesLa busca de les hores retrocedeix dues hores cadavegada, la dels minuts avança cinc, deu, quinze,vint minuts, i la dels segons avança vint segons.
PatróA cada esfera es genera un nou punt verd: el pri-mer es genera a les 12, el segon a les 2 (esfera b),el tercer a les 4 (esfera c), el quart a les 6 (esferad), i el cinquè es genera a les 8. Simultàniament, acada nova esfera els punts ja existents retrocedei-xen cinc minuts. Per aquest motiu, a l’esfera 5 elnou punt generat a les 8 se superposarà amb elpunt situat a les 9 que retrocedirà cinc minuts.Aquesta cinquena esfera queda així:
Temps Segons
Largo 1,5 s
Lento 1,15 s
Adagio 1 s
Andante 0,87 s
Moderato 0,71 s
Temps Segons
Allegreto 0,6 s
Allegro 0,5 s
Vivace 0,42 s
Presto 0,38 s
Prestissimo 0,33-0,25 s
Ingredients kg (fracció) kg (nombre)
Xocolata blanca 1/10 kg 0,1 kg
Nata líquida 3/10 kg 0,3 kg
Iogurt 1/20 kg 0,05 kg
Sucre 1/20 kg 0,05 kg
Ingredients grams/persona ER (%)
Xocolata blanca 16,67 g 0,02
Nata líquida 50,00 g 0
Iogurt 8,33 g 0,04
Sucre 8,33 g 0,04
1
10
11
45
6
12
3
2
8
7
9
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
7
Pàgina 32
1. 26 = 64 cm2; 210 = 1.024 cm2.
2. 250 · 55 = 781.250 individus.
Exploro
Pàgina 33
1. 83 = 512 tomàquets.
2. 1. 22; 23; 225.2. b)
3. 1. 26 cubs.2. 6 cm.3. 8 cm3.
1. Les potències
Pàgines 34-35
De consolidació
1. a) 8. b) 5. c) 0. d) 46.656. e) –243. f) 25. g) –25.h) –128.
2. a) 77 = 823.543. b) (–3)5 = –243. c) (–2)6 = 64. d) 7.e) (4/10)3 = 8/125. f) –3. g) (–2/4)2 = 1/4. h) 353 == 42.875. i) (–12)2 = 144. j) 52 = 25. k) (3/10)2 = = 9/100. l) (5/3)4 = 625/81.
3. a) 59. b) 314. c) (–2)6.
4. a) 15.625. b) 1.728. c) 4.096. d) 40.353.607.
De raonament i comunicació
5. No, hi ha infinites possibilitats; l’única condició ésque l’exponent del numerador sigui superior enuna unitat a l’exponent del denominador. Perexemple, 518/517 = 5.
6. Per indicar que multipliquem dues vegades la ba-se.
2. Potències d’exponent enter
Pàgines 36-37
De consolidació
7. a) 1. b) 1. c) 1. d) 3.
8. a) 1. b) 1. c) 1. d) 1.
9. a) 1. b) 1. c) 2. d) 1. e) 1. f) 1.
10. a) 1/125. b) 1/49. c) 81/2.401. d) –1/32. e) 1/729.f) 1/81. g) –1/81. h) 1/100. i) 27. j) 4/225. k) –27. l) –1.
11. a) 1/625. b) 1/64. c) 1/729. d) 49. e) 2.176.782.336.f) 625. g) 1/46.656. h) 81. i) 4.096.
De raonament i comunicació
12. a) Sí. b) Sí. c) No. d) Sí.
13. a) (1/10)1 = 0,1. b) (1/10)2 = 0,01. c) (1/10)3 = 0,001.d) (1/10)8 = 0,00000001.
D’aplicació
14. a) Corxera: 2–1; semicorxera: 2–2; fusa: 2–3; semi-fusa: 2–4. b) Blanca: 2; rodona: 22. c) 20. d) A. 22; B.2–3; C. 20; D. 2–1.
3. La notació científicaPàgines 38-39
De consolidació
15. a) 104. b) 106. c) 103. d) 108. e) 10–3. f) 10–5. g) 10–4.h) 10–3.
16. a) 10.000.000. b) 100.000.000.000.c) 1.000.000.000. d) 0,0001. e) 0,00000001.f ) 0,0000000001. g) 0,001. h) 0,000001.i ) 0,0000000001. j) 0,1. k) 0,0001. l) 1.000.
17. a) 3,4 · 107. b) 7,7833 · 108. c) 1,2103 · 104.
d) 2,3 · 10–3. e) 3,45 · 10–4. f) 3 · 10–10.
18. a) 3,2 · 105. b) 1,37 · 108. c) 2 · 10–2. d) 1,26 · 105.
De raonament i comunicació
19. Es necessitaria espai per a 102 dígits; hauria de fer,aproximadament, 10 vegades la mesura de les pan-talles de les calculadores que utilitzem (10 dígits).
D’aplicació
20. a) 5 · 10–4 mm = 5 · 10–7 m. b) 3 · 10–3 cm = 30 m.
4. Les arrels
Pàgines 40-41
De consolidació
21.
22. a) � 6 b) � 11 c) 4. d) 5.
23. Exactes: �49, �8; no exactes: �24 , �3.
24. a) � 8 b) –7. c) 3. d) No existeix. e) � 10 f) No exis-teix. g) 6. h) –2. i) � 3.
25. a) Doble signe. b) No existeix. c) Signe positiu. d) Signe negatiu.
De raonament i comunicació
26. a) Sí. b) Sí. c) No. d) No.
27. a) �16 = � 2.
b) �8 = 2; �–8 = –2.c) No existeix l’arrel; cap nombre elevat a exponent
parell té signe negatiu. L’afirmació correcta seria:“Quan l’índex del radical és parell i el radicand ésnegatiu, no existeix solució”. �–36 � no existeix.
28. a) 144. b) 16. c) 343. d) a3. e) 7.776. f) 2n.
5. Operacions amb arrels
Pàgines 42-43
De consolidació
29. a) �9. �10 b) �7. �5 c) �4. �3.
30. a) �56. b) �15. c) �24.
2. POTÈNCIES I ARRELS
Radical �9 �81 �-32 �7a �bn �125b3
Índex 3 2 5 4 n 3
Radicand 9 81 -32 7a bn 125b3
3 5 4 n 3
3
4 4 3 3
3
5 3
3
4
8
�4 �6 �431. a) . b) . c) .
�9 �15 �26
1 7 3932. a) . b) . c) .
2 25 240
33. a) 7. b) 125. c) 3.
34. a) �64. b) �1. c) �–1.
1435. a) 12. �9 = 36. b) – �21. c) . �5. d) �6.
3
36. a) 5. �2. b) 3. �3. c) 10. �3. d) 5. e) 2. �3.f) 4. �2
Activitats de consolidació
Pàgines 44-45
1. Les potències
37.
38. a) 1/4. b) 125/343. c) 1/3. d) –27/125. e) 1.296/14.641. f) 3.125/100.000.
39. a) Falsa. b) Certa. c) Certa. d) Falsa.
40. a) 81. b) –1. c) –25. d) –64. e) –49. f) –1.000. g) 81.h) 64. i) 343.
41. a) 4/9. b) –125/27. c) –1/3.
42. a) 45 = 1.024. b) (–3)4 = 81. c) (1/2)6 = 1/64. d) c7.
43. a) 1.679.616. b) –125. c) 9/16.
44. a) 81. b) 12.
45. a) 353. b) (–6)5. c) 126.
46. a) 75 · 35. b) 22 · 52. c) (–9)3 · 53. d) (–7)2 · 52.
47. a) (–4/2)2 = 4. b) (15/9)2 = (5/3)2 = 25/9. c) (–6/3)3 = –8. d) (500/–1.000)4 = (–1/2)4 = 1/16.
a · b2 · c 5 a · b 5 a5 · b5e) = = .
b · c · d3 d3 d15
f) (5/4)–8 = 48/58.
48. a) (62)4. b) (24)2. c) (112)3. d) (152)5. e) –(34)3.
49. a) 9 m2. b) 4 estances. c) 1.728 ous. d) Per exem-ple, quin és el volum d’un cub de 7 cm d’aresta?
2. La notació científica
50.
51. a) 1,392 · 106 km. b) 1 · 1011 estrelles. c) 9,1 · 10–28 g.d) Entre 1 · 107 i 1 · 108 espècies. e) 1,4 · 107 or-ganismes. f) 1 · 10–4 mm.
52. 2,5 · 107 rajoletes.
5. Operacions amb arrels
53. a) 5. b) 6. c) –4. d) 3. e) –3. f) 2.
154. a) 2. b) 5/4. c) .
2 · �2
55. a) 1/25. b) –15. c) 4/25. d) 1/27. e) 2. f) a2 · b3 · c5.
56. a) �4. b) –1. c) No hi ha solució. d) 3. e) 1/2. f) b ·c · �a.
57. a) 3 ·�5. b) 6 · �2. c) 3 · �8. d) 5 · �5. e) –43. f) 4 · �10. g) 53 · �3. h) –20 �2.
58. 35 rajoles.
Activitats d’aplicació
Pàgines 46-47
59. 840 m.
60. Els rosers es disposaran en 21 files de 21 roserscadascuna.
61. 1. 18 · (4/3)5. 2. 18 · (4/3)100.
62. 1. 1 Mb = 220 b; 1 Gb = 230 b.2. EA = 24 b; ER = 3/128.3. a) 2,56 · 105 Mb. b) 524.288 fotos.
63. 1. Cub d’aresta 17,1 cm.2. Bilirubina en plasma: 400 g/100 cm3; iode en
plasma: 6 g/100 cm3; testosterona en plasma:0,5 g/100 cm3.
3. Glòbuls vermells: 2,35 · 1013; globuls blancs:3,5 · 1010; plaquetes: 1,375 · 1012.
4. a) 88,31 m3. b) Aproximadament, 41,5 %.5. 61,8 %.
64. 1. a)
b) Es poden calcular de forma aproximada mit-jançant la fórmula de la superfície de l’esfera(S = 4 · � · R2). Els resultats arrodonits són:
3
3
4
4
3 4
6
6 9 10
4
� � �
3
Base Exponent Potència Càlcul Resultat
3 2 32 3 · 3 9
5 4 54 5 · 5 ·5 · 5 625
–2 2 (–2)2 (–2) · (–2) 4
–7 3 (–7)3 (–7) · (–7) · (–7) –343
5 3 53 5 · 5 · 5 125
� �
� �
Territori Extensió (km2) ExtensióÀsia 44 · 106 44.000.000
Àfrica 31 · 106 31.000.000Amèrica del Nord 24 · 106 24.000.000Amèrica del Sud 18 · 106 18.000.000
Europa 11 · 106 11.000.000Oceania 9 · 106 9.000.000
Planeta R (km)Distància
al Sol (km)Distància alSol (N.C.)
Distància alSol (UA)
Mercuri 2.439 58.344.000 5,8344·107 0,39
Venus 6.052 107.712.000 1,077·108 0,72
Terra 6.378 149.600.000 1,496·108 1
Mart 3.398 227.392.000 2,274·108 1,52
Júpiter 71.492 777.920.000 7,779·108 5,2
Saturn 60.268 1.428.680.000 1,429·109 9,55
Urà 25.559 2.870.824.000 2,871·109 19,19
Neptú 24.764 4.502.960.000 4,503·109 30,1
5 7
4
4
9
2. a) 9,4608 · 1012 km.b)
c) 2,8 · 105 galàxies.3. a) VSol = 1,41155 · 1018 km3.
b) VTerra = 1,08581 · 1012 km3.c) mSol = 1,947 · 1030 kg.
Jocs i enigmes
Pàgina 48
L’1 i les potències111.1112 = 12.345.654.321111.111.1112 = 12.345.678.987.654.321
QuadratsCinc quadrats traient quatre escuradents:
Cinc quadrats traient sis escuradents:
Quatre quadrats traient 8 escuradents:
Dos quadrats traient vuit escuradents:
Anem a buscar aigua
1. Omplim el recipient de 5 litres.
2. Omplim el recipient de 3 litres amb el recipient de5 litres. Al recipient de 5 litres hi queden 2 litres.
3. Buidem el recipient de 3 litres i hi aboquem els doslitres del recipient de 5 litres.
4. Omplim el recipient de cinc litres i completem ambaquesta aigua el recipient de 3 litres, que ja en con-tenien 2. Així ens queden 4 litres al recipient de 5litres.
Planeta Superfície (km2)Mercuri 7,47 · 107
Venus 4,60 · 108
Terra 5,11 · 108
Mart 1,45 · 108
Júpiter 6,42 · 1010
Saturn 4,56 · 1010
Urà 8,20 · 109
Neptú 7,70 · 109
Estrella Distància (km)Alkaid 1,022 · 1015
Miza 5,582 · 1014
Alioth 5,866 · 1014
Megrez 6,15 · 1014
Phecda 7,096 · 1014
Merak 5,866 · 1014
Pubhe 7,096 · 1014
10
Pàgina 50
1. Aproximadament, 2,39 · 108 km.
2. Aproximadament, 5,80 · 109 km.
Exploro
Pàgina 51
1. a) 0,65 euros.b) Per exemple, 15 llapis i 6 retoladors, 11 retola-
dors i 8 llapis, 12 retoladors i 7 llapis, 13 retola-dors i 6 llapis.
c) 6 retoladors i 12 llapis.
2. a) 350 g. b) 150 g. c) 750 g. d) 450 g.
3.
1. El llenguatge algebraic
Pàgines 52-53
De consolidació
1. a) 215. b) –1.003.
2. a) –19. b) 8.
3. a) x/5. b) 2x + 25. c) 2x/3 + 10. d) 3x + x/2. e) 2x2 – 100.
4. a) 2x + 10 = 75. b) 2x/3 = x – 87. c) 3x + 1.875 = = 12.500.
De raonament i comunicació
5. A = 17 · a · b/2.
D’aplicació
6. a) (20b + 16a – 0,75) · m = psòcol.b) A = 72,5 · a · b.c) Es necessiten 72,5 rajoles de 0,2 m2 de superfí-
cie; les dimensions han de complir: a · b = 0,2.
2. Operacions amb expressions algebraiques
Pàgines 54-55
De consolidació
7. a) 2, 3, 1, 0. b) 3. c) –3. d) bc.
8. Per exemple, 2x2y2 + 3x2y – 8x/3 + 1.
9. a) 4. b) 8.
10. a) 5x + 15. b) 26m + 3. c) 13x/8 – 5.
11. a) 8x + 5y – 10. b) 8x + 14. c) 14a + 23.
11x+18 6d+21 10y+5112. a) . b) . c) .
15 8 6
De raonament i comunicació
13. a) Un terme; el grau de l’expressió és el grau delsumand o monomi de grau màxim.
b) No, en el cas que el terme tingui més d’una va-riable, no és necessari (per exemple, 2a2bc).
c) Que també és de grau 4.B+b
14. A = · h.2
a) És una expressió de grau 2.b) Sí; a totes les expressions es multipliquen dues
variables.c) V = � · r2 · h; grau 3; sí.
3. Igualtats i equacions
Pàgines 56-57
De consolidació
15. a) No són solucions. b) –3 és solució. c) –3 és so-lució. Les equacions b) i c) són equivalents.
16. Per exemple:a) 6x + 14 = 8x – 32; 3x + 10 = 4x – 13.b) 310 – 2x = 127 + 3x; 420 – 4x = 54 + 6x.c) 15x + 38 = 24x + 7; 30x + 76 = 48x + 14.
17. a) 22x + 9 = 3x. b) 10x + 11 = x. c) 4x – 29 = 10x.
18. a) 28x = 129. b) –9x = –178. c) 8x = 41. d) 15x/2 = 1.
9x+319. = x � 9x + 3 = 2x.
2x + 3 + 8x = 2x – 1 � 9x = 2x – 4.9x + 9 = 30 � 9x = 21.9x + 2 = 4 � 5x + 2 = 4 – 4x.11x – 10 = 8x + 2 � 3x – 10 = 2.
De raonament i comunicació
20. Sí, estem sumant expressions equivalents en elsdos membres.
21. a) 25x + 40(x + 1) = 88,75.5x + 8(x + 1) + 12 · 1,15 = 31,55.
Són equacions equivalents; si restem 13,8 als dosmembres de la segona equació i multipliquem des-prés tots els termes per 5, obtenim la primeraequació.
3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES I EQUACIONS
8 3 4
1 5 9
6 7 2
4 9 5 16
15 6 10 3
14 7 11 2
1 12 8 13
8 21 14 2 20
4 17 10 23 11
25 13 1 19 7
16 9 22 15 3
12 5 18 6 24
11
b) Cable A: 0,75 euros/m; cable B: 1,75 euros/m.
4. Resolució d’equacions de primer grau
Pàgines 58-59
De consolidació
22. a) x = 504. b) x = 14. c) x = –1. d) x = 30. e) x = –7.600/3. f) x = 11.
23. a) x = 2. b) x = 0. c) x = –3. d) x = 10. e) No té so-lució. f) x = –2.
24. a) x = –12. b) x = 2. c) x = 1. d) x = 3. e) x = 4.
25. a) x = 3. b) x = 16. c) x = 95/76. d) x = 24.
26. a) x = 15. b) x = –4.
De raonament i comunicació
27. b = –54.
28. No.
D’aplicació
29. 320,25.
5. Resolució de problemes (I)
Pàgines 60-61
De consolidació
30. 7 monedes de 0,50 ct i 21 monedes de 20 ct.
31. 189.
32. 4,54 euros.
D’aplicació
33. p = 12x + 330.
34. Cadira: 107 euros; cadira amb braços: 139 euros.
35. Natació: 1,25 km; cursa a peu: 10 km; bicicleta:34 km.
36. 100 llapis.
37. 60 L/min.
6. Resolució de problemes (II)
Pàgines 62-63
De consolidació
38. 420.
39. 114, 115 i 116.
40. 177, 178 i 179.
41. x = 46,5 cm.
D’aplicació
42. 14,47 euros.
43. Planta: 880 m2; espais: 293,3 m2, 220 m2, 176 m2
i 146,7 m2.
44. 48 km.
45. 68 cm x 48 cm.
Activitats de consolidació
Pàgines 64-66
1. El llenguatge algebraic
46. Per exemple,a) 3 · 25 + 2 · 5 + 3 · (–2).
b) 7 · (–6) + 3 · 2 + 4 · 2.c) 4 · 5 + 2 · 122 + 11 · 4.
b · h47. a) A = , on b = base del triangle, h = altura
2del triangle, i A = àrea del triangle. b) 46 cm.
48. 1� C; 2 � F; 3 � D; 4 � B; 5 � A; 6 � E.
49. Fase 2 � x + 3xFase 3 � x + 3x – 1.800
x + 3x –1.800Fase 4 �2
x + 3x –1.800 xFase 5 � + 2 7
50. a) L’àrea del rectangle:
x
80b) Les tres quartes parts d’un nombre.c) La suma de dos nombres augmentada en 5 uni-
tats.d) El perímetre d’un heptàgon regular de costat in-
ferior en 1.000 mm al costat d’un heptàgon mésgran.
e) L’àrea d’un rectangle de dimensions 10 cm im cm disminuïda en 3 cm2.
f) La suma de les àrees de a quadrats de costat2 cm i b quadrats de costat 5 cm.
2. Operacions amb expressions algebraiques
51. a) 2s2t2/9 + t3 + (s + 5)t – 18.b) xy2z3 + x2y2 + xyz/2 + 30z + 31.c) –9a3b7 + 10b8 + 8a2 + 7b.
52. 2x + 4 � 2(x + 2).
4x + 2� 2x + 1
2
1 10x +10(4x + 4) �2 5
4x + 2 � 2(2x + 1)
5x + 5 5(x + 1)�
2 25(2x + 2) � 10x + 10
53. a) Al segon pas, el +2 hauria de ser –2.b) Al segon pas, el segon i tercer sumands haurien
de ser 5b i 15.c) Al penúltim pas, el +15 del numerador hauria de
ser –15.
54. a) 3(x + 3). b) 7(x + 5). c) 10(a – 1). d) 2(x + 6y + 15).
55. a) 2x + 2. b) 5am + 43. c) 9x + 3y + 2. d) 4ax – a – 109. e) 5c – d – 2. f) 4a – 11. g) 3/2.
3. Igualtats i equacions
56. a) x = 5. b) x = 7. c) x = 88. d) x = 1. e) x = –5. f) x = 1.
57. a) x = 18. b) x = –133/7. c) x = –88. d) x = –3/7.
58. Les solucions, per ordre, són: x = 4,5; x = 2,4; x = 2,5;x = 3; x = –3.
12
59. a) 14x = –1. b) 7x = 15. c) –2x = 3. d) 2x = 7.
60. a) 35x + 1 = 55x. b) 10x + 2.709 = 3.699. c) 10 + x + 8 = 12 + 8x. d) 25 – 5x = 50 + 4x.
4. Resolució d’equacions de primer grau
61. a) x = 0,1. b) b = –1. c) x = 28. d) x = –1. e) a = 1. f) x = 2,6. g) x = 2. h) x = –347/99. i) x = 0. j) x = 100. k) x = 13/9. l) x = 11. m) x = 24.
62. No tenen solució: a), b) i d). Tenen infinites solu-cions: c) i e).
5. Resolució de problemes
63. a) 472. b) 870.
64. 28 cm, 35 cm i 42 cm.
65. Ripollet: 4,3 km2; Montcada i Reixach: 23,4 km2;Cerdanyola: 30,6 km2.
66. 18.120 euros i 19.850 euros.
67. Torre Collserola: 268 m; Puigmal: 2.910 m.
68. 12,6 euros.
69. 42 hm3.
6. Per anar més enllà
70. a) 3n. b) 5n – 1. c) n2. d) 10n + 2. e) 10n. f) 7n + 3.
71. a) 40 preguntes. b) No; el nombre de respostes cor-rectes no pot ser decimal (hauria de ser 33,3).
72. p = 138 cm.
73. 4 h.
Activitats d’aplicació
Pàgines 67-69
74. a) S = Q + V/20. b) D = 27x + 20y. c) R = 92x + 35y.
75. Planta baixa: 5,6 m; primera planta: 4,8 m; plantanormal: 3,2 m.
76. 26 km, 35 km i 21 km.
77. 49 cm i 81 cm.
78. 3,5 euros/rosa.
79. 60 L.
80. 1.310.000 euros (suposem que es reinverteixen elsguanys).
81. 77,8 km.
82. 1. a) 6,7. b) 7,7.2. 61 m3.3. 1,5 kg del car i 3,5 kg de l’econòmic.
83. 1. a) 680t + 740t = 5.325. b) 2.550 km; 2.775 km.2. a) 0,5 h. b) 50 km; 30 km.
84. 1. � = 1,2 · 10–5 m/ ºC.2. 55 ºC.
85. 1. a) Depenen del volum el consum i l’IVA; no endepenen el terme fix i el lloguer del compta-dor.
b) 10,68 + 818 · 0,041148 + 2,16.c) T = 12,84 + 0,041148 · c.d) 17,53 euros; 20,34 euros.e) 2.012,49 kWh = 172,21 m3.f ) T = (12,84 + 0,041148 · c) · 1,16.
2. a) I = 2 · 1,54p + 0,87x + 0,54; el mantenimentdel comptador i la quota segons potèncias’han de multiplicar per 2; el sumand quedepèn del consum, no.
b) 673,55 euros sense IVA; 781,32 euros ambIVA.
3. a) D = 0,15 · m + (0,12 + 0,21t) · n. b) D = 0,15 · 17 + (0,12 + 0,21 · 2) · 27 = 17,13
euros.
Jocs i enigmes
Pàgina 70
Quadrat màgicLa incògnita x val 2. El quadrat queda així:
PesadesPesa primer dos paquets. Si la balança es desequi-libra, el que queda enlaire és el que pesa menys. Sino es desequilibra, es pesen dos paquets més. Sila balança es desequilibra, és el paquet que quedaenlaire. Si queda equilibrada, el paquet desigual ésel que no s’ha pesat.
Embolica que fa fort15 ovelles.
1 14 7 12
15 4 9 6
10 5 16 3
8 11 2 13
13
Pàgina 72
1. No.
2. 1.956 entrades.
3. 43.795 = 8,75x + 14,5y; dues incògnites.
Exploro
Pàgina 73
4. Ripollès: 956,2 km2; Ribera d’Ebre: 827,3 km2; AltaRibagorça: 426,9 km2; Bages: 1.299,1 km2; Gi-ronès: 575,4 km2.
5. a) Cotxe vermell: 1,5 euros; cotxe groc: 2 euros.b) Llapis: 0,75 euros; retolador: 0,90 euros.
6. 1 � e; 2 � d; 3 � c; 4 � b; 5 � a.
1. Què és un sistema d’equacions
Pàgines 74-75
De consolidació
1. L’equació té infinites solucions:
2. d).
3. b) i c); a) i d).
4. a) 3x + 2y = 4/3. b) 27x + 18y = 12. c) 3x/2 + y = = 2/3. d) 8x + 16y/3 = 32/9.
x – y = –55. Per exemple, � 2x + y = 14
6. a) 7x + 12y = 1.975. b) 5x – y/2 = 20. c) 60x + 52y = 1.840.
De raonament i comunicació
7. No, totes les equacions amb dues incògnites te-nen infinites solucions.
D’aplicació
8. a)
b) 2x + 2y = 80.
2. Resolució de sistemes. Mètode de reducció
Pàgines 76-77
De consolidació
–2x – 6y = –5 –7x + 6y = 189. a) � b) �–3x + 3y = 8 2x – 7y = –12
–73x – 8y = 41c) � 4x – 16y = 11
5x + 3y = 120 x + 3y = –210. a) � b) �3x – 8y = 54 45x + 20y = 18
11. Per exemple,5x = 21 3x = –3a) � b) �4x + 2y = 9 x + 2y = 2
12. a) x = 9/11; y = –15/11. b) x = 8; y = 0. c) x = 2; y = –2. d) x = 43/13; y = 19/13.
De raonament i comunicació
13. a) Tenen signes contraris i el mateix valor absolut.Solucions: x = 1; y = –1.
b) Es pot treballar amb nombres més petits; simultipliquem la primera equació per –2 i sumemles equacions, anul·lem la x.
14. a) S’anul·len les variables i els termes indepen-dents.
b) Infinites; qualsevol parell de valors (x, y) com-pleix l’equació 0x + 0y = 0.
15. No; si dividim un nombre per 0 no obtenim cap re-sultat concret.
3. Mètode de substitució i d’igualació
Pàgines 78-79
De consolidació
2y – 116. a) x = 19 – 3y. b) x = . c) x = –5y/2.
5d) x = 2 · (15 + 45y).
17. a) x = 6; y = 4. b) x = –12; y = –5.
18. a) x = 1; y = 2. b) x = 2; y = 2.
19. a) x = 5; y = –25. b) x = 9; y = 6.
De raonament i comunicació
20. Podem igualar els segons membres: 2y + 3 = y + 1
21. Per a a = 3.
4. Resolució de problemes
Pàgines 80-81
De consolidació
22. 1.095 i 637.
23. 98/112.
24. 71 i 25.
25. 108 i 24.
26. 782.
x + y = 1.87527. a) � x = 2y + 225
2x + y = 48b) � x = 2y – 1
4x + 2y = 7.650c) � x + y = 2.375
4. SISTEMES D’EQUACIONS
x 1 0 2 3 –1 –2
y 1 –5 7 13 –11 –17
x 12 14 15 16 17 18
y 28 26 25 24 23 22
14
De raonament i comunicació
28. El sistema no és correcte; hem d’expressar les da-des de temps en sistema decimal:
x + y = 7,25�x – y = 0,75
D’aplicació
29. 19.458 llibres; 9 escoles.
30. 410 persones.
Activitats de consolidació
Pàgines 82-84
1. Els sistemes d’equacions: característiques
31. a) i d).
32. a) No. b) Sí. c) No.
33. a) y = 10. b) y = 3.
34. c): La primera equació s’obté com a suma de lesdues equacions; la segona és la mateixa.
2. Resolució de sistemes. Mètode de reducció3x + 2y = 5 5x + 4y = 9
35. a) � b) �x + 2y = 7 5x + 2y = 23x + 2y = 5 5x – 4y = 9
c) � d) �3x – 6y = 7 x + 4y = 22x + 3y = 36 x – 4y = –3
36. a) � b) �10x – 3y = 36 9x – 10y = 252x + 7y = –10 –19x + 25y = –18
37. a) � b) �23x + y = 0 –7x – y = 016x + 35y = –62
c) � –6x + y = 52
38. a) x = 7/2; y = 3/2. b) x = 7/18; y = 4/9. c) a = 9/10;b = 8/5. d) m = 30; n = 0.
39. a) i d): compatibles determinats. b): incompatible.c): compatible indeterminat.
40. a) x = 100; y = –300. b) x = 100; y = –50.
41. a) Ha variat algun preu, perquè la quantitat de cadaproducte ha variat en un 33,3 % i l’import ha aug-mentat més. b) No, perquè els preus són diferents.
42. a) x = 2; y = –1. b) x = 1/2; y = 11/16.
43. No; la relació entre objectes cúbics i cilíndrics noés la mateixa.
3. Mètodes de substitució i d’igualació
44. a) 27x = –19. b) x = 25. c) –6y = 31.
45. a) x + 2y = 3 � x = 3 – 2y; x = –1/9, y = 14/9.b) x – 4y = –80 � x = 4y – 80; x = 0, y = 20.c) x – 1,75y = 7,5 � x = 1,75y + 7,5; x = 4, y = –2.d) 2x + y = 3 � y = 3 – 2x; x = 58/55, y = 49/55.
46. a) y; x = –5/18; y = 357/18.b) 2x; x = 995/158; y = –70/79.c) x; x = 110/19; y = –21/19.d) y; x = 135/74; y = –1.450/74.
47. x = 31.350/5567; y = –205/586.
4. Resolució de problemes
48. 93.
49. 73.
50. Rut: 78 euros; Carles: 106 euros.
51.
x + 9x/10 = 3.780
Per anar més enllà
52. 1.488 i 1.010.
53. x = �2; y = 1.
3 · c2 · �354. A = .
2
55. x = 2; y = –1; z = 2.
56. a = –11/2; b = 7/2.
Activitats d’aplicació
Pàgines 85-87
57. a) 25/9. b) 3.374/99. c) 8.488/999. d) 25/33. e) 9.772/999. f) 46/3.
58. 46 euros.
59. 80 euros; 117 euros/roda.
60. Plaça cotxe: 21.000 euros; plaça moto: 4.800 eu-ros.
61. Toni: 71 h; Joel: 54 h.
62. 8.100 kg.
63. Torró: 3,75 euros; ampolla de cava: 7,5 euros.
64. 590 km/h i 354 km/h.
65. a) 3,5 h. b) 315 km.
66. a) 1 h. b) 140 km.
67. dAB = 200 km; dBC = 250 km.
68. 18 armaris petits i 36 de grans.
69. 90.000 L; 38.800 L.
70. 16 cm i 10 cm.
71. 1. x = 20 m; y = 65 m.2. x = 2 m; y = 3,4 m.3. b = 0,5 m; h = 6,9 m.4. Primera peça: x = 11,5 mm; y = 15 mm. Segona
peça: x = 11 mm; y = 17 mm.
72. 1. a) 215 euros.b) La tercera equació.c) x + y = 250.d) 100 kg de qualitat inferior i 150 kg de qualitat
superior.2. 20 kg de les més cares i 8 kg de les altres.
73. 1. 6,75 kg d’alumini i 200,25 kg de coure.2. 32,1 kg de zinc i 66,9 kg de coure.3. 420 kg de plata de 975 mil·lèsimes i 840 g de
825 mil·lèsimes.4. 520 g d’or de 24 q i 260 g d’or de 15 q.
x + y = 3.7809x
y = 10
�
15
Jocs i enigmes
Pàgina 88
La galeria d'artTrenta quadres.
Falta un euroEn total han pagat 25 € més els dos euros que do-nen de més, és a dir, 27 euros. És a dir, en els 27 € ja hi ha la propina.
16
Pàgina 90
1. És una equació de segon grau: h2 + 31h = 961.
2. Comprovar la proporció àuria (1,618...) en targetesde crèdit.
Exploro
Pàgina 91
1. a) Té dues solucions: x = 16 i x = –16.b) 16 cm i 12 cm.
2. a) 24,4 cm i 13,7 cm. b) 334,28 cm2.
1. L’equació de segon grau. Fórmula
de resolució
Pàgines 92-93
De consolidació
1. a) x1 = –2; x2 = –8. b) x1 = 11; x2 = –2. c) x1 = 1;x2 = –7/4. d) x1 = –4; x2 = –6. e) No té solució. f) x1 = 11; x2 = 10.
2. a) x1 = 1; x2 = –2/3. b) x1 = 1/2; x2 = –2/3. c) x1 = 3;x2 = –2/7. d) x1 = 8; x2 = 1/4. e) x1 = 5; x2 = – 12.
3. a) x1 = –9,38; x2 = –11,62. b) x1 = 1,11; x2 = – 3,61.c) x1 = –0,74; x2 = –2,26. d) x1 = –1,01; x2 = –98,99.
4. a) D = 361; dues solucions. b) D = –44; cap solu-ció. c) D = 0; una solució. d) D = –3; cap solució. e) D = 0; una solució.
2. Simplificacions abans d’aplicar la fórmula
Pàgines 94-95
De consolidació
5. a) 2x2 – 19x – 33 = 0; x1 = 11; x2 = –3/2.b) 9x2 – 6x + 17 = 0; cap solució.c) x2 – 25 = 0; x1 = 5; x2 = –5.
6. a) 100x2 – 40x + 3 = 0; x1 = 3/10; x2 = 1/10.b) 15x2 – 31x + 10 = 0; x1 = 5/3; x2 = 2/5.c) 4x2 – 11x + 7 = 0; x1 = 7/4; x2 = 1.
7. a) 7x2 – 55x – 8 = 0; x1 = 56/55; x2 = –1/55.b) 300x2 + 1.577x + 1.113 = 0; x1 = –21/25; x2 =
= –53/12.c) 187x2 + 430x + 247 = 0; x1 = –209/187; x2 =
= –221/187.
8. a) x2 + 2x – 120 = 0; x1 = 10; x2 = –12.b) 14x2 – 59x + 35 = 0; x1 = 7/2; x2 = 5/7.c) 25x2 – 30x + 8 = 0; x1 = 4/5; x2 = 2/5.
9. a) x1 = –3/2; x2 = –8. b) Cap solució. c) x1 = 7/5;x2 = –2/5. d) x1 = 2,15; x2 = 0,65.
De raonament i comunicació
10. a) 3x2 – 5x + 2 = 0; segon grau. b) –7x – 7 = 0; pri-mer grau. c) 6x2 + 11x – 10 = 0; segon grau.
11. a) x1 = 2/5; x2 = –4. b) Cap solució. c) Cap solució.
12. x1 = 5/4; x2 = 1/2.
3. Equacions de segon grau incompletes
Pàgines 96-97
De consolidació
13. a) x1 = 4; x2 = –4. b) Cap solució. c) x1 = 7/4; x2 = = –7/4. d) Cap solució.
14. a) x1 = 0; x2 = –17. b) x1 = 0; x2 = –28/3. c) x1 = 0;x2 = 5/2. d) x1 = 0; x2 = 9/11. e) x1 = 13; x2 = – 13.f) x1 = 12/5; x2 = –12/5. g) Cap solució. h) x1 = 29;x2 = –29.
15. a) x1 = 0; x2 = 10/7. b) x1 = 2; x2 = –2. c) x1 = 0;x2 = 1. d) Cap solució. e) x1 = 0; x2 = 36/31.
16. 8.
17. 7.
18. 10 cm i 20 cm.
De raonament i comunicació
19. a) x1 = �7/3; x2 = –�7/3. b) Cap solució. c) x = 0. d) x1 = 0; x2 = 1/16.
20. x2 – 6x = 0.
21. 7x2 – 3x = 0.
22. Per exemple, x2 + 36 = 0.
4. Fórmules notables i problemes
Pàgines 98-99
De consolidació
23. a) x2 + 10x + 25. b) x2 – 6x + 9. c) 49 – 14x + x2.d) 25x2 + 20x + 4. e) x2 – 81. f) x2 + x + 1/4. g) 64 – x2. h) 16 – 9x2.
24. a) x1 = 1; x2 = –5. b) x1 = 11; x2 = 5. c) x1 = 12;x2 = 3. d) x = 4. e) x1 = 10; x2 = –15. f) x = 0.
25. a) 15 cm, 20 cm i 25 cm. b) 7 cm, 24 cm i 25 cm.
26. 13 cm.
Activitats de consolidació
Pàgina 100
1 . L’equació de segon grau. Fórmula general
27. a) x1 = 7; x2 = –12. b) x1 = 11; x2 = –20. c) x1 = 4;x2 = 7/3. d) Cap solució.
28. a) x1 = –0,382; x2 = –2,618. b) x1 = 3,414; x2 = = 0,586. c) x1 = –0,321; x2 = –4,680. d) x1 = 0,560;x2 = –1,275.
2. Simplificacions abans d’aplicar la fórmula
29. a) x1 = 10; x2 = 7. b) x1 = 7; x2 = –1/20. c) x1 = 2/7; x2 = –3/2. d) x1 = 2,81; x2 = –0,47. e) x1 = 5; x2 = –2. f) x1 = 1/2; x2 = –1/10. g) x1 = 24,26; x2 = 0,99. h) x1 = 3,13; x2 = –3,84.i) x1 = 2,97; x2 = – 2,81. j) x1 = 1; x2 = –14/9.
4. Fórmules notables i problemes
30. a) 81 � 41. b) 9 � 51. c) 484 � 244.
31. a) 81. b) 9. c) 484. d) 16.
5. L’EQUACIÓ DE SEGON GRAU. FÓRMULES NOTABLES
17
32. a) x2 + 30x + 225. b) x2 – 20x + 100. c) x2 – 49. d) x2 +3x + 9/4. e) 121– 22x + x2. f) 25 – 9x2. g) x10 + 2x7 + x4. h) 45.
33. a) Cap solució. b) x1 = 3; x2 = –1/2. c) x1 = 99/10;x2 = –101/10.
34. a) 7 i –10. b) 6 i –8. c) Cap nombre. d) 15 anys. e) 22,97, 28,97 i 36,97. f) 10, 24 i 26. g) 9 cm i 2 cm.
Activitats d’aplicació
Pàgina 101
35. 1. a) x1 = 1,618; x2 = –0,618. b) x1 = �.2. a = 11,12 cm; b = 6,88 cm (aprox.).3. 6,18 cm i 3,82 cm.4. 22,65 cm; 36,65 cm.5. 48,21 cm; 126,21 cm.6. 19,16 m.7. ..., 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584,
4.181, 6.765; comprovar la propietat.
8. Resposta oberta.
Jocs i enigmes
Pàgina 102
El color del barretEl tercer nen dirà que porta un barret verd si elsdos que té al davant no diuen res.
Si no diu res, és que els dos nois que té davant noporten tots dos un barret vermell.Si el del mig veu que el de davant porta un barretvermell i el de darrere no diu res, dirà que el seu ésde color verd.Si cap dels dos nois que té darrere no diu res, el dedavant deduirà que el color del seu barret és verd,ja que si hagués estat vermell, algú hauria dit algu-na cosa.
Monedes falsesNumerem les bosses de l’1 al 25. Agafem una mo-neda de la primera bossa, dues monedes de la se-gona bossa, tres de la tercera, i així successiva-ment fins a agafar 25 monedes de la darrera bossa.En total tindrem 325 monedes. Si totes pesessin50 grams, aquesta pesada faria 16.250 grams. Persaber el nombre de monedes de 45 grams que hihem introduït, restem de 16.250 grams el pes quehem obtingut, i el resultat el dividim per 45. El re-sultat ens dirà el nombre de monedes de 45 gramsque hi hem introduït. La bossa amb les monedesde 45 grams serà aquella que tingui el mateix nú-mero que el nombre de monedes de 45 grams quehem introduït en la pesada.
18
1. Organitzem les dades amb dibuixos
i esquemes
Pàgines 104-105
1. 0,75 h, 1,25 h i 1,5 h.
2. 11,04 cm i 13,04 cm.
3. A = 148,8 m2; p = 70,42 m.
4. 15 min.
2. Organitzem les dades amb taules
Pàgines 106-107
5. 32 corbates.
6. a) 3/23, 5/23, 7/23, 5/23 i 3/23. b) 75 pisos.
7. a)
b) Entre 171 i 205 alumnes.
3. Organitzem les dades amb diagrames
Pàgines 108-109
8. a) 10; 19. b) 23,33 %.
9. a) 6. b) 4.
10. a) Un 90 %. b) Un 40 %. c) 30 alumnes.
11. 3.
12. 120.
Resolució de problemes
Pàgines 110-111
13. a) 96 pàgines. b) 288 pàgines. c) 96 pàgines.
14. 5.177,86 mm3.
15. 900 L/h i 600 L/h.
16. a) 151,7 cm. b) No.
17.
(Resultats arrodonits a les dècimes.)
18. a) 46 euros. b) 20 ct: 13 %; 50 ct: 43,5 %; 1 euro:13 %; 2 euros: 30,5 %.
19. 39.
20. 8 m i 6 m.
21. 28 cm x 21 cm x 29 cm; 21,5 %.
22. a) 30 alumnes. b) 90 %. c) 70 %.
23. a)
b) Primer tren: 1 h 6’; segon tren: 55’ 30’’.
24. 675 euros; 2.700 euros.
25. 252 kg.
26. 24 maneres.
27. Fusta: 97 %; metall: 3 %.
28. 7 ampolles petites i 4 grans.
29. a) El carrer B. b) El carrer A. c) Mitjanes: A: 5,83 veh./min; B: 14,83 veh./min.
30. Nou maneres.
31. a) 3.240 ha. b) 324 ha.
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES
Alumnes 18-20 20-25 25-30
Grups 2 3 3
Persones Rap Gambes Musclos Ametlles Tomàquets
4 0,8 kg 0,2 kg 0,7 kg 33,3 g 133,3 g
10 2,1 kg 0,4 kg 1,7 kg 83,3 g 333,3 g
Hores sortida
V. Tren Est. 2 Est. 3 Est. 4 Est. 5
60 km/h 9 h 11’ 6’’ 9 h 20’ 54’’ 9 h 35’ 24’’ 9 h 49’ 24’’
80 km/h 9 h 51’ 41’’ 9 h 42’ 50’’ 9 h 30’ 27’’ 9 h 18’ 27’’
19
Pàgina 112
1. 50 minuts.
2. 13 dies.
Exploro
Pàgina 113
1. 1. 10, 15, 21, 28. a) 55; 120. b) posició 50: 50 + 49 + 48 + ..... + 3 + 2 + 1; posició n: n + n – 1 + n – 2 + ...... + 3 + 2 + 1.
2. a) 400; n2. b) 4 = 1 + 3; 9 = 1 + 3 + 5, ...3. Si sumem els nombres triangulars de llocs n i
n – 1, obtenim el nombre quadrat de lloc n: 6 ++ 10 = 16; 10 + 15 = 25;...
2. 29.524.
1. Successions
Pàgines 114-115
De consolidació
1. a) 15, 16. b) 162, 486. c) –3, 4. d) 7/12, 8/14.
2. a8 = 25; a10 = 31.
3. a) 1, 5, 9, 13, 17, 21; creixent.b) 2, 5, 7, 12, 19, 31; creixent.c) 16, 8, 4, 2, 1, 1/2; decreixent.d) 2, 5, 8, 11, 14, 17; creixent.e) 10, 5, 0, –5, –10, –15; decreixent.
4. a) 4, 7, 12. b) 2, 4, 6. c) 1/3, 2/4, 3/5.
5. a) an = 2n. b) an = 2n + 1. c) an = 1/n. d) an = an – 1 + an – 2.
6. a) 27. b) 10.
7. a) Construcció dels dos quadrats següents. b) 4, 8, 12, 16, 20... c) 1, 4, 9, 16...
D’aplicació
8. a) 288. b) 5.168.
2. Progressions aritmètiques
Pàgines 116-117
De consolidació
9. a), b), e).
10. an = 5 + 3 · (n – 1); a7 = 23; a10 = 32.
11. d = 3.
12. S20 = 175.
De raonament i comunicació
13. Són progressions aritmètiques.
D’aplicació
14. 32 persones; 30 persones; 34 persones.
3. Progressions geomètriques
Pàgines 118-119
De consolidació
15. a), b).
16. a1 = 5; a10 = 98.415.
17. a) S12 = 1.594.320. b) S12 = 1,5996.
De raonament i comunicació
18. a) Dibuix de la figura. b) Els radis i les longituds deles circumferències formen una PG de r = 1/2; ca-da radi és la meitat de l’anterior.
D’aplicació
19. 3.257,79 euros.
Activitats de consolidació
Pàgines 120-121
1. Successions
20. a) 4, 5, 6, 8. b) 4, 23, 37.
21. a) Alternativament, dividim per 2 i multipliquem per3 els termes successius. b) an = (n + 4) · (–1)n – 1.c) Obtenim cada terme sumant els dos anteriors.
22. a) Cada nombre interior s’obté sumant els dosnombres laterals superiors.
b) La successió dels nombres naturals: 1, 2, 3, ...
2. Progressions aritmètiques
23. a) 5, 11, 17, 23, 29.4, 1, –2, –5, –8.0,5, 2,5, 4,5, 6,5, 8,5.–4, –1, 2, 5, 8.
b) 2/4 i 1/4. c) a1 = 7; an = 7 + 5 · (n – 1).d) an = 4 + 4/5 · (n – 1).e) No; si apliquem la fórmula de terme general ob-
tenim un valor de n no natural.f) El lloc 50. g) S10 = 185.
24. a) Dibuix de la T corresponent.b) 4, 7, 10, ...; sí; anem sumant 3 quadrats.
25. 78 peces.
26. 9, 14, 19, 24.
27. a) 10 pisos. b) 305 maduixes.
28. a) D = 600 – 35 · n. b) Als 17 dies.
3. Progressions geomètriques
29. a) r = 5; an = 2 · 5n – 1.r = –2; an = (–3) · (–2)n – 1.r = 1/3; an = 1/2 . (1/3)n – 1.r = 0,4; an = 5 · 0,4n – 1.
b) a5 = 162; an = 2 · 3n – 1.c) S12 = 772,48. d) S� = 80/7.
6. SUCCESSIONS I PROGRESSIONS
20
30. a) 24 m, 12 m, 6 m... b) Aproximadament, al desèrebot.
31. 131.072 euros; 262.143 euros.
32. 8.177,66 euros.
33. S� = 10/9.
34. a) 3.645.000 telèfons. b) A partir del 6è any.
35. 3.286,68 euros.
4. Per anar més enllà
36. Tants com marca la posició.
37. 8 euros; 303 euros.
38. a) 1.600.b) 10 · 60, 20 · 80, ... En general, els productes de
termes equidistants.c) P = 1.6003 · 40 = 1,6384 · 1011.d) P = 245.
Activitats d’aplicació
Pàgines 122-123
39. a) Decreixent; an = 1/2n.b) Decreixent; an = –3n + 10.c) Oscil·lant; cada terme s’obté restant els dos an-
teriors.d) Creixent; an = 10 · 1,2n – 1.
40. En Pere; en tractar-se d’una progressió geomètri-ca, la suma dels diners rebuts al llarg del mes seràmolt més elevada.
41. a) 55 quadrats. b) p = 40 u.
42. a) 20.995,2 euros. b) V = 32.000 · 0,9n – 1.
43. Primer atleta: 10.000 m; segon atleta: 102,4 km.
44. a) 3,2 mm. b) 6 plecs; 7 plecs.
45. a) 128 grans. b) 263 grans. c) 264 – 1 grans. d) Pos-siblement sí, es tracta d’una quantitat de blat moltelevada.
46. a) 4 euros: cinc maneres (2 + 2, 1 + 1 + 1 + 1, 2 ++ 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2). 5 euros: vuit maneres; 6 euros: tretze maneres.
b) 1, 2, 3, 5, 8, 13,... ; és una successió recurrent.
47. a) Una progressió geomètrica de r = 1/3.b) 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81.c) S� = 9/2.
48. a) 65, 100, 135... b) 205 euros. c) 15 h.
49. 1, 2, 3, 5, 8, ...
50. a) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256.b) r = 2. c) 256 bacteris. d) an = 1 · 2n – 1.
Jocs i enigmes
Pàgina 124
La paradoxa d’Aquil·les i la tortugaSí que l’atrapa. Els 100 m inicials que té d’avantat-ge la tortuga més els 100 m que recorre, són 200 m,que és la mateixa distància que recorre Aquil·les.
21
Pàgina 126
1. 768 g; 4.800 g.
2. No; 3 kg representen un 54,5 %.
Exploro
Pàgina 127
1. a) 0,5 cm; escala 1 : 400.000. b) 48 km. c) 8,8 km.d) 1 : 100.000.
2. a) 115,5 m3 = 115.500 L.b)
c) Es redueix la meitat; es redueix a la tercera part.
1. Proporcionalitat
Pàgines 128-129
De consolidació
1. Són directament proporcionals: a), c) i d).
2. a) i b).
3. La segona i tercera taules.
De raonament i comunicació
4. a) No; la proporcionalitat es basa en un quocientconstant; si sumem una quantitat no mantenim elquocient constant. b) Sí.
5. Sí; el producte de dues constants de proporciona-litat és una altra constant de proporcionalitat.
D’aplicació
6. a) A la marca B.b) A la marca A, resulta més econòmic.
2. Problemes de proporcionalitat
Pàgines 130-131
De consolidació
7. a) x = 5. b) x = 4,57. c) x = 12,75.
8. Són correctes a) i c).
9. a) 23,32 euros. b) 960,67 g.
10. 14.500 euros, 36.250 euros i 36.250 euros.
11. 6.618,5 euros.
D’aplicació
12. 2,25 kg de síndria, 562,5 g de sucre, 33,75 mL d’ai-gua de tarongina i 3,375 mL de canyella.
13. Ploupou: 134.823,7 euros.Boncamí: 51.610,3 euros.Puigboig: 59.596 euros.Vilaplena: 207.970 euros.
3. Percentatges
Pàgines 132-133
De consolidació
14. a) 155. b) 44,19. c) 2.669. d) 950.
15. a) 12,5 %. b) 432,96. c) 3.659.
D’aplicació
16. Xocolata: 11,03 %. Sucre: 17,65 %. Farina: 44,12 %.Nous: 0,74 %. Mantega: 17,65 %. Ous: 8,82 %.
17. 5,52 %.
18. a) 63,63 %. b) 5,1 %.
4. Problemes de percentatges
Pàgines 134-135
De consolidació
19. a) 840,5. b) 1.803,8. c) 532,5. d) 4.948,44.
20. 11,31 %.
21.
De raonament i comunicació
22. a) Perquè la segona rebaixa no s’aplica al preu ori-ginal. b) 162,56 euros; 27,75 %.
23. Inferior a x; el segon 25 % l’apliquem a una quan-titat superior. Per tant, el descompte és més granque l’augment.
D’aplicació
24. a) 32,46 %. b) No; els falten 244.380 euros, 22.380euros més que fa tres anys.
5. Proporcionalitat inversa
Pàgines 136-137
De consolidació
25.
7. PROPORCIONALITAT I PERCENTATGES
Cabal(L/min)
100 200 300 400 500 600
t (min) 1.155 577,5 385 288,75 231 192,5
Magn. 1 2 4 5 7 10 20
Magn. 2 280 140 112 80 56 28
Magn. 1 1/3 1 4/3 1/15 3
Magn. 2 300 100 75 1.500 33,3
Quantitatinicial
Percentatge (augmento disminució)
Quantitatfinal
45 + 17 52,65
767 –78 168,74
345 –32,17 234
23.400 + 35,5 31.707
65.000 + 35 87.750
22
26. a), c) i d).
27. 9.058,8, 4.529,4 i 1.811,8.
De raonament i comunicació
28. Directament proporcionals.
D’aplicació
29. 40 capses, 45 capses, 80 capses.
30. a)
b) 50.400 euros.
Activitats de consolidació
Pàgines 138-140
1. Proporcionalitat
31.
32. a) Sí. b) 18 km/min; 1.080 km/h; són velocitats.
33. 1,538.
34. 3.739 habitants.
2. Problemes de proporcionalitat
35. a) 65,3 L; 31.360 L. b) 34,10 euros. c) 6,8 euros/kg.
36. a) 200 euros, 300 euros i 400 euros.
b) 15.751,5 euros, 26.592,3 euros i 33.356,2 eu-ros.
c) 40.000 euros, 120.000 euros, 200.000 euros,280.000 euros i 360.000 euros.
37. 2.640 euros i 1.056 euros.
38. Ordi: 4,9 ha; civada: 9,8 ha; blat: 19,6 ha.
39. 39,88 L.
3. Percentatges
40. a) 0,0045; 0,45 %. b) 0,209; 17,26 %. c) Cap.
41. a) 2,04. b) 0,49; el producte dóna 1. c) No, perquèla referència no és el total d’associats. d) Noies:32,9 %; nois: 67,1 %.
42. a) 190,92. b) 5.600. c) 11,45.
43. Resposta model:a) Quants diners pagarem per un producte que
costa 4.000 euros si ens descompten un 5 %?b) A un comercial li paguem el 70 % del 2 % de les
vendes que fa. Quina comissió cobra per unavenda de 233,5 euros?
44. a) 44,4 %, 33,3 % i 22,2 %. b) 36 de maduixa, 27 detaronja i 18 de llimona.
4. Problemes de percentatges
45. a) 4.567 · 1,058; augment d’un 5,8 %.
b) 880 · 0,53; disminució d’un 47 %.
46. a) 1.125 euros. b) 135 %.
47. 26,5 %.
48. 56,65 euros.
49. a) 31.910,5 euros. b) 5 %. c) 25.326,32 euros.
5. Proporcionalitat inversa
50. Mides possibles: 1 x 60 cm, 2 x 30 cm, 3 x 20 cm,4 x 15 cm, 5 x 12 cm, 6 x 10 cm. Base i altura sóninversament proporcionals perquè el seu producteés constant (60).
51. 990 euros.
52. a) 8 h. b) 2.800 L/min.
53. 150 dies.
54. 10.386 euros (primera planta); 5.193 (segona plan-ta) i 3.462 euros (tercera planta).
6. Per anar més enllà
55. a) 11.571. b) 147 persones. c) 6.888 làmpades.
56. 19.600 euros, 24.500 euros i 29.400 euros.
57. Quatre primers classificats: 69.120 euros, 34.560euros, 23.040 euros i 17.280 euros. Cadascun delseliminats en quarts: 9.000 euros.
58. a) + 2,89 %. b) 51,1 euros; 53,61 euros.
Activitats d’aplicació
Pàgines 141-143
59. La Baixada: 10 h 27’; Vilaneu: 10 h 42’; Santuari: 10 h 48’.
60. a) 1,33; molt aproximadament, sí.b) Que en fer ampliacions o reduccions es defor-
maria la fotografia.c) En el format 17,2 x 12,7. La raó entre dimensions
és diferent a la resta de formats.d) Digital.e) No; intervenen costos fixos que repercuteixen
en % diferents.
61. a) 235.315,4 GWh. b) 672,42 GWh/dia; en un 29,38 %.
62. a) Un 9,96 %.b)
No; les referències per calcular els percentatgesd’augment han estat diferents. Si els multipliquemobtenim el 9,96 %: 1,02228 · 1,0304 · ... = 1,0996.
63. 1. a) 65.000 cal; 56.250 cal. b) 13,5 %.2. Aproximadament; no és rigorosa.3. a) Aproximadament, 7 iogurts. b) Un 30,11 %.
N. sol·l. 25 50 75 125 150
Ajut (€€) 2.016 1.008 672 403,2 336
Magn. 1 5 10 30 90 105
Magn. 2 5,5 11 33 99 115,5
Magn. 1 34 68 85 204 408
Magn. 2 85 170 212,5 510 1.020
Període 01-02 02-03 03-04 04-05
Augment 145.075 197.706 109.173 181.887
% augm. 2,28 3,04 1,63 2,67
23
64. 1. a)
b) 4; 4 cm d’allargament corresponen a 1 kg depes.
c) 22 cm.d) 1,75 kg.
2. a) Diagrama similar al del llibre de text, amb l’es-cala corresponent.b) Sí.c) 15 cm; 0,6 cm.d)
Constant = 0,6 cm/kg.
65. 1. a) 9.450 euros; 450 euros. b) 172,60 euros. c) 219 dies. d) 1.350 euros.
2. 7,5 %.3.
4. 11.881 euros.
5.
6. c)1. Taxa d’interès: 8 %. Capital inicial: 10.000 euros.
Jocs i enigmes
Pàgina 144
L'hotel de les 100 habitacionsHabitacions obertes: 1, 6, 9, 12, 18, 24, 26, 30, 42,48, 49, 51, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65,67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 82, 83,85, 86, 87, 88, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 98.Habitacions tancades: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14,15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 29, 31, 32,33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 46, 47,50, 54, 60, 64, 66, 72, 80, 81, 84, 90, 92, 96, 99,100.
Quatre pilesNumerem les fitxes d'esquerra a dreta de l'1 al 8.Primer pas: col·loquem la fitxa 4 sobre la 7. Segonpas: col·loquem la fitxa 6 sobre la 2. Tercer pas:col·loquem la fitxa 8 sobre la 5. Quart pas: col·lo-quem la fitxa 1 sobre la 3.
Falten nombresa) 29 (el nombre de la dreta és igual als productesdels dos de l'esquerra més 2). b) 12 (el nombre dela dreta és igual al producte dels dos nombres dela dreta menys 3).
Pes (kg) 0,5 1 1,5 2
Allarg. (cm) 2 4 6 8
Pes (kg) 4 8 12 16 20
Allarg. (cm) 2,4 4,8 7,2 9,6 12
Inversió inicial(euros)
Taxa anual(%)
Temps Interessos
(euros)
15.000 2 6 mesos 150
7.000 5 1 any 350
11.000 3,5 2 anys 770
20.400 4,25 3 anys 2.601
Any InversióTaxaanual
InteressosDiners
acumulats
1 12.000 7 840 12.840
2 12.840 7 898,8 13.738,8
3 13.738,8 7 961,72 14.700,52
24
Pàgina 146
1. Un angle i dos costats; tres costats.
2. No, amb els mateixos angles poden tenir diferentsmides.
3. Resposta oberta.
Exploro
Pàgina 147
1. a) Uns 20 m d’alçada; uns 3 m d’amplada.b) Uns 3 cm d’alçada; uns 6 cm d’amplada.c) Aproximadament, 650 vegades.
2. a) Sí; sí; 30º, 60º i 90º. b) Rectangles; escalens. c) Paral·lels. d) Estan graduats en cm i mm.
0. Recorda. Els angles
Pàgines 148-149
De consolidació
1. A = 138º; B = 42º; C = 138º; D = 42º.
2. Dos angles de 102º 34’ i un de 77º 26’.
3. Queda dividit en 5 triangles; 900º.
4. 720º; 120º.
De raonament i comunicació
5. A = B = 44º 55’.
6. Dibuix d’un triangle amb angles de 20º, 60º i 100º.
D’aplicació
7. a) Paral·leles; secant. b) 38º. c) 135º, 225º.
1.Teorema de Tales
Pàgines 150-151
De consolidació
8. a) 11,65 cm. b) 7,33 cm.
9. Dibuix d’un segment de 12 cm dividit en parts pro-porcionals a 1, 3 i 4.
10. Dibuix d’un segment de 10 cm dividit en parts pro-porcionals a 3, 5 i 7.
11. a) x = 7,5 mm; y = 25,6 mm; z = 9,6 mm.b) x = 6,2 mm; y = 22,9 mm; z = 26,1 mm.
12. Sobre un dels extrems del segment dibuixem unasemirecta obliqua i marquem 7 divisions de centí-metres. Unim l’extrem de l’últim centímetre ambl’extrem del segment, i després les paral·leles cor-responents.
De raonament i comunicació
OF OA13. = � OF · OD = OA · OC
OC OD
D’aplicació
14. a) h2 = 17,7 m; h3 = 25,1 m.
28 · 11AA = = 154 m2.
2
45 · 17,7AB = – 154 = 244,25 m2.
2
64 · 25,1AC = – (154 + 244,25) = 404,95 m2.
2b) 29.876 euros, 47.384,5 euros i 78.560,3 euros.
2. Semblança de triangles
Pàgines 152-153
De consolidació
15. a) 13,5 i 27 cm. b) 20 i 22,5 cm.
16. AB = 12,86 cm; EF = 22,4 cm.
17. a) Sí; OC/OB = OD/OA.b) OB � OC; AB � CD; OA � OD.c) 34,1 cm. d) 2,625.
De raonament i comunicació
18. Multiplicar 50 · 0,8 � r = 1/62,5.
D’aplicació
19. a) 17,2 m. b) escala 1 : 400.
3. El triangle rectangle. El teorema
de Pitàgores
Pàgines 154-155
De consolidació
20. a) 14,87 m. b) 1,61 m.
21. 17,35 mm.
22. 19,80 cm.
23. 17,68 cm.
24. x = 7,21 cm.
25. a) No. b) No. c) Sí.
26. h = 13,86 cm; A = 110,88 cm2.
De raonament i comunicació
27. a) 7,07. b) 8.
D’aplicació
28. 22,2 cm x 15,6 cm; 28,6 cm x 20 cm.
29. Construcció de la demostració geomètrica del teo-rema de Pitàgores que proposa l’activitat.
4.Teoremes del catet i de l’altura
Pàgines 156-157
De consolidació
30. 5,61 m; 8,49 m.
31. 51,96 cm; 30 cm.
32. 0,5 m.
8.TRIANGLES I SEMBLANÇA
25
De raonament i comunicació
33. Hipotenusa = 3,85 cm; catet = 1,81 cm.
34. a) 3,32 cm. b) El triangle rectangle s’haurà d’ins-criure en una circumferència de 4 cm de radi.
D’aplicació
35. Llistons: 50 cm i 48 cm; distàncies: 18 cm i 32 cm.
Activitats de consolidació
Pàgines 158-160
0. Recorda. Els angles
36. A = 48º; B = 79º i C = 53º.
37. a) 52º. b) 125º; 61º 50’. c) 47º 15’ 30’’, 47º 15’ 30’’,132º 44’ 30’’ i 80º 44’ 30’’.
38. a) 8 triangles. b) 45º, 67º 30’, 67º 30’. c) 135º.
1. Teorema de Tales
39. 15,27 cm.
40. 15 cm.
41. KL = 3,52 cm; IL = 11,22 cm.
42. a) Es comprovarà que els alumnes han dividit unsegment en parts proporcionals a 4 i 7.
b) Es comprovarà que els alumnes han dividit elsegment a en parts proporcionals als segmentsm, n i p.
c) Es comprovarà que els alumnes han dividit cor-rectament un segment de 9 cm en quatre partsiguals.
3. Semblança de triangles
43. No; la raó de proporcionalitat no és la mateixa perals tres costats.
44. Són semblants: A, C, D i E. Són semblants B i F.
45. a) Sí. b) Sí. c) Sí, són iguals. d) No.
46. a) 64,87 mm. b) 19,32 dm.
47. 0,74 m2.
48. 63,52 mm.
49. A = 673,83 cm2; p = 169,87 cm.
50. a) 42,5 cm. b) A = 5.984 cm2.
51. A = 466,83 cm2.
4. Teoremes del catet i de l’altura
52. h = 6,48 cm; catets: 7,14 cm i 15,43 cm.
53. 3,76 cm i 13,24 cm.
54. En el primer triangle la mesura de 2,5 cm hauriade ser 2,08 cm. En el segon triangle la mesura de22,5 cm hauria de ser 25,61 cm.
5. Activitats amb Cabri
55. Es comprovarà que els alumnes han fet correcta-ment l’activitat amb Cabri.
56. Es comprovarà que els alumnes han fet correcta-ment l’activitat amb Cabri.
57. Es comprovarà que els alumnes han fet correcta-ment l’activitat amb Cabri.
6. Per anar més enllà
58. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament el quadrat. El quadrat ha de tenir una su-perfície de 74 m2.
59. x = 10 cm.
60. a) Sí; els dos catets són proporcionals i l’angle ésel mateix (90º).
b) a = 37,5 cm; r = 2,5.c) Perímetres = 90 cm i 36 cm; r = 2,5.d) Àrees: 337,5 cm2 i 54 cm2; r = 6,25 = 2,52.
61. OP = 4,18 m.
Activitats d’aplicació
Pàgines 161-163
62. 3,297 m.
63. a) 1,84 m. b) 0,62 m.
64. 11,98 m.
65. 8,66 m.
66. a) 21,25 km. b) És poc significativa: ER = 1 %.
67. 1. a) llargada cotxe/ 1,2 cm = distància benzine-ra/distància ulls-regle. b) 225 m.
2. 3,97 km.
68. 1. 50,8 cm i 38,1 cm.2. 70,88 cm.3. Un 25 %.4. 28 polzades.
69. 1. a) r = 75. b) 2,25 m.2. 14,7 m.3. Es comprovarà que els alumnes han fet correc-
tament l’activitat.4. Es comprovarà que els alumnes han fet correc-
tament l’activitat. Comprovem que l’illot té unaaltura de 225 m.
5. Es comprovarà que els alumnes han fet correc-tament l’activitat. L’amplada del riu fa 216,6 m.
6. a) Es comprovarà que els alumnes han fet cor-rectament el dibuix. b) 2,88 km.
Matemàtiques i societat
Pàgines 164-165
1. ER = 16,68 %; ER = 25,27 %.
2. ER = 7,83 %; ER = 22,87 %.
3. ER = 23,2 %; ER = 93,83 %.
4. ER = 4,07 %; ER = 94,12 %.
Jocs i enigmes
Pàgina 166
Àrea doble i meitatQuadrat àrea meitat: quadrat que té com a diago-nal un costat del quadrat donat.Quadrat àrea doble: quadrat que té com a costat ladiagonal del quadrat donat.
26
Fitxes bicolorsNumerem les fitxes d'esquerra a dreta d'1 a 4. Elsmoviments que farem són: tirem les fitxes 1, 2 i 3,després les 2, 3 i 4, després les 1, 2 i 4, i finalmentles 1, 3 i 4.
Lletres i rectes
27
Pàgina 168
1. Trapezis.
2. Les ombres, els colors, la superposició de figu-res...
Exploro
Pàgina 169
1. a) Poliedres: B, C, D, E, G, F, H. Cossos de revolu-ció.
b) Si prescindim del broc, H i F.c) Són cossos de revolució A i I.
2. a) cm3. b) L. c) L. d) cm3.
3. Es comprovarà que han dibuixat correctament eldesenvolupament de la capsa.
0. Recorda. Poliedres i cossos de revolució
Pàgines 170-171
De consolidació
1. Es comprovarà que han dibuixat correctament elscroquis.a) 6 vèrtexs. b) 8 arestes i 5 vèrtexs. c) 7 cares i 7vèrtexs.
2. En els tres casos, si fem girar a gran velocitat el po-liedre, generem el cos de revolució corresponent;podríem considerar que cadascun dels cossos derevolució és un poliedre d’infinites cares.
3. A � 4; B � 3; C � 1; D � 5; E � 2.a) Es comprovarà que han dibuixat correctament el
desenvolupament dels cossos de revolució.b) Sí
1. Elements d’un poliedre
Pàgines 172-173
De consolidació
4. a) 60º; 120º; 108º. b) 240º; 300º; 288º.
5. 21 arestes.
6. 36 arestes; 24 vèrtexs.
D’aplicació
7. a) 16 cares, comptant la base que descansa en elterra. b) No; té forat.
2. Els poliedres regulars
Pàgines 174-175
De consolidació
8. a) Està format per polígons diferents.b) Concorren 6 triangles en algun vèrtex.c) Les cares no són polígons regulars.
9. Sí, el tetraedre: piràmide triangular regular.Sí, el cub: prisma quadrangular regular.
10. Es comprovarà que els alumnes han fet els dibui-xos correctament.
11. Es comprovarà que els alumnes han fet l’activitatcorrectament. a) Iguals. b) Iguals. c) Cub: 12 ares-tes, octaedre: 12 arestes.
D’aplicació
12. a) Dau tetraèdric: 1/4; dau dodecaèdric: 1/12; dauoctaèdric: 1/8; dau icosaèdric: 1/20.
b) No.
13. a) No.b) Perquè la cara amb el resultat no queda paral·le-
la al terra; com que està recolzada obliquament,ho pot fer en tres posicions diferents. El nombreresultat és el que contacta amb el terra. En elcas del dodecaedre, n’hi ha prou amb un nom-bre per cara: la cara resultat és paral·lela al terra.
14. Si agafem un icosaedre, podem posar cada un delsnombres de l’1 al 10 en dues cares.
3. Prismes
Pàgines 176-177
De consolidació
15. a) 2.112 cm2. b) 1.416 mm2.
16. a) 48 cm. b) A = 27.113,94 mm2.
17. 117,63 cm.
De raonament i comunicació
18. Sí, totes són hipotenuses de triangles rectanglesiguals.
D’aplicació
19. a) Octagonal i irregular.b) A = 617,22 cm2.c) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-
rectament el desenvolupament pla.
4. Piràmides
Pàgines 178-179
De consolidació
20. a) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament el desenvolupament pla.
b) A = 72 cm2.
21. a = 21,02 cm
22. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament el desenvolupament pla.Alat. = 288 cm2; Atot. = 468 cm2.
De raonament i comunicació
23. a) No; sí; en el cas de la piràmide regular són elscostats iguals de triangles isòsceles iguals.
b) Pot no ser-ho.c) Sí.
9. ELS POLIEDRES
28
D’aplicació
24. 19.380,6 cm2.
5.Volum de prismes i piràmides
Pàgines 180-181
De consolidació
25. a) V = 20,625 cm3. b) V = 36,75 cm3.
26. V = 3.654 cm3.
27. a) V = 20.233,5 cm3. b) V = 65.083,3 cm3.
28. V = 217,35 cm3.
29. V = 4.262,4 cm3.
D’aplicació
30. 117 euros.
6. Circumferència i cercle. Elements
Pàgines 182-183
De consolidació
31. l = 3,925 cm.
32. A = 50,24 cm2.
33. A = 34,54 cm2.
34. A = 76,76 cm2; A = 144,44 cm2.
7. El cilindre
Pàgines 184-185
De consolidació
35. A = 16.673,4 mm2; A = 4.749,25 mm2.
36. V = 223.819,2 cm3.
37. h = 5 cm.
38. V = 12.741,15 cm3.
39. V = 9.243,28 cm3; V = 85.305,95 mm3.
D’aplicació
40. Es necessita menys material per construir la llaunamés baixa (280,64 cm2).
41. 9,48 %.
8. El con
Pàgines 186-187
De consolidació
42. a) l = 43,96 cm. b) Alat. = 461,58 cm2.
43. A = 628 cm2; V = 1.004,8 cm3.A = 926,08 cm2; V = 1.865,16 cm3.A = 21.276,64 cm2; V = 108.317,44 cm3.
44. V = 12.745,76 cm3.
45. A = 2.377,67 cm2; V = 6.667,27 cm3.
D’aplicació
46. Coincideix aproximadament: 499,1 mL.
9. L’esfera
Pàgines 188-189
De consolidació
47. A = 21.113,36 mm2; V = 288.549,25 mm3.
48. V = 2.266,42 cm3.
49. a) A = 61.804,62 cm2; V = 1.112.483,16 cm3.b) A = 4.606,38 cm2; V = 15.769,08 cm3.c) Si l’altura del cilindre inferior fos 15 cm:
A = 11.304 cm2; V = 98.910 cm3.
50. A = 17,13 dm2.
De raonament i comunicació
51. a) h = 2 · r.b) Aesfera = 4 · � · r2; Alat. cil. = 4 · � · r2; són iguals.c) Vesfera = 4/3 · � · r3; Vcil. = 2 · � · r3; la raó entre
els volums és 3/2.d) Vcilindre circumferència = 787,5 cm3.
52. Acercle = 346,19 cm2.
D’aplicació
53. a) A = 509.805.891 km2; V � 1,083.1012 km3.b) A = 142.745.649,5 km2
c) 6,62 vegades.
54. a) 312,3 mL. b) 507,39 mL.
Activitats de consolidació
Pàgines 190-192
1. Elements d’un poliedre
55. 138º 30’; 41º 30’ i 138º 30’.
56. 36 arestes.
57.
2. Poliedres regulars
58. a) C i F. b) A, C i F. c) B i F.
3. Prismes
59. a) Alateral = 15.840 cm2. b) 2.493 cm2.
60. a) No; sí; en el segon cas, dos dels rombes podenser cares laterals.
b) Un prisma triangular i un altre de quadrangular.c) Prisma recte.
61. Alateral = 948,75 cm2.
62. Atotal = 657,51 cm2; Atotal = 3.221,52 cm2.
63. h = 2,95 cm.
4. Piràmides
64. a) Alat. = 615 cm2. b) Alat. = 600 mm2.c) Alat. = 777 cm2 (prenem com a costat de la ba-se 10,5 cm). d) Alat. = 5.328 cm2.
5. Volum de prismes i piràmides
65. 12,5 cm.
66. a) 2.380 cm3. b) 2.117,5 cm3.
67. a) V = 38.880 cm3. b) 1.254 cm3.c) V = 1.188 cm3.
Cares Arestes Vèrtexs
Poliedre 1 8 18 12
Poliedre 2 10 15 7
Poliedre 3 9 21 14
29
68. a) V = 1.734 cm3.b) Qualsevol base d’àrea 72,25 cm2; per exemple,
un quadrat de costat 8,5 cm.
69. a) 56 cm. b) 46,17 dm2.
70. a) Vprisma = 3 · Vpiràmide.b) A: 3; base i altura coincideixen.
B: 6; la base de la piràmide és la meitat.C: 12; la base de la piràmide és una quarta part.D: 6; l’altura de la piràmide és la meitat.
71. a) Recta; els 4 triangles són iguals.b) V = 85.487,4 mm3.
72. Atotal = 21.925,2 cm2.
6. Cilindre
73. Alateral = 7.735,7 cm2; Alateral = 1.631,92 cm2.
7. El con
74. d) Tronc de con. f) Cilindre oblic. i) Con.
75. a) V = 152.700,82 cm3. b) V = 25,84 dm3.
8. Esfera
76. a) V = 748.349,92 cm3.b) 0,096 m3.c) Si hcilindre = 31 cm; V = 27.109,45 cm3.d) V = 749,99 cm3.
9. Per anar més enllà
77. 12 pentàgons.
78. V = 3.168, 5 dm3.
79. V = 2.592.384 mm3.
80. Dibuix del desenvolupament pla del con.
81. a) La del pes; no podem carregar els 2.901,78 kgde pedres en un sol viatge.
b) 3 viatges.
Activitats d’aplicació
Pàgines 193-195
82. Un prisma és un poliedre amb dues bases iguals iparal·leles i cares laterals formades per paral·lelo-grams. Ho són: b), c), e), g) i h).
83. a) 3,94 kg.b) Diagonal d’una cara: 3,39 m; diagonal del cub:
4,16 m.c) 141,38 kg.
84. a) 14,112 m2. b) 0,83 m.
85. 1.152,6 euros.
86. a) 0,556 m2. b) Sí, en diagonal.
87. 29,15 m2.
88. 1. a) 114,5 dm3. b) 132,7 dm3; 86,3 %. c) 9 troncs.2. a) Augmenten. b) Aproximadament, 14 milions
de troncs.3. a) 124,66 dm3. b) Vaprox. = 113,98 dm3.
89. 1. a) 67,31375 m3; 67.313,75 L.b) Suposem que el cilindre i el con no tenen ta-
pa superior; A = 94,62 m2.c) 10,99 m x 0,7 m.
2. 173,18 m3.3. a) Està format per un prisma de base quadrada i
una piràmide quadrangular regular. b) Les dimensions del prisma i l’altura de la pirà-
mide.c) Per exemple, un prisma de dimensions 45 x
45 x 54 dm i una piràmide de 50 dm d’altura.
90. 1. a) 1 pinta = 0,47318 L.b) 1 unça = 0,0296 L = 29,6 mL.c) 1 pinta = 473,18 mL.
1 tassa = 236,59 mL.1 quart 3 unces = 1.035,16 mL.
d) 11,15 unces.2. a) 1 yd3 = 27 ft3.
b) 1 ft3 = 1.728 in3.c) 1 yd3 = 46.656 in3.d) 1 yd3 = 764,55 L.
1 ft3 = 28,32 L.1 in3 = 0,0164 L.
3. a) 1 yd3 = 201,97 galons.b) 1 ft3 = 7,48 galons.c) 1 galó = 0,134 ft3.d) 5 tasses = 1.182,95 cm3.
6 pintes = 2.839,08 cm3.3 galons = 11,356 dm3.
4. 90.886,5 galons = 344.042,67 L.5. El sistema mètric decimal és més pràctic; es ba-
sa en el sistema numèric i ens facilita els canvisd’unitat.
6. 135,139137 m3 = 135.139,137 L.
Matemàtiques i societat
Pàgines 196-197
1. Està formada per parts de superfícies esfèriques.
2. Resposta oberta.
Jocs i enigmes
Pàgina198
DausPrimera seqüència: el d. Segona seqüència: 3.
Els cavalls
B B
V V
B
V B V
B
V
B V
V B
B V
V V B
B
V B
V B
V
B
V B
V
V B B
a) b) c) d)
e) f) g) h)
30
El trenUn minut i mig.V B
V B
V B B
V
V B
B
V
V B
V B
V B
V
B
V
V
B B
V
B V B
V
B V B
i) j) k) l)
m) n) o) p)
V V
B B
q)
31
Pàgina 200
1. 4; les necessàries perquè es puguin utilitzar totsels colors.
2. Mitjançant simetries axials consecutives.
Exploro
Pàgina 201
1. Canvien: B, C, D, E, F, G, J, K, L, N, P, Q, R, S, Z. Nocanvien la resta de lletres.
2. Activitat amb paper.
3. 2: Translació. 3: Simetria i translació. 4: Homotècia.5: Homotècia. 6: Gir.
1. Les translacions
Pàgines 202-203
De consolidació
1. a) i e).
2. Es comprovarà que els alumnes han fet correcta-ment les translacions.
3. Es comprovarà que els alumnes han fet correcta-ment les translacions.
De raonament i comunicació
4. a) Són perpendiculars i iguals.b) Les translacions no obliqües no serien iguals.
D’aplicació
5. 47,9 m.
2. Les translacions i els vectors
Pàgines 204-205
De consolidació
6. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament les fletxes.
7. Es comprovarà que els alumnes han traslladat cor-rectament la figura.
8. (5, –2); (4, 1).
De raonament i comunicació
9. (–8, 7). Hem de fer la translació inversa mitjançantel vector oposat.
D’aplicació
10. a) (3, 2); d = 480,6 m.b) (–3, –2); d = 480,6 m.c) (1, –1); d = 188,5 m.d) (–1, –1); d = 188,5 m.e) (2, –1); d = 298,1 m.f ) (–2, 3); d = 480,6 m.
3. Els girs
Pàgines 206-207
De consolidació
11. Es comprovarà que els alumnes han fet correcta-ment l’activitat.
12. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament el gir d’un triangle escalè.
D’aplicació
13. a) 120º; 10º. b) 540º.
14. a) A: +; B: –. b) D: –; C: +.
4. Les simetries axials
Pàgines 208-209
De consolidació
15. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la figura simètrica.
16. 2 i 4.
De raonament i comunicació
17. Es comprovarà que els alumnes han fet correcta-ment l’activitat.
D’aplicació
18. a), c) i d).
5. Les homotècies
Pàgines 210-211
De consolidació
19. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament les homotècies de raó 1,5.
20. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament les homotècies de raó 0,5.
21. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament l’homotècia del triangle; vèrtexs del noutriangle: (–1, 5), (9, –5) i (17, 15).
De raonament i comunicació
22. a) Falsa. b) Certa. c) Certa. d) Certa.
D’aplicació
23. Podem conservar distàncies amb el compàs i des-prés dibuixar la semirecta que surt del centre O;les interseccions amb les línies de compàs són elsnous vèrtexs.
6. Composició de transformacions
Pàgines 212-213
De consolidació
24. a) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament les translacions.
b) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament els girs.
c) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament les simetries.
10.TRANSFORMACIONS EN EL PLA
32
D’aplicació
25. a) 1 � 2: simetria i gir.1 � 3: translació.1 � 4: homotècia.1 � 5: translació i gir.
b) El cursor permet traslladar la figura per la panta-lla. Es pot girar amb l’eina de dibuix funció de gi-rar. Les ampliacions i reduccions es poden feramb la funció de format d’autoforma.
7.Transformacions amb Cabri
Pàgines 214-215
De consolidació
26. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament transformacions amb Cabri.
Activitats de consolidació
Pàgines 216-218
1. Les translacions
27. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament les figures.
28. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la translació.
29. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la translació.
2. Les translacions i els vectors
30. Obliqües: a), c), e), f) i g). Verticals: d) i h). Horit-zontal: b).
31. Les dues translacions equivalen a una translaciósegons el vector (–5, –3).
32. A = (5, –4); B = (3, –2); C = (1, –9).
33. a) (6, –5). b) (16, 1). c) (4, –3). d) (10, 0) i (0, 15).e) (–8, 7).
34. a) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament les fletxes.
b) v = (2, 3); w = (0, 3); x = (5, 0); y = (1, –3); z = (–5, –2).
3. Els girs
35. a) (–2, 6); (2, –6). b) (–3, 8); (–12, –32). c) (–4, –4).
36. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament els girs.
37. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament els girs.
38. Es comprovarà que els alumnes han determinatcorrectament els centres de gir.
39. Girs del triangle.
4. Les simetries
40. 2 i 4.
41. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament les simetries.
42. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament l’eix de simetria.
43. a) A’B’C’ � (3, –5), (8, –2), (4, –9).b) A’B’C’ � (–3, 5), (–8, 2), (–4, 9).
c) A’B’C’ � (3, –1), (8, 2), (4, –5).
44. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat correc-tament l’eix de simetria; passa per (–1, 0) i (0, 3).
5. Les homotècies
45. Es poden obtenir la 2 i la 3.
46. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament l’homotècia; vèrtexs: (–4, 3), (–3, 0) i(–8, –1).
47. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament l’homotècia.
48. a) Centre: (–8, 0); r = 3. b) Centre: (–8, 0); r = 1/3.
6. Composició de transformacions
49. (11, 4).
50. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament els dos girs consecutius.
51. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament el gir i la translació.
52. 1 � 2: translació; 1 � 3: simetria axial; 1 � 4: gir.
53. a) i b) Es comprovarà que els alumnes han deter-minat correctament els dos girs consecutius.c): Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament les dues simetries consecutives.
Activitats d’aplicació
Pàgines 219–221
54. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la distribució del pis.
55. a) A l’atac. b) A la mà feble. c) Anar a Mart. d) i noridícul.
56. Joc.
57. a) 1 : 40.000; 1 : 25.000.b) 1 : 10.000; 1 : 12.500.
58. 1. A: (–1, 2). B: (1, 2).C: (2, 1). D: (2, –1).E: (1, –2). F: (–1, –2).G: (–2, –1). H: (–2, 1).
2. Alfil blanc: (–1, 1). Reina blanca: (0, 1). Cavall ne-gre: (–2, –1). Alfil negre: (1, –1).
59. 1. a) (9, 5,5). b) (9, 2). c) (4, 9). d) (3, 2,5). e) (11,5, 3,5). f) (16,5, 9,5).
2. a) (1,5, 5). b) 1.305 km.3. Amsterdam.4. a) (–1, 2), (1,5, 3,5), (0, 1,5). b) (0,5, 7). c) (0,5, 7);
obtenim el mateix resultat.5. a) Vol directe: (8, –2,5).
Escales: (2, 5), (6, –7,5). b) 1.652 km.6. 1.520 km.7. a) 576 euros. b) Pot volar a qualsevol ciutat que
es trobi a una distància màxima de 110 km; capde les marcades en el mapa.
60. 1. Es comprovarà que els alumnes han dissenyat iconstruït correctament els ocellets nassarites.
2. Es comprovarà que els alumnes han dissenyat iconstruït correctament els ocellets voladors.
� � � �
�
33
3. Es comprovarà que els alumnes han dissenyat iconstruït correctament l’os.
4. A partir d’un quadrat, la part sobrant de l’ocell dela part superior es trasllada a la part inferior (sónles dues potes), i la part sobrant de la dreta estrasllada a l’esquerra (és una part de la cua).
Matemàtiques i societat
Pàgines 222-223
1. Es comprovarà que els alumnes han construït cor-rectament els frisos.
2. A: model 3. B: model 3. C: model 4.
3. Resposta oberta.
4. Model 1.
5. Model 1.
6. No; No.
7. Models 1 i 2.
Jocs i enigmes
Pàgina 224
L’escaquer i el dòminoEs col·loca una fitxa en horitzontal a la part superiora l'esquerra. Les fitxes següents es col·loquen l'u-na a continuació de l'altra fent essa.
Els dotze cavalls
Els triangles
34
1.Temptegem casos més senzills
Pàgines 226-227
1. a) an = 2n + 3.
b) an = 3 · 4n – 1.c) 2 · 4n – 1.d) an = n3.e) an = (n + 1)3.f ) 18 + 30 · 3n – 1.g) 4 · 5n – 1 – 3.
2. C = S + 1.
3. a) 120. b) 24. c) 12.
4. Quadrat de costat 6 cm. Rombe de costat 6 cm.Rectangle de dimensions 8 cm x 4 cm.Rectangle de dimensions 10 cm x 2 cm. L’àrea mésgran correspon al quadrat.
5. 897,6 euros.
2. Recordem problemes coneguts
Pàgines 228-229
n 4n + 16. a) an = . b) an = .
n2 + 1 n4 + 2
7. 8,66 cm.
8. 3 cm, 4 cm i 5 cm; A = 36 cm2.
3. Interpretem i expliquem els resultats
Pàgines 230-231
9. a) Perquè el cotxe que surt de C haurà recorregutel doble de distància que l’altre; per tant, es tro-baran a 1/3 del trajecte total a partir de A.
b) A 23,3 km del punt A.
10. 400 euros.
11. No, dues voltes mesuren 25,12 cm, i el pendentmesura 18,86 cm.
12. En un 48,6 %.
Resolució de problemes
Pàgines 232-233
13. a) Aproximadament, sí.
b) 2 g.
c) La nova gràfica té un pendent el doble que laque apareix al llibre.
14. 2.754 m2.
15. 60 menús.
16. 12.992 euros.
17. 1.820 euros.
18. a) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.
b) Ha anat més ràpid a l’anada.c) v1 = 30,67 km/h; v2 = 15,33 km/h.
19. a) 12 itineraris.b) ADEBCA (35 km); ACBEDA (35 km).
20. 48.000 W; 64.000 W.
21. 180 pàgines; 112,5 h.
22. 8.
23. a) Incloent-hi la Núria, 3 cops. b) 568,8 mL.
24. 3 assignatures.
25. p = 12 · � · x + 2 · x; p = 198,4 cm.
26. 251,7 euros.
27. a) 3.301,46 m. b) 5,5 min.
28. a) 27. b) 243.
29. a) El vehicle A. b) 60 km. c) El vehicle A (entre les4 h i les 6 h).Velocitats vehicle A: 40 km/h, 0 km/h i –40 km/h.Velocitats vehicle B: 40 km/h i 7,5 km/h.
30. a) L’Òscar. b) 18,3 euros.
n2 n + 131. a) an = . b) an = .
n + 2 6n + 1
32. 60º, 80º, 100º i 120º.
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES
35
Pàgina 234
1. La temperatura del motor, les revolucions del mo-tor, la pressió de diferents elements del motor, lainclinació de la nau, etc.
2. No canvien durant el vol.
3. Velocitat, espai recorregut, revolucions del motor,quantitat de combustible...
Exploro
Pàgina 235
1. 1. a) 9 m; 12 m. b) 10 m/s; 5 m/s. c) 2 m; 15 m/s.
2. a) Entre 0 s i 1,5 s; entre 1,5 s i 3,1 s.b) Entre 1,5 s i 3 s; entre 0 s i 1,5 s.c) 1,5 s; 1,6 s.d) 0 m/s; als 1,5 s; 13 m.
3. La primera gràfica.
1. Concepte de funció
Pàgines 236-237
De consolidació
1. a) Per exemple:
b) Per exemple:
2. És una funció constant: totes les imatges sóniguals a – 8.
3. a) f(x) = 2x + 1.b) f(x) = x3; les imatges següents de la taula són:
125, 1.000...c) f(x) = 3x; imatges: 15, 9, 24...d) f(x) = x + 2; imatges: 12, 9, 4,1...
4. a)
b)
c)
d)
De raonament i comunicació
5. La b), perquè el valor 7 de la variable proporcionadues imatges diferents.
6. Per exemple, massa i volum d’un cos, espai recor-regut i temps transcorregut, preu de la fruita i elseu pes...
2. Representació gràfica de funcions
Pàgines 238-239
De consolidació
7.
Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.
8.
Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.
9. Són contínues a) i d).
10. f(–5) = –3; f(2,5) = 1; f(0) = 2; f(3,5) = 1,2
De raonament i comunicació
11. a) No. b) Sí. c) Sí.
D’aplicació
12. a) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica de l’alçada.
b) Aproximadament, 162 cm.c) Entre els 10 anys i els 13 anys.d) Als 15 anys.
3. Domini i punts de tall amb els eixos
Pàgines 240-241
De consolidació
13. a) (0, 500). b) (0, 300). c) (0, 100). d) En hores: (0, 12)
11. LES FUNCIONS
x 0 1 2 –1 –2 0,5
f(x) –3 –1 1 –5 –7 –2
x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x) 1 2 3 4 5 6 7
x 0 –1 –3 1 3 5
f(x) 3,5 3 2 4 5 6
x –3 0 1 4,5 12
f(x) –9 0 3 13,5 36
x –3 0 1 4,5 12
f(x) –13 8 15 39,5 92
x –3 0 1 4,5 12
f(x) –27 0 1 91,125 1.728
x –3 0 1 4,5 12
f(x) 7 1 3 25,75 157
x –1 0 1 2 3
f(x) –7 –5 –3 –1 1
36
14. a) Els nombres reals (R). b) Els nombres reals po-sitius més el 0 (0, �).
15. a) (0, –2) i (1/3, 0). b) (0, 4) i (4, 0).
De raonament i comunicació
316. a) x = –2; x = 3. Per exemple, f(x) = .
x – 4
4. Creixement i decreixement
Pàgines 242-243
De consolidació
17. Creixent: intervals (–�, –4), (–2, 1), (6, 7).Decreixent: intervals: (–4, –2), (1, 4), (7, �).Constant: interval (4, 6).
18. a) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.
b) Creixent: intervals (1, 4), (7, 8); decreixent: inter-vals (0, 1), (4, 7).
19. a)
Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.b) Mínim: (0, –9).
De raonament i comunicació
20. a) Sí. b) No.
D’aplicació
21. a) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.
21. a) Màxims: (6, 38), (14, 38,2). Mínims: (10, 37,4),(18, 37,6).
b) Sí.
Activitats de consolidació
Pàgines 244-246
1. Concepte de funció
22. a)
b)
c)
d)
23. a) f(–8) = 315, f(–4) = 75, f(–2,5) = 26,25, f(0) = –5,f(3) = 40, f(6) = 175.
b) f(–10) = –7/13, f(5) = –4, f(0) = 1, f(4,6) = –4,75,f(10) = –13/7.
24. a) 0,07 L; 101,5 L. b) f(x) = 0,07x.
2. Representació gràfica de funcions
25. a)
Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.b)
Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.
26. Són de la gràfica els punts següents:a) (3, 4), (0, –5), (100, 295).b) (5, 0), (2, –9), (3, –8), (–1, 0), (–2, 6).
27.
Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.
28. a) x = 1. b) x = 1. c) No hi ha discontinuïtat. d) x = –2, x = 2.
29. a - C; b - B; c - A; d - D.
30. a - C; b - D; c - A; d - B.
31. a) No és una funció contínua; els valors de la varia-ble són discrets; no té sentit el valor 2,5.
b) Sí, si ho comprem a pes, es tracta d’una variablecontínua; té sentit calcular el preu de qualsevolpes.
3. Domini i punts de tall amb els eixos
32. a) (0, 180). b) (0, �). c) (0, 90).
33. a) Els nombres reals. b) Els nombres reals positius.c) i d): Els nombres reals.
34. a) (0, –12), (12/7, 0). b) (0, 0) c) (0, 3), (3/2, 0).d) (0, 5), (–1/3, 0).
35. (–2, 0), (0, 12), (2, 0).
36. a) (0, –8), (4, 0).
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
f(x) 7 0 –5 –8 –9 –8 –5 0 7
x 0 0,25 0,75 1 1,5 3 3,5 4
f(x) 0 0,5 0,87 1 1,22 1,73 1,87 2
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
f(x) 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
f(x) 33 19 9 3 1 3 9 19 33 51
x 0 1 2 3 4 5 –1 –3 –5 –7
f(x) 3,5 4 4,5 5 5,5 6 3 2 1 0
x 0 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 5
f(x) 1 1/3 1/9 1/27 1/81 3 9 27 81 243
x 0 2 3 4
f(x) –5 –1 1 3
x 0 2 –2 4 –4
f(x) 15 11 11 –1 –1
37
b)
4. Creixement i decreixement
37. Creixent: intervals (–�, –3), (–1, 2), (7, 8).Decreixent: intervals (–3, –1), (2, 4), (8, �).Constant: interval (4, 7).
38. a) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.
b) Interval creixent: (–2, 0), (1, 4). Interval decrei-xent: (0, 1), (4, 5).
c) Màxim absolut: (4, 6); mínim relatiu: (1, –3).
39. a)
b) Creixent: interval (–1, �). Decreixent: interval(– �,–1).
c) Mínim: (6, –1).
40. a)
b) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.
b) Creixent: tots els nombres reals.c) No n’hi ha.
5. Per anar més enllà
41. a) (–15/2, 0). b) (3, 0), (–5, 0). c) (6, 0). d) No hi hapunt de tall amb l’eix de les abscisses.
42.
43. a) f(9) = 5,9; f(13) = 4,2; f(15) = 3,6. b) f(8) = 6.
44. a)
Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament la gràfica.b)
Activitats d’aplicació
Pàgines 247-249
45. a) Mesos de l’any i augment de l’IPC.b) No, no es pot expressar amb una equació.c) Contínua.d) Màxim: juny; Mínims: gener, juliol.e)
f) No; l’IPC depèn d’alguns factors no previsibles:evolució dels preus de l’energia, conflictes...
46. a) Escriure taules de valors per les funcions:I = 0,964 · V; I = 1,092 · V; I = 0,886 · V;I = 1,142 · V.
b) I = 0,964 · V.c) I = 1,136 · V.
47. a) 7.584 euros; 7.392 euros.b) R = 12 · e; D = [0, 650].
R = 13,2 · e; D = [0, 600].c) 550 espectadors; 500 espectadors.d) 13 euros.
48. a) f(1) = 0; f(40) = 0; f(78) = 1; f(85) = 2.b) g(4) = 0; g(35) = 0; g(45) = 1; g(70) = 1.c) f(x): discontinuïtats en x = 76, x = 80.
g(x): discontinuïtat en x = 38.d) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-
rectament les gràfiques.
49. a) 93-95. b) 84-83. c) 88-85. d) Al voltant del minut39. e) 2 triples; 3 triples.
50. a) Posició a la classificació, diferència de gols.b) Diferència de gols.c) Quan guanya: posició i gols en contra. Quan
perd: nombre de punts, nombre de partits gua-nyats i gols a favor.
51. 1. b)2. Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-
rectament la gràfica.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 8 5,25 3 1,25 0 –0,75 –1 –0,75 0
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
f(x) 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16
x –6 –4 –2 –1 0 1 2 4 6
f(x) 1,82 –1,59 –1,26 –1 0 1 1,26 1,59 1,82
x 3 –3 –5 7 –8,5 15,5 –100 –308
f(x) 3 3 5 7 8,5 15,5 100 308
x –1 3 3,5 3,7 3,9 4,1 4,2 4,5 5 8
f(x) –0,2 –1 –2 –3,3 –10 10 5 2 1 0,25
x –5 –3 –1 1 3 5
f(x) –18 –14 –10 –6 –2 2
Mes G F M A M J
A.IPC –0,8 –0,5 0,3 1,7 1,9 2,1
Mes J A S O N D
A.IPC 1,5 1,9 2,5 3,3 3,5 3,7
y =/x/
38
52. a) 0,4 euros; 1,29 euros; 18,5 euros. b) 270 fo-tocòpies.
53. 1. 90º, 30º.2. a) 360º, 6º. b) 30º, 0,5º. c) 90º. d) minuts: 60º; ho-
res: 5º. e) 35º; 40º.3. a) 90º, 50º, 160º, 120º.
b) Màxim: a les 3 h 49’. Mínim: a les 3 h 16’. c) (3, 3:16); (3:49, 4).d) (3:16, 3:49).
4. a) 100º, 140º, 60º, 30º. b) Posició coincident. c) 12, 11. d) 22, 22.
Jocs i enigmes
Pàgina 250
Torres de HanoiEs comprovarà que han jugat correctament aaquest joc.
39
Pàgina 252
1. Aprox., 882.353 vegades.
2. 1.700 m; 3.400 m.
3. Són directament proporcionals.
Exploro
Pàgina 253
1. a) 40.000 km; 30.000 km.b) 1.667 km/h.c) El segon gràfic.
2. a) 942.000.000 km; 8.760 h. b) 107.534 km/h. c) e = 107.534 · t. d) 2.580.816 km.
1. Les funcions lineals
Pàgines 254-255
De consolidació
1. Són lineals a), c) i d).
2. No es tracta d’una funció lineal.
3. f(–8) = –64; f(–2) = –16; f(0) = 0; f(5) = 40; f(8) = 64.
4. a) f(10) = 30. b) f(–5) = –18.
5. Són funcions lineals: a) m = 1/7. c) m = 7/3. d) m = 2.e) m = 1.
De raonament i comunicació
6. a) f(1.000) = 2.000; f(–2,6) = –5,2; f(0,007) = 0,014;f(0) = 0; f(3/10) = 3/5.
b) No.c) El conjunt dels nombres reals.
7. 0.
D’aplicació
18. a) Sí; E = · D. b) = 1,243 · E.
1,243
2. Gràfica de les funcions lineals
Pàgines 256-257
De consolidació
9. a)
b)
c)
d)
12. LES FUNCIONS LINEALS I AFINS
x –1 0 1 2 3
f(x) –2 0 2 4 6
x –2 –1 0 1 2
g(x) –0,4 –0,2 0 0,2 0,4
x –2 –1 0 1 2
h(x) 2 1 0 –1 –2
x –2 –1 0 1 2
i(x) 6 3 0 –3 –6
f(x) = 2x
g(x) = 0,2x
h(x) = –x
i(x) = –3x
40
e)
f)
10. f(x) = 3x; g(x) = –2x. Es comprovarà que els alum-nes han representat correctament les dues fun-cions.
11. a) i c).
De raonament i comunicació
12. f(x) = –3x. Es comprovarà que els alumnes han re-presentat correctament la funció.
13. Per exemple, f(x) = –7x.
14. Per exemple, f(x) = 0,05x.
D’aplicació
15. a) 10,60 dòlars. b) 12 euros. c) La f(x) és: D = 2,04 · L;es tracta d’una funció lineal que es pot representar.
3. Les funcions afins
Pàgines 258-259
De consolidació
16. Són afins:a) f(x) = 3x + 5; m = 3, n = 5.
c) f(x) = –9 + 4x; m = 4, n = –9.d) f(x) = –10 – 2x; m = –2, n = –10.e) f(x) = –x + 1; m = –1, n = 1.h) f(x) = 3 + 3x; m = 3, n = 3.
17. f(–7) = –51; f(–2) = –11; f(0) = 5; f(7) = 61; f(10) = = 85.
18. f(–20) = 110; f(–4) = 30; f(0) = 10; f(8) = –30;f(17) = –75.
19. a) P = 25 · s + 3.830.b) B = 16,25 · e – 22.500.c) L = 24.000 – 0,25 · t.
20. f(x) = 3x + 2.
21. Constants: c) i e). Lineals: b) i d). Afins: a) i f).
D’aplicació
22. a) 1,3 atm; 2,8 atm. b) P = 0,1 · p + 1.
4. Gràfica de les funcions afins
Pàgines 260-261
De consolidació
23. a)
b)
x –4 –2 0 2 4
j(x) –2 –1 0 1 2
x –1 –0,5 0 0,5 1
k(x) –4 –2 0 2 4
x 0 1 2 3 4
f(x) –7 –4 –1 2 5
x –8 –3 0 2 7
g(x) –1 0 0,6 1 2
j(x) = x/2
k(x) = 4x
f(x) = 3x – 7
g(x) = 0,2x + 0,6
41
c)
d)
24. f(x) = 3x – 2. Representació de la gràfica.
25. Creixents: g(x), h(x), k(x), l(x). Decreixents: f(x), j(x).
26. a) m = 3. b) m = –3/4.
De raonament i comunicació
27. Com a mínim dues parelles.
D’aplicació
28. a) Luminox: 1.805 euros; 1.962,5 euros. Goretel: 1.850 euros; 1.937,5 euros.
b) f(x) = 0,0225 · x + 1.400.g(x) = 0,0125 · x + 1.625.
c)
d) Es comprovarà que els alumnes han dibuixat cor-rectament les dues gràfiques.
e) Goretelf ) A partir dels 22.500 euros.
5. Gràfiques de funcions amb ordinador
Pàgines 262-263
De consolidació
29. a)
b)
30. Es comprovarà que els alumnes han representatcorrectament les gràfiques amb Derive.
31. Es comprovarà que els alumnes han representatcorrectament les quatre gràfiques amb Derive; ob-tenim dues rectes que es tallen a (0 , 1), una altrarecta prou vertical i una altra marcadament horit-zontal.
32. Es comprovarà que els alumnes han representatcorrectament les quatre funcions amb Derive. Ob-tenim quatre rectes paral·leles.
33. Es comprovarà que els alumnes han representat lagràfica a l’ordinador.
x –6 –3 0 3 6
i(x) 9 7 5 3 4
x 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000
f(x) 1.625 1.737,5 1.850 1.962,5 2.075
g(x) 1.750 1.812,5 1.875 1.937,5 2.000
x –2 0 2 4 6
h(x) 0 1 2 3 4
h(x) = x/2 + 1
i(x) = –2x/3 + 5
f(x) = 4 – 6x
f(x) = 3x + 2
42
34. Es comprovarà que els alumnes han representatcorrectament les gràfiques amb Derive.
6. L’equació de la recta
Pàgines 264-265
De consolidació
35. Eix d’abscisses: c), d) i f). Eix d’ordenades: a), b) ie).
36. a) (–2/3, 0). b) (2/3, 0). c) (15, 0). d) (–9/8, 0).
37. a) (0, 4). b) (0, 5). c) (0, –4). d) (0, 4).
38. a) m = 2; n = 6. b) m = 4; n = –1.
39. f(x) = –2x + 5.
40. m = 3.
41. a) f(x) = 2x – 7. b) f(x) = –3x + 7. c) f(x) = –2,5x –2,5.d) f(x) = 3x.
De raonament i comunicació
42. No, el mateix valor de x té dues imatges diferents.
Activitats de consolidació
Pàgines 266-267
1. Les funcions lineals
43. Corresponen a funcions lineals: a), c) i d).
44. a) f(x) = –x/5. b) f(6) = 24.
45. 8,05 euros.; I = 2,3 · p.
46. V = 8/3 · h; sí.
47. a) Sí; I = 6,25 · e. b) Sí; V = C/1.000. c) No; l’importtambé depèn d’una quantitat fixa.
2. Gràfica de les funcions lineals
48. Creixents: a), c), e) i f). Decreixents: d) i b).
49. A - d, B - c, C - b, D - a.
50. a)
b) Es comprovarà que els alumnes han fet la verifi-cació gràfica.
c) Es comprovarà que els alumnes han representatcorrectament la funció f(x) = 4x/5.
d) Els dos pendents corresponen a la funció lineal:f(x) = –3x/4.
51. a) f(x) = x. b) f(x) = –x.
3. Les funcions afins
52. I = 0,6 · C + 5.
53. C = 0,8 + I/1.000.
4. Gràfica de les funcions afins
54. A - b, B - a, C - c, D - d.
55. a) m = 3; n = –6. b) m = –2; n = 4. c) m = 0,5; n = 9.d) m = –2; n = –3. e) m = 1/3; n = 5/3. f) m = 4;n = 2,5. g) m = 10; n = –4. h) m = 2; n = –8.
56. A - c, B - b, C - d, D - e, E - a, F - f.
57. a) f(x) = 6x – 9. b) f(x) = –4x + 18.
58. Perquè un sol valor de x (x = –3) té infinites imat-ges.
5. L’equació de la recta
59. a) f(x) = 3x + 8. b) f(x) = 5x + 4.
60. a: f(x) = –x/3 + 8/3. b: f(x) = –x + 4. c: f(x) = 4x – 3.d: f(x) = 7x/12 + 1,5.
Activitats d’aplicació
Pàgines 268-269
61. a) 5 m/min.; 225 m. b) 2.395 m. c) A = 5 · t + 1.720.d) 2 h 36’. e) Aproximadament, a les 9 h 12’.
62. a)
Es tracta d’una funció lineal.b) Pr = 0,85 · Pi; m = 0,85. c) 85 %; 65 %.
63. a) Sí. b) 23,70 lliures. c) L = 0,65 · E; E = L/0,65.
64. a) Oferta A: G = 25x + 500. Oferta B: G = 20x + 750.
b) a - B, b - A.c) A partir de 50 enciclopèdies.
x –4 –3 –2 0 1 3 5
f(x) –8/3 –2 –4/3 0 2/3 2 10/3
P. inic. 25 70 225 275 300 500
P. reb. 21,25 59,5 191,25 233,75 255 425
f(x) = –2x + 5
f(x) = 2x/3
43
65. 1. a) 207,24 cm. b) 2,0724 m. c) E = 2,0724 · v; lineal. d) 2,0724 km; 57,9 voltes.
2. E = 6,2172 · p; m = 6,2172.3. E = 1,91 · p.4. 4.188 + 1.930 = 6.118 pedalades.
66. a) 4,56 euros; 12,8 euros, 29 euros.b) Gràfiques de f(x) = 0,38x; g(x) = 0,32x;
h(x) = 0,24x; i(x) = 0,20x.c) 28,5 euros; 24 euros; 18 euros; 15 euros.d) Es comprovarà que els alumnes han ressaltat en
les gràfiques els trams d’aplicació dels preus.e) 47,5 euros; 22,5 euros.
f ) 24 fotos: 9,12 euros; 28 fotos: 8,96 euros. 99 fo-tos: 23,76 euros; 118 fotos: 23,6 euros. Es pro-dueix la incongruència que, en determinatstrams, surt més econòmic imprimir més fotos.
Jocs i enigmes
Pàgina 270
Els ponts de KönigsbergNo es pot.
El problema dels colorsNo es necessiten més colors.
44
Pàgina 272
1. a) Criteris aleatoris. b) Resposta oberta.
Exploro
Pàgina 273
1. a) ADN; Segre.b) No necessàriament; els criteris de selecció uti-
litzats també són molt importants.c)
d)
2. Diagrama de barres; es poden representar, en unúnic diagrama i amb tres barres consecutives elsresultats de cada partit; això no és possible amb undiagrama de sectors.
3. El segon; molts votants tenen un vot “ocult”, queno manifesten.
1. Població, variable estadística i freqüències
Pàgines 274-275
De consolidació
1. Població: els arbres del bosc.Mostra: arbres de 10 ha.Variable: gruix dels arbres.
2. Quantitatives: a) i d). Qualitatives: b), c) i e).
3. Població: població adulta amb edat i permís per vo-tar.Variable: partit polític votat (v. qualitativa).
4.
De raonament i comunicació
5. Sí; es pot convertir en una variable quantitativaqualificant de 1 a 5 (de molt dolenta a molt bona).
2. Diagrames de barres i de sectors. Ús d’Excel
Pàgines 276-277
De consolidació
6.
7.
De raonament i comunicació
8. Els diagrames de sectors s’utilitzen preferentmentquan indiquen percentatge, quan treballem ambfreqüències s’utilitzen més aviat els diagrames debarres.
D’aplicació
9. a) Pèrdua: 16,6 %; Altres: 0,3 %; Consum munici-pal: 3,6 %; Agricultura i altres: 16,8 %; Úsdomèstic: 62,7 %.
13. ESTADÍSTICA
Error (diputats)
Sondeig PSC CiU ERC PP ICV
El País 5-6 3 1 0 1-2
Segre 2-3 8-10 4-5 0-1 2-4
ADN 3-4 0-1 1 0-1 0-2
La Vanguardia 1-3 2-4 2-4 1 1-3
n. llibres fi Fi hi Hi
0 1 1 0,02 0,02
1 5 6 0,1 0,12
2 11 17 0,22 0,34
3 14 31 0,28 0,62
4 8 39 0,16 0,78
5 8 47 0,16 0,94
6 2 49 0,04 0,98
7 1 50 0,02 1
5.000.0004.000.0003.000.0002.000.0001.000.000
0
Mat.
org.
Vidre
Paper
/c
Envas
os
Res. V
ol.
Resta
45
b)
c) 82,3 m3/hab.
3. Agrupació de dades. L’histograma
Pàgines 278-279
De consolidació
10. Per exemple,
11. Es comprovarà que els alumnes han fet correcta-ment l’histograma.
De raonament i comunicació
12. La resposta b). Les dades són més disperses.
13. 12 + 31 + 34/2 = 60 dies.
4. Mesures de posició central: mitjana,
mediana i moda
Pàgines 280-281
De consolidació
14. x = 5,1; Me = 5,5; Mo = 6.
15. x = 49,7 , classe mediana = [30, 50), classe modal= [30, 50).
De raonament i comunicació
16. Sí; a partir del valor x = 25 poden donar-se valorsmolt superiors que facin que la mitjana valgui 50.
17. L’única mesura amb sentit és la Mo. (La nacionali-tat més abundant).
18. La Me; el valor 46 fa que la mitjana no sigui tan re-presentativa.
5. Mesures de posició no central: els quartils
Pàgines 282-283
De consolidació
19. a) x = 5,2; Me = 5; Mo = 2,4 i 5.
b) Q1 = 3; Q2 = 5; Q3 = 7.
20. a) x = 86,27; Me = 84,25.
b) Q1: 2n interval. Q2: 3r interval. Q3: 4t interval.
c) 5è interval.
De raonament i comunicació
21. a) xabs = 64,36; xdies consum = 87,76.Tenint en compte els 22 dies amb consum: Q1 = 67; Q2 = 76,3; Q3 = 84,1.
b) Sí; no. La mitjana es veu afectada perquè estracta d’un valor molt elevat; els quartils, no, jaque són mesures posicionals.
D’aplicació
22. Q1: 25-29; Q2: 35-39; Q3 = 55-59.
6. Les mesures de dispersió: el rang i la
desviació típica
Pàgines 284-285
De consolidació
23. a) R = 3,2. b) x = 13,92; s = 0,91.
24. a) R = 439. b) Dx = 101,8; s = 120,2.
De raonament i comunicació
25. a) Hi haurà diferència; aquesta diferència varia se-gons els intervals que establim. La mesura pre-cisa és la mitjana calculada amb les dades sen-se agrupar; la diferència que observems’anomena “error d’agrupament”.
b) És convenient agrupar les dades quan la variablequantitativa pren molts valors diferents.
c) Dx = 10,6; s = 13,62; són una mica diferents.
26. La mediana i el rang.
7. Aplicacions de la desviació típica
Pàgines 286-287
De consolidació
27. a) CAP 1: x = 3,16; s = 2.96. CAP 2: x = 4,94; s = 4,08.
b) CV1 = 0,94; CV2 = 0,83. És més gran la dispersiórelativa al CAP 1.
c) El 96 %.
D’aplicació
28. a) xT màx = 20,22 ºC; xT mín = 8,26 ºC.b) sT màx = 1,55; sT mín = 2,71.c) CVtmàx = 0,077; CVtmín = 0,328; hi ha més dis-
persió en les mínimes; en aquest cas hi ha mésvariabilitat entre les temperatures de les comar-ques interiors i les més properes a la costa.
8. Les mesures estadístiques i les eines
de càlcul
Pàgines 288-289
De consolidació
29. Càlcul amb Excel:xA = 25,46; xB = 23,63.sA = 4,17; sB = 3,65.
Pacients Marca classe fi hi
[80-130) 105 7 0,23
[130-180) 155 14 0,47
[180-230) 205 3 0,1
[230-280) 255 6 0,2
500
400
300
200
100
0Altres Consum M. Agric. i
altresÚs
domèstic
46
CVA = 0,163; CVB = 0,154.Les edats estan més agrupades en l’equip B; lesdispersions absoluta i relativa són menors.
30. Hi ha dues modes: 8 i 9.x = 9,04; Q1 = 7; Q2 = 8; Q3 = 11.
31. a) x A = 7; xB = 10.Q1A = 5; Q2A = 7; Q3A = 8.Q1B = 6,5; Q2B = 10; Q3B = 12,5.
b) És més regular el jugador A.
32. x = 5,39; s = 1,83.
D’aplicació
33. A11 – A9.
9. Sèries temporals
Pàgines 290-291
D’aplicació
34. a) Es comprovarà que els alumnes han representatcorrectament les dades.
b) xmón = 2,88 milions; xAS = 2,13 milions.c) xmón = 4,43 milions; xAS = 3,15 milions.d) 0,65; 0,68. La diferència és deguda als dèficits
sanitaris que pateix aquesta regió africana.
35. a) 3,51%. b) 3,3 %. c) i d) 4,1 %. e) 1,5 · 1,038 = 1,56 euros.
Activitats de consolidació
Pàgines 292-293
1. Població, variable estadística i freqüències
36. a) Qualitativa ordinal. b) Quantitativa contínua. c) Qualitativa nominal. d) Quantitativa contínua. e) Quantitativa discreta.
37.
38.
39.
Es comprovarà que els alumnes han representatcorrectament les dades amb un gràfic de sectors.
3. Agrupació de dades
40. a) i b)
c) Es comprovarà que els alumnes han fet correc-tament l’histograma.
41. a) No, són intervals d’amplituds diferents i la majo-ria tenen una marca de classe amb decimal.
b) Per exemple:
c) Es comprovarà que els alumnes han fet correc-tament el polígon de freqüències.
42. No és cert; si fos així, l’esperança de vida de lesdones alemanyes i espanyoles superaria els 100anys.
43.
fi Fi hi Hi
M. bona 140 140 0,07 0,07
Bona 720 860 0,36 0,43
Regular 840 1.700 0,42 0,85
Dolenta 240 1.940 0,12 0,97
M. dolenta 60 2.000 0,03 1
xi fi Fi hi Hi
0 2 2 0,067 0,067
1 17 19 0,567 0,634
2 8 27 0,267 0,901
3 3 30 0,1 0,1
Pesos fi hi
[50-58) 6 0,15
[58-66) 18 0,45
[66-74) 14 0,35
[74-82) 2 0,05
Alçada fi hi
[150-160) 6 0,1
[160-170) 15 0,25
[170-180) 27 0,45
[180-190) 8 0,133
[190-200) 4 0,067
Punts fi hi %
1 12 0,16 16
2 17 0,227 22,7
3 20 0,267 26,7
4 17 0,227 22,7
5 9 0,12 12
Edat M. classe fi Fi hi Hi
[18-28) 23 10 10 0,25 0,25
[28-38) 33 12 22 0,3 0,55
[38-48) 43 6 28 0,15 0,70
[48-58) 53 7 35 0,175 0,875
[58-68) 63 4 39 0,1 0,975
[68-78) 73 1 40 0,025 1
47
4. Mesures de posició central
44. x = 69,43; Me = 68; Mo = 80.
45. a) Títol del llibre; els diferents títols.b) Es comprovarà que els alumnes han fet correc-
tament el diagrama de barres.c) Corsarios de levante és el llibre més venut.
46. 28,25 euros.
6. Les mesures de dispersió
47. R = 8.
48. a) El primer; el primer. b) El segon.
49. a) Quantitatius.b) Segurament, Espanya. Hi ha moltes persones
residents a Catalunya que van immigrar fa anysi també s’està incorporant molta immigraciód’altres països, factors que provoquen valors ex-trems a la primera pregunta.
7. Aplicacions de la desviació típica
50. Primer compte: s = 1.480,72; CV = 0,288. Segoncompte: s = 217,23; CV = 0,047. En el cas del se-gon compte, el saldo és més previsible. (Les dadeses troben més agrupades al voltant de la mitjana).
Activitats d’aplicació
Pàgines 294-297
51. a) Si es captura menys, augmenta el preu, i a l’in-revés, d’acord amb la llei d’oferta-demanda.
b) Entre 0,8 euros i 1 euro.
52. a) 1.993; 2.002. b) 9,55 %. c) Es comprovarà queels alumnes han representat correctament elgràfic.
53. a) Q1 = 8; Q2 = 11,7; Q3 = 14,25.b) El supera en 1,5 punts.c) 1,3; relativament; el millor seria estar molt per
sota de la mitjana.d) Resposta oberta.
54. a)
b) x = 5,45; Me = 5,45. Idèntics, les dades es dis-tribueixen amb prou simetria al voltant de la mit-jana.
c) s = 0,16; CV = 0,029; les dades estan agrupa-des.
d) 5,45.e) ER = 1,4 %.
55. a) x = 7.671; s = 16.258.b) x = 3.334; s = 3.848.Aquests càlculs són més orientatius que els obtin-guts a a); les dades extremes es donen poc i nosón tan representatives.
c) Me = 2.202; s’acosta més a la segona mitjana.d) x = 760 ; no, perquè hi ha dades prou diferents
d’aquest valor.e) Es comprovarà que els alumnes han representat
correctament el gràfic de sectors.
56. a) x = 2,83. b) x = 3,18. (Les dades de la taula cor-responen a l’any 2001.)
57. a) xH = 178,13; SH = 2,59.xD = 166,13; SD = 1,52.xH = 177,36; SH = 1,59.xD = 165,96; SD = 0,72.Hi ha diferències; són molt més fiables les me-sures tenint en compte les poblacions.
b) CVH = 0,015; CVD = 0,009CVH = 0,009; CVD = 0,004És més alt el coeficient dels homes; això vol dirque les alçades de les dones es troben mésagrupades al voltant de la mitjana.
7,5 + 17,5 + 32,558. 1. xET � = 19,2.
3
22,5 + 42,5 + 57,5xAL � = 40,8.
3La diferència respecte a la Me és la mateixa. 2. a) Els països desenvolupats presenten una for-
ma similar a l’alemanya (perfil de ceba); la res-ta de països presenta l’altre perfil (perfil pago-da).
b) RI: França, Suècia, Espanya, EUA: 35; Pakis-tan: 30; Senegal, Filipines, Gaza: 25.
3. Aproximadament, 51 milions.4. No. Significaria una esperança de vida superior a
l’actual.5. La mortalitat als països subdesenvolupats fa
que hi hagi poques persones d’edat avançada,però la natalitat és elevada. En els països des-envolupats, amb menys natalitat, les personesviuen més anys.
6. És un diagrama de barres doble i horitzontal.
59. 1.
2. Les estacions són, respectivament: Polar, medi-terrània, equatorial, tropical i continental.
Jocs i enigmes
Pàgina 298
Moviment d’animalsEs comprovarà que els alumnes han fet l’intercan-vi dels animals correctament.
Passejant per la ciutat
210 camins diferents.
Densitat fi Fi
[4,8-5,2) 3 3
[5,2-5,6) 18 21
[5,6-6) 8 29
Clima Eq. Trop. Des. Med. Oc. Cont.
T. m. 26 25 28 18 17 10
O. t. 1 2 18 15 10 30
M. pl. 160 130 5 48 95 54
s 43 80 2 18 40 23
48
Pàgina 300
1. Cúbic: 1, 2, 3, 4, 5, 6.Octaèdric: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
2. Treure un nombre parell; tenim 3 resultats possi-bles.
3. Mínim: 2. Màxim: 14. Cada resultat té una proba-bilitat diferent; la variable suma pot tenir més omenys resultats possibles.
Exploro
Pàgina 301
1. 1. Joc.2. a) No; cap resultat suma no serà 1.
b) A la 5, hi ha més sumes possibles.c) 9 sumes diferents: mínima 2, màxima 10.d) 2 i 10: 1 resultat
3 i 9: 2 resultats.4 i 8: 3 resultats.5, 6 i 7: 4 resultats.
2. 1. A les caselles cara-creu el resultat és més pro-bable.
2. X XC X
C C
1. Els experiments aleatoris
Pàgines 302-303
De consolidació
1. Previsibles: a), c) i d). Aleatoris: b) i e).
2. Elementals: a), b) i c). Compost: d).
3. a) 7, 8. b) 1, 3, 5 i 7. c) 1, 2, 3 i 4.
De raonament i comunicació
4. No; Sí. En el cas dels escacs, el moviment de les fit-xes està en funció de la nostra estratègia; en el casdel pòquer depenem de l’atzar quan triem cartes.
5. És certa parcialment, si complim les normes de se-guretat viària, és molt poc probable que ens atro-pellin.
6. Evitar la resposta insegura. (L’encert dependria del’atzar.)
D’aplicació
7. a) Tetraèdric: {1, 2, 3, 4}.Cúbic: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Dodecaèdric: {1, 2, 3, ..... 10, 11, 12}.Icosaèdric: {1, 2, 3, ...... 18, 19, 20}.Octaèdric: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
b) Impossible: tetraèdric i cúbic; és possible ambels altres daus.
c) Amb el tetraèdric.d) p = 1/48.
2. Probabilitat experimental
Pàgines 304-305
De consolidació
8. a)
Sí.b) 0,596.
De raonament i comunicació
9. No.
D’aplicació
10. a) 9.600. b) p(Vm) = 1/4; p(B) = 1/3. p(Vd) = 5/12.c) 15 boles vermelles, 20 blaves i 25 verdes. d) No,haurien de sortir 3.200 vegades cadascuna; els 3colors serien igualment probables.
3. La llei de Laplace. Aplicacions
Pàgines 306-307
De consolidació
11. Equiprobables: a), c) i e); no equiprobables: b), d) if).
12. Sí; la ruleta solament es recolza damunt un punt decontacte associat a un color.a) p(G) = p(Vm) = p(Vd) = p(B) = 1/4.b) p(G) = 1/2; p(Vd) = p(B) = 1/8; p(Vm) = 1/4.
De raonament i comunicació
13. Molt probablement serà així. A mesura que aug-menta el nombre d’experiències, les probabilitatsestadística i teòrica coincideixen.
14. Que no sempre s’encerta el pronòstic; hi ha fac-tors que no es poden preveure.
D’aplicació
15. a) Extreure cadascuna de les 48 cartes.b) Sí.c) p(fig. esp.) = 1/16; p (6 de copes) = 1/48; p(5) =
1/12; p(rei o cavall) = 1/6.
16. a) A. b) 1/8.c) Dividint l’angle que formen els talls consecutius
per 360º.
17. Si utilitzem 100 talonaris de 100 butlletes: 600 €. Elpremi són 1.200 €. La recaptació serà de 10.000 €.Per tant, es recaptaran 8.200 €.
4. Experiments aleatoris compostos
Pàgines 308-309
De consolidació
18. 1/12 ; 1/4.
14. LA PROBABILITAT
100 t. 200 t. 300 t. 400 t. 500 t.
Pla 0,36 0,335 0,36 0,38 0,404
Revés 0,64 0,665 0,64 0,62 0,596
49
19. Amb l’alfabet de 26 lletres, suposant contrasenyesde 4 lletres diferents: 1/358.800.
20. 1/24.
D’aplicació
21. a) Sense tenir en compte l’ordre: 18 possibilitats.b) Sí; sí.c) 1/18.
Activitats de consolidació
Pàgina 310
1. Els experiments aleatoris
22. Aleatoris: a), b), c) i d). Previsibles: e) i f).
23. a) Molt probable. b) Poc probable. c) Probable.
24. a) Per exemple, obtenir un nombre natural inferiora 5.
b) Per exemple, obtenir un múltiple de 17.
2. Probabilitat experimental
25. 7 cops.
26. h = 0,167; a mesura que augmenta el nombred’experiències, la freqüència relativa s’acosta a laprobabilitat teòrica.
27. a) p(cara) = 0,713; p(creu) = 0,287.b) Es tracta d’una moneda defectuosa; les dues
probabilitats són molt diferents de 0,5.
3. Llei de Laplace
28. a) 0,012. b) 0,988.
4. Experiments aleatoris compostos
29. Es comprovarà que els alumnes han representatcorrectament el diagrama d’arbre: Podem fer elmateix arbre amb creu inicial.a) 6 casos: CXXC, XCCX, CXCX, XCXC, CCXX i
XXCC.b) 4 casos: CXXX, XCXX, XXCX, XXXC.
30. a) 1/9. b) 5/9.
31. a) 1/5. b) 1/2.
32. 1/216.
33. 1/24.
Activitats d’aplicació
Pàgines 311-313
34. b)
35. a) 0,4624. b) 0,4352. c) 0,1024.
36. a) 1/10. b) 6/100. c) 27/100.
37. a) Hi ha 12 resultats possibles.b) 1/12. Seran consecutivament: 1/12, 1/11 i 1/10.
38. a) 7 casos. b) 1/7; sí. c) No.
39. a) 8. b) 1/8 c) 3/8. d) 1/2. e) 4, 0 , 0, 1/4.
40. a) 16. b) 1/2. c) 1/2. d) 1/4.
41. 1/27.
42. 1/16; 15/16.
43. 1/3.
44. a) 1a forma: 42 resultats; 2a forma: 21 resultats; 3aforma: 49 resultats. b) 1/42, 1/21, 1/49.
45. 1/16; 15/16.
46. a)
b) 66/419. c) 142/208. d) 137/419.
47. a) 315. b) 1/315.
48. a) Prova experimental, completar taula.b) El corresponent a les 50 tirades.
49. Es comprovarà que els alumnes han generat cor-rectament una llista aleatòria amb la tecla KAN.
50. Es comprovarà que els alumnes han generat cor-rectament una llista aleatòria amb Excel.
51. 1. 5 · (2/3) – 8 · (1/3) = 0,67.2. a) 12 · (3/12) – 10 · (3/12) = 0,5.
b) Es poden guanyar 25 euros.3. a) 3 · (24/48) + 2 · (12/48) – 5 · (12/48) = 0,75.
b) Esperem guanyar 75 euros.4. 398 · (1/243) = 1,64 euros.5. a) –1/37. b) –10/376. 8.747 euros.
Jocs i enigmes
Pàgina 314
La moneda falsaAquest és un problema molt complicat. Pot ser in-teressant mostrar la solució per fer veure la im-portància de la lògica.
Solució APrimer cas: la moneda falsa pesa més Pesem dos grups de quatre monedes. Si pesenigual, la moneda falsa es troba en les altres quatremonedes. Si no pesen igual, la moneda falsa estroba entre les monedes que pesen més. Agafemel grup de monedes que conté la moneda falsa iles dividim en dos grups de dues monedes, quepesem. Finalment, agafem les dues monedes quepesen més, i les pesem. La moneda que pesa mésde les dues és la falsa. Segon cas: no sabem el pes de la moneda falsa En la primera pesada agafem vuit monedes i po-sem quatre monedes en cada platet. Poden donar-se dues situacions: que la balança quedi equilibra-da o bé que no hi quedi.a) Si la balança queda equilibrada, totes les mone-
des són bones. La falsa es troba en les quatrerestants. En aquest cas, pesarem tres de lesmonedes dubtoses amb tres de les que ja sa-bem que són bones. Si la balança queda equili-brada, la moneda falsa serà la moneda dubtosaque no hem pesat. En cas que quedi desequili-
Alumnes Noies Nois Total
Amb ulleres 66 71 137
Sense ulleres 142 140 282
Total 208 211 419
50
brada, sabrem si la moneda falsa pesa més omenys que les autèntiques, d'acord amb el sen-tit en què es desequilibri la balança. Pesaremdues de les tres monedes dubtoses. Si es des-equilibra, la falsa serà una de les monedes (si lamoneda falsa pesa més, serà la que ocupa elplatet que ha baixat; si pesa menys, es trobarà al'altre platet). En cas contrari, la falsa serà la queno hem pesat.
b) Si la balança es desequilibra, l'operació resultaforça més complexa. Classificarem les mone-des en tres grups: Monedes autèntiques (Ma),monedes dubtoses del grup de les que pesenmés (Md+) i monedes dubtoses del grup de lesque pesen menys (Md–). En la segona pesadapodem fer el següent: posem 3 Md+ i 1 Md– enel platet de la dreta, i 3 Ma i 1 Md+ en el platetde l'esquerra.– Si la balança no es desequilibra, la falsa és en-
tre les 3Md– que no hem pesat. Ens trobemdavant un cas com l’a), que resoldrem seguintel mateix procediment.
– La balança es desequilibra cap a la dreta. Aixòvol dir que la moneda falsa es troba entre les3 Md+ del platet dret. El problema es resolcom en el cas anterior.
– La balança es desequilibra cap a l'esquerra.Pot ser que la moneda Md+ que hi ha a l'es-querra sigui la falsa i, per tant, es desequilibracap aquella banda; o també que la falsa sigui lamoneda Md– del platet de la dreta, que pesamenys. Comparant, en la tercera pesada, unaqualsevol d'aquestes dues monedes amb unade les autèntiques sabrem de quina de lesdues possibilitats es tracta.
Solució BFem tres grups de quatre boles, els grups A, B i C,i numerem les boles:A1 - A2 - A3 - A4 / B1 - B2 - B3 - B4 / C1 - C2 - C3 - C4Comparem dos grups de boles, per exemple les Ai les B, posant-les cada grup en un platet. Podenpassar dues coses, que la balança es desequilibri oque no ho faci.
A1 - A2 - A3 - A4 B1 - B2 - B3 - B4
Equilibri ... ...Desequilibri 1 + –Desequilibri 2 – +
Primer cas: La balança no es desequilibraSi la balança no es desequilibra, voldrà dir que labola de pes diferent és una del grup C, que fàcil-ment podem identificar. En pesem dues, la C1 i laC2. Si no es desequilibra, pesem una d’aquestesamb la tercera. Si es desequilibra, és la bola C3; encas contrari, és la C4. Si a la segona pesada s’ha-gués desequilibrat, agafaríem una de les dues bo-les, per exemple la C1, i la compararíem amb unaaltra bola, per exemple la A1. Si es desequilibra, labola de pes diferent és la C1; si no es desequilibra,és la C2.
Segon cas: la balança es desequilibra Si la balança es desequilibra, hem de fixar-nos capa quina banda ho fa, si ho fa cap a la dreta o cap al’esquerra. Indicarem amb el signe + les boles quees troben en el plat que cau, i amb el signe – lesboles que es troben en el plat que s’enlaira. Consi-derem la situació en què la balança es desequilibracap a la dreta (el cas invers se soluciona de la ma-teixa manera):
A continuació, posem sis boles en els platets d’a-questa manera: en un platet hi posem una bola delgrup A (A
–
1) i dues del grup B ( B+
1 i B+
2 ), i en l’al-tre una bola de cada grup (A
–
2 , B+
3 i C1). Sabemque la bola C1 és normal per la pesada anterior. Fi-xa’t que indiquem a cada bola a quin platet perta-nyia, el pesant (+) o el lleuger (–):
Equilibri ... ...Desequilibri 1 + –Desequilibri 2 – +
Com veiem, poden passar tres coses, que la ba-lança no es desequilibri, que es desequilibri cap ala dreta o que es desequilibri cap a l’esquerra.a) No es desequilibra: En aquest cas, A
–
3 i A–
4 po-den ser lleugeres, i B4 pot ser pesant. Compa-rem A
–
3 i A–
4 . Si la balança es desequilibra, laque ascendeixi és la diferent. Si la balança no esdesequilibra, la diferent serà la B
+
4 .b) Es desequilibra a l’esquerra: Pot ser que A
–
1 si-gui lleugera o bé que B
+
1 o B+
2 siguin pesants.Comparem B
+
1 amb B+
2 pesant-les. Si es dese-quilibra, la que inclina la balança és la pesant i,per tant, la diferent. Si es manté l’equilibri, la di-ferent és la A
–
1, que és lleugera.c) Es desequilibra a la dreta: Pot ser que A
–
1 siguilleugera o bé que B
+
3 sigui pesant. Comparantuna d’aquestes boles amb una tercera, sabremquina de les dues és la diferent.
EleccionsFa els 16 anys el 31 de desembre. Dóna l’explica-ció l’endemà, que és l’1 de gener. L’any en què par-la farà 17 anys. El 31 de gener de l’any següent farà18 anys, que és la data en què es faran les elec-cions.
El calendari
És un mes de febrer d’un any de traspàs.
A–
1 - A–
2 - A–
3 - A–
4 B+
1 - B+
2 - B+
3 - B+
4– +
A–
1 - B+
1 - B–
2 A–
2 - B+
3 - C1