7/27/2019 Solucin_de_Ejercicios_de_Matrices-Determinante
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Solucin de Ejercicios de Matrices y Determinantes
1. Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica22 ABAXA
Siendo
001
010
100
A y
002
020
200
B .
Solucin:
Como el detA=1, es diferente de cero, la matriz A es invertible.
Adems:
,,1det
100
010
001
001
010
100
001
010
10022
3
2InvertibleesAAIA
Luego resolviendo la ecuacin matriz dada:
vidadDistributiPorAAIXAAXAABAXAAA ,)2(2,2 22322222
333
122122
3 2)()()2( IXIIXAAAAIX
2. Dado el sistema lineal de ecuaciones, dependiente de un parmetro real k:
12)1(
12)1(
kzyxk
kzykx
zykx
a) Discutir el sistema para los distintos valores de k
b) Resolver el sistema cuando tiene una solucin
c) Resolver el sistema cuando tenga infinitas soluciones
Solucin:
a) Sea la matriz ampliada del sistema y usando el Mtodo de Gauss:
kkk
kkkk
k
kRkRR
kkRRR
kk
kk
k
22110
22110
1211
,1,1)1(33
,0,122
1121
11
1211
2
2
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kkkk
k
k
k
kk
Rk
R
kkkk
kkk
k
RR
22110
)1(
2
)1(
)21(10
1211
2)1(
12
22110
22110
1211
23
2
222
2
2
1)1(
121
)1(
1)21(00
)1(
2
)1(
)21(10
1211
2)1(33
2
2
2
2
22
2
k
kkk
k
kkk
k
k
k
kk
RkkRR
Al obtener la matriz de los coeficientes como una matriz triangular superior y pasar el
sistema matricial AX=B al sistema de ecuaciones, haciendo sustitucin de atrs hacia
adelante, se tiene:
,202)1(
1101
)1(
1
,2
1,21
21
)1(
121
)1(
1)21(
2
22
2
2
2
2
2
2
kkk
kkk
k
kk
kk
kz
k
kkkz
k
kkk
Entonces:
,,,2,2
1)1 solucinsolaunatieneyeConsistentessistemaelkk
b) La solucin es:
2,
2
1),
21
2,0,
12
21( kk
k
k
k
kS
Si k=1/2, la matriz ampliada es:
6000
104
10
122
31
3533
104
50
104
10
122
31
,12
133
,12
122
2
312
2
12
111
2
1
122
31
RRR
RRR
RRR
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De donde:
nteInconsisteSistemaSolucinhayNozk ,,602
1
Si k=2, la matriz ampliada es:
0000
4350
1231
233
4350
4350
1231
,133
,1222
3121
2112
1231
RRRRRR
RRR
De donde:
eConsistentSistemaSolucinesinitashayzzk ,inf,,002
c) Si k=2, hay infinitas soluciones, el sistema es Consistente, la solucin es:
zzzz
S ),,5
34,
5
7(
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