Universidad Politécnica del Golfo de México
Frida Miguel Monzalvo Navarrete
Diego Mariano Espinosa Casso
Melisa Priego Rodríguez
Samuel Alberto Leal González
Elda Patricia Torruco Cordova
Adriana Lorena López
Julia Xunaaxi del Cármen Segura Segura
ISAI 5B
Métodos Numéricos
Spline Cubico
un spline es una curva
diferenciable definida en
porciones mediante polinomios.
En los problemas de interpolación, se utiliza a
menudo la interpolación mediante splines
porque da lugar a resultados similares
requiriendo solamente el uso
de polinomios de bajo grado, evitando así
las oscilaciones, indeseables en la mayoría de
las aplicaciones, encontradas al interpolar
mediante polinomios de grado elevado.
Existen 3 tipos de spline , lineal, cuadrático y
cubicoEn este caso, cada polinomio P(x) a través del que construimos
los Splines en [m,n] tiene grado 3.
Esto quiere decir, que va a tener la forma
P(x) = ax³ + bx² + cx +
d
En este caso vamos a tener cuatro
variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una
nueva condición para cada punto común a
dos intervalos, respecto a la segunda derivada :
Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es
decir, que las dos P(x) que rodean al f(x) que queremos
aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.
Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos
"lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto
común.
Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para
ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por
tal punto común.
La forma
de
soluciona
r esto,
determina
el
carácter
de los
splines
cúbicos.
Así,
podemos
usar:
Splines cúbicos naturales: La forma
más típica. La derivada segunda de P se
hace 0 para el primer y último punto
sobre el que está definido el conjunto de
Splines, esto son, los puntos m y n en el
intervalo [m,n].
Dar los valores de la derivada
segunda de m y n de forma
"manual", en el conjunto de
splines definidos en el intervalo
[m,n].
Hacer iguales los valores de la
derivada segunda de m y n en
el conjunto de splines definidos
en el intervalo [m,n]
:Ecuación de interpolación
El spline cúbico (k=3) es el spline más empleado, debido a que proporciona un
excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente
complejo.
Sobre cada intervalo , S está definido por un
polinomio cúbico diferente. Sea Si el polinomio cúbico que representa a S en el
intervalo [ti,ti+1], por tanto:
Los polinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el punto ti, es decir, se
cumple:
Si-1(ti) = yi = Si(ti)
por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone
que S' y S'' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una
expresión para la función del spline cúbico.
Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas
primera S' y segunda S'', es posible encontrar la expresión analítica del spline. No
vamos a obtener esta expresión, ya que su demostración queda fuera del ámbito
de estos apuntes. Simplemente diremos que la expresión resultante es:
En la expresión anterior, hi=ti+1-ti y son incógnitas. Para determinar
sus valores, utilizamos las condiciones de continuidad que deben cumplir estas
funciones. El resultado (que tampoco vamos a demostrar) es:
La ecuación anterior, con genera un sistema de n-1ecuaciones
lineales con n+1 incógnitas . Podemos elegir z0 y z1 de forma arbitraria y resolver
sistema de ecuaciones resultante para obtener los valores de una elección
especialmente adecuada es hacer z0=z1=0. La función spline resultante se
denomina spline cúbico natural y el sistema de ecuaciones lineal expresado en
forma matricial es:
(70)
• Ejemplo:En la siguiente tabla se muestra la evolución de la temperatura en Hong-Kong (y) cada dos horas (x).
X Y
2 8
4 8
6 7
8 8
10 14
12 15
Utilizamos la siguiente fórmula para encontrar el número de ecuaciones e incógnitas que
encontraremos:
(n-1)*4
Donde n es el número de datos en la tabla:
N= 6 (n-1)*4= (6-1)*4 =20
20 Número de ecuaciones y variables
• Para facilitar la identificación de los intervalos podemos dibujar una recta.
x 2 4 6 8 10 12
5 intervalos
Intervalos
(2,4)
(4,6)
(6,8)
(8,10)
(10,12)
Hacemos que se cumpla la condición de que el splinetiene que pasar por los puntos dados en la tabla.
Luego se define un polinomio cúbico para cada valor de los intervalos.
S(x)= ax³+bx²+cx+d
Y sustituimos el valor correspondiente de “y” en a, b, c y d.
El subíndice de las variables a, b, c, y d
dependerán del intervalo en el que se encuentre el valor para el que
asignamos el polinomio.
Una discontinuidad es un punto donde se cambia de intervalo, esto afecta la función del spline, y para evitarlo las evaluamos
con la primera y segunda derivada de la función:
S(x)= ax³+bx²+cx+d
S’(x)= 3ax²+2bx+c Primera derivada
S’’(x)= 6ax+2b Segunda derivada
En este caso, las discontinuidades son : (4, 6, 8, 10). Después evaluaremos la primera derivada con estos valores.
Para x=4
S’(x)= 3a(4)²+2b(4)+c = 48a1+8b1+c1 = 48a2+8b2+c2
Para x=6
S’(x)= 3a(6)²+2b(6)+c= 108a2+12b2+c2 = 108a3+12b3+c3
Para x=8
S’(x)= 3a(8)²+2b(8)+c= 192a3+16b3+c3 = 192a4+16b4+c4
Para x=10
S’(x)= 3a(10)²+2b(10)+c = 300a4+20b4+c4 = 300a5+20b5+c5
Ya que se trata de una discontinuidad tenemos que tomar
en cuenta que forma parte de dos intervalos y que este
no cambia de un polinomio a otro, es por eso que se da la igualdad.
Continuamos con la evaluación ahora con la segunda derivada de la función:
Para x=4
S’’(x)= 6a(4)+2b = 24a1+2b1 = 24a2+2b2
Para x=6
S’’(x)= 6a(6)+2b = 36a2+2b2 = 36a3+2b3
Para x=8
S’’(x)= 6a(8)+2b = 48a3+2b3 = 48a4+2b4
Para x=10
S’’(x)= 6a(10)+2b = 60a4+2b4 = 60a5+2b5
Para cumplir con nuestras 20 ecuaciones debemos obtener dos mas y agregarlas a las 18 que ya conocemos, para eso asignaremos las siguientes condiciones:
S’’(x0)= o y S’’(xn)=0
X0= Punto inicial
Xn= Punto final
S’’(2)= 6a(2)+2b 12a1+2b1=0
S’’(12)= 6a(12)+2b 72a5+2b5=0
Con esto tenemos ya nuestras 20 ecuaciones y 20 incógnitas, lo siguiente será acomodarlas en una
matriz cuadrada para su resolución.
• Matriz generada
De la matriz anterior obtenemos los siguientes resultados:
Sustituimos los valores en la función inicial y obtenemos los siguientes splines:
:Gracias:
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