1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELÁSQUEZ / TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
PROBLEMA DE CLASE
1. Si se cumple :
222
2
222
11112
RCS
C
RCS
R
RCS
S
RCS
RCS
R
donde S, C y R son las medidas usuales del mismo ángulo; entonces R es igual a:
A) rad120
B) rad60
C) rad
40
D) rad30
E) rad
120
5
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III) SOLUCIÓN
Recordar:
222 2 bababa
Agrupando, tenemos:
222
2
222
11112
RCSC
RCSR
RCSS
RCS
RCSR
2222
2
222
2312 RCS
RCSRCSRCS
RCS
RCSR
512
R
60
R RESPUESTA B
2. Si la diferencia de dos ángulos es 100g y su suma es 3 rad., entonces, las medidas
sexagesimales de dichos ángulos, respectivamente , son:
A) 315° y 225° B) 325° y 215° C) 300° y 240° D) 290° y 250° E) 315° y 235°
(Examen ordinario– UNS 2014 II) SOLUCIÓN
Según los datos: –
⇒ RESPUESTA A
3. Si los ángulos congruentes de un triángulo isósceles miden (6x)g y ( 5x + 4)° ,entonces el
complemento de la medida del tercer ángulo en el sistema radial es igual a:
A) rad10
B) rad5
C) rad12
D) rad20
E) rad8
SOLUCIÓN
Recordar: A + B+ C =180° ; A = B
WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 2
Sea: A = (6x)g y B = (5x + 4)°
Resolviendo: trabajando en un solo sistema
Reemplazando: A = B=54° ⇒ C = 72°
⇒
RESPUESTA A
4. De acuerdo a la figura, hallar el valor de “x”.
A) 45º B) 46º C) 43º D) 44º E) 42º
SOLUCIÓN
Recordar:
La suma de los ángulos externos de un triángulo es 360º. Resolviendo
⇒
⇒
5. Si el grado Shary ( ) equivale a la parte de una vuelta ¿A cuántos grados Shary
equivale
rad?
A) B) C) D) E) SOLUCIÓN
Según los datos:
⇒
RESPUESTA C
6. Los ángulos de un triángulo miden
. Hallar el complemento de 10xº
A) 30º B) 45º C) 50º D) 60º E) 40º SOLUCIÓN
Recordar:
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. Resolviendo
⇒
⇒ Calculando: RESPUESTA E
7. En un triángulo se cumple que la suma del primer y segundo ángulo es igual a:
, y la suma
del segundo y tercer ángulo es igual a 150 grados centesimales. Este triángulo se llama
[ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
3 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
A) Equilátero B) rectángulo equilátero C) isósceles
D) rectángulo isósceles E) escaleno SOLUCIÓN
Según los datos:
⇒ RESPUESTA D
8. Si las raíces de una ecuación cuadrática: 02 cbxax , son los números de grados
sexagesimales y centesimales de un ángulo . Entonces el número de radianes de dicho ángulo
solamente en términos de b y c es:
A)1
19
1800
b
c
B) bc19 C)
1
19800
19
b
c D)1
1800
19
c
b E)
b
c19
SOLUCIÓN
Recordar: La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: y las propiedades de
suma y producto de raíces
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo
⇒
…(1)
⇒
……….. (2)
Dividiendo (2): (1)
⇒
Calculando
(
)
(
)
RESPUESTA D
9. La suma de dos ángulos está dada por la siguiente igualdad: 111 baba g
Hallar dichos ángulos en el sistema sexagesimal si su diferencia es ba
A) 25° y 40° B) 45° y 27° C)40° y 38° D) 20° y 45° E) 10° y 25°
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2009 II) SOLUCIÓN
Según la expresión 111 baba g , por ser una equivalencia de un centesimal y
sexagesimal, entonces el número en centesimal debe ser múltiplo de diez y el número
sexagesimal múltiplo de 9.
b = 1 y a = 8 7280 g
⇒
La diferencia entre los ángulos tiene que ser 18° RESPUESTA B
10. Sabiendo que: x + y + z = 61 ; Calcular: E = xºy’ + yºz’ + zºx’
A) 61º2’ B) 61º51’ C) 62º2’ D) 62º1’ E) 60º2’ SOLUCIÓN
Recordar:
WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 4
Según los datos:
xºy’ +
yºz’
zºx’
62° 1´ RESPUESTA D
11. Si a y b son dos números reales positivos hallar el máximo número de radianes de un ángulo
que satisface la siguiente igualdad: 22
22
)()(
)()(
baba
babaSC
Si: S y C son lo conocido.
A)
380 B)
190 C)
19 D) 190
E) 380
SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
⇒
Reduciendo la expresión: 22
219
ba
abk
,
⇒
Reemplazando:
(
)
RESPUESTA E
12. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la igualdad: ´ ´´. ZYXrad 32
; Calcular
x XZY 5
A) 2 B) 4 C) 20 D) 5 E) 6 SOLUCIÓN
Recordar:
0
360060
cbacbacba ´ ´´º´ ´´º
Convirtiendo en un solo sistema
180
32´ ´´ ZYX
62558
45,´ ´´ ZYX ⇒
Reemplazando: x XZY 5 √
√ RESPUESTA A
13. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo, calcule “R” siendo S y C las raíces de
la ecuación:
3x2 - 19x + 30 = 0
[ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
5 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
A) B) C) D) E) SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: y las propiedades de suma y producto de raíces
Resolviendo
⇒
…(1)
⇒ ……….. (2)
Dividiendo (2): (1)
⇒
Calculando
(
)
RESPUESTA E
14. Si S y C son la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal
respectivamente y cumplen:
. . .32
1111
CCCS
Calcular la medida circular de dicho ángulo
A) B) C) D) E) SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo:
( . .
32
1111
CCC)
(
) ⇒
Calculando
RESPUESTA D
15. De la figura mostrada:
Calcular: “9-10”
A) 90 B) 180 C) 360 D) 900 E) 1800 SOLUCIÓN
Según el gráfico, convirtiendo en un solo sistema:
(
) ⇒ RESPUESTA D
WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 6
16. Determine la medida circular de un ángulo que verifica:
S
Costérn
RRR
min""...........
2
11
1
11
11
A) radn
10
1)( B) 10
n C) 9
n D) 9
1n E) 9n
SOLUCIÓN
Recordar: S = 9k ; C = 10K Resolviendo
(
) (
) (
) (
)
⇒ (
)
RESPUESTA E
17. Determinar la medida en el sistema centesimal para un ángulo cuyas medidas en los
sistemas convencionales cumplen la relación:
A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36 SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo:
⇒
Calculando (
) RESPUESTA B
18. Si:
CC
CC
CC
SS
SS
SS
; Hallar el número de radianes de dicho ángulo.
(S y C son lo conocido)
A) 3600
441 B) 3600
551 C) 3600
361
D)
3600
641 E) 3600
241
SOLUCIÓN
Recordar:
⇒
⇒
⇒ (Proporcionalidad)
S = 9k ; C = 10K y
Igualamos la expresión a un término “m” y resolvemos:
m
CC
CC
CC
SS
SS
SS
⇒
Aplicando proporcionalidad
m = 19
4 3 2S C 20R 12 3 2S C R9 10 5
[ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
7 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
Calculando el número en grados sexagesimales y convirtiendo a radian:
⇒
⇒
RESPUESTA C
19. Siendo el número de radianes de un ángulo positivo, verifica la igualdad:
11.8.3
Hallar: . Si:
A) 9
32 B) 64
9 C) 32
9
D)
16
9 E) 9
64
SOLUCIÓN
Sea √
Haciendo cambio de variable y resolviendo:
√
√
⇒
RESPUESTA B
20. Si el ángulo AOC es obtuso, hallar los valores que puede tomar “”.
A) 18151215 ;; B) 15121518 ;; C) 15651518 ;; D) 15;12 E) 18;12
SOLUCIÓN
Recordar:
(obtuso) Reemplazando:
15121518 ;; RESPUESTA B
21. Resolver el siguiente sistema:
)2(...SC
)1...(S4C8,3
S6C2,4
1x
1x
47x
Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo en
sentido antihorario.
Dar como respuesta la medida del ángulo en el sistema radial.
WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 8
A) rad200
1048 B) rad
200
9,048
C) rad
100
1048 D) rad
2
9,048 E) rad
300
1048
SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo ambas ecuaciones
Aplicamos proporcionalidad en (1)
⇒
Reemplazando (1) en (2)
√
⇒ √
√
⇒ √
(
√
) √
RESPUESTA B
22. Si C y R son los números que representan las medidas de un ángulo trigonométrico en los
sistemas centesimales y radial respectivamente, tal que:
Calcular la medida del ángulo en el sistema radial.
A)rad
21,0
B) rad
21,01
C)
radrad
21,0;
21,0
D)
radrad
21,01;
21,01
E)
radrad
2;
2
SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Según los datos:
Resolviendo:
[ ]
⇒
√
√
RESPUESTA D
23. Siendo S, C, y R los convencionales para un ángulo trigonométrico donde S y C son las
soluciones de la ecuación: ; ℝ+
[ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
9 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
Calcule: m
n
1,36
A) 3
1 B) 6
1 C) 9
1 D) 3
2 E) 2
1
SOLUCIÓN La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: y las propiedades de suma y producto de raíces
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo ⇒ …(1)
⇒ ……….. (2)
Igualando el valor de K en (1) y (2):
√
√ ….. (3)
Calculando:
√
√
√
En (3)… √
√
RESPUESTA A
PROBLEMA DE REPASO
1. En el CEPUNS se ha creado un nuevo sistema de medición angular cuya unidad es “un grado C”
(1c). Si el ángulo recto mide 40c. Hallar la suma de los ángulos internos de un pentágono.
A) 80c B) 160c C) 200c D) 240c E) 320c SOLUCIÓN
Recordar:
Suma de ángulos internos de un polígono: ⇒
Según los datos … (*6)
RESPUESTA D
2. Calcular la medida de un ángulo en radianes desde “S” y “C” son los números de grados
sexagesimales y centesimales respectivamente y cumplen:
S = (x + 3) (x - 2)............ (i)
C = (x + 2) (x -1)............ (ii)
A) B) C) D) E) SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Según los datos tenemos:
⇒
Calculando
WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 10
S= 54°⇒ (
)
RESPUESTA E
3. Si: ; Calcular: K = b - a + 1
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 SOLUCIÓN
Convertimos en un solo sistema la expresión:
(
) °
Tenemos 11° y 0,25° que serán convertidos a minutos
0,25*60’=15’
→
RESPUESTA C
4. De la condición: ; Calcule:
A) 2 B) 4 C) 6 D)8 E)10 SOLUCIÓN
Según los datos tenemos:
⇒
RESPUESTA B
5. Para un cierto ángulo se cumple que la suma del número de grados sexagesimales con el doble
del número de grados centesimales y con el triple del número de radianes es igual a 1740 + 9.
Calcule el número de radianes de dicho ángulo.
A) B) 2 C) 3 D) 4 E)5 SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Según los datos tenemos:
(
) ⇒
RESPUESTA C
6. Calcular:
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 SOLUCIÓN
Recordar: 1° = 60´ y 1g = 100m
rad aºb'16
5º radx
xº
g10
g m2º2' 2 2M 18
m2' 2
[ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
11 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
Reemplazando √
⇒ √
M = 12 RESPUESTA C
7. Siendo S y C el número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo que
cumple:
S = x - 1 .............. (i)
C = x + 2 ............ (ii)
Calcular la medida del ángulo en radianes
A) B) C) D) E) SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Según los datos tenemos:
10x-10 = 9x+18
X = 28
Calculando
S= 27°⇒ (
)
RESPUESTA D
8. La suma del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo es 95. Calcule
la medida de dicho ángulo en el sistema internacional.
A) B) C) D) E) SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Por dato: ⇒
RESPUESTA E
9. Determine la medida radial de un ángulo que cumple que la diferencia de los números de
minutos centesimales y sexagesimales de dicho ángulo es igual a 460.
A) B) C) D) E) SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Por dato: –
RESPUESTA D
10. La suma de las medidas de dos ángulos es 18° y la diferencia de los mismos 18g. Determinar
la medida circular del menor de los ángulos.
10
3
10
5
18
3
20
2
25
rad12
rad
10
rad8
rad
6
rad
4
rad5
rad
10
rad
15
rad
20
rad
40
WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 12
A) B) C) D) E) SOLUCIÓN
Según los datos:
⇒
RESPUESTA D
11. La medida de un ángulo en un sistema “M” es igual a la cuarta parte de la suma de su número
de grados centesimales y 3 veces su número de grados sexagesimales. ¿Cuántas unidades en el
sistema “M” le corresponden a un ángulo llano?
A) 75 B) 165 C) 180 D) 185 E) 215 SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Según los datos:
⇒
Calculando k y resolviendo la ecuación:
…….dividimos entre 180 ambos términos
RESPUESTA D
12. Si se cumple que:
Siendo “θ” el número de radianes. Halle la medida de dicho ángulo.
A) 40g B) 90° C) 30° D) E) 200
g
SOLUCIÓN
Sea √
Haciendo cambio de variable y resolviendo:
√
√
⇒
RESPUESTA B
13. Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo que cumple
con:
Hallar el valor de:
A) 2 B) 3 C) 4 D)-1 E) 1
rad2
rad
3
rad rad200
rad
300
24 5
2
rad
S 13 C 2x .
2 3
2x
4x 1x
[ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
13 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Calculando k y resolviendo la ecuación:
⇒
⇒
Reemplazando
√
√ ⇒ RESPUESTA B
14. Señale la medida circular de un ángulo que verifique:
osmintér"n"
. . . . . .2S
11
1S
11
S
11
C
n2
Siendo S y C lo convencional para un mismo ángulo.
A) 180
n B) 200
n C)
225
n
D)
135
n E)
315
n
SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo
(
) (
) (
) (
)
⇒
(
)
RESPUESTA C
15. Señale la medida circular del ángulo cuyos números de grados sexagesimales y centesimales
se expresan como:
S = 1 + 3 + 5 + 7 +… ; C = 2 + 4 + 6 + 8 +…
Teniendo ambos igual cantidad de sumandos:
A) rad20
3 B) rad20
7 C) rad10
9
D) rad
20
9 E) rad23
5
SOLUCIÓN
Recordar:
Además tener en cuenta que la suma de números impares tiene que ser múltiplo de 9 y la
suma de números pares múltiplo de 10. ⇒
(
)
RESPUESTA D
16. El doble del número de grados sexagesimales de un ángulo disminuido en su número de
grados centesimales es a 8 como es 3 a 4. Calcular la medida radial del ángulo que cumple dicha
condición.
WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 14
A) rad20
3 B) 40
3 C) 50
3
D)
80
3 E) 100
3
SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Según el enunciado:
Resolviendo: ⇒
( )
RESPUESTA D
17. Se crea un nuevo sistema de medición angular “R” tal que su unidad (1R) es la 240ava parte
del ángulo de una vuelta.
Exprese en el sistema “R” un ángulo que mide rad4
.
A) 27R B) 30R C) 32R D) 36R E) 40R SOLUCIÓN
Según los datos:
RESPUESTA B
18. Calcular la medida radial de un ángulo para el cual se cumple:
27S + 13 = 81C
siendo S y C lo convencional para el mismo ángulo.
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo: ⇒
⇒
RESPUESTA B
19. Sí mgCBA 9013 ´ ´´ , calcular: B
CA
A) 1.2 B) 1.4 C) 1.6 D) 1.8 E) 1.9 SOLUCIÓN
Recordar:
0
360060
cbacbacba ´ ´´º´ ´´º
Convirtiendo a un solo sistema: (
) 12,51°
Tenemos 12° quedando 0,51° los que se convertirán en minutos:
0,51 * 60 = 30,6’
5
3
20
5
12
2
9
3
10
[ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
15 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
Ahora tenemos 30° quedando 0,6’ los que se convertirán en segundos:
0,6 * 60 = 36’’ ⇒
RESPUESTA C
20. Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo trigonométrico que cumplen:
Calcular: “R”
A) B) C) D) E) SOLUCIÓN
Recordar:
⇒
⇒
⇒
S = 9k ; C = 10K y
Aplicando proporcionalidad y reemplazando:
⇒
RESPUESTA A
21. Si:
Calcular: a + b + c
A) 9 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24 SOLUCIÓN
Un número centesimal es múltiplo de 10 ⇒
⇒
RESPUESTA C
2S C 3R 2
2S C 3R 2
6
5
3
4
3
5
5
6
4
3
2S C 3R 2
2S C 3R 2
g o
x 2 x 1 x abc
Top Related