Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad
Edgar BaronLuisa Fernanda Martnez RojasPolitecnico [email protected]@poli.edu.co
Bogota, 2014
Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad Ejercicios 1.
Seccion 1: Introduccion
Estimado Estudiante
Esta lectura llamada solucionario, se elaboro con el objetivo de ser un apoyo en el proceso de su autoaprendizaje. Eneste documento encontrara la solucion a los ejercicios planteados en la unidad No. 1 (semanas 1 y 2) que corresponde aLmites y Continuidad,debes tener en cuenta que el procedimiento para llegar a la solucion aqu planteada no es unico.
Les recomiendo que antes de ver las soluciones, hayas intentado realizar los ejercicios, con el fin de que se enfrente a losejercicios, los analice y trate de plantear la solucion y en el caso que hayas cometido algun error puedas identificarlo y corre-girlo.
Muchos exitos en su estudio.
Seccion 2: Ejercicios 1.
Hallar los siguientes lmites:
1. lmx5
x 5x2 25
Solucion
lmx5
x 5x2 25 Factorizando el denominador.
lmx5
x 5(x 5)(x + 5) Aplicando diferencia de cuadrados a
2 b2 = (a b)(a + b).
lmx5
1
(x + 5)Simplificando (x 5).
1
(5 + 5)=
1
10reemplazo x = 5 y obtenemos el resultado.
2. lmx5
x2 + 3x 10x + 5
Solucion
lmx5
x2 + 3x 10x + 5
Factorizando el numerador.
lmx5
(x + 5)(x 2)(x + 5)
Un trinomio x2 + 3x 10 = (x + 5)(x 2).
lmx5
(x 2) Simplificando (x + 5).5 2 = 7 reemplazo x = 5 y obtenemos el resultado.
3. lmt5
t2 + t 2t2 1
1
Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad Ejercicios 1.
Solucion
lmt5
t2 + t 2t2 1 Factorizando el numerador y denominador.
lmt5
(t + 2)(t 1)(t 1)(t + 1) el numerador es un trinonio x
2 + bx + c,
denominador una diferencia de cuadrados
a2 b2 = (a b)(a + b).
lmt5
(t + 2)
(t + 1)Simplificando (t 1).
(5 + 2)
(5 + 1)=
7
6reemplazo t = 5 y obtenemos el resultado del lmite.
4. lmx2
2x 4x3 + 2x2
Solucion
lmx2
2(x + 2)x2(x + 2)
Aplicando factor comun al numerador y denominador
lmx2
2x2
simplificando (x + 2)
lmx2
2(2)2 reemplazo x = 2
24
=12
Resultado del lmite simplificado
5. lmu1
u4 1u3 1
Solucion
lmu1
(u2 1)(u2 + 1)(u 1)(u2 + u + 1) Factorizando numerador y denominador. Numerador diferencia de cuadrados
y denominador una diferencia de cubos a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2)
lmu1
(u 1)(u + 1)(u2 + 1)(u 1)(u2 + u + 1) Aplicando nuevamente diferencia de cuadrados en el numerador
u2 1 = (u 1)(u + 1)
lmu1
(u + 1)(u2 + 1)
(u2 + u + 1)simplificando (u 1)
(1 + 1)(12 + 1)
(12 + 1 + 1)=
(2)(2)
3=
4
3reemplazando por 1 y as obtenemos el resultado del lmite
6. lmx9
x 3x 9
2
Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad Ejercicios 1.
Solucion
lmx9
x 3x 9 multiplicando por el conjugado numerador y denominador
lmx9
x 3x 9
x + 3x + 3
el conjugado del numerador esx + 3
lmx9
(x 3)(x + 3)
(x 9)(x + 3) realizando operaciones
lmx9
(x 9)(x 9)(x + 3) en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados
lmx9
1
(x + 3)
simplificamos (x 9)1
(
9 + 3)=
1
6reemplazamos x = 9 y as obtenemos el resultado del lmite
7. lmx1
x 1x + 3 2
Solucion
lmx1
x 1x + 3 2 multiplicando por el conjugado numerador y denominador
lmx1
x 1x + 3 2
x + 3 + 2x + 3 + 2
el conjugado del denominador esx + 3 + 2
lmx1
(x 1)(x + 3 + 2)(x + 3 2)(x + 3 + 2) realizando operaciones
lmx1
(x 1)(x + 3 + 2)(x + 3) 4) en el denominador tenemos una diferencia de cuadrados
lmx1
(x 1)(x + 3 + 2)(x 1) realizando operaciones en el denominador
lmx1
(x + 3 + 2) simplificando (x 1)
1 + 3 + 2 =
4 + 2 = 2 + 2 = 4 reemplazamos x = 1y as obtenemos el resultado del lmite
8. lmh0
3h3h + 1 + 1
Solucion
lmh0
3h3h + 1 + 1
reemplazando h = 0 en el lmite
3 0(3 0) + 1 + 1 =
0
2= 0 realizando operaciones, obtenemos el valor del lmite
9. lmx2
x + 3
x + 6Solucion
lmx2
x + 3
x + 6reemplazando x = 2 en el lmite.
2 + 3
2 + 6=
5
8realizando operaciones obtenemos el valor del lmite.
3
Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad Ejercicios 1.
10. lmy3
(5 y)4/3Solucion
lmy3
(5 y)4/3 reemplazando y = 3 en el lmite.
(5 (3))4/3 = (8)4/3 = 16 realizando operaciones, obtenemos el resultado del lmite.
11. lmh0
h2 + 4h + 55
hSolucion
lmh0
h2 + 4h + 55
hmultiplicando numerador y denominador por el conjugado.
lmh0
h2 + 4h + 55
hh2 + 4h + 5 +
5
h2 + 4h + 5 +
5el conjugado del numerador es
h2 + 4h + 5 +
5.
lmh0
(h2 + 4h + 55)(h2 + 4h + 5 +5)
h(h2 + 4h + 5 +
5)
realizando operaciones.
lmh0
(h2 + 4h + 5 5)h(h2 + 4h + 5 +
5)
en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados.
lmh0
h(h + 4)
h(h2 + 4h + 5 +
5)
simplificando 5 5 = 0 y factorizando h.
lmh0
(h + 4)
(h2 + 4h + 5 +
5)
simplificando h.
(h + 4)
(h2 + 4h + 5 +
5)
=4
5 +
5reemplazando h = 0.
4
2
5=
25
simplificamos y obtenemos el valor del lmite.
12. lmy 12
x+2x+1
Solucion
lmy 12
x + 2
x + 1reemplazando y = 12 en el lmite.
12 + 2 12 + 1
realizando operaciones obtenemos.3212
realizando producto de extremos producto de medios.6
2=
3 simplificando, obtenemos el resultado del lmite.
13. lmx4
x2x4
4
Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad Ejercicios 2.
Solucion
lmx4
x 2x 4 multiplicando por el conjugado numerador y denominador.
lmx4
x 2x 4
x + 2x + 2
el conjugado del numerador esx + 2.
lmx4
(x 2)(x + 2)
(x 4)(x + 2) realizando operaciones.
lmx4
(x 4)(x 4)(x + 2) en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados.
lmx4
1
(x + 2)
simplificando (x 4).1
(
4 + 2)=
1
2 + 2=
1
4reemplazamos x = 4 y as obtenemos el resultado del lmite.
Seccion 3: Ejercicios 2.
1. Calcular, si existe, el lmite de cada una de las siguientes funciones:
a) lmx3
(2x 3)Solucion
lmx3
(2x 3) = 2(3) 3 = 3 reemplazando x = 3 en el lmite.
b) lmx2
x2 4x 2
Solucion
lmx2
x2 4x 2 reemplazo cuando x = 2.
(2)2 4(2 2) =
4 44 =
0
4 = 0 realizo las operaciones y as obtenemos el lmite.
c) lmx1
x2 4x + 3x2 1
Solucion
lmx1
x2 4x + 3x2 1 Factorizando numerador y denominador tenemos.
lmx1
(x 3)(x 1)(x 1)(x + 1) Factorizando el trinomio y la diferencia de cuadrados a
2 b2 = (a b)(a + b) .
lmx1
(x 3)(x + 1)
Simplificando (x 1).1 31 + 1
=22
= 1 reemplazando por x = 2.
5
Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad Ejercicios 2.
d) lmx1
h(x) siendo
h(x) =
{3x 2, si x 1x2 + 5, si x > 1
Sugerencia: Debe calcular los lmites laterales.SolucionSe calculan los lmites laterales
lmx1
(3x 2) = 3(1) 2 = 1 Lmite por la izquierda.lmx1+
(x2 + 5) = 12 + 5 = 6 Lmite por la derecha .
Luego, lmx1
h(x) no existe, ya que los lmites laterales son distintos.
e) lmx9
x 9x 3
Solucion
lmx9
x 9x 3 Multiplicamos por el conjugado numerador y denominador
x + 3.
lmx9
x 9x 3
x + 3x + 3
Realizamos la operaciones en el denominador.
lmx9
(x 9)(x + 3)(x + 3)(
x 3) (
x + 3)(
x 3) = x 9.
lmx9
(x 9)(x + 3)(x 9) simplifico (x 9)
lmx9
(x + 3) reemplazo x = 9
9 + 3 = 6 reemplazo x = 9
f ) lmh0
(x + h)2 x2h
Solucion
lmh0
(x + h)2 x2h
Elevamos al cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
lmh0
(x2 + 2xh + h2 x2h
simplificando x2.
lmh0
(2xh + h2
hen el numerador factorizamos h.
lmh0
h(2x + h)
hsimplifico h
lmh0
(2x + h) reemplazo h = 0
2x + 0 = 2x resultado del lmte
2. Determinar si cada una de las siguientes funciones es continua en el punto indicado:
a)
h(x) =
{3x 2, si x 1x2 + 5, si x > 1
en el punto x = 1.SolucionPara verificar la continuidad en x = a, debo ver que la funcion cumpla las tres condiciones.
6
Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad Ejercicios 2.
i. f(a) existe
ii. lmxa f(x) exista
iii. lmxa f(x) = f(a)
Para verificar la continuidad, debo ver que se cumplen las tres condiciones
i. h(1) = 3(1) 2 = 1, por la tanto la imagen existe y es 1.ii. Calculemos el lmite, por esto debo ver que los lmites laterales existan y sean iguales.
lmx1
(3x 2) = 1 Lmite por izquierda.lmx1+
(x2 + 5) = 1 + 5 = 6 Lmite por derecha.
Como los lmites laterales son distintos, entonces lmx1
h(x) no existe.
En conclusion, como fallo la condicion (ii), decimos que la funcion h(x) no es continua en x = 1.
b) Trazar un bosquejo de la grafica h(x)
c)
t(x) =
3 x, si x 3x 2, si x (0, 3)x 1, si x (, 0)
en el punto x = 3 y x = 0.SolucionPara verificar la continuidad, debo ver que se cumplen las tres condiciones en el punto x = 3 :
i. t(3) = 3 x = 3 3 = 0, por la tanto la imagen existe y es 0.ii. Calculemos el lmite, por esto debo ver que los lmites laterales existan y sean iguales.
lmx3
(x 2) = 3 2 = 1 Lmite por izquierda.lmx3+
(3 x) = 3 3 = 0 Lmite por derecha.
Como los lmites laterales son distintos, entonces lmx3
t(x) no existe.
En conclusion, como fallo la condicion (ii), decimos que la funcion t(x) no es continua en x = 3.
Ahora, verifiquemos la continuidad en x = 0, para esto debo ver que se cumplen las tres condiciones
7
Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad Ejercicios 2.
i. t(0) = no existe, por definicion de la funcion t(x).
Por lo tanto no es necesario verificar la condicion (ii.), en conclusion, decimos que la funcion t(x) no es continuaen x = 0.
d) Trazar un bosquejo de la grafica t(x).
e) Determinar en que punto es discontinua la funcion f(x) = 5x3 . Justifique su respuesta.SolucionBasta con hallar el dominio de f , el cual no incluye x = 3. Luego, f es discontinua en x = 3.
f ) Determinar en que puntos es discontinua la funcion g(x) =x
3x2 + 5.SolucionDeterminamos el dominio de g(x) para esto debo ver que el denominador sea diferente de cero, por lo tanto3x2 + 5 no puede ser igual a cero. Para esto vamos a buscar cuando 3x2 + 5 = 0, despejamos x.
3x2 + 5 = 0 Igualamos a cero
3 =x2 + 5 La raz pasa a la derecha
32 = (x2 + 5)2 Elevando al cuadrado
9 = x2 + 5 Operando
9 5 = x2 despejando x4 = x2 haciendo la resta
2 = x sacando raz cuadrada
Luego, g es discontinua para x = 2 y x = 2. Veamos un bosquejo de g(x) = x3x2 + 5.
8
Solucionario: Unidad 1 - Lmites y Continuidad Ejercicios 2.
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